Analiza spekulacyjna stanów nieustalonych w układach elektrycznych

Transkrypt

1 POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY ROZPRAWA DOKTORSKA mgr iż. Jrosłw Forec Aliz speulcyj sów ieusloyc w ułdc eleryczyc Promoor: prof. zw. dr b. iż. Adrzej Jord BIAŁYSTOK 6

2 Dzięuję Prof. Adrzejowi Jordowi z pomoc i cee uwgi podczs pisi ej prcy

3 Spis reści Spis reści. Wsęp Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc opisyc rówimi różiczowymi zwyczjymi Wsęp Meod lsycz..... Meod operorow..... Meod zmieyc su Podsumowie...8. Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc..... Wsęp..... Meody jedoroowe..... Meody wieloroowe Meody predyor-oreor Podsumowie...5. Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc Wsęp Rówoległość ułdu..... Rówoległość meody..... Rówoległość czsu roów Podsumowie Sysemy lser Ogól crerysy sysemów lser Opis sysemu lser KETIM Cele ez i orygile elemey rozprwy Cele prcy Tez rozprwy Orygile elemey rozprwy Meod speulcyj lizy sów ieusloyc Wsęp Podswy eoreycze meody speulcyjej Meod speulcyj ze słym roiem cłowi Zsosowie meody speulcyjej ze słym roiem cłowi do lizy dymii sili sycroiczego pierścieiowego Wsęp Aliz dymii sili sycroiczego pierścieiowego...69

4 Spis reści 7... Zsosowie meody speulcyjej Wyii obliczeń Wiosi Meod speulcyj ze zmieym roiem cłowi Zsosowie meody speulcyjej ze zmieym roiem cłowi do lizy dymii sili sycroiczego pierścieiowego Wsęp Zsosowie meody speulcyjej Wyii obliczeń Wiosi Zmodyfiow meod speulcyj lizy sów ieusloyc Wsęp Algorym zmodyfiowej meody speulcyjej Podził cłowiego czsu lizy su ieusloego podprzedziły Wyzczeie wruów począowyc podswie lizy rozwiązń przybliżoyc Wyzczeie wruów począowyc podswie przybliżei wyresu zbieżości rozwiązi fucją wyłdiczą Oreśleie rozwiązi ońcowego Zsosowie meody speulcyjej w lieryzcji globlej Wsęp Nieliiowy model sili prądu słego zsilego z geeror foowoliczego Lieryzcj globl rówń opisującyc sili Zsosowie zmodyfiowej meody speulcyjej - wyzczeie wruów począowyc podswie lizy rozwiązń przybliżoyc Wyii obliczeń Wiosi Zsosowie zmodyfiowej meody speulcyjej - wyzczeie wruów począowyc podswie przybliżei wyresu zbieżości rozwiązi fucją wyłdiczą Wyii obliczeń Wiosi Zsosowie zmodyfiowej meody speulcyjej do lizy sów ieusloyc w liii długiej Wsęp Model liii długiej Zsosowie zmodyfiowej meody speulcyjej Wyii obliczeń Wiosi...5

5 Spis reści 9. Uwgi ońcowe i wiosi... 6 Lierur... 5

6 Wsęp. Wsęp Sy ieusloe wysępują w więszości ułdów eleryczyc - w obwodc RLC ułdc eleromeciczyc mszyy elerycze orz ułdc eleroeergeyczyc. Tie sy prcy mogą wyić z ormlej esplocji powyższyc ułdów p. rozruc siliów eleryczyc zmi wymuszei ułdu lub jego puu prcy że z wysępowi syucji wryjyc p. zwrci w sysemc eleroeergeyczyc. W wielu ułdc zwłszcz uomyi regulcji s ieusloy jes ormlym sem prcy. Aliz sów ieusloyc pełi zem dużą rolę w eleroecice i jes częso przedmioem bdń ego dziłu ui. Zleżie od ypu ułdu eleryczego orz od rodzju zjwis w im wysępującyc sy ieusloe opisywe są przy użyciu rówń różiczowyc ciągłe zmiy zmieyc su lub ułdów rówń różicowyc ułdy dysree. Przedswioe w prcy rozwżi będą doyczyły ułdów ciągłyc opisyc rówimi różiczowymi zwyczjymi lub rówimi różiczowymi cząsowymi zsąpioymi rówimi różiczowymi zwyczjymi poprzez prosymcję pocodyc cząsowyc z pomocą różic sończoyc. W przypdu lizy sów ieusloyc w obwodc eleryczyc zzwyczj sosow jes jed z rzec meod: meod lsycz meod operorow lub meod zmieyc su [] [9] []. Aliz poleg jczęściej zdefiiowiu rówń różiczowyc lub różiczowo-cłowyc opisującyc obwód wyzczeiu wruów omucji sępie rozwiąziu yc rówń jedą z powyższyc meod. Meod lsycz i operorow sosowe są do lizy ułdów liiowyc isiego rzędu. Meod zmieyc su może być sosow zrówo do ułdów liiowyc j i ieliiowyc. Zsosowie w meodzie zmieyc su lgebry mcierzowej do rozwiązywi ułdów liiowyc jes pryczie wyole dl ułdów do rzeciego rzędu. W przypdu ułdów liiowyc wyższyc rzędów i ułdów ieliiowyc jczęściej są sosowe meody umerycze. 6

7 Wsęp Problem rozwiązywi umeryczego rówń su jes zy od brdzo dw oeż isieją wydje meody i lgorymy umerycze przezczoe do ego celu [9] [] [9]. W przypdc gdy obliczie prwej sroy rówi su jes oszowe liczb rówń jes brdzo duż przedził cłowi jes długi ułd rówń wymg wieloroego cłowi lub orzymie dużej dołdości obliczeń i zpewieie ic sbilości wymg brdzo młego rou cłowi wszym jes zsosowie lgorymów rówoległyc rozwiązywi rówń su [85] [9]. Isiejące meody umerycze rozwiązywi rówń su meody rozwiązywi zw. zgdień począowyc rówń różiczowyc zwyczjyc są o w więszości przypdów ypowe meody sewecyje. Wyzczeie w ic wrości zmieyc su w olejym rou wymg zjomości wrości zmieyc su z jedego lub ilu roów bezpośredio poprzedzjącyc. Pomimo ego iż ompuery rówoległe i obliczei rówoległe ze są i sosowe od brdzo dw o liczb lgorymów rówoległyc rozwiązywi zgdień począowyc jes iewiel w porówiu z p. liczbą lgorymów rówoległyc lgebry liiowej [85]. Isiejące lgorymy rówoległe lizy zgdień począowyc w więszości przypdów wymgją omuicji między procesormi w żdym rou obliczeiowym. Opłcle jes zem ic sosowie ylo w sysemc rówoległyc posidjącyc możliwość szybiej wymiy iformcji między procesormi. Od pewego czsu dużą populrość zdobywją obliczei rówoległe wyoywe w sysemc lsrowyc. Klsry zzwyczj ie posidją brdzo szybic ierfejsów sieciowyc. Pojwił się zem oieczość oprcowi ic meod i lgorymów umeryczyc lizy rówń su óre będzie moż wydjie sosowć w sysemc lsrowyc. 7

8 Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc.... Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc opisyc rówimi różiczowymi zwyczjymi.. Wsęp Ułdy elerycze zzwyczj prcują w zw. sie usloym. Ti s prcy obwodu wysępuje w cwili czsu iesończeie odległej od momeu jego powsi []. W przypdu ułdów liiowyc w sie usloym jeśli wymuszei mją crer sły siusoidly lub oresowy o odpowiedzi mją że i sm crer [] [] [9] []. Powyższ defiicj su usloego ie jes ogół prwdziw w przypdu ułdów prmeryczyc i ieliiowyc. Jeśli w obwodzie w cwili lub zcodzą zmiy doyczące prmerów źródeł wrości elemeów obwodu modyficji jego sruury o w obwodzie wysępuje zjwiso zywe omucją [9] [8] []. Komucj sowi zburzeie względem su obwodu wysępującego przed czsem. Po omucji pięci i prądy w obwodzie ie osiągją ycmis wrości usloyc le dopiero po pewym czsie. Zjwis wysępujące w ym czsie w obwodzie zywe są sem ieusloym. Obwód zjduje się w sie ieusloym przy przejściu od jedego su usloego do drugiego [] [9]. S obwodu w cwili w órej sępuje omucj lub zywy jes sem począowym zś wrości pięć elemec i prądów płyącyc przez elemey obwodu - wrumi począowymi. Jeśli wszysie powyższe pięci i prądy mją wrości rówe zeru o wrui począowe zywe są zerowymi w przeciwym przypdu mmy iezerowe wrui począowe. Wysępowie su ieusloego związe jes ze zmimi w czsie eergii pol mgeyczego i eleryczego mgzyowej w elemec L M i C. Eergi ie może zmieić się w sposób soowy gdyż moc cwilow w obwodzie osiągęłby wedy wrość iesończoą co jes fizyczie iemożliwe []. Wyi 8

9 Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc... z ego zsd ciągłości w cwili omucji srumiei ψ sojrzoego z cewą rówowż zsdzie ciągłości prądu eleryczego płyącego przez cewę orz zsd ciągłości łduu eleryczego odesor rówowż zsdzie ciągłości pięci jego zcisc. Powyższe dwie zsdy zywe są prwmi omucji []. Prw e odgrywją dużą rolę w lizie sów ieusloyc obwodów eleryczyc gdyż są wyorzysywe do wyzczi wruów począowyc. W obwodc zwierjącyc wyłączie rezyscje i źródł idele sy ieusloe ie wysępują przejście od jedego su usloego do drugiego zcodzi ycmisowo [9] []. W lizie sów ieusloyc w obwodc eleryczyc sosowe są []:. Meody umerycze - sosowe do lizy ułdów wysoiego rzędu i/lub ułdów ieliiowyc umożliwiją efeywe rozwiązywie wielu problemów dymii lecz orzymywe wyii lizy ie mją posci jwyc wzorów liyczyc.. Meody liycze - sosowe do obwodów liiowyc isic rzędów pozwlją orzymie wyiów lizy w posci jwyc wzorów co umożliwi bdie wpływu prmerów obwodu jego dymię. Przeprowdzjąc lizę su ieusloego zzwyczj wyoywe są rzy roi []:. Oreśleie rówń różiczowyc lub różiczowo-cłowyc opisującyc obwód podswie prw Kircoff i rówń defiicyjyc elemeów R L M i C.. Oreśleie wruów omucji.. Rozwiązie orzymyc rówń różiczowyc sosując jedą z poiższyc meod: 9

10 Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc... - Meodę lsyczą - polegjącą rozwiązywiu rówń różiczowyc z wyorzysiem meod ypowo memyczyc. Meod sosow jes do ułdów opisyc iewielą liczbą rówń różiczowyc. - Meody operorowe - polegjące rozwiązywiu rówń różiczowyc poprzez zsosowie przeszłceń cłowyc. Podobie j meod lsycz sosowe są do ułdów opisyc iewielą liczbą rówń różiczowyc. - Meodę zmieyc su - polegjącą wyorzysiu meod lgebry liiowej do rozwiązywi rówń różiczowyc liiowyc lub meod umeryczyc do rozwiązywi rówń różiczowyc liiowyc orz ieliiowyc. Meod sosow jes do ułdów zwierjącyc dużą liczbę elemeów L M C szczególie do ułdów ieliiowyc. W olejyc rozdziłc screryzowe zosą powyższe rzy meody lizy sów ieusloyc... Meod lsycz Meod lsycz lizy sów ieusloyc [] [] [8] [] [] poleg rozwiązywiu rówń różiczowyc przy zsosowiu meod ypowo memyczyc. Zjąc prmery obwodu moż pisć dl iego rówi pięciowe zgodie z drugim prwem Kicoff orz rówi prądowe zgodie z pierwszym prwem Kircoff. Orzymuje się w e sposób ułd rówń różiczowyc lub różiczowo-cłowyc. W ogólym przypdu jes o iejedorode rówie różiczowe liiowe -ego rzędu o słyc współczyic [] [9] []: d d d d L f. d d gdzie współczyii K zwierją prmery obwodu R L C i M jes iewidomą fucją odpowiedzią ułdu oreśljącą jczęściej wybry prąd lub pięcie zś f jes wymuszeiem będącym jczęściej źródłem pięci lub prądu.

11 Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc... Jeśli dl rówi. oreśloy jes wrue począowy:. o rówie o m zwsze jedozcze rozwiązie. N podswie eorii rówń różiczowyc liiowyc rozwiązie ogóle rówi. moż przedswić w posci sumy lgebriczej dwóc słdowyc:. p u gdzie: p - cł ogól rówi jedorodego zyw słdową przejściową lub swobodą opisuje s ieusloy obwodu u - cł szczegól rówi. zyw słdową wymuszoą lub usloą opisuje s usloy obwodu. Słdową przejściową p oreśl się rozwiązując rówie jedorode: d d usloym. p d d p L p. d p d Cł szczegól u wyzcz jes poprzez rozwiązie obwodu w sie Rówie. moż sprowdzić do rówowżego ułdu rówń rzędu pierwszego óry w posci mcierzowej zpisuje się jo: d d A Bf.5 gdzie T [ K ] - weor odpowiedzi f [ f f f ] K T - weor wymuszeń A B - mcierze współczyiów zś - weor wruów począowyc. Podobie j dl rówi. że i dl ułdu rówń.5 rozwiązie moż przedswić w posci sumy dwóc słdowyc: p.6 u gdzie p - weor słdowyc przejściowyc zś u - weor słdowyc usloyc.

12 jedorode: Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc... Słdową przejściową wyzcz się rozwiązując rówie weorowe p d p d A.7 p z zdym wruiem począowym zś cłę szczególą - p p podswie rozwiązi obwodu w sie usloym... Meod operorow Meod operorow [] [] [8] [] [] lizy sów ieusloyc poleg lgebrizcji rówń różiczowo-cłowyc opisującyc ułd z pomocą przeszłcei Lplce. W prcy [] przedswioo dw lgorymy lizy sów ieusloyc w obwodc eleryczyc meodą operorową rys... Algorym Algorym Scem obwodu wrości elemeów prmery źródeł wrui począowe Scem obwodu wrości elemeów prmery źródeł wrui począowe Oreśleie rówń różiczowyc obwodu w oprciu o prw obwodów Scem obwodu I jego rówi w dziedziie rsform Przeszłceie Lplce rówń różiczowyc Rozwiązie rówń w dziedziie rsform Rozwiązie rówń operorowyc obwodu Odwro rsformcj Lplce - obliczeie przebiegów czsowyc Odwro rsformcj Lplce - obliczeie przebiegów czsowyc Rys.. Algorymy lizy sów ieusloyc w obwodc eleryczyc meodą operorową [].

13 Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc... W lgorymie pierwszym podswie scemu obwodu zpisujemy rówi różiczowe obwodu orz wrui począowe. Nsępie przeprowdzmy obusroą rsformcję Lplce rówń różiczowyc wyzczmy poszuiwe wrości i sosujemy odwroą rsformcję Lplce przecodząc do dziedziy czsu. W drugim lgorymie przedswimy scem obwodu w dziedziie rsform i podswie ego scemu zpisujemy rówi. Nsępie rozwiązujemy rówi operorowe obwodu i sosując odwroą rsformcję Lplce przecodzimy do dziedziy czsu. Przedswijąc scem obwodu w dziedziie rsform sosuje się modele operorowe elemeów obwodu. Opis rezysor w dziedziie czsu i dziedziie rsform jes i sm. W przypdu elemeów L i C mjącyc iezerowe wrui począowe ic modele operorowe uwzględiją e wrui w posci dodowyc źródeł pięciowyc lub prądowyc. Nomis dl cewe sprzężoyc mgeyczie w zsępczym scemcie operorowym pojwiją się źródł serowe. W lizie sów ieusloyc meodą operorową słusze są wszysie wierdzei doyczące lizy obwodów meodą symboliczą [7] [] []: zsd połączei szeregowego i rówoległego elemeów obwodu przeszłcei gwizd-róją i róją-gwizd zsd superpozycji meod prądów oczowyc i meod poecjłów węzłowyc zsd wyodrębii i zsd przeoszei źródeł wierdzei Tevei i wierdzeie Noro. Orygiły fucji operorowyc moż wyzczyć ilom sposobmi []: - używjąc blic rsform i ic orygiłów - meod sosow dl prosyc przyłdów w óryc rsformy przedswie są w posci wysępującej w blicy rsform i ic orygiłów - meodą residuów - sosow w przypdc gdy rsform m posć ułm fucji wymierej órego liczi i miowi są wielomimi zmieej zespoloej s

14 Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc... - podswie wzorów Heviside - meod sosow gdy fucj operorow m bieguy jedoroe i moż ją rozłożyć ułmi prose. Alizując sy ieusloe moż połączyć meodę operorową i meodę lsyczą []. W im przypdu słdową przejściową wyzcz się meodą operorową zś słdową usloą - meodą lsyczą... Meod zmieyc su Meod zmieyc su [] [] [] [59] [6] [] zyw że meodą rówń su lub meodą przesrzei sów ogólie poleg []:. Formułowiu rówń różiczowyc zw. rówń su p. ompuerowo w oprciu o meody opologicze [].. Rozwiąziu rówń su: - meodmi lgebry liiowej dl ułdów liiowyc - meodmi umeryczymi dl ułdów liiowyc i ieliiowyc.. Opcjolym oreśleiu wiosów jościowyc doyczącyc orzymyc rozwiązń rówń su. W prcc [59] [6] jo defiicję su ułdu procesu oreśloo zbiór liiowo iezleżyc wielości K oreśljącyc w pełi sui przeszłyc oddziływń ułd óry jes wysrczjący do wyzczei przebiegów cwilowyc dowolyc wielości w ym ułdzie dl > gdy ze są wymuszei i prmery ego ułdu. Wielości wcodzące w słd ego zbioru zywe są zmieymi lub współrzędymi su omis weor będący zbiorem yc zmieyc zywy jes weorem su. Zbiór wszysic możliwyc wrości weor su worzy przesrzeń sów. Moż spoć że ią defiicję su ułdu [] według órej sem ułdu zywy jes zbiór fucji K pozwljącyc oreślić dymię ułdu dl czsu gdzie jes o umowie przyjęy czs

15 Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc... począowy. Przy iej defiicji weor su będzie weorem złożoym z fucji K. W meodzie zmieyc su ułd liiowy przedswiy jes w zpisie mcierzowym w sępującej posci [] [] [59] [6]: & A Bu y C Du.8 gdzie: - weor su u - weor wymuszeń y - weor wyjść ułdu A - mcierz su obwodu ułdu o wymirze B - mcierz wymuszeń o wymirze p p - liczb wymuszeń C - mcierz odpowiedzi o wymirze q q - liczb wyjść D - mcierz rsmisyj ułdu o wymirze q p. Pierwsze rówie ułdu.8 zywe jes rówiem su zś drugie rówiem wyjści ułdu odpowiedzi. W liiowyc obwodc eleryczyc liczb zmieyc su jes rów liczbie liiowo iezleżyc prądów płyącyc przez iducyjości lub srumiei sojrzoyc z ymi iducyjościmi i pięć pojemościc lub łduów przyporządowyc ym pojemościom []. Wrości zmieyc su dl oreśle są podswie prw omucji. Dl ułdów ieliiowyc zpis rówń su m posć [8] []: & y f u g u.9 gdzie: - weor su u - weor wejść wymuszeń y - weor wyjść odpowiedzi. Rówi su moż formułowć meodą bezpośredią lub meodą deompozycji []. Meod bezpośredi poleg przyjęciu zmieyc su i zmieyc wyjściowyc uworzeiu opisu ułdu z wyorzysiem prw Kircoff i rówń elemeów przeszłceiu rówń do posci ormlej i ic rozwiąziu. Meod w pryce sosow jes do ułdów isiego rzędu. W meodzie deompozycji worzo jes wsęp posć rówń órej weor su złożoy jes ze wszysic pięć pojemościc i wszysic prądów płyącyc 5

16 Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc... przez iducyjości sępie rówi przeszłce są do posci ormlej w órej weor su słd się z liiowo iezleżyc zmieyc su. W przypdu ułdów liiowyc rówi su mogą być rozwiązywe w dziedziie czsu meod mcierzy e A meod digolizcji weorów włsyc meody różicowe lub w dziedziie częsoliwości meod rsformcji Lplce []. Meod mcierzy e A Rozwiązie rówi.8 z zdym wruiem począowym oreśl poiższy wzór [59] [6] [6] [] []: A A e e τ Bu τ dτ. gdzie e A jes mcierzą podswową rzycyją ułdu. Powyższe rozwiązie moż zpisć w posci sumy dwóc słdiów: p. u gdzie: p A e p p. jes weorem słdowej przejściowej odpowiedzi ułdu i zleży ylo od mcierzy rzycyjej i weor wruów począowyc jes rozwiąziem rówi różiczowego jedorodego & A. Nomis jes słdową wymuszoą odpowiedzi zleżą ylo od weor wymuszeń ułdu u. Rozwiązie powyższyc rówń wymg obliczei mcierzy u e A [] [] [6] [6] [] do czego sosowe jes rozwiięcie w szereg iesończoy meod przeszłcei Lplce wzór ierpolcyjy Sylveser lub meod weorów włsyc. 6

17 Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc... Meod digolizcji Meod digolizcji poleg przeszłceiu ułdu rówń su z mcierzą A do iego ułdu rówń su órego mcierz A będzie digol. Rozwiązie orzymego ułdu jes prose gdyż żde rówie może być rozwiązywe iezleżie. Meody różicowe Meody e opierją się różyc sposobc przybliżei pocodyc weor su. Orzymywe rówi różicowe rozwiązywe są jczęściej meodmi umeryczymi. Z ego powodu rozwiązi rówń różicowyc uzysuje się w dysreyc cwilc czsu. Do podswowyc zle meody zmieyc su leżą: - możliwość zsosowi do szeroiej lsy ułdów więc zrówo obwodów liiowyc j i ieliiowyc orz iescjoryc [] []; w odiesieiu do ułdów ieliiowyc jes w zsdzie jedyą możliwą do sosowi w sposób efeywy - względie pros lgorymizcj meod formułowi i rozwiązywi rówń su ułdów o dużej liczbie elemeów dymiczyc L M C [] - możliwość zsosowi eci ompuerowyc do lizy dużyc ułdów eleryczyc [] - łwość oprogrmowi mł złożoość obliczeiow i duż dołdość lgorymów lizy [] []. Do wd meody zmieyc su zlicz się: - iejedozczość opisu z pomocą rówń su [] - rudości z formułowiem rówń su w przypdu ieóryc ułdów ieliiowyc []. 7

18 Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc Podsumowie Meod lsycz lizy sów ieusloyc ułdów eleryczyc jczęściej sosow jes do ułdów liiowyc isic rzędów gdyż rozwiązie ułdów wyższyc rzędów przy jej zsosowiu jes dość rude. Orzyme rozwiązie m posć wzoru liyczego. W przypdu ułdów ieliiowyc meod lsycz umożliwi orzymie rozwiązi liyczego ylo w ieliczyc przypdc. Podobie jes z meodą operorową órą sosuje się ylo do ułdów liiowyc zwierjącyc iewielą liczbą rówń. Meod zmieyc su sosow może być zrówo do ułdów liiowyc j i ieliiowyc. Zsosowie w meodzie zmieyc su lgebry mcierzowej do rozwiązi ułdów liiowyc jes pryczie wyole dl ułdów do rzeciego rzędu. Nomis w przypdu ułdów liiowyc wyższyc rzędów i ułdów ieliiowyc jczęściej sosowe są meody umerycze. Problem umeryczego rozwiązi rówń su jes zy od brdzo dw oeż isieją dobrze oprcowe przeesowe i wydje meody i lgorymy umerycze przezczoe do ego celu. W sępym rozdzile przedswioy zosie przegląd ego ypu meod. W przypdu rozwiązywi ułdów ieliiowyc sosowe są że meody grficze orz meody grficzo-liycze. Meody grficze umożliwiją orzymie iformcji ie ylo ilościowyc wrości bdyc wielości le że jościowyc dymi bdyc ułdów. Moż je sosowć ylo do ułdów ieliiowyc isiego rzędu. W lizie sów ieusloyc ułdów ieliiowyc są sosowe rówież ie meody []:. Meod prosymcji liyczej - poleg prosymcji crerysy elemeów ieliiowyc obwodu z pomocą fucji liyczyc doseczie dobrze przybliżjącyc crerysyi rzeczywise. Fucje prosymujące powiy być sosuowo prose. Sosowe są róże prosymcje: liiow prbolicz szeregiem wyłdiczym szeregiem rygoomeryczym. 8

19 Modelowie i liz sów ieusloyc ułdów eleryczyc.... Meod lieryzcji - poleg przybliżeiu rzeczywisej crerysyi elemeu ieliiowego wysępującego w obwodzie prosą lub ilom odcimi prosej łmą. Dzięi emu rówi różiczowe opisujące s ieusloy sją się rówimi różiczowymi liiowymi do óryc możemy sosowć meody lizy obwodów liiowyc.. Meod iercyj - w meodzie ej rozwiązie wyzcze jes poprzez iercję czyli wieloroe wyoywie yc smyc dziłń memyczyc. Po żdej iercji orzymywe jes lepsze przybliżeie rozwiązi rówi różiczowego. Sąd wzięł się drug zw ej meody - meod olejyc przybliżeń.. Ie meody: meod olejyc odciów prądowyc meod olejyc odciów czsowyc meod płszczyzy fzowej. 9

20 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc. Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc.. Wsęp W rozdzile ym przedswioe zosą sewecyje meody umerycze rozwiązywi rówń su czyli meody rozwiązywi ułdów rówń różiczowyc zwyczjyc g. ODEs - Ordiry Differeil Equios o posci: & f K N & f K N L & f K N N N. z zdym wruiem począowym w pucie : K. N N W przypdu lizy sów ieusloyc umerycze rozwiązie ułdu rówń różiczowyc zwyczjyc m zzwyczj celu wyzczeie wrości rozwiązi w oreśloym przedzile b. Przedswijąc meody umerycze ogriczymy się ylo do jedego rówi gdyż uprszcz o zczie zpis i jes powszecie sosową pryą w lierurze [7]. Rozwiązywe jes zem rówie: d d f b. gdzie jes zym wruiem począowym w pucie. Złdjąc że: - fucj f jes oreślo i ciągł w obszrze b < < gdzie i b są sończoe - isieje sł L > że dl żdego b i dowolyc liczb i zcodzi ierówość wrue Lipsciz:

21 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc f L. f moż udowodić że w przedzile b isieje dołdie jed fucj ciągł i różiczowl spełijąc rówie. z dym wruiem począowym [] [5] [65] [67] [9] [95]. Numerycze rozwiązie rówi. przy zdym wruu począowym zywe jes że umeryczym rozwiąziem zgdiei począowego g. IVP - Iiil Vlue Problem lub umeryczym cłowiem zgdiei począowego [7]. Ogól ide umeryczego cłowi zgdiei począowego jes sępując. Rozpoczyjąc od zej wrości w pucie przecodzimy przez cły przedził b obliczjąc wrości przybliżoe rozwiązi dołdego w wybryc puc K ż do osiągięci ońc przedziłu rys Rys.. Rozwiązie dołde lii ciągł i wrości przybliżoe rozwiązi dołdego w puc K. Obliczeie wrości przybliżoej w olejym pucie zywe jes jedym roiem obliczeń zś sposób obliczei ej wrości wyrżoy jczęściej wzorem w jedym rou - meodą umeryczą [7]. Odległość pomiędzy dwom olejymi pumi K zyw jes długością rou cłowi i ozcz przez. Jeśli odległości pomiędzy wszysimi pumi są ie

22 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc sme cos. o mówimy że obliczei wyoywe są ze słą długością rou cłowi. Jeśli zś odległości e zmieiją się o mmy obliczei ze zmieą długością rou cłowi. Do obliczei wrości przybliżei w pucie wyorzysywe są przybliżei obliczoe we wcześiejszyc puc. Jeśli do wyoi jedego rou obliczeń wyorzysywe jes ylo jedo przybliżeie z poprzediego rou o mówimy że meod umerycz jes meodą jedoroową g. oesep meod. Ozcz o że do obliczei wyorzysujemy wrue począowy do obliczei - uprzedio obliczoą wrość do obliczei - wrość id. W przypdu gdy do wyoi jedego rou obliczeń wyorzysywyc jes li przybliżeń z poprzedic roów o meodę ą zywmy meodą wieloroową g. mulisep meod. Jeśli będzie o przybliżeń o mówimy że jes o meod -roow. Meody w óryc pody wzór pozwl od rzu wyzczyć wrość zywe są meodmi jwymi esrpolcyjymi lub owrymi g. eplici meods zś meody w óryc obliczeie wymg dodowo rozwiązi ieliiowego rówi lgebriczego prw sro wzoru meody zwier zmiee wysępujące po lewej sroie zywe są meodmi iejwymi ierpolcyjymi lub zmięymi g. implici meods. Pryczą relizcją meod wieloroowyc iejwyc są zw. meody predyor-oreor g. predicor-correcor meods. Jeśli we wzorc meody liczb zmieyc pośredic jes ie więsz od jedej o meodę zywmy jedoepową g. oesge meod w przeciwym przypdu - wieloepową g. mulisge meod. Wyzczie olejyc wrości rozwiązi przybliżoego obrczoe jes błędem. W lizie meod cłowi zgdiei począowego zsdiczo ie lizuje się błędu cłowiego gdyż jes o dość rude i m iewielie zczeie prycze [7]. Poddje się omis lizie błąd zywy błędem prosymcji błędem odcięci lolym błędem obcięci. Błąd e defiiowy jes jo różic wrości rozwiązi dołdego w pucie i rozwiązi umeryczego w ym smym pucie []. Przyjmuje się przy ym że dl cwili wyrżeie jes rozwiąziem dołdym. Błąd prosymcji jes zem błędem ji

23 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc wosi sm meod w jedym rou obliczeń bez uwzględii wpływu błędów popełioyc we wcześiejszyc roc [7]. Błąd prosymcji wyorzysywy jes częso w meodc ze zmieym roiem cłowi do regulcji długości ego rou. Poz błędem prosymcji isieją że błędy wyijące z reprezecji liczb w rymeyce dej mszyy cyfrowej błędy zorągleń. Wielość ego błędu jes zzwyczj o wiele rzędów miejsz od wielości błędu prosymcji i w więszości rozwżń ie jes uwzględi [7] cociż może mieć zczeie w przypdu brdzo dużej liczby roów obliczeiowyc. W olejyc rozdziłc przedswioe zosą jczęściej sosowe i jbrdziej populre meody jedoroowe i wieloroowe orz meody predyororeor przezczoe do cłowi zgdień począowyc... Meody jedoroowe Meody jedoroowe [] [5] [7] [95] są o meody w óryc do obliczei wrości przybliżoej w pucie wyorzysywe jes ylo jedo przybliżeie w pucie z rou bezpośredio poprzedzjącego. Więszość meod jedoroowyc swój rodowód m w rozwiięciu w szereg Tylor. Meod rozwiięci w szereg Tylor Meod rozwiięci w szereg Tylor meod Tylor [] [] [] [7] [9] powsje poprzez rozwiięcie rozwiązi dołdego w szereg Tylor w ooczeiu puu i obliczeiu rozwiięci dl. Po zsąpieiu rozwiązi dołdego przez rozwiązie przybliżoe orzymujemy wzór ogóly meody Tylor []: p p f f K f.5!! p! Rówie.5 jes częso przedswie w sępującej posci [] []: gdzie: Tp ;.6

24 T p Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc p p ; f f K f.7! p! Ogriczjąc liczbę człoów rozwiięci do p orzymujemy meodę p-ego rzędu. Dl p jes o jed z jprosszyc meod - meod Euler. Przyjmując omis p orzymujemy meodę Tylor rzędu drugiego zw. ulepszoą meodę Euler [] [] [8] [96]: f [ f f f ].8 gdzie f i f są pocodymi cząsowymi odpowiedio po i. Koieczość obliczi pocodyc cząsowyc jes jwięszą wdą ej meody i z ego względu meod Tylor ie jes pryczie sosow []. Meod Euler Esrpolcyj meod Euler meod łmyc [] [] [] [5] [67] [75] [95] [97] [98] jes jprosszą meodą cłowi zgdień począowyc. Wyorzysuje o ylo dw pierwsze wyrzy rozwiięci w szereg Tylor: f.9 Powyższy wzór moż orzymć że w iy sposób p. poprzez prosymcję pocodej w pucie z pomocą ilorzu różicowego / [5] [96]. W pryce meod Euler jes rzdo sosow gdyż jes brdzo wolo zbież i orzymie dobrej dołdości obliczeń wymg brdzo młego rou [5]. Zwięszeie liczby roów powoduje omis rsie błędów zorągleń. Meody Rugego-Kuy Meody Rugego-Kuy [] [] [] [7] [75] [85] powsją z rozwiięci w szereg Tylor poprzez zsąpieie Tp ; z rówi.6 ią fucją K p ; dl órej ie jes wymg zjomość pocodyc cząsowyc f orz ór zpewi e sm rząd wrości błędu odcięci co odpowiedi lgorym Tylor [].

25 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc 5 Meody Rugego-Kuy oreśle są wzorem ogólym [65] [7] [8] [97]: > i dl c f f w i i j j ij i p i i i. gdzie p i zywe jes rzędem meody Rugego-Kuy zś w i ij c i są odpowiedimi współczyimi liczbowymi. Współczyii e mogą być oreśle w róży sposób oeż isieją róże meody Rugego-Kuy ego smego rzędu [67] [7] [89]. Poiżej przedswioe są jczęściej sosowe wzory meod Rugego- Kuy dl p : dl p orzymujemy meodę Euler oreśloą wzorem.9. dl p orzymujemy meodę drugiego rzędu meodę Heu zmodyfiowy lgorym rpezów [] [7] [8] [9] [] [] [5] [97]: / f f. dl p orzymujemy meodę rzeciego rzędu [7] [8] [9]: 6 / / / f f f. dl p orzymujemy meodę czwrego rzędu [] [7] [8] [9] [8] [] [8]: 6 / / / / / f f f f. Meod czwrego rzędu jes jpopulriejszą i jczęściej sosową meodą Rugego-Kuy zpewijącą dobrą dołdość obliczeń przy sosuowo dużyc wrościc rou. Wdą ej meody jes oieczość czeroroego obliczi

26 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc wrości fucji f w czsie żdego rou. Dodowo wrości e ie są wyorzysywe w żdyc sępyc obliczeic. Wzór. jes lsyczym wzorem meody Rugego-Kuy czwrego rzędu. Oprócz iego moż spoć że ie wzory meody ego smego rzędu p. wzór rzec-ósmyc Gill Rlso [] [8] [9]. Zsosowie zmieego rou cłowi w meodc Rugego-Kuy wymg sprwdzei po żdym rou obliczeiowym czy dl przyjęego rou orzyme rozwiązie jes wysrczjąco dołde. Njczęściej sosowym sposobem szcowi błędu i rozsrzygi o dołdości obliczeń jes esrpolcj [7]. Ide ego sposobu poleg wyoiu obliczeń z roiem sępie wyoiu dwuroie obliczeń z roiem / i porówiu orzymyc wyiów. Powyższ meod zyw jes że zsdą Rugego [] [7]. W im przypdu oszcowie błędu m posć [] [] [5] [95]: / R. p gdzie: / - wrość orzym podczs dwuroyc obliczeń z roiem / - wrość orzym podczs obliczeń z roiem p - rząd meody. W meodzie Rugego-Kuy czwrego rzędu lgorym oszcowi błędu orz wyboru rou cłowi jes sępujący [] [7]. N podswie wzoru. szcujemy błąd:.5 5 R / Nsępie przyjmujemy ryerium błędu względego: R < m eps.6 gdzie eps jes złożoą olercją błędu m jwięszą co do modułu z doycczs obliczoyc wrości rozwiązi. Jeśli powyższe ryerium jes spełioe o długość rou jes zcepow i jo wrość ońcową przyjmuje się: 6

27 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc 6 /.7 5 Dodowo jeśli sosue błędu R do m jes dużo miejszy od eps o ro jes zwięszy. Jeśli ryerium błędu ie jes spełioe o sępuje zmiejszeie długości rou cłowi i powórzeie obliczeń dl owej odpowiedio miejszej wrości. W jprosszym przypdu przy zwięsziu rou jo owy ro przyjmuje się zś przy zmiejsziu - /. Ie meody oreśli długości rou cłowi podswie esrpolcji przedswioo w prcc [7] [8] [9] [5] [] [86] [95] [96]. Esrpolcj ie jes jedyą meodą oszcowi błędu prosymcji w meodc Rugego-Kuy. W olejyc puc przedswioe zosą meody Rugego-Kuy-Felberg i Rugego-Kuy-Merso w óryc oszcowie o odbyw się w iy sposób. Meod Rugego-Kuy-Felberg W meodzie Rugego-Kuy-Felberg [7] [8] [9] [] [6] [7] [7] [7] [88] [96] zsosowo sposób szcowi błędu relizowy z pomocą meod włożoyc g. embeddig meods. Są o meody w óryc łd obliczeń iezbędy do uzysi wyiu z pomocą meody rzędu p wysrcz do uzysi wyiu z pomocą meody rzędu p [7]. Obliczoe wrości współczyiów wyorzysywe są do wyzczei wrości w olejym pucie orz do oszcowi błędu prosymcji. Poiżej przedswioe są przyłdowe meody włożoe wrz z błędmi prosymcji R [7] [8] [9] [7] [88]: pr meod włożoyc pierwszego i drugiego rzędu: f f / / f / / 56 R / 5 5 / 5.8 7

28 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc 8 pr meod włożoyc drugiego i rzeciego rzędu: 6 / / /58 5 / /78 /89 65 / /89 / 7 /8 79 /8 89 / / R f f f f.9 pr meod włożoyc czwrego i piąego rzędu: / 55 / 5 9 / / /5 6 / 55 / 5 75 / / 8 / 6 / / / / 5 7 / 8 / 85 / / 9 / 97 / / 7 97 / 9 /8 / 9 / / / R f f f f f f. Njczęściej sosow jes osi pr meod włożoyc - czwrego i piąego rzędu. Wyoie jedego rou obliczeń z pomocą ej pry wymg sześciu obliczeń wrości fucji prwej sroy przy czym od rzu orzymujemy oszcowie błędu prosymcji. Przyłdowe lgorymy meody Rugego-Kuy-Felberg ze zmią długości rou cłowi zosły przedswioe w prcc [7] [8] [9] [7]. Meod Rugego-Kuy-Merso Meod Rugego-Kuy-Merso [7] [9] jes udosoloą pięcioepową wersją meody Rugego-Kuy czwrego rzędu: 6 / / / / /8 /8 / / 6 6 / / / 5 5 f f f f f. Błąd prosymcji dl ej meody wyosi: / R.

29 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc Dużą zleą meody Rugego-Kuy-Merso jes o że do oszcowi błędu prosymcji wyorzysuje się już obliczoe współczyii 5. Jes o brdzo wygody i eoomiczy sposób obliczi błędu prosymcji. Zsosowie zmieego rou cłowi w meodzie Rugego-Kuy- Merso przedswioo w prcy [9]. Przed żdą iercją błąd prosymcji R porówywy jes z wymgą dołdością względą eps. Jeśli R > eps o obliczei są powrze z roiem dwuroie rószym. Gdy R < eps / o sępuje podwojeie długości rou. W pozosłyc przypdc długość rou ie uleg zmiie. Przedswioe powyżej meody Rugego-Kuy są o meody jwe. Oprócz ic sosowe są że iejwe meody Rugego-Kuy [6] [7]... Meody wieloroowe Meody wieloroowe creryzują się ym że w celu wyoi jedego rou obliczeń wyorzysywe są przybliżei obliczoe w ilu olejyc bezpośredio poprzedzjącyc roc [7] [75]. Jeśli wyorzysujemy olejyc przybliżeń o mówimy że meod jes -roow. Meody wieloroowe opre są ierpolcji wielomiowej. Wzór ogóly meody wieloroowej m posć [6] [] [65] [88] [97]: i i bi f i i i i gdzie i i b i są odpowiedimi współczyimi liczbowymi.. Jeśli we wzorze. b o meod jes jw jeśli b o meod jes iejw. Rozpoczęcie obliczeń w meodzie -roowej wymg zjomości K. Wrue począowy jes zy z złożei omis pozosłe wrości muszą być obliczoe. W przypdu meody jwej wyoie jedego rou obliczeń jes prose - od rzu orzymujemy poszuiwą wrość. Gdy sosujemy 9

30 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc meodę iejwą o wyzczeie wrości jes brdziej sompliowe gdyż musimy dodowo rozwiązć ieliiowe rówie lgebricze o posci [7]: C b f. gdzie C jes sumą słdiów zwierjącyc współczyii b i K. i i Do rozwiązi ego rówi jczęściej sosow jes meod iercji prosej lub meod Newo [7]. Njbrdziej zymi meodmi wieloroowymi są: jw meod Adms- Bsfor iejw meod Adms-Moulo i meod wseczego różiczowi. Meod Adms-Bsfor Meod Adms-Bsfor [] [7] [8] [9] [] [] [7] [97] jes meodą wieloroową jwą. Wzór ogóly meody jes sępujący [7]: bi f i i i.5 gdzie b i są odpowiedimi współczyimi liczbowymi. Dl olejyc wrości orzymujemy meody: dl orzymujemy meodę Euler opisą wzorem.9 dl orzymujemy meodę dwuroową: [ f f ]/.6 dl orzymujemy meodę rzyroową: [ f 6 f 5 f ]/.7 dl orzymujemy meodę czeroroową: [55 f 59 f 7 f 9 f ]/.8

31 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc dl 5 orzymujemy meodę pięcioroową: 7 ]/ [9 f f f f f.9 dl 6 orzymujemy meodę sześcioroową: ]/ [ f f f f f f. Meod Adms-Moulo Meod Adms-Moulo [7] [8] [9] [7] [97] jes meodą wieloroową iejwą. Wzór ogóly meody jes sępujący [7]: i i i i f b *. gdzie * i b są odpowiedimi współczyimi liczbowymi. Dl olejyc wrości orzymujemy meody: dl orzymujemy meodę ierpolcyją Euler pierwszego rzędu wseczą meodę Euler []: f. dl orzymujemy meodę jedoroową zw. meodę rpezów [] [] [97]: [ ] / f f. dl orzymujemy meodę dwuroową: [ ] / 8 5 f f f. dl orzymujemy meodę rzyroową: ]/ 5 9 [9 f f f f.5 dl orzymujemy meodę czeroroową:

32 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc [5 f 6 f 66 f 6 f 9 f ]/ 7.6 dl 5 orzymujemy meodę pięcioroową: [75 f 8 f 7 f 7 f 798 f 7 f ]/.7 Meod wseczego różiczowi Meod wseczego różiczowi [7] [88] powsje poprzez przybliżeie rozwiązi zgdiei począowego z pomocą odpowiediego wielomiu ierpolcyjego sępie przybliżeiu pocodej rozwiązi z pomocą pocodej ego wielomiu. Wzór ogóly jwej meody wseczego różiczowi m posć: ii b f.8 i gdzie i i b są odpowiedimi współczyimi liczbowymi [7] [88] p.: dl : f.9 dl : f. dl : / / f. Wzór ogóly iejwej meody wseczego różiczowi meody Ger m posć [7] [7] []: gdzie i i i * * b f. * i i * b są odpowiedimi współczyimi liczbowymi [7] [88] p.: dl : f. dl : / / / f. dl : 8 / 9 / / 6/ f.5

33 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc Meod Ger przezczo jes do rozwiązywi ułdów źle uwruowyc. W prcy [7] przedswioo lgorym Ger umożliwijący dobór rou cłowi i rzędu meody... Meody predyor-oreor Meod predyor-oreor esrpolcyjo-ierpolcyj [] [] [7] [89] jes sposobem relizcji meody wieloroowej iejwej. Słd się z dwóc epów. Pierwszy ep obliczeń zywy jes predycją sępuje w im obliczeie przybliżei począowego z pomocą meody jwej. Drugi ep obliczeń zywy jes orecją sępuje w im wyoie ilu iercji z pomocą meody iejwej jczęściej jes o od do iercji. Oreśle są dw podswowe ypy lgorymów predyor-oreor [7] [88]: meod ypu PEC m E posci: P: i i m i i i m i i f b ] [ * ] [ * [] E: ] [ ] [ s s f f C: i s i m i i i m i i s f b f b ] [ ] [ ] [ ] [ E: ] [ ] [ m m f f.6 dl... m s meod ypu PEC m posci: P: i i m i i i m i i f b ] [ * ] [ * [] E: ] [ ] [ s s f f C: i s i m i i i m i i s f b f b ] [ ] [ ] [ ] [.7 dl... m s

34 gdzie Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc * i i b * i są współczyimi meody jwej i b i - współczyimi meody iejwej zś symbole PCE ozczją: P - predycj j. oreśleie przybliżei począowego z pomocą meody jwej C - orecj j. wyoie m iercji z pomocą meody iejwej E - obliczeie prwej sroy rówi różiczowego. Przyłdmi meod ypu predyor-oreor są: meod Adms w posci lgorymu Krog orz meod Adms i meod wseczego różiczowi w posci lgorymu Ger. Meod Adms [7] jes meodą predyor-oreor ypu P EC E dl órej predyorem jes -roow meod Adms-Bsfor oreorem -roow meod Adms-Moulo. Meod jczęściej sosow jes w posci lgorymu Krog umożliwijącego zmię długości rou cłowi i rzędu prosymcji orz zwierjącego efeywy sposób oszcowi błędu. Algorym Ger [] [] [7] jes relizcją meody predyor-oreor dl meody Adms i meody wseczego różiczowi. Jes o jede lgorym różiący się dl powyższyc meod jedyie wrościmi liczbowymi pewyc współczyiów. Przedswioy zosł w posci procedury DIFSUB w języu Forr []. Meod Adms zrelizow zosł z pomocą meody predyor-oreor ypu PEC m. Rząd prosymcji meody Adms moż zmieić w zresie od do 7. Dl predyorem jes jedoroow meod Adms-Bsfor meod Euler oreorem jedoroow meod Adms-Moulo wsecz meod Euler. Dl predyorem jes -roow meod Adms-Bsfor zś oreorem --roow meod Adms-Moulo. Meod wseczego różiczowi że zrelizow zosł jo meod predyor-oreor ypu PEC m. Rząd prosymcji dl ej meody moż zmieić w zresie od do 6. Predyorem jes -roow meod jw zś oreorem jes -roow meod iejw wseczego różiczowi. W lgorymie Ger zsosow zosł eci ierpolcyj zmiy długości rou cłowi oreśl jo sposób Nordsiec zmiy długości rou [7]. Procedur DIFSUB jes brdzo dobr do rozwiązywi ułdów źle uwruowyc ypu siff.

35 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc Do iyc meod ypu predyor-oreor leżą że: meod Hmmig órej lgorym wrz z wyborem rou cłowi przedswioo w prcy [] orz meod Mile [89]..5. Podsumowie Oprócz przedswioyc w poprzedic rozdziłc meod jedoroowyc i wieloroowyc orz meod ypu predyor-oreor wysępują że ie meody. Wśród ic jbrdziej populre są meody esrpolcyje p. meod Grgg- Bulirsc-Soer GBS [7] [96]. Jes o jedy meod esrpolcyj sosow w pryce. W meodzie ej cłowie umerycze jes wyoywe z pomocą meody Grgg zś esrpolcj relizuje się z pomocą lgorymu Bulirsc i Soer. Progrm relizujący lgorym meody przedswioy jes w prcc [8] [9] []. Meod jes prcocło gdyż liczb obliczeń prwej sroy jes duż oeż sosow jes ylo w przypdu gdy obliczie prwej sroy ie jes oszowe. Poz meodmi esrpolcyjymi sosow jes rówież meod Rosebroc orz meody ybrydowe [7] będące połączeiem meod wieloroowyc i meod Rugego-Kuy. Isieją że meody półliycze rozwiązywi rówń różiczowyc. Do meod yc leżą [67] [75] [89]: meod współczyiów ieozczoyc meod olejego różiczowi meod jedego puu orz meod olejyc przybliżeń - Picrd. Przedswioe meody creryzują się oreśloymi włsościmi óre deermiują zsosowie dej meody do rozwiązi oreśloego problemu. Meody Rugego-Kuy są meodmi smosrującymi z. ie wymgją dodowyc obliczeń w celu wyoi jedego rou. Jedże wdą yc meod j i więszości meod jedoroowyc jes duży osz obliczeń dużą dołdość moż uzysć ylo przy sosowiu młej długości roów [95] orz rudości w oszcowiu błędu. Zsosowie meody rzędu p wymg co jmiej p-roego obliczei w jedym rou fucji prwej sroy rówi różiczowego. Meody 5

36 Sewecyje meody umerycze lizy sów ieusloyc Rugego-Kuy ie dją się do sosowi w przypdu ułdów źle uwruowyc gdyż mją sończoy i mły obszr sbilości bsoluej. Zleą meod wieloroowyc jes iewiel liczb obliczeń - w żdym rou prw sro rówi różiczowego musi być oblicz ylo rz. Zle ujwi się szczególie w przypdu meod ze zmieą długością rou cłowi. Do iedw z główą wdę meod wieloroowyc uwżo o że ie były o meody smosrujące. Rozpoczęcie obliczeń w meodzie -roowej wymg uprzediego oreślei przybliżeń począowyc K. Sosowo do ego celu p. meodę Rugego-Kuy lub rozwiięcie fucji w szereg Tylor w ooczeiu puu [65]. Obecie sosowe lgorymy wieloroowe są smosrujące dzięi możliwości zmiy rzędu meody. W im przypdu w pierwszym rou obliczeń sosow jes meod jedoroow w drugim dwuroow id. [7]. 6

37 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc. Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc.. Wsęp Opise w poprzedim rozdzile meody umerycze rozwiązywi rówń su są o meody sewecyje. W meodc yc wyzczeie wrości rozwiązi przybliżoego w pucie wymg zjomości przybliżeń z jedego lub ilu puów poprzedzjącyc. W przypdu dużyc ułdów rówń zwłszcz ieliiowyc orzymie umeryczego rozwiązi w rozsądym czsie wymg zsosowi sysemu ompuerowego o dużej wydjości orz odpowiediego lgorymu umeryczego. Dużą wydjość może zpewić zsosowie ompuer rówoległego lub sysemu lser. Pomimo ego iż ompuery rówoległe sosowe są już od wielu l o liczb lgorymów rówoległyc rozwiązywi zgdień począowyc ułdów rówń różiczowyc jes sosuowo mł w porówiu z p. liczbą lgorymów rówoległyc lgebry liiowej [6] [85]. Zsosowie lgorymów rówoległyc mówiąc ogóliej - progrmowi rówoległego w lizie zgdień począowyc jes opłcle gdy [6] [8] [85] [9]: - obliczie fucji prwej sroy rówi różiczowego jes oszowe p. gdy wymg rozwiązi dodowego problemu - liczb rówń ułdu jes brdzo duż p. w przesrzeej dysreyzcji rówń różiczowyc cząsowyc lub w lizie dużyc ułdów eleryczyc - przedził cłowi b jes długi - ułd rówń różiczowyc musi być wieloroie cłowy p. przy dopsowywiu prmerów ułdu lub w zdic opymlizcji - orzymie dobrej dołdości obliczeń wymg zsosowi brdzo młego rou cłowi. 7

38 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc Spełieie przyjmiej jedego z powyższyc wruów umożliwi orzymie wydjego lgorymu rówoległego. Jedże oprcowie iego lgorymu jes dużo brdziej sompliowe iż oprcowie lgorymu sewecyjego gdyż wymg uwzględiei i rozwiązi ilu dodowyc problemów do óryc leżą [5] [85]: - uomycze rówowżeie obciążei g. lod blcig procesorów wyoującyc obliczei - uiie zleszczeń g. dedloc czyli syucji w óryc wszysie procesory z pewego zbioru procesorów są zbloowe i oczeują zdrzeie óre może być spowodowe ylo przez jiś iy procesor z ego zbioru [] - wybór sposobu omuicji między procesormi sycroicz lub sycroicz - uiie wąsic grdeł g. boleec w omuicji między procesormi óre w zczący sposób obiżją wydjość lgorymu - zsosowie odpowiedic zgdień esowyc gdyż zbiory esów przezczoe dl lgorymów sewecyjyc ie mją zzwyczj wysrczjąco dużej liczby rówń orz odpowiedio długic przedziłów cłowi. Isieją dw podswowe podejści [85] do oprcowi lgorymów rówoległyc. W pierwszym z ic lsycze i dobrze ze meody óre są zby oszowe w obliczeic sewecyjyc zosją poowie przelizowe i odpowiedio przeszłcoe przy uwzględieiu ic wewęrzej rówoległości. Drugie podejście poleg omis oprcowiu zupełie owyc lgorymów umeryczyc. Te drugi sposób jes dużo brdziej przyszłościowy gdyż umożliwi dodowo uwzględieie ury rozwżego zgdiei orz crerysyi docelowej rcieury rówoległej. 8

39 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc W prcy [85] przedswioo brdziej szczegółową -poziomową ierrcię zrówolegli meod lizy zgdień począowyc: Poziom - zrówoleglie progrmów sewecyjyc. Zrówoleglie progrmów sewecyjyc odbyw się przy wyorzysiu odpowiedic ompilorów sosowe jes do lgorymów już zimplemeowyc jo progrmy sewecyje. Wdą ej meody jes możliwość uomyczego zrówoleglei ylo pewyc części progrmu pęle obliczie dużyc i długic wyrżeń rymeyczyc. Częso ompilory ego ypu dopuszczją sosowie odpowiedic dyreyw zrówolegljącyc wpisywyc przez progrmisę do progrmów sewecyjyc [6]. N zwyłyc z. ierówoległyc ompuerc dyreywy e mogą być rowe j omerze wówczs od jes przeośy - ie rzeb pisć odrębyc progrmów róże mszyy. Poziom - zrówoleglie lgorymów sewecyjyc. Zrówoleglie lgorymów sewecyjyc poleg lizie i zrówolegliu sewecyjego odu bezpośredio przez progrmisę. Umożliwi o orzymie wysoiego sopi zrówoleglei. Njwięsze problemy mogą pojwić się omis przy rówoległej implemecji lgorymów zmiy rou cłowi. Poziom - modyficj lgorymów sewecyjyc. Meod poleg modyficji już isiejącyc lgorymów lub oprcowiu owyc lgorymów w celu opymlego wyorzysi ompuerów rówoległyc. Poziom - deompozycj problemu. Deompozycj problemu poleg podzile lizowego ułdu miejsze części zwierjące jedo lub il rówń. Kżd z powsłyc części row jes oddzielie do jej cłowi moż zsosowć iy ro cłowi rząd meody orz dodowe prmery dososowe do włściwości rozprywej części. Pierwsze bdi doyczące rówoległyc lgorymów rozwiązywi zgdień począowyc prowdzoe były m.i. przez C.W. Ger. W prcc [5] 9

40 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc [6] wprowdził o lsyficję lgorymów rówoległyc wyróżijąc dwie ic grupy:. Rówoległość ułdu zgdiei g. prllelism cross e sysem - problem lub rówoległość przesrzei g. prllelism cross spce.. Rówoległość meody g. prllelism cross e meod lub rówoległość czsu g. prllelism cross ime. W późiejszyc publicjc iyc uorów [5] [6] [9] [85] podził e zosł rozszerzoy do rzec grup:. Rówoległość ułdu przesrzei g. prllelism cross e sysem - spce - jes o rówoległość obliczi prwej sroy rówi różiczowego. Ozcz podzieleie ułdu rówń różiczowyc bloi słdjące się z jedego lub ilu rówń przypisie bloów do procesorów i wyoie rówolegle obliczeń.. Rówoległość meody g. prllelism cross e meod - ozcz przypisie różyc części lgorymu meody umeryczej do różyc procesorów.. Rówoległość czsu roów g. prllelism cross ime - seps - ozcz możliwość jedoczesego obliczi dużej liczby roów cłowi. Rzeczywise lgorymy mogą wyorzysywć jedocześie wszysie rzy podejści [6] [7]. W olejyc rozdziłc przedswioe zosą rzy powyższe grupy meod lizy zgdień począowyc przy czym leży zwrócić uwgę o że: - więszość dosępej lierury poświęco jes oprcowiu użyeczyc meod umeryczyc bruje omis opisu efeywyc implemecji yc meod i ic porówi - w polsojęzyczej lierurze poświęcoej progrmowiu rówoległemu i rozproszoemu [] [] [6] [68] [7] [] ie są przedswie rówoległe meody umerycze rozwiązywi zgdień począowyc -

41 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc z ego względu opisując poszczególe meody w części przypdów podo ylo ic gielsie zwy - przy przedswieiu meod opis zosie ylo ic ogól zsd dziłi ie będą omis przedswie oree wzory gdyż ie moż j w przypdu meod sewecyjyc wyróżić jczęściej sosowyc i jbrdziej populryc meod... Rówoległość ułdu Rówoległość ułdu g. prllelism cross e sysem jes ypem lgorymów rówoległyc opryc rozdzieleiu obliczi fucji prwej sroy rówi różiczowego procesory. Ułd rówń różiczowyc dzieloy jes bloi przydziele do rozwiązującyc je procesorów. Liczb bloów zleż jes od liczby dosępyc procesorów orz liczby rówń worzącyc orygily ułd. Z uwgi o lgorymy ego ypu jlepiej dją się do sosowi w dużyc sysemc g. lrge-scle prllelism [6] [9] słdjącyc się z dużej liczby rówń. Jeśli bloi powsłe po podzile są iezleże o mogą być rozwiązywe iezleżie od siebie przy zsosowiu różyc meod umeryczyc p. już isiejącyc meod sewecyjyc. Zleą iej syucji jes br opóźień w omuicji między procesormi. Ger [5] podzielił ułdy rówń przezczoe do rozwiązywi ego ypu lgorymmi rówoległymi dwie grupy:. Ułdy omogeicze - wszysie bloi mją podobą sruurę. Czs obliczeń w jedym rou w żdym blou jes i sm więc obliczei są brdzo efeywe. Ułdy o iej sruurze powsją m.i. po dysreyzcji rówń różiczowyc cząsowyc.. Ułdy eerogeicze - ułdy o ieregulrej sruurze. Czs obliczeń w poszczególyc bloc różi się zem dużym problemem sje się rówomiere obciążeie procesorów omuicj między imi

42 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc i sycroizcj. Ułdy eerogeicze jczęściej wysępują podczs modelowi ułdów VLSI. Zsosowie rówoległości ułdu jes efeywe w meodc jwyc w óryc wysępuje częse obliczie prwej sroy rówi różiczowego omis ie jes efeywe w meodc iejwyc wymgjącyc dużej ilości omuicji między procesormi w żdym rou cłowi. Wśród meod relizującyc rówoległość ułdu jedą z główyc grup są meody oreśle jo mulire meods [85]. Ogól ic ide poleg deompozycji ułdu rówń bloi w zleżości od szybości zmi zmieyc su. M o szczególie zczeie w przypdu ułdów źle uwruowyc ypu siff w óryc zmiee su mją brdzo różiące się słe czsowe. Podzieloy ułd rozwiązywy jes przy zsosowiu różyc meod umeryczyc i przy różyc długościc rou cłowi dososowyc do szybości zmi zmieyc su. Obliczei w poszczególyc podułdc są sycroizowe w e sposób że dłuższe roi cłowi są zwsze wieloroością jmiejszego rou. Przyłdmi ego ypu meod są [85]: odsprzężo iejw meod Euler g. decoupled implici Euler meod odsprzężoy scem różic wseczyc g. decoupled bcwrd differeiio sceme i esrpolcyj odsprzężo iejw meod Euler g. erpoled decoupled implici Euler meod. Mulire meods są preursormi ogóliejszej lsy meod deompozycji órej jbrdziej zym przedswicielem jes meod relscyj g. wveform relio meod [6]. Meod zlicz jes że do grupy meod relizującyc rówoległość czsu i m zosie szczegółowo opis... Rówoległość meody W lgorymc relizującyc rówoległość meody g. prllelism cross e meod sępuje przypisie różyc części lgorymu meody do różyc procesorów. Może o p. doyczyć wieloroego obliczi fucji prwej sroy rówi różiczowego w jedym rou cłowi [8] [9].

43 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc Meody ego ypu moż podzielić dwie egorie [85]:. Do pierwszej leżą lgorymy w óryc rówolegle wyoywe są pewe epy meod wyijące bezpośredio z ic wzorów. Zleą iego podejści jes iezleżość sopi rówoległości od rozmiru rozwiązywego ułdu orz br problemów z rówowżeiem obciążei procesorów. Wdą jes omis iewieli sopień rówoległości zleży od zsosowej meody umeryczej ym smym iewielie przyspieszeie obliczeń.. W drugiej grupie zjdują się meody w óryc obliczei wyoywe są rówolegle w podprzedziłc powsłyc po podzile przedziłu cłowi. W meodc yc rudo jes orzymć wysoi sopień rówoległości cyb że wyoywyc jes brdzo dużo dmirowyc obliczeń p. meod deompozycji domey zpropoow przez Nivergel [79]. Meody ego ypu mją ses pryczy jeśli uzys się przyspieszeie obliczeń. Meody leżące do ej grupy przezczoe są dl młej sli rówoległości g. smll-scle prllelism czyli gdy do obliczeń wyorzysywyc jes od do procesorów wymgjącyc dodowo brdzo szybiej omuicji [9]. Czsmi meody ego ypu sosowe są w celu zwięszei dołdości rozwiązi orzymywego w ym smym czsie co miej dołde meody sewecyje. Rówoległość meody relizow jes w meodc bezpośredic jwe i iejwe meody Rugego-Kuy scemy ierpolcyje meody bloowe i meodc iercyjyc rówoległe scemy predyor-oreor iejwe meody bloowe meod iercyjej orecji błędu - g. iered defec correcio meod óre zosą opise poiżej. Meody bezpośredie g. direc meods - meody Rugego-Kuy Sewecyje meody bezpośredie ie mogą być zrówolegle bez odpowiediej modyficji ic lgorymów. Rówoległe obliczie ilu fucji prwej sroy rówi różiczowego różyc procesorc jes możliwe do relizcji m.i. w wieloepowyc meodc Rugego-Kuy. Meody e są zsdiczo sewecyje

44 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc le w ieóryc przypdc moż wyodrębić dw lub więcej epów óre d się wyoć rówolegle. W im przypdu przeprowdz jes liz polegjąc zpisiu współczyiów liczbowyc meody w odpowiediej beli i sprwdzeiu zleżości pomiędzy olejymi epmi meody. Meodę Rugego-Kuy opisą ogólymi wzormi. moż przedswić w posci sępującej beli [8]: p pp p p p w w c c L L M L M M L Rozprzmy lsyczy wzór meody Rugego-Kuy czwrego rzędu. dl órego p. Powyższ bel w im przypdu m posć: w w w w c c c c Zś wzór ogóly meody. dl p : w w w w c f c f c f f. Porówując powyższy wzór ogóly z lsyczym wzorem meody czwrego rzędu. orzymujemy sępującą belę współczyiów: 6 / / / 6 / / /

45 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc Meody powyższej ie moż zrówoleglić sosując rówoległość meody gdyż do obliczei rzeb zć iformuje o ym współczyi w drugim wierszu beli do obliczei rzeb zć do obliczei rzeb zć. Poiżej przedswio jes bel iejwej -epowej meody [85] órą moż zimplemeowć dwu procesorc. Współczyii i orz i są iezleże od siebie zem mogą być oblicze rówolegle oddzielyc procesorc. / / / / / 5/ 5/ / / 5/ / / / / Zleżie od posci mcierzy współczyiów ij z powyższyc bel oprcowo róże rówoległe meody Rugego-Kuy RK [6] [85] ze pod zwmi: ERK Eplici RK DIRK Digolly Implici RK BDIRK Bloc Digolly Implici RK MIRK Muli Implici RK SIRK Sigly Implici RK SRK Symmeric RK i FIRK Fully Implici RK. Meody bezpośredie - scemy esrpolcyje g. erpolio scemes Algorymy esrpolcyje są efeywe w przypdu gdy fucj prwej sroy rówi różiczowego jes prosymow wielomimi lub fucjmi wymierymi. Ogól ide scemów esrpolcyjyc poleg podzile przedziłu cłowi podprzedziły i wyorzysiu do obliczeń dowolej meody z serią różyc słyc pod względem długości roów cłowi. Efeyw implemecj rówoległ wymg w ym przypdu specjlyc meod rówowżei obciążei procesorów. Meody bezpośredie - meody bloowe g. bloc meods W meodc bloowyc przedził cłowi dzieloy jes serie bloów przy czym w żdym blou leży wyzczyć oreśloą liczbę puów rozwiązi. Obliczei 5

46 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc wyoywe są wewąrz bloów i opierją się wyic obliczeń poprzedic -bloów ie zleżą omis od wyiów obliczeń z bieżącego blou. W żdym blou możliwe jes zem przypisie zdń obliczeiowyc w żdym rou do pojedyczego procesor. Obliczei w rmc jedego blou mogą być zem wyoywe jedocześie rówolegle. Meody iercyje g. ierive meods - meody predyor-oreor Meody wieloroowe jwe mją ę zleę że wymgją miimlego oszu obliczeń w jedym rou. Ic wdą są omis problemy ze sbilością powodujące oieczość zmiejszei rou. Meody iejwe ie mją problemów ze sbilością więc może być więsze le wymgją dodowyc obliczeń zmieej iezleżej. Rozsądym ompromisem pomiędzy ymi zlemi i wdmi są meody predyor-oreor. Wymgją oe zzwyczj więszej liczby obliczeń prwej sroy rówi różiczowego iż meody jwe le są od ic dołdiejsze. Ogól ide rówoległyc meod predyor-oreor poleg rówoległym oblicziu predyor i oreor le dl różyc puów rozwiązi. Wdą rówoległyc meod predyor-oreor jes oieczość omuicji w żdym rou zmiejszjąc wydjość orz mły przedził sbilości w porówiu z odpowidjącymi im meodmi sewecyjymi. Meod iercyjej orecji błędu g. Iered Defec Correcio meod - IDeC Meod IDeC jes o specjl eci umożliwijąc przyspieszeie zbieżości ym smym dołdości procedur rozwiązywi ułdów rówń różiczowyc. W meodzie ej do orzymi rozwiązi przybliżoego sosow jes pew meod podswow. Nsępie podswie ego rozwiązi osruowy jes owy ułd g. eigborig problem órego rozwiązie dołde jes ze. Ułd e rozwiązywy jes meodą podswową. N podswie różicy pomiędzy rozwiąziem dołdym przybliżoym owego ułdu szcowy jes iezy błąd orygilego ułdu wyorzysywy do orecji zwięszei dołdości podswowego rozwiązi. Powyższe roi powrze są ż do zwięszei dołdości rozwiązi. Rówoległe meody IDeC przedswioe są w prcy [85]. 6

47 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc Opierją się oe podzile przedziłu cłowi podprzedziły i zsosowiu lgorymu do olejyc podprzedziłów lub rówoległości w rmc wyoi jedej iercji... Rówoległość czsu roów W meodc relizującyc rówoległość czsu roów g. prllelism cross ime - seps prw sro rówi różiczowego rozwiązyw jes jedocześie w wielu puc. Liczb jedocześie obliczyc puów jes sopiem rówoległości meody. Do ic jbrdziej zyc przedswicieli leży meod Picrd orz wveform relio meod. Meod Picrd Meod Picrd jes jprosszą meodą iercyją relizującą rówoległość czsu. Meod geeruje sewecję iercyjyc rozwiązń. Rówoległość w meodzie Picrd wprowdz jes poprzez rozdzieleie ułdu oreśloą liczbę rówoległyc zgdień wdrurowyc. Wdą meody Picrd jes wol zbieżość órą poprwi się sosując p. podził przedziłu cłowi serię oie i zsosowie procesu iercyjego oddzielie dl żdego o [6]. Meod relscyj W przypdu dużyc ułdów rówń poszczególe zmiee su mogą mieć brdzo różiące się słe czsowe. Rozwiąziem ego problemu może być podził ułdu bloi o podobyc słyc czsowyc óre rozwiązywe są przy wyorzysiu różyc meod i roów cłowi brdziej lub miej iezleżie od siebie. Meod relizując powyższą ocepcję zyw jes meodą relscyją g. wveform relio lub dymiczą iercją g. dymic ierio. Meod zosł orygilie oprcow do lizy dużyc ułdów eleryczyc i m jes jbrdziej wydj. W meodzie relscyjej lizowy ułd deompoowy jes il bloów. Nsępie w cłym przedzile cłowi wyzcze jes rozwiązie przybliżoe. Od ego momeu żdy blo cłowy jes iezleżie 7

48 Rówoległe meody umerycze lizy sów ieusloyc przez oreślo liczbę roów g. sep sweep. Po wyoiu yc roów sępuje wymi iformcji pomiędzy blomi i poowie wyoyw jes oreślo liczb roów id. Obliczei w żdym blou wyoywe są przez oddziely procesor. Isieje il wriów meody relscyjej [6] [85]: WRJ Wveform Relio Jcobi WRGS Wveform Relio Guss-Seidel WRSOR Wveform Relio Succesive Overrelio i WRN Wveform Relio Newo..5. Podsumowie Wybór meody rówoległej lizy rówń su powiie być dososowy do docelowej rcieury órej będzie d meod zimplemeow orz do rozmiru lizowego problemu. Algorymy relizujące rówoległość ułdu jbrdziej wydje są w przypdu rozwiązywi ułdów o dużej liczbie rówń gdyż wedy obliczie fucji prwej sroy rówi różiczowego jes oszowe i zjmuje dużo czsu. W ego ypu lgorymc iformcje między procesormi wymieie są w żdym rou cłowi zem omuicj między procesormi musi być brdzo szyb. Liczb procesorów óre mogą zosć wyorzyse w obliczeic zleż jes od liczby rówń rozwiązywego ułdu. W lgorymc relizującyc rówoległość meody że wymge są sysemy rówoległe zpewijące brdzo szybą omuicję między procesormi gdyż odbyw się o w żdym rou cłowi. Algorymy e umożliwiją wyorzysie iewieliej liczby procesorów oeż i osiąge przyspieszei obliczeń ie są duże. W rzecim ypie lgorymów rówoległości czsu ie jes wymg brdzo szyb omuicj między procesormi gdyż ie jes o związ z żdym roiem cłowi. Z ego względu e yp lgorymów jbrdziej dje się do zsosowi w lsrc będącyc obecie jedym z jczęściej sosowyc sysemów rówoległyc. Wydje się iż lgorymy relizujące rówoległość czsu roów mją jwięszą przyszłość. W dlszej części rozprwy przedswio zosie meod speulcyj leżąc do ej grupy lgorymów rówoległyc. 8

49 Sysemy lser 5. Sysemy lser 5.. Ogól crerysy sysemów lser Od ilu l obserwuje się duże zieresowie obliczeimi wyoywymi przy wyorzysiu sysemów lsrowyc. Klsry sły się ieresującą lerywą w sosuu do ompuerów msywie rówoległyc. Świdczy o ym cociżby f iż liście 5 sysemów o jwięszej mocy obliczeiowej [99] ż 6 są o sysemy lser ic liczb sucesywie wzrs lisopd - 9 sysemy czerwiec - 9 sysemów lisopd - 8 sysemów czerwiec - 9 sysemów lisopd - 96 sysemów czerwiec 5 - sysemy lisopd 5-6 sysemów. O dużej populrości lsrów zdecydowły m.i. []: - isi osz zupu pojedyczego ompuer lsy PC lub scji roboczej - brdzo szybi wzros mocy obliczeiowej pojedyczyc ompuerów orz wzros szybości sieci ompuerowyc - możliwość wyorzysi do budowy lsr już dosępyc ompuerów - pros iegrcj i przysosowie do isiejącyc sieci ompuerowyc - duż ilość bezpłego oprogrmowi biblioei omuicyje biblioei umerycze ompilory ip.. Klser jes ypem rówoległego lub rozproszoego sysemu słdjącego się z ompuerów PC lub scji roboczyc połączoyc siecią używego jo pojedyczy ziegrowy zespół obliczeiowy [] []. Pojedyczy ompuer wcodzący w słd lsr zywy jes węzłem. Jo węzły w lsrc sosowe są ompuery lsy PC lub scje robocze prcujące pod orolą sysemów opercyjyc Ui/Liu że coć w zczie miejszym sopiu - Microsof Widows. Węzły połączoe są szybą siecią ompuerową wyorzysującą sdrdowe proooły sosowe w Ierecie TCP/IP j i proooły o młyc opóźieic specjlie sworzoe do zsosowń w lsrc Acive Messges Fs Messges VMMC - Te Virul Memory Mpped Commuicio Sysem U-e BIP - 9

50 Sysemy lser Bsic Ierfce for Prllelism []. Wśród ecologii sieciowyc jczęściej sosowy jes Eere Fs Eere - Mb/s Gigbi Eere - Gb/s Gigbi Eere - Gb/s creryzujący się isim oszem zupu le i dużymi opóźieimi w omuicji orz Myrie wysoi osz zupu młe opóźiei. Do miej populryc ecologii leżą: Gige cl 5 Gb/s QsNe ServerNe SCI - Sclble Coere Ierfce ATM - Asycroous Trsmissio Mode Fibre Cel HIPPI - Hig Performce Prllel Ierfce i ATOLL - Aomic Low Lecy Newor. Komuicj między węzłmi relizow jes przy wyorzysiu jedej ze sdrdowyc biblioe: MPI g. Messge Pssig Ierfce [77] [78] lub PVM g. Prllel Virul Mcie [87]. Isieje il lsyficji sysemów lser. Ze względu przezczeie ompuerów PC lub scji roboczyc worzącyc lser wyróżie są [7]: - lsry dedyowe - węzły worzące lser są specjlie przezczoe do ego sysemu częso umieszczoe są w jedej dużej obudowie i pozbwioe dodowyc urządzeń ic j moiory lwiury myszy - lsry iededyowe - worzoe są przez ompuery PC lub scje robocze wyorzysywe ormlie do codzieej prcy obliczei ic wyoywe są w sie bezczyości. Ze względu rcieurę węzłów lsry dzielą się [7]: - lsry ompuerów PC NOWs - g. Newor of Worsios - lsry scji roboczyc COWs - g. Cluser of Worsios - lsry ompuerów SMP CLUMPs - g. Cluser of SMPs. Ze względu ofigurcję węzłów wyróżimy [7]: - lsry omogeicze - węzły worzące lser mją ą smą ofigurcję sprzęową yp procesor ilość pmięci opercyjej płyę główą dys wrdy orz prcują pod orolą ego smego sysemu opercyjego. Zzwyczj lsry dedyowe są lsrmi omogeiczymi 5

51 Sysemy lser - lsry eerogeicze - są o lsry óryc węzły mją różą ofigurcję sprzęową orz mogą prcowć pod orolą różyc sysemów opercyjyc. Ze względu sysem opercyjy zislowy węzłc lsr wyróżimy [7]: - lsry prcujące pod orolą sysemu Liu: Beowulf [76] i Mosi - lsry prcujące pod orolą sysemu Novel NeWre: NCS - NeWre Cluser Services - lsry prcujące pod orolą sysemu Microsof Widows NT: Illiois HPVM - lsry prcujące pod orolą sysemu SUN Solris: Bereley NOW - lsry prcujące pod orolą sysemu IBM AIX: IBM SP - lsry prcujące pod orolą sysemu HP UX: Illiois-PANDA - lsry prcujące pod orolą sysemów: Solris MC SCO UiWre. 5.. Opis sysemu lser KETIM Klser KETIM zjdujący się w Kedrze Eleroecii Teoreyczej i Merologii słd się z siedmiu węzłów. Jes o lser ypu Beowulf omogeiczy wszysie węzły lsr zbudowe są z ic smyc podzespołów dedyowy przezczoy jes ylo do prowdzei bdń uowyc. N rys. 5. przedswioy jes scem ogóly lsr. Kżdy węzeł lsr posid sępującą ofigurcję sprzęową: - pły głów Iel ServerBord Vero Bec SE755VB ATX Soce 6 - do dwóc procesorów Iel Xeo ziegrowe ry sieciowe: Iel PRO/ i Iel PRO/ ziegrow r grficz ATI Rge XL 8 MB - procesor Iel Xeo 66 GHz - GB pmięci RAM ECC DDR66 5 MB - dys wrdy 8 GB ATA/ - obudow Iel SC5. 5

52 Sysemy lser fs Iel SE755VB Iel Xeo 66 GHz GB RAM 8 GB HDD PRO/ PRO/ fs Iel SE755VB Iel Xeo 66 GHz GB RAM 8 GB HDD PRO/ PRO/ fs Iel SE755VB Iel Xeo 66 GHz GB RAM 8 GB HDD PRO/ PRO/ fs Iel SE755VB Iel Xeo 66 GHz GB RAM 8 GB HDD PRO/ PRO/ fs5 Iel SE755VB Iel Xeo 66 GHz GB RAM 8 GB HDD PRO/ PRO/ fs6 Iel SE755VB Iel Xeo 66 GHz GB RAM 8 GB HDD PRO/ PRO/ fs7 Iel SE755VB Iel Xeo 66 GHz GB RAM 8 GB HDD PRO/ PRO/ Allied Telesy AT9GB Swic Allied Telesy AT9GB Swic KETIM INTERNET Rys. 5. Scem ogóly lsr KETIM. Węzły umieszczoe są w szfie możowej 9 rys. 5.. Kżdy węzeł posid dw ierfejsy sieciowe Gigbi Eere - Gb/s i Fs Eere - Mb/s podłączoe do dwóc Gigbiowyc przełącziów Allied Telesy AT-9GB. Ierfejsy Gigbi Eere wyorzysywe są do omuicji podczs obliczeń omis ierfejsy Fs Eere służą do oroli i serowi lsrem. Jede węzeł pełi rolę węzł-serwer. Podłączoy jes do iego moior lwiur i mysz. Pozosłe węzły pozbwioe są powyższyc urządzeń. N wszysic węzłc zislowy jes sysem opercyjy Liu dysrybucj Fedor Core orz sysem pliów NFS Newor File Sysem dzięi czemu wszysie węzły mją dosęp do ej smej przesrzei dysowej. Komuicj między węzłmi zrelizow zosł przy 5

53 Sysemy lser wyorzysiu sdrdu MPI. Do ego celu zsosowo biblioeę LAM/MPI v7.. [] [7] [9]. Biblioe umożliwi zsosowie sdrdu omuicji MPI w progrmc w języc C C i Forr. Rys. 5. Klser KETIM. N lsrze moż prcowć bezpośredio wyorzysując moior lwiurę i mysz podłączoe do węzł-serwer lub eż zdlie - poprzez sieć Iere. Wyoie obliczeń lsrze wymg w pierwszej olejości urucomiei środowis LAM/MPI. Służy do ego poleceie lmboo dl órego jo prmer podje się zwę pliu esowego zwierjącego ofigurcję lsr. Po urucomieiu środowis LAM/MPI moż przysąpić do ompilcji progrmu. Plii źródłowe mogą być przygoowe bezpośredio lsrze lub iym ompuerze sępie przeopiowe lser. W przypdu języ C plii źródłowe ompilowe są poleceiem mpicc. Nsępie leży urucomić progrm poleceiem mpiru podjąc jo prmery liczbę węzłów óryc m być urucmiy 5