Teoria sygnałów. ID II semestr zimowy. Henryka Danuta Stryczewska. 30 h wykładu +30 h ćwiczeń rachunkowych

Transkrypt

1 Teori sygłów ID II semesr imowy 3 h wyłdu 3 h ćwiceń rchuowych Hery Du Srycews ISTYTUT PODSTAW ELEKTROTECHIKI I ELEKTROTECHOLOGII

2 Progrm wyłdów. Wprowdeie. Lierur. Widomości orgicyje. Podswowe pojęci eorii sygłów. Sygły i sysemy logowe i cyfrowe. Cele liy sygłów. Prewrie sygłów. Pryłdy sygłów i sysemów.. Klsyficj sygłów. Sygł mocy i sygł eergii. Pryłdy. Trsformcje sygłów w diediie csu. Sygły oresowe i prwie oresowe. Modulcj mpliudy, fy i cęsoliwości sygłu. 3. Prmery sygłów deermiisycych - wrość średi, suec. Sygły espoloe. Rołd sygłów słdowe. Pryłdy wybrych sygłów deermiisycych. Podswowe gdiei wysępujące w cyfrowej obróbce sygłów. Moc i eergi sygłów. 4. Sygły dysrybucyje. Włściwości dysrybucji Dirc. Ie sygły dysrybucyje.

3 3 5. Sygły wyłdicy i hrmoicy. Ciągły sygł wyłdicy espoloy i jego prypdi. Wyżse hrmoicych sygłu ciągłego. Dysrey sygł wyłdicy espoloy i jego prypdi. Wrue oresowości sygłu hrmoicego ciągłego i dysreego. Porówie sygłu hrmoicego ciągłego i dysreego. 6. Sysemy csu ciągłego i dysreego. Pryłdy sysemów. Schem bloowy. Połącei sysemów. Sysemy e sprężeiem wroym- pryłd. Podswowe włściwości sysemów. Sysemy liiowe scjore LTI. Rówi różicowe i różicowe opisujące ułdy LTI- pryłdy rowiąń. 7. Ali w diediie csu sysemów LTI. Oblicie odpowiedi sysemu LTI ciągłego i dysreego dowoly sygł podswie jego odpowiedi csowej sygł impulsowy. Pryłdy. Sysemy o sońcoej (FIR) i iesońcoej (IIR) odpowiedi impulsowej.

4 4 8. Bdie włściwości sysemów LTI podswie ich odpowiedi impulsowej. iewypredle sysemy LTI opise rówimi różicowymi i różicowymi o słych współcyich osruowie schemów bloowych dl sysemów pierwsego rędu. 9. Odpowiedź liiowego ułdu scjorego sygł espoloy - pojęcie fucji włsej i wrości włsej sysemu LTI. Sereg Fourier sygłów ciągłych oresowych. Wrui Dirichle. Wór Prsevl. Pryłdy.. Sereg Fourier sygłów oresowych dysreych. Wycie współcyiów seregu Fourier sygłu dysreego, pryłdy. Włściwości dysreego seregu Fourier. Wór Prsevl dl sygłu oresowego dysreego. Seregi Fourier sysemy LTI- odpowiedź cęsoliwościow.. Filrcj sygłów. Pryłdy filrów sygłów ciągłych. Filry sygłów dysreych opisywe rówimi różicowymi. Pryłdy.

5 5. Predswieie sygłów ieoresowych: dysre rsform Fourier. Problemy bieżości dysreej rsformy Fourier. Dysre rsform Fourier sygłów periodycych. Wybre włściwości dysreego presłcei Fourier. Zleżość Prsevl. Włściwości splou. 3. Włsość powieli. Zeswieie włściwości i podswowych rsform Fourier. Dulim: dysreego seregu Fourier, międy dysreą rsformą Fourier ciągłym seregiem Fourier. 4. Próbowie sygłów. Próbowie sygłu ciągłego. Twierdeie o próbowiu. Cęsoliwość yquis. 5. Reosrucj sygłu podswie jego próbe. Wybre gdiei próbowi sygłu dysreego.

6 Kocepcj sygłu Pojęcie sygłu wyorysywe jes w wielu diedich ui i echologii: eleomuicj, sroomi, eori i projeowie obwodów, sejsmologi, iżyieri biomedyc, geercj i presył eergii, serowie procesmi chemicymi, obrób dźwięów, ropowie mowy, reosrucj obrów, ui społece i eoomice, eoomeri, bowość 6

7 Zsosowi prewri sygłów bdie chowi się sysemów pomocą liowi ich odpowiedi róże rodje sygłów wejściowych projeowie sysemów do obróbi sygłów leżą u: sysemy do odysiwi sygłów, óre osły jiegoś powodu łócoe, śmiecoe, reosruowie obrów, p. węr biori pliwem, cy odległej gwidy 7

8 projeowie sysemów do liy sygłu wejściowego, órego wyprowd się żąde iformcje. Pryłdy: - rye fisowy (liując jego chowi i redy w presłości moż wyciągąć iformcje doycące prwdopodobych chowń w prysłości), - elerordiogrm (liując pis prcy serc swimy digoę o jego sie) 8 modyficj i serowie prmermi sysemu, p. drode odpowiediego doboru sygłów wejściowych lub sosowie specjlego sysemu. Wżym gdieiem w ej lsie sosowń jes pojęcie sprężei wroego.

9 Seroą diedią sosowń, w órej pojęcie sygłu i jego obróbi or wiąe ym gdiei są iewyle isoe, jes eleomuicj. leżą u ie problemy j: osruowie sygłów o scególych włściwościch, p. o cęsoliwości pewijącej możliwość jego presyłi dleie odległości, filrowie sygłów, modulcj i demodulcj, rsmisj dych do wielu urądeń jedym łem rsmisyjym (w. muliplesowie w diediie csu i w diediie cęsoliwości or demuliplesowie). 9

10 Pryłdowy sysem prewri sygłów

11 Opercje sygłch Głów cechą sygłu jes o, że iesie o iformcje o chowiu sysemów i ure jwis. Obecie wieloroie musimy dooywć presłceń sygłów logowych dysree i odwró. Proces prechodei sygłu logowego cyfrowy ywmy dysreycją i odbyw się pomocą w. próbowi proces odwroy uciągliem sygłu i do ego wyorysujemy prosymcję.

12 jbrdiej y pryłd dysreycji sysemów ciągłych, o umeryce rowiąywie rówń, w órych wsysie opercje wyoywe są sygłch cyfrowych (p. opercje różicowi sępujemy różicmi sońcoymi). Współceśie, poiewż dyspoujemy wysoiej lsy sysemmi cyfrowymi (miroprocesormi), wselie opercje doycące obserwcji i serowi sysemmi odbywją się w diediie dysreej. Zcie łwiej prowdić obserwcje i serowie sysemem w diediie dysreej iż ciągłej. Proces uciągli prowdimy w celu leiei brdiej ogólych prwidłowości rądących sysemmi.

13 Sygł może być fucj wielu mieych i wyle jes, p. obr (ieruchomy - f. współrędych prosoąych, ruchomy jw. cs), le omwić będiemy ylo sygły jedej mieej ieleżej i będiemy pre ę mieą roumieć cs: ciągły, bądź dysrey. Sygł możemy predswić w posci grficej or pomocą fucji liycej. Zwse jeśli sygł jes opisy liycie, moż go predswić w posci grficej. Sygł orymy grficie, p. erie oscylosopu lub jo wyi obliceń umerycych, prosymujemy by mieć jego liycą posć. ) b) () []

14 Podił sygłów Wśród sygłów ciągłych wyróżimy: 4 Ogricoe co do wrości, o ie órych wrości licbowe w cłym resie mieej ieleżej ie prercją pewej licby Osońcoym csie rwi, do órych licymy sygły róże od er w ogricoym predile csu or rówe eru dl csu spo ego prediłu O ogricoym widmie, o biór sygłów, órych widmo X(jw) jes ogricoe pewą słą W. Widmo sygłu - rsform Fourier sygłu []

15 Sygł dysrey może mieć sońco lub iesońcoą długość. Sygł dysrey o sońcoej długości wier się w predile od do, pry cym >. Cs rwi sygłu wycmy jo: -. Sygły dysree dielimy : Sygły wowe w pioie Sygły wowe w poiomie Sygły cyfrowe () Sygł wowy w pioie Sygł wowy w poiomie 5 Sygł cyfrowy

16 6 Dysreycj sygłu

17 7 Eergi sygłu def T T T def ] [ ] [ lim E d ) ( d ) ( lim E

18 Moc sygłu P def lim T T T T ( ) d P def lim [ ] 8

19 Moc sygłu oresowego P [ ], P T T T ( ) d 9

20 Sygł mocy i eergii Sygły o sońcoej eergii, E<. Tie sygły musą mieć erową moc średią - sygł eergii. Pryłdem sygłu o sońcoej eergii i erowej mocy jes sygł brmi. Sygły o sońcoej mocy średiej i iesońcoej eergii. Jeśli sygł iesie ieerową moc średią, o w iesońcoym predile csu uysmy iesońcoą ilość eergii. Pryłdem iego sygłu jes żdy sygł sły or sygły oresowe - sygł mocy, p. sygł sły []4, órego moc średi wyosi 6, ś eergi jes iesońceie duż. Sygły, órych moc i eergi mją w iesońcoym predile csu iesońcoą wrość.

21 Zleżości pryde pry wyciu prmerów sygłów dysreych sum sońcoego seregu sygłu wyłdicego, - licb espolo α - α α - α dl α ( ) α d dα α sum iesońcoego seregu sygłu wyłdicego α α α α α ( α) α α α <

22 Prmery sygłów deermiisycych Prmer Sygł ciągły () Sygł dysrey [] Wrość średi w predile csu () d [ ] Wrość średi cłego sygłu τ τ lim () d τ τ lim [ ] Wrość średi sygłu oresowego T T o () d, T ores T o ( ) o [ ], ores o Średi bieżąc T T T () τ dτ, [ ]

23 Prmery sygłów deermiisycych Prmer Sygł ciągły () Sygł dysrey [] Wrość suec w predile csu X () d [ ] Wrość suec cłego sygłu (wrość średiowdrow) τ τ lim () d τ τ lim [ ] Wrość suec sygłu oresowego X T o T o () d ( ) o X [ ] o Wricj sygłu σ lim τ τ τ [ () τ ] τ dτ σ lim [ [ ] ] 3

24 Trsformcje sygłu w diediie mieej ieleżej Presuięcie w csie, we presuięciem fowym sygłyopóźioe i wypredjące (y[][- o ] w leżości od u o sysem wprowd opóźieie - o > lub pryspieseie o <) Odwróceie sygłu w diediie csu (odbicie wględem pocąu ułdu współrędych) y[][-] Slowie sygłu w diediie csu ([] sygł sompresowy, [/] sygł rociągięy W ogólym prypdu rsformcji sygłu obejmującym ry powyżse opercje pisemy: [b], gdie dl > orymmy sygł liiowo sompresowy (ściśięy), dl < < sygł liiowo rociągięy w csie, dl < uysmy odwróceie sygłu w csie; wrość i b decydują o presuięciu fowym sygłu. 4

25 5 Pryłdy rsformcji sygłów

26 6 Sygł prysy i ieprysy

27 Pryłdy sygłów deermiisycych logowych i ich rówi Sygły impulsowe o ogricoej eergii 7

28 8 Sygły o iesońcoym csie rwi i o ogricoej eergii

29 9 Sygły o ogricoej mocy średiej - ieoresowe

30 3 Sygły o ogricoej mocy średiej oresowe

31 3

32 Sygły modulowe, f, φ, -głęboość modulcji, ω o -cęsoliwość oś, 3

33 Sygły oresowe i prwie oresowe ()si(π5) ()si(π5)si(π) ()si(π5),si(π5) ()si(π5)si(π(π)) 33

34 Sygły modulowe ()ep[-(-,5) ] si(π) ()ep(-5) si(π) 34 ()si[π( )] ()si[π((/π)siπ)]

35 Sygły dysrybucyje Impuls Dirc (del Kroeer) δ dl (), δ() d dl Ciągi prosymujące dysrybucję Dirc δ δ Zwiąe impulsu Dirc sygłem sou jedosowego ( ) lim δ(, τ) (, τ) τ e τ π τ 35

36 Włściwości dysrybucji Dirc Możeie pre słą Zmi sli δ () d δ T T δ (), δ( ) δ() Prysość dysrybucji δ () δ( ) Włściwość próbowi dysrybucji 36 ()( δ ) ( ) δ( ) ()( δ ) ( )() δ

37 Włściwość powri ( τ) δ( τ) dτ ( τ) δ( τ) dτ ( ) () δ() () () δ( ) ( ) Włściwość filrcji ()() δ d ( ) ()( δ ) d ( ) 37

38 Pochod dysrybucji Dirc δ (, τ) δ (, τ) δ () d d () δ ( ) d ( ) 38

39 Prys i ieprys pr dysrybucji () δ δ II () II δ δ () / () / / -/ / -/ 39

40 Dysrybucj grebieiow (fucją s) () (/T) (/T) III III () δ() T () δ( T ) T 4

41 4 Włściwości dysrybucji grebieiowej Włściwość próbowi () () ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) δ δ δ δ δ δ T T T III T III ) ( ) ( K K Włściwość powieli oresowego () () ( ) ( ) () ( ) () T T III T III ) ( ) ( ) ( 3 K K K

42 4 Dysrey sygł impulsowy (prób)

43 Włściwości dysreego impulsu Włściwość powri [ ] [ ] δ [ ] [ ] δ [ ] [ ] Włściwość premieości [ ] [ ] δ [ ] [ ] δ [ ] 43

44 Włściwość filrcji [ ] δ [ ] [ ] [ ] δ [ ] [ ] Włściwość prysości Zmi sli δ [ ] δ [ ] δ α [ α] δ [ ] 44

45 Sygł wyłdicy ciągły i dysrey α > < α < -< α < α < - 45

46 Sygł siusoidly [] e jω Wrue oresowości 3 46 ieoresowy

47 47 Sygły dysree oresowe różej cęsoliwości

48 48 Sygły wyłdicy espoloy rosący i mlejące

49 Porówie sygłu ciągłego i dysreego ()] e jω iesońceie wiele sygłów hrmoicych o ym smym oresie (pulscji) podswowym Róże sygły dl różych ω o Oresowy dl żdej wrości ω o [] e jω Sońco licb hrmoicych rów oresowi Te sme sygły dl cęsoliwości różiących się o π Oresowy ylo dl ω o πm/ jwięsą cęsoliwość oscylcji m sygł dysrey oresowy dl ω o ± π i jego ieprysych wieloroości, ś dl ω o bądź π sygł, orymujemy sygł sły. 49

50 Aprosymcj sygłu brmi pomocą seregu sygłów hrmoicych Sygł logowy (efe Gibbs) Sygł dysrey 5

51 5 Podswowe włściwości sysemów Liiowość sysemu (sd ddyywości homogeicości sd superpoycji) [ ] [ ] [ ] [] [] [] y y y β α β α Scjorość sysemu [ ] [ ] [] [ ] y y

52 5 Prycyowość sysemów i sygłów Jeżeli y [] i y [] są odpowiedimi sysemu sygły wejściowe odpowiedio [] i [], podo sygły e dl <, są sobie rówe o: [] [] dl < y [] y [] dl < Sysem jes prycyowy jeżeli odpowiedź jego leży ylo od wrości sygłów wejściowych i wyjściowych w presłości i w bdej chwili. Sysemy ieprycyowe, we wypredjącymi, o ie, w órych wrość sygłu wyjściowego w bdej chwili leży że od prysłych wrości sygłu wejściu. Pryłdmi ich sysemów są: sysemy, w órych mieą ieleżą ie jes cs (p. sysemy cyfrowego prewrie obrów), sysemy w órych uśredimy de ebre w pewym oresie csu (cey cji giełdie, de demogrfice, sygły meeorologice), i w órych ieresuje s oreśleie wolomieych redów w dych, wierjących że sybomiee (cęso prypdowe) fluucje.

53 Filr średiej ruchomej rędu M (jo pryłd sysemu wypredjącego) Sysem, w órym uśredimy de ebre w pewym predile csu, by usuąć prypdowe (ieypowe dl dego jwis) łócei, ywmy filrem średiej ruchomej rędu M (gdie rąd filru oc uśrediie licbie próbe rówej M). Jes o sysem ieprycyowy. y [ ] [ ] M M M 53

54 Odwrclość sysemów Sysem jes odwrcly, jeżeli jes możliwe leieie iego sysemu, óry włącoy im sdowo d wyjściu sygł wejściowy. 54

55 Pmięć sysemu 55 Sysem jes pmięcią, jeżeli porfi gromdić wrości sygłu wejściowego i wyjściowego presłości. Kosewecj ej włściwości jes o, że w sysemch be pmięci wrość sygłu wyjściowego w chwili leży ylo od wrości sygłu wejściowego w ej smej chwili. Sysemy be pmięci opise są rówimi lgebricymi, ś sysemy pmięcią rówimi różicowymi. Pryłdmi sysemów dysreych pmięcią są sumor (umulor) i filr średiej ruchomej.

56 Sbilość sysemów [] <B dl żdego, y[] <B y dl żdego, gdie: B i B y są dowolymi sońcoymi słymi. W lierure glojęycej oreślmy, że ułd jes sbily w sesie BIBO (Bouded Ipu Bouded Oupu) 56

57 Ali sysemów liiowych, scjorych w diediie csu relcj międy sygłem wejściowym i wyjściowym chrerysyi csowe rówi różicowe δ[] u[] h[] s[] 57 Odpowiedią sysemu cyfrowego sygł w posci impulsu Dirc δ[], ywmy odpowiedią impulsową i ocmy h[], ś odpowiedź sysemu sygł sou jedosowego u[], ocmy pre s[] i ywmy odpowiedią soową ( so jedosowy).

58 Wycie odpowiedi sysemu dysreego [] h[] y[] Odpowiedź y[] sysemu liiowego scjorego dowoly sygł [], wycmy jąc odpowiedź impulsową h[] ego sysemu, leżości: splo y [ ] h[ ] [ ] y [ ] h[ ] [ ] 58

59 59

60 6

61 6

62 Ksdowe, seregowe Połącei sysemów h [] h [] Rówoległe Ze sprężeiem wroym h [] h [] h [] 6

63 Odpowiedź impulsow seregowo połącoych sysemów liiowych scjorych o odpowiedich impulsowych rówych odpowiedio h [] i h [] jes rów sploowi odpowiedi impulsowych: [ ] h [ ] h [ ] h Odpowiedź impulsow rówolegle połącoych sysemów liiowych scjorych o odpowiedich impulsowych rówych odpowiedio h [] i h [] jes rów sumie odpowiedi impulsowych: [ ] h [ ] h [ ] h 63

64 Liiowy sysem scjory jes sbily jeżeli jego odpowiedź impulsow jes bsoluie sumow (m sońcoą sumę): [ ] < h Liiowy sysem scjory jes prycyowy, (iewypredjący) jeżeli jego odpowiedź impulsow spełi wrue: h[] dl < 64

65 Rówi różicowe i różicowe W diediie csu relcj międy sygłem wejściowym i wyjściowym dl sysemu LTI jes opis liiowym rówiem różicowym (dl ułdu logowego ) bądź różicowym (ułd dysrey) -ego rędu o słych współcyich, posci: [] LTI y[] d y d ( ) M d ( ) b d () 65 y[ ] M b [ ]

66 66 Rowiąie rówi różicowego (różicowego) słd się rowiąi rówi jedorodego (rowiąie ogóle- odpowiedź swobod) or rowiąi scególego (odpowiedź wymuso): ( ) y d y d ] [ () Rowiąie wymg podi dodowych wruów pocąowych. Jeśli sysem jes liiowy, scjory i prycyowy o możemy pisć: () [] [] y y dl dl dl dl ) (

67 67 Dl ułdów liiowych scjorych i prycyowych odpowiedź sysemu y()/y[] dl csu > (> ) moż em wycyć rówń () dl sępujących wruów pocąowych: ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] y y y d dy d dy y K K Rówi () moż pisć w posci: () ( ) ( ) M M y b y d y d d d b y ] [ ] [ ] [, óre dl prypdu rówi różicowego ywmy rówiem reurecyjym -wrości sygłu wyjściowego w csie leżą od wrości wejści i wyjści w ym csie i w chwilch wceśiejsych.

68 Dl, rówi uprscją się do posci: y () y[ ] M M b b d d ( ) [ ] rówie różicowe dl ywmy rówiem iereurecyjym - dl wycei wrości sygłu wyjściowego w csie wysrcy jomość wrości sygłu wejściowego w csie i w chwilch wceśiejsych. h [] b dl M Sysemy opise rówiem reurecyjym mją odpowiedź impulsową iesońcoą - sysemy OI, ś sysemy opise rówiem iereurecyjym -sysemy SOI mją sońcoą odpowiedź impulsową. 68 Gdy, rówie jes iereurecyje i wymg do rowiąi wruów pocąowych, órych licb oreślo jes rędem rówi.

69 Elemey schemów bloowych Eleme opóźijący Eleme cłujący i różicujący [] [-] () - ()d Eleme możący () D d()/d [] () [] () 69

70 Schem bloowy rówi różicowego y [ ] y[ ] b[ ] [] b b[] -y[-] y[] - y[-] - 7

71 Schem bloowy rówi różicowego d y d y ( ) y () b() d () y( ) [ b() τ y() τ ] τ [] b b[] y() -y() - 7

72 Pryłd: Wycyć odpowiedź ułdu liiowego scjorego opisego rówiem różicowym I rędu: dy d ( ) y () () sygły: sou jedosowego, impulsowy, wyłdicy pry łożeiu, że dl <, y() 7

73 73

74 Pryłd: Wycyć odpowiedź ułdu liiowego scjorego opisego rówiem różicowym I rędu sygł impulsowy: y [ ] y[ ] [ ] [ ] Kδ[ ], órym y[-] 74

75 75 Rowiąie rówi m posć: K y y K y y K y y K y y ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ M odpowiedź impulsow: ] [ ] [ u h

76 Presłcei cłowe: Lplce', rsformcj Z, presłceie Fourier Meody liy sygłów polegjące sąpieiu rówń różicowych (różicowych) opisujących relcje wejście - wyjście rówimi lgebricymi wyorysują presłcei: Lplce' jedosroe i dwusroe (sygły logowe), Lure, Fourier i ie. W rówich różicowych i różicowych wysępują sygły jo fucje rgumeu recywisego (). Tie fucje csu ywmy orygiłem lub fucją orygilą. Ich odpowiedi w diediie mieej espooej 76

77 Kżdej fucji recywisej csu f() moż pryporądowć fucję mieej espoloej sσjω, órą ywmy prmerem espoloym. Fucję ę ywmy rsformą fucji csu lub obrem fucji csu w biore licb espoloych, ocmy pre F(s) i wycmy leżości: F ( s) f ( ) f πj ( ) e c j c j s d F( s) e s ds presłceie prose presłceie odwroe 77 w órym c - licb recywis dodi ie miejs od odcięej bieżości rsformy, c σ

78 Presłceie Lplce' prose i odwroe ocmy jo: F( s) f ( ) L L [ f ( ) ] [ F( s) ] Zeswieie orygiłów i rsform Lplce' wybrych fucji spoyych w eorii sygłów i sysemów predswioo w blicy 78

79 δ ( ) 79 Au () e m si ω cos ω e s s A s s ± ω ω s ω s ( s )

80 Podswowe wory i wierdei Twierdeie : (o liiowości): { f ( ) bg( ) } L{ f ( ) } bl{ g( ) } F ( s) bg( s) L Twierdeie : (o podobieńswie, miie sli): s L, { f ( ) } F > Twierdeie 3: (o presuięciu espoloym): 8 L { e f ( ) } F ( s ), dowol sl

81 Twierdeie 4 :(o opóźieiu-presuięciu recywisym): L sh { f ( h) } e F ( s) Twierdeie 5 :(grice): Jeżeli F(s)L{f()} or ) jeżeli isieje gric prwosro: o: f f ( ) lim f ( ) < ( ) lim sf ( s) s 8 b) jeśli wsysie bieguy fucji F(s) jdują się w obsre Ω, dl dowolie młego ε>, o: f ( ) lim f ( ) lim sf ( s) s! Uwg, jeśli bieguy fucji F(s) leżą osi urojoej (ε), o wierdeie ie obowiąuje - isieie gricy F(s) ie wse oc isieie gricy f()

82 8 Twierdeie 6 (o rsformcie fucji oresowej): jeżeli f() jes fucj oresową o oresie T, o: gdie: F T (s) jes rsformą fucji f() ores. { } ( ) () d f s F s F f L s T T st T )e ( e ) ( Twierdeie 7 (o rsformcie pochodej): { } ( ) ( ) f s sf s f s F s f L ) ( ) ( ) '( { } ( ) ( ) ( ) s f s f s f s F s f L ) ( ) ( ' ) ( ) (

83 83 Twierdeie 8 (o rsformcie cłi): s s F d f L ) ( ) ( τ τ Twierdeie 9 (o rsformcie splou fucji - wierdeie Borel): { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s G s F d g f L g f L τ τ Twierdeie (o rsformcie pochodej splou - cłi Duhmel): () () s G s sf g f L τ τ d ) ( ) ( d d

84 84 Regio bieżości rsformy Lplce' Włściwość : Obsr bieżości rsformy X(s) słd się psm rówoległych do osi urojoych (jω). Włściwość : Wymier rsform Lplce' ie wier bieguów w obsre bieżości. Włściwość 3: Jeśli () jes fucją o sońcoym csie i jes bewględie cłowl, o obsrem bieżości jes cł płscy mieej espoloej s. Włściwość 4: Jeśli fucj () jes prwosro i jeśli pros Re{s}σ jduje się w obsre bieżości, o wsysie wrości s, dl órych Re{s}>σ że jdują się w obsre bieżości. Włściwość 5: Jeśli fucj () jes lewosro i jeśli pros Re{s}σ jduje się w obsre bieżości, o wsysie wrości s, dl órych Re{s}<σ będą że w obsre bieżości.

85 Włściwość 6: Jeśli fucj () jes obusro i jeśli pros Re{s}σ jduje się w obsre bieżości, o obsr bieżości jes psmem płscyźie mieej espoloej. Włściwość 7: Jeśli rsform X(s) fucji () jes wymier, wedy jej obsr bieżości jes ogricoy biegumi, bądź rociąg się do iesońcoości i żde bieguy ie jdują się w jego obsre. Włściwość 8: Jeśli rsform X(s) fucji () jes wymier, i jeśli jes prwosro, o jej obsr bieżości jes ogricoy bieguem leżącym jbrdiej prwo, ś jeśli jes lewosro, o jej obsr bieżości jes ogricoy bieguem leżącym jbrdiej lewo. pryłdy 85

86 Wycei orygiłu rsformy odwro rsform Lplce' W celu wycei orygiłu rsformy wyorysuje się: blice orygiłów i rsform meodę residuów bując wierdeiu Heviside' Sosowie blic orygiłów i rsform jes jprossą meodą i wse, gdy o możliwe, wycmy orygił (). 86

87 87 Meod residuów buje możliwości predswiei rsformy w posci iloru wielomiów fucji wymierych mieej espoloej s, pry cym łdmy, że: -ułme L(s)/M(s) jes iesrcly, - sopień lici jes miejsy od sopi miowi. b s b s b s b s s s s s L s F l l l l K K ) ( ) ( ) (

88 88 Twierdeie Heviside' mówi, że fucję operorową X(s) posidjąc bieguy jedoroe moż rołożyć ułmi prose: gdie: - jes sopiem wielomiu M(s) i oc licbę bieguów fucji X(s) i i i s s A s s A s s A s s A s M s L s X K K ) ( ) ( ) (

89 89 Współcyii od A do A wycmy e woru residuum fucji X(s), według: ( ) [ ] ( ) i i s s s s s M s M s L s X s s s X A ) '( ) '( ) ( ) ( lim ) ( res s s s s s L e Poiewż, rsform odwro: więc orygił fucji operorowej wyrimy: s s M s L e ) '( ) ( ) ( Podswowy wór Heviside'

90 9 Jeśli jede bieguów fucji operorowej X(s) jes bieguem erowym s, wedy fucje operorową predswimy w posci: orygił licymy leżości: m s s s L s X, ) ( ) ( ) ( ( ) m i i s m s s s s s s L L ) '( e ) '( ) ( ) ( ) ( ) (

91 Presłceie Z Ciągowi licb f[] moż pryporądowć fucję mieej espoloej, według: F( ) [] f Trsform dysre f [] Z { F( ) } Orygił dysrey Obsr bieżości seregu jduje się płscyźie mieej espoloej ewąr lub wewąr oręgu jedosowego. 9 Zeswieie orygiłów i rsform Lure wybrych fucji spoyych w eorii sygłów i sysemów predswioo w blicy

92 δ [ ] 9 si cos u[ ] ωt ωt si ωt cos ωt cos ωt cos ωt ( ) ( )

93 Podswowe włsości presłcei Z Twierdeie (o liiowości): { f ( ) bg( ) } Z{ f ( ) } bz{ g( ) } F( ) bg( ) Z Twierdeie (o ciągu presuięym): Z Z { f [ ] } F( ) m { f [ ] } F( ) f [ m] m 93

94 Twierdeie 3 (o rsformcie ciągu sum): Z f [] F( ) Twierdeie 4 (o różicowiu rsformy): Z { f [] } d F d ( ) Twierdeie 5 (o miie mieej ): 94 Z { f [ ] } F( )

95 Twierdeie 6 (grice): lim F ( ) f [ ] Twierdeie 6b (grice): lim f [ ] lim ( ) F( ) < Twierdeie 7 (o splocie dwóch ciągów): 95 { f [ ] g[ ] } F( ) G( ) Z

96 96 Trsform odwro presłcei Z Presłceie odwroe dysree pryporądowuje fucji mieej espoloej F() sygł dysrey (ciąg licbowy) f[]. Omówioe osą meody. Obie doycą wymierej fucji F(), órą moż predswić w posci ilocyu fucji wymierych posci: pry cym łdmy, że m>ν. b b b b M L F m m m m ν ν ν ν K K ) ( ) ( ) (

97 Meod rowiięci w sereg poęgowy W meodie możymy lici i miowi rsformy F() pre -m. Dieląc sępie lici orymego wyrżei pre miowi orymuje się sereg: F ( ) f [], órego oleje współcyii są wyrmi posuiwego ciągu. Meodę sosujemy, gdy chcemy wycyć il pocąowych wyrów sygłu. 97

98 98 Meod rołdu ułmi prose - odpowiedi meody bującej wierdeiu Heviside' m A L F ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) '( ) ( ) ( lim L L A Orygił f[] fucji operorowej F() wyrimy sępująco: [] m L f ) '( ) (

99 99 Pryłdy: Wycyć rsformy sępujących sygłów dysreych: Wycyć orygiły sępujących rsform dysreych: [ ] [ ] [ ] [] [] [ ] u f u u f δ ( ) ( ) ( )( ) F F

100 Ułdy cyfrowe i ich rowiąywie wyorysiem rsformcji Z m m m y m y y y y y m b b b m y y y y < ] [, ] [, ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ K K K - wrui pocąowe Rowiąie wier: - odpowiedź wymusoą, będącą rowiąiem rówi () pry erowych wruch pocąowych, - odpowiedź swobodą, będącą rowiąiem rówi jedorodego ()

101 Dl ułdu I rędu: ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y Y y X b b Y y X b b Y y X b b Y X b X b y Y Y y b b y y p w ] [ ], [ ] [ ] [ ] [ Odpowiedź wymusoą ułdu cyfrowego wycmy jąc rsmicję sysemu H() (rsformę jego odpowiedi impulsowej h[]): ( ) ( ) ( ) X H Y w

102 Gdy []δ[] o X(), wedy dl ułdu I rędu pisemy: ( ) ( ) ( ) ( ) [] [] ( ) [] u b b b h b b b H b b b b b b b b b b b H δ

103 Pryłd: Dl ułdu dysreego opisego rówiem: y[ ] y[ ] 4[ ] 3[ ] oblicyć: h[], H(), or odpowiedź ułdu wymuseie sygłem sou jedosowego []u[]. 3

104 Ali cęsoliwościow sygłów i sysemów Sereg i presłceie Fourier 4 Dl sygłu oresowego sereg Fourier powl oreślić mpliudy cęsoliwości podswowej i wyżsych hrmoicych. W prypdu fucji ieoresowych liową fucję ropruje się w iesońceie długim predile csu i sosuje cłowe presłceie Fourier. Z pomocą liy cęsoliwościowej moż eż bdć seregi dysree w im prypdu sosuje się w. dysreą lię cęsoliwościową - scególie wżą pry obliceich msych cyfrowych.

105 ( ) Sereg Fourier fucji oresowej ciągłej π j T ( ω θ ) si( ω θ )... si( ω θ ) si e si - rówie syey ( α β) si α cosβ siβcosα ( ) si θ si θ cosω cos ω si ω cosθ cosθ si ω... ( ) A [ A cos( ω) B si( ω) ] 5

106 6

107 7 Współcyii seregu Fourier () T T A d Rówie liy () T j T d e ω () ( ) ω T T A d cos () T T d () ( ) ω T T B d si

108 Widmo mpliudowe i fowe sygłu Wyres współcyiów Fourier, predswijący udił poscególych hrmoicych w sygle (), dje obr rołdu wrych w im cęsoliwości; wyres e jes ywy widmem cęsoliwościowym lub róo widmem sygłu. Współcyii seregu Fourier są licbmi espoloymi. f() - widmo mpliudowe f() - widmo fowe 8

109 9 Pryłd: wycyć widmo mpliudowe i fowe sępującego sygłu recywisego: π ω ω ω cos cos si ) ( ( ) ( ) > π π, j e j e j j j j j j

110 Sygł oresowy prosoąy i jego widmo < < < T T T,, ) ( T π ω ( ) π ω ω T e T T T j, si d T T T T T d

111 Współcyii seregu Fourier (widmo) sygłu oresowego prosoąego dl wybrych wrości T w sosuu do T M π π π π π T T, si T8T T6T T4T

112 Effe Gibbs

113 Zleżość Prsevl T T () d 3

114 Porówie sygłu wyłdicego (oresowego) logowego i dysreego () e jω [] e jω iesońceie wiele sygłów hrmoicych o ym smym oresie (pulscji) podswowym Sońco licb hrmoicych rów oresowi Róże sygły dl różych ω o Oresowy dl żdej wrości ω o Te sme sygły dl cęsoliwości różiących się o π Oresowy ylo dl ω o πm/ 4 jwięsą cęsoliwość oscylcji m sygł dysrey oresowy dl ω o ± π i jego ieprysych wieloroości, ś dl ω o bądź π sygł, orymujemy sygł sły.

115 5 Sygł dysrey oresowy i jego widmo Fourier rówi liy i syey [] [] [] π ω π ω j j j j e e e e rówie syey rówie liy Zleżość Prsevl []

116 6 Pryłd: wycyć widmo mpliudowe i fowe sępującego sygłu recywisego: [] π ω ω ω 3 cos cos si j j j j j j

117 7 Sygł dysrey oresowy prosoąy i jego widmo [],, π ω K K,,,, si si,,,, ± ± π π ± ±

118 Współcyii seregu Fourier (widmo) sygłu oresowego prosoąego dl wybrych wrości w sosuu do, 5 8 4

119 Odworowie sygłu dysreego prosoąego sumy pomocą sygłów hrmoicych M π ) j [] e M ) [] [] M 9

120 Podswowe włściwości seregu Fourier F ciągłego i dysreego Liiowość seregu Fourier: SF () By() A Bb A Presuięcie w diediie csu: () SF SF π j jω T ( ) e e SF Odwróceie w csie: () ( ) ( ) SF ( ) () ( )

121 Slowie w csie: SF () ( α) ( α) e SF π j T / α [] DSF DSF / m [ m] Dl będącego wieloroością m. Oresowe o oresie m Slowie w diediie cęsoliwości: e () jmω SF SF () M

122 DSF Sprężeie: DSF [] [] Splo oresowy T SF ()( τ y τ) d τ Tb r DSF [][ r y r] b Możeie sygłów SF () y() b lb l l SF [][] y b lb l l

123 Pochod: () SF d d ( ) SF j π T Pierws różic DSF DSF j [] [] [ ] e π Cł Sum bieżąc DSF () () d [] [] ( jω ) 3 SF SF DSF j ( ω ) e O sońcoej wrości i oresow ylo wedy, gdy

124 Symeri sprężei dl sygłów recywisych Re { } Re{ } () Im { } Im { } Podo, - gdy sygł jes recywisy i prysy o współcyii seregu są recywise i pryse - gdy sygł jes recywisy i ieprysy o współcyii są cyso urojoe i iepryse 4

125 5 Odpowiedź cęsoliwościow sysemu LTI () () () [ ] ( ) ( ) ( ) [] () () ( ) ( ) [] [] ω ω τ τ ω τ τ π π π π ω ω ω ω τ ωτ τ τ j j s H b H y j H b j H y h H d h H h H d h s H e e e e e e e e e j e j j j j j j j

126 Pryłd : Oresowy sygł 3 3 j π () e, órego współcyii seregu Fourier wyosą:,,, 3 4 podo cisi sysemu liiowego scjorego o odpowiedi impulsowej: h e u. 3 ( ) ( ) leży wycyć współcyii seregu Fourier b odpowiedi sysemu y(). 3, Pryłd : Zleźć odpowiedź y[] sysemu dysreego LTI sygł π [] cos, jeśli jego odpowiedź impulsow wyosi: h [] α u[], < α < 6

127 Filrcj sygłów Odpowiedi cęsoliwościowe cerech idelych filrów cyfrowych ero-fowych o recywisych współcyich odpowiedi impulsowej predswioe są rysuch: Η LP (e jω ) Η HP (e jω ) ω ω π ω c () ω c π π ω c (b) ω c π Η BP (e jω ) Η BS (e jω ) ω ω ω c ω c π ω c ω c π π ω c ω c ω c ω c π (c) (d) 7

128 Filry dolo- i góroprepusowy są opise fucjmi prejści pierwsego rędu posci odpowiedio: Η LP (e jω ) π ω c ω c π H LP α α () Η HP (e jω ) π ω c ω c π H HP α α () 8

129 Filry psmowe rysuów c i d są opise fucjmi prejści drugiego rędu rędu posci odpowiedio: Η BP (e jω ) ω H BP () α β ( α) α ω c ω c π ω c ω c π Η BS (e jω ) π ω c ω c ω c ω c π ω H BS () α β β ( α) α 9

130 Łącąc seregowo opise wyżej prose filry cyfrowe, moż budowć filry brdiej osrą odpowiedią impulsową. Łącąc K doloprepusowych filrów pierwsego rędu. Wypdow fucj prejści iej sruury będie opis fucj prejści posci: G LP () α α K Pode filry idele leżą do grupy o OI i erowej fie. Kosruuje się że filry, w órych fucj prejści odpowid sońcoej odpowiedi impulsowej (SOI) odpowiedią fową będącą liiową fucją ω. 3

131 Pryłdy filrów: ) doloprepusowy ) góroprepusowy y[ ] H [ [] [ ] jω jω jω/ ( e ) ( e ) e cos( ω/ ) y H () d d ( ) ( jω) jω 3

132 3 3) Filr reursywy I -rędu (sysem OI) [ ] [ ] ( ) [] [] u h H y y ω ω, e e ] [ j j,6,6

133 3) Filr iereursywy (sysem SOI): gdie, y[] jes średią wżoą po M wrościch [], od [-M] do [], wgmi rówymi współcyiom b. - doloprepusowy ) M3 y [ ] M b [] () y[ ] 3 h[ ] 3 H ( [ ] [ ] [ ] ) ( δ[ ] δ[ ] δ[ ] ) jω jω jω ( e ) ( e e ) ( cosω)

134 34 [ ] ( ) / si si e e po ] [ ] [ j j ω ω ω ω ω M e M M H M M h M y M j M M b) M33 (M6) c) M65 (M3)

135 Filr iereursywy (SOI) - góroprepusowy y[ ] H [ [] [ ] jω jω jω/ ( e ) ( e ) je si( ω/ ) -wsysie filry SOI są sbile, bo odpowiedź impulsow jes sońco, em sumowl. -dl > w rówiu ( ) filr jes sysemem ieprycyowym, j. y[]leży od prysłych wrości []. W filrcji w csie recywisym, w rówiu musimy łożyć 35

136 Próbowie sygłów Próbowie poleg presłceiu sygłu ciągłego w rówowży sygł dysrey sępie w sygł cyfrowy. Presłceie powio umożliwić odworeie sygłu ciągłego podswie sygłu dysreego (ciągu próbe) dowolą dołdością. 36

137 Próbowie pomocą fucji S p ( ) ( ) p( ) p () δ( T ) p () ( T )( δ T ) 37

138 X p π ( jω) X ( jθ) P( j( ω θ) ) dθ P ( jω) π T δ ω π T X p T ( jω) X ( j( ω ω )) s 38

139 Twierdeie o próbowiu iech () oc sygł logowy o ogricoym widmie, im, że X(jω) dl ω >ω M. Sygł () jes jedocie oreśloy (rówowży) pre biór odległych o T jego próbe (T),, ±, ±,..., jeśli cęsoliwość próbowi: gricy cs próbowi: ω s ω M 39 T π/ω M gdie: ω s π/t, ω M -cęsoliwość yquis

140 W diediie cęsoliwości, ide dowodu wierdei o próbowiu poleg sosowiu do widm X(jω) sygłu () dwóch osących się wjemie opercji: predłużi oresowego widm - powielei filrcji widm powieloego. 4

141 Próbowie słd się sępujących opercji: Powielie oresowe widm X(jω) sygłu (), Filrowie powieloego widm X p (jω) pomocą idelego filru dolo-prepusowego o cęsoliwościch odcięci ±ω c, iej, że: ω M < ω c <ω s -ω M Presłcie prefilrowego widm X(jω) sygł w diediie csu (). 4

142 Odworeie sygłu ciągłego e jomości ciągu jego próbe Twierdeie Koieliow-Sho Dowolą fucję csu moż predswić w posci seregu Koieliow-Sho, óry m posć seregu Fourier fucj bową S: () ( T ) S( πf ( T )) m 4

143 43

144 Prycyy błędów próbowi iepoprwy dobór cęsoliwości próbowi, łożeie idelości filru doloprepusowego, łożeie idelości impulsów brmujących. 44