PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW"

Transkrypt

1 PRZETWARZAIE SYGAŁÓW SEESTR V Wyłd V Podstwow widomości o filtch Ciągi dyst i ułdy liiow imi wględm psuięci

2 Podstwow widomości o filtch Ułd systm liiowy stcoy Ułd liiowy stcoy, sygł wściowy xt, sygł wyściowy yt opis - tsmitc T: yt=t[xt] ułd liiowy T[Ax t + Bx t]=at[x t] + BT[ x t] ułd stcoy śli yt=t[xt], to yt-t =T[xt-t ]

3 Ułd systm liiowy stcoy Ułd liiowy, stcoy, opisy w didii csu p odpowidź impulsową ht go sygł wyściowy st splotm sygłu wściowgo pobudi i odpowidi impulsow ułdu: y t x h t d t odpowidź impulsow ułdu odpowidź ułdu pobudi impulsm Dic h t usytuowym w pocątu ułdu: t h t d Ułd systm liiowy stcoy Opisy w didii csu p odpowidź impulsową ht i w didii cęstotliwości p fucę posi ω stosowi twidi o tsfomci splotu fuci pobudi ft F odpowidź yt Y Opis w didii csu Opis w didii cęstotliwości f y t h t d Y F 3

4 Filty Filt - ułd o ośloych włściwościch cęstotliwościowych Rol stłtowi psm sygłu limic łócń, popw S, spłii wymgń twidi o póbowiu ędi opisu tsfomc Lplc, tsfomc Foui Odpowidź cęstotliwościow st TF odpowidi impulsow i wtością tsmitci s ułdu dl s=ω Filty - doloppustow LP - góoppustow P - psmowoppustow BP - psmowopoow BS - wschppustow s s Opis i pmty filtu - odpowidź cęstotliwościow s s Q - chtysty mplitudow moduł odpowidi cęstotliwościow cęstotliwość gic, śodow, psmo - chtysty fow - opóźii fow t p - opóźii gupow t g g t g d d t p - doboćwspółcyi tłumii Q= - i ąd filtu, chyli modułu chtystyi cęstotliwościow, odpowidź soow, wmocii 4

5 Pyłd Filt doloppustowy ędu tsmitc odpowidź cęstotliwościow moduł odpowidi ch- mplitudow Chtysty fow opóźii gupow sc RC s R s s s sc RC g ctg t g d ctg d modul.5 3 f opóii gupow..5 3 Ciągi dyst i ułdy liiow imi wględm psuięci 5

6 Ciągi dyst Ciągi dyst ciągi pób sygłów, wyii symulci otc: x x[] x x{}, ε ciąg impulsowy δ: dlt Koc δ= dl = i dl poostłych ciąg soowy u : u= dl i dl poostłych cyli δ=u-u-.5 ciąg siusoidly x=siω+φ Ciągi dyst opc ciągch dystych: - ilocy, sum, możi p stłą - opóźii psuięci - splot ciąg pycyowy wtości iow tylo dl >= splot dwóch ciągów =x*y x y x y Dowoly ciąg dysty moż pdstwić o sumę popsuwych i pomożoych p odpowidi stł ciągów impulsowych: x 6

7 Ciągi dyst Pyłd oblici splotu: x=u- - o h=, <, >= y x * h x h x h y x h y x h y x y dl < y dl y Ułdy liiow stco Ułd liiowy logowy, stcoy - sygł wyściowy st splotm pobudi i odpowidi impulsow ułdu: y t x h t d t Pobudi odpowidź Odpowidiim dystym tigo ułdu st dysty cyfowy ułd liiowy o stłych współcyich, imiy wględm psuięci, go sygłm wściowym i wyściowym są ciągi dyst dl ułd LP. Opis - tsmitc T: y=t[x] ułd liiowy T[Ax + Bx ]=AT[x ] + BT[ x ] imiy wględm psuięci y=t[x], to y- =T[x- ] 7

8 Ułdy LP logici w pypdu ułdów logowych sygł wyściowy y st splotm dystym sygłu wściowgo x i odpowidi impulsow ułdu h: y x h ułd stbily h ułd ywmy pycyowym, śli dl < h= UWAGA: lgoytm cyfowgo ptwi sygłów obów odpowid pwmu ułdowi LP!!!! Łąci ułdów LP połąci sdow łńcuchow ułdów o odpowidich impulsowych h i h h= h * h = h * h połąci ówolgł h= h + h 8

9 Tsfomc Z Odpowidi tsfomci Lplc dl ułdów logowych csm ciągłym x = ω x otc Z[x]= wu istii TZ - bwględ sumowlość ciągu x - : x gdy =, cyli = ω tw. oęgu dostowym - odpowidi osi ω w tsfomci Lplc dyst tsfomc Foui DTF x Tsfomc Z Włściwości TZ: liiowość Z[Ax + By]=A + BY psuięci ciągu Z[ x ] splot ciągów Z[x*y]=Y możi p ciąg wyłdicy Z[ x] = - 9

10 Ciąg x=u ciąg soowy sg st biży dl - <, cyli > - obs istii TZ - po oęgim dostowym płscyźi Z pycyowy ciąg wyłdicy x= u, < Tsfomt Z ciągu: Gic tgo ciągu isti sg st biży dl - <, cyli > tomist ciąg x= u- o wych iowych dl <, st biży dl <; lim u lim u Tsfomc Z - pyłdy Rówi opisuąc diłi ułdu LP: * h x h x y to tsfomt Z tigo ówi cyli ówi opisuąc diłi ułdu w didii m postć: gdi: - TZ ciągu wściowgo pobudi Y - TZ ciągu wyściowgo odpowidi - TZ odpowidi impulsow ułdu oęgu dostowym obowiąu: Y Tsfomc Z Y

11 Rptc cęstotliwościow ciągów dystych ciąg wyłdicy x=xpω odpowidź ułdu LP ti sygł st stępuąc: y h xp xp h xp xp py cym h xp Wyżi to st TF ciągu h, ywmy chtystyą cęstotliwościową ułdu o odpowidi impulsow h. Jst to m TZ odpowidi impulsow tgo ułdu wyco oęgu dostowym = ω. Odpowidź cęstotliwościow połąci sdowgo ułdów LP st ilocym odpowidi cęstotliwościowych poscgólych cłoów h= h *h ω = ω ω Rptc cęstotliwościow ciągów dystych TF ciągu h - chtysty cęstotliwościow ułdu o odpowidi impulsow h: h xp Zpis: g ω - moduł chtysti cęstotliwościow ch- mplitudow g ω - f chtystyi cęstotliwościow ch- fow Opóźii gupow wpowd p ułd: dg d Pmty - osow osm π!!!!!

12 Poiżs postć ośl wtość biżąc póbi ciągu wyściowgo y ułdu LP: Wyi diłi ułdu st tm wyiim łożi opci opóźii, możi p stł i sumowi. Rówi óżicow o stłych współcyich x b y x b y y Opis pycyowych ułdów LP ówi óżicow, tó wiążą sobą bioy pób wściowych x- i wyściowych y- użycim odpowidich współcyiów, włściwych dl dgo ułdu: Rówi óżicow o stłych współcyich x b y y Jśli dl > =, mmy do cyii tw. ułdm o sońco odpowidi impulsow SOI lbo FIR - Fiit Impuls Rspos. Rówi óżicow pymu postć: * x h x h x b y Jśli dl > ułd o isońco odpowidi impulsow OI lbo IIR Ifiit Impuls Rspos. Odpwidź impulsow i st oślo w wy sposób. współcyii odpowidi impulsow ułdu są ów h=b. Poiżs postć ośl wtość biżąc póbi ciągu wyściowgo ułdu LP:

13 3 Do ówi óżicowgo opisuącgo ułd LP możmy stosowć TZ: x b y b Y b Y i otymć wyżi pdstwiąc fucę posi ułdu go tsmitcę tsfomtę Z odpowidi impulsow ułdu: b Y ] [ x Z Rówi óżicow o stłych współcyich i dl tsmitc ułdu LP tsfomt Z odpowidi impulsow: b Y Dl = ω otymmy TF odpowidi impulsow ułdu filtu, cyli go odpowidź cęstotliwościową: b g Tsfomc Z ówi óżicowgo

14 Pyłdy ułdów SOI i OI Ułd o odpowidi impulsow: h= dl, dl poostłych - ułd SOI odpowidź cęstotliwościow: h xp xp si si moduł si si f g opóźii ówi óżicow y x h x Pyłdy ułdów SOI i OI Ułd SOI h= dl, dl poostłych modul 4 moduł f si si g f 4 6 Itptc: st to ułd, tógo wyściu powi się sum popdich pób sygłu ułd uśdi, więc limiu wyżs słdow cęstotliwościow stąd chtysty doloppustow Uwg: pmty opisuąc filt moduł, f, opóźii są osow osm π!!!!! 4

15 Pyłdy ułdów SOI i OI Y b Ułd opisy ówim óżicowym st to ułd OI y= y- + x Z[ x ] Tsmitc ułdu Py łożiu pycyowości odpowidź impulsow m postć h= u Chtysty cęstotliwościow ułdu oąg dostowy = ω osow osm π!!! Pyłdy ułdów SOI i OI Ułd OI opisy ówim óżicowym y= y- + x Chtysty cęstotliwościow ułdu modul moduł cos si cos f f dl =.9 si g ctg cos

16 Ułdy SOI o liiow chtystyc fow Filty pycyow Liiow chtysty filtów SOI gdy odpowidź impulsow st symtyc h=h-- ówi óżicow y=.5x+.5x-+x-+.5x-3+.5x-4 Tsmitc = Odpowidź cęstotliwościow ω = ω + -ω +.5-3ω +.5-4ω = -ω [.5 ω +.5 ω ω +.5 -ω ] = -ω [.5cosω+cosω +] oduł odpowidi ω =.5cosω+cosω + f g= - ω!! liiow!!! opóźii gupow póbi stł!! Ułdy SOI o liiow chtystyc fow Filty pycyow 3 modul Liiow chtysty filtów SOI gdy odpowidź impulsow st symtyc h=h-- ówi óżicow y=.5x+.5x-+x-+.5x-3+.5x-4 oduł odpowidi ω =.5cosω+cosω + f g= - ω!! opóźii gupow póbi liiow!!! stł!! 4 6 f op. gupow 4 6 odp. impulsow Slowi osi: oś x - 3 piws wysy oś x slow w d, wys 4 um współcyi odpowidi impulsow; oś y ys. dosti bitl, ys. d, ys.3 licb pób imiow, ys.4 wtość współcyi odpowidi impusow 6

17 Poówi włściwości ułdów SOI i OI Istot włściwość ułdów SOI mogą posidć liiową chtystyę fową. Zlt t st uys cę gosych włściwości chtystyi mplitudow w poówiu ułdmi OI, tó py tym smym ędi pwią ci więs tłumii w psmi poowym. Ułdy OI posidą iliiow chtystyi fow. filt SOI ąd, f g =.f s filt OI ąd, f g =.f s modul f opoii gupow Slowi: oś x w d, oś y ys. i db, ys.3 licb pób imiow, OI b b y y x SOI y x h x h * x Poówi włściwości ułdów SOI i OI Suti tsmisi łożoych sygłów p ułdy oóżych cchch opóźii gupowgo Sygł łożoy dwóch słdowych: x=si*pi*t*5+si*pi*t*5; Filty OI i SOI tgo smgo ędu 3.4 odul SOI cwoy i OI cy - pd f, ib - SOI, cw -OI Zistłci pbigu p filt OI Widmo sygłu pd filtcą po filt SOI po filt OI 7

18 tody potowi filtów cyfowych Filt lgoytm ptwi opisy ówim óżicowym,wyoystywy w didii csu dystgo. Wymgi ośl s cęści w didii cęstotliwości pop ośli pmtów tich psmo ppustow, psmo pściow, gic psm poowgo, miiml tłumii w psmi poowym. podstwi tych łożń lży wycyć wtości współcyiów filtu, cyli współcyiów ówi óżicowgo. Istią dwi gupy mtod potowi filtów cyfowych: tody wyoystuąc pototypy filtów logowych OI tody bpośdi - posymc posuiw chtystyi OI, SOI tody potowi filtów cyfowych Złożi potow - cęstotliwość gic psm ppustowgo - od chtystyi - cęstotliwość gic psm poowgo - miiml tłumii w psmi poowym Powl to pisć dw wui ω : p lg lg s s podstwi tych wuów wyc się ąd filtu, stępi współcyii filtu pocduy potow p. w śodowisu tlb. 8

19 Potowi filtów OI tody wyoystuąc toię logowych ułdów liiowych tod tsfomci biliiow Z st tsmitc filtu logowgo s Doouąc podstwii: s T uysumy tsmitcę odpowidącgo mu filtu dystgo. W clu uysi chtystyi cęstotliwościow filtu dystgo podstwii m postć: s T s Ω- pulsc logow ω - pulsc dyst Zwią międy obim pulscmi i st liiowy! ctg T 4 - tsfomc biliiow T Potowi filtów OI tody bpośdi di chtystyi, optymlic pmtów ówi iimlic błędu śdiowdtowgo w didii cęstotliwości: dfiiu się pbig chtystyi mplitudow filtu d ω dl biou pulsci {ω i }, stępi dobi współcyii pdstwio w stępuący sposób chtystyi filtu: A K c b d by miimliowć błąd śdiowdtowy: E [ i miimlic > pmty, b, c,d. i d i ] 9

20 Potowi filtów SOI Obcięci odpowidi filtu OI i stosowi o łożo chtysty cęstotliwościow p. idly filt doloppustowy - OI i st pycyowy!! h odpowidź impulsow filtu OI h xp d Odpowidź tgo filtu st iogico, pymu wtości iow dl <; by filt był liowly musi być pycyowy iow wtości h tylo dl >=, by był to filt SOI lży bió iowych wtości h ogicyć; Potowi filtów SOI Obcięci odpowidi filtu OI i stosowi o Odpowidź tgo filtu st iogico, pymu wtości iow dl <; by filt był liowly musi być pycyowy iow wtości h tylo dl >=, by był to filt SOI lży bió iowych wtości h ogicyć do pwgo ; lży psuąć odpowidź h o - pób: h-- stępi ogicyć długość do pób cyli pomożyć p oo w pymuąc iow wtości dl =,,... -: h =w h-- w dl =,,... - Opc t moż wyoć w odwot olości, t. stosowć symtyc oo w, stępi psuąć wyi możi o - pób

21 Odpowidź h st isońco i ułd i st pycyowy lży psuąć h o - pób o ogicyć cs twi h oo. Wyiąc tych opci tsmitc mą stępuąc postci: w h h h h h * W w h w h psuięci o - ogici do pób Potowi filtów SOI po i dl w ] [, * W Obcięci odpowidi filtu OI i stosowi o łożo chtysty cęstotliwościow splot chtystyi tsfomtą o ogicącgo. W tsfomt Foui o ogicącgo Potowi filtów SOI * W d W

22 Zstosowi oi do obcięt odpowidi impulsow filtu - oo postoąt - oo Btltt w=-, =,,...- w=--, =-, oo w=.5-cos -, =,,...- postot - ibisi, hmmig - cwoy, h- cy, blcm-mt, Y oo mmig w= cos -, =,, oo Blcm w=.4+.5cosπ-+.8cos4π-, =,,...- Zlżi od stosowgo o uysmy óży poiom listów bocych i óżą soość psm pściowgo Rlic ułdów dystych filtów cyfowych J wyi postci ówi óżicowgo, ułdy liiow dyst imi wględm psuięci moż pdstwić w postci schmtów gfów, posługuąc się lmtmi timi blo opóźiący o póbę, węł sumcyy i możi p stłą: y y b x

23 Rlic filtów cyfowych OI lic bpośdi = y y b x Filt moż ttowć o sdow połąci dwóch ułdów liiowych imiych wględm psuięci moż miić ich olość. Powdi to do tw. oic postci filtu: Rlic filtów cyfowych SOI Rlic bpośdi wyi ówi y b x L i i Rlic sdow wyi dompoyci tsmitci ilocy słdiów dugigo i w. piwsgo ędu: p. = = 3

24 4 poostl, =,,,..., -, w R x DTF R R R w w W gdi ω=ππff p DTF sum sońcogo sgu gomtycgo: R W TF dystgo o postoątgo I TF dystgo o postoątgo II Z powyżsych ówń wyi: si si si si W R widmo mplitudow dystgo o postoątgo osow!!!! sl liiow si si W R

25 W R si si TF dystgo o postoątgo III widmo mplitudow dystgo o postoątgo osow!!!! dyst oo postoąt sl liiow sl logytmic T F AT si c TF o postoątgo csu ciągłgo Wyb ułdy dyst 5 5

26 Ułd óżicy sońco I-go ędu Aposymc pochod - sońco óżic piwsgo ędu: y=x-x- współcyii odpowidi impulsow, - Tsfomt Z Y=- - =- - Chtysty cęstotliwościow ω =- -ω =-cosω+siω= -ω ω - -ω = -ω siω= -ω+π siω oduł ω =[-cosω +siω ] =[-cosω +cosω +siω ] =[-cosω] = siω F g ω =ctgsiω-cosω=ctgctgω= ctgtg-ω= -ω Ułd óżicy sońco I-go ędu oduły chtysty cęstotliwościowych ułdu óżicy sońco piwsgo ędu o idlgo ułdu óżicuącgo lii post o chyliu f. Zs -fs F chtystyi cęstotliwościow ułdu óżicy sońco piwsgo ędu. Zs -fs Różic międy modułmi chtysty cęstotliwościowych ułdu óżicy sońco piwsgo ędu o idlgo ułdu óżicuącgo. Zs -fs3 6

27 Wyci pochodych I-go ędu Pbig tpowy i go pochod Wyci pochodych I-go ędu Pbig tpowy summ i go pochod óżic sońco I ędu poiż; powyż ociwy wyi óżicowi wys cwoy. oduły chtysty cęstotliwościowych ułdu óżicy sońco piwsgo ędu o idlgo ułdu óżicuącgo. Zs -fs 7

28 Wyci pochodych I-go ędu Tsfomt Foui pbigu tpowgo Tsfomt Foui pbigu tpowgo summ. Zs - fs Opc óżicowi powi dotycyć ogicogo su cęstotliwości coy oęgim Wyci pochodych I-go ędu Opc óżicowi powi dotycyć ogicogo su cęstotliwości. Rowiąi - ppowdi filtci doloppustow, cyli ogici psm sygłu. Wyi oblici óżicy sońco st blisi pbigowi uysmu dl sygłu b sumu. Ppowdo opc sd dwóch lgoytmów dwóch ułdów LP!!! 8

29 Ułd obiżący cęstotliwość póbowi dcymto Ułd dcymuący - obiż cęstotliwość póbowi dą licbę y Zstosowi - podut ptwi st się sili ppóbowy p. cęstotliwość póbowi wyosi 5x cęstotliwość yquist. Jst t p. py wyciu pmisci uchomgo obitu w opciu o wiso Doppl. W fci musimy pchowywć dmią licbę pób dudc. Uwg big pdi powii być popdoy filtcą doloppustową filtm o cęstotliwości gic iżs iż połow cęstotliwości póbowi po dcymci. Dcymc sdow śli oic wyso otość dcymci Ułd dcymuący dcymc x wybó co dugi póbi sygłu, cyli obiżi cęstotliwości póbowi dowsmplig sygł si*pi*t-* Sygł pd gó i po dół oduł DTF sygłu pd i po dcymci x pd i po dcymci x. Zs cęstotliwości -f. póbowi Widocy x wost stosuu cęstotliwości sygłu do f. póbowi, tóy wyi x spdu f.póbowi slowi osi f w dostch wględych 9

30 Ułd dcymuący dcymto x Rówi dcymto x y m xm go TF * Y [ ] [ ] B filtów do dompoyci sygłu podpsm Filt doloppustowy o psmi do o filt góoppustowy o psmi powyż. Psmo sygłu ogico st do tw. yquist. Po żd filtci stępu x dcymc. - oc dwuotą dcymcę oduci co dugi póbi - x obiżi fs 3

31 3 B filtów - dompoyc sygłu podpsm TF ciągu wyściowgo dcymto: oduły TF oduł widm ciągu wściowgo dcymto psmo od do Podił psm, dcymc cęści dol widm Podił psm, dcymc cęści gó widm ] [ * Y ] [ * * * Y Y ] 4 3 [ ] 4 4 [ * * * Y Y B filtów do dompoyci sygłu podpsm Z putu widi biżąc cęstotliwości póbowi po dcymci psm sygłów x D i x D są ti sm i wyosą: Jd putu widi podiłu sygłu x podpsm żdy sygłów wyściowych x D wi i podpsmo sygłu x!!!

32 B filtów - dompoyc sygłu podpsm Kżdy sygłów x D, x D, x D i x D wi i podpsmo sygłu x!!! Sygłwidmo podpsmo * D D D D * Ułd itpoluący itpolto Ułd podosący cęstotliwość póbowi p wstwii międy póbi istiącgo sygłu i filtcę doloppustową posts mtod. I mtody posymc wilomiow, fuc sl 3

33 Ułd itpoluący itpolto Pyłd: h=si*pi*t-*44; itpolc mi x sygł pd itpolcą i moduł go DFT f. fs sygł itpolowy i moduł go DFT -, mii się położi f i fs- f, powią się dodtow słdow fs- f sygł itpolowy pd filtcą ibisi i po filtci cwoy; moduł DFT sygłu po filtci Poiwż podwooo fs, mii ulg lc f i fs - f do fs x ml stosu f fs Ułd itpoluący x itpolto ciąg x ciąg y x x x x... x... y x x x 4... x m... Pstłci Z ciągu y dl itpolto x Y 4... m m TF ciągu y dl x itpolci * Y oduł widm sygłu po x itpolci. Zcoy olom sym tw. ob widm sygłu limiu się dogą filtci doloppustow. 33

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych Prtwarai sygałów biomdycyc Wykład VI Wybra układy dyskrt Idaly układ różickuący H Yxp Xxp odpowidź impulsowa układu filtru różickuącgo d d d cos si si Odpowidź st iskońcoa i układ i st prycyowy alży ograicyć

Bardziej szczegółowo

UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ.

UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow UWAI O ROZKŁADZIE UNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. - d zm losow cągł o gęstośc. Y g g - borlows tz. g - B BR dl B BR Wzczć gęstość g zm losow Y. Jśl g - ścśl mootocz różczowl

Bardziej szczegółowo

(0) Rachunek zaburzeń

(0) Rachunek zaburzeń Wyłd XII Rch zbzń Mchi wtow Rch zbzń st podstwową mtodą zdowi pzybliżoych ozwiązń óżgo odz ówń występących w fizyc Tt zsti pzdstwioy ch zbzń w zstosowi do ówi Schödig bz czs Ogiczymy się pzy tym do tzw

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA WEKTORÓW. PRZESTRZENIE WEKTOROWE PRZESTRZEŃ WEKTOROWA

ALGEBRA WEKTORÓW. PRZESTRZENIE WEKTOROWE PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Mtmt I WYKŁAD 9. ALGEBRA WEKTORÓW. PRZESTRZENIE WEKTOROWE PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Prstrń Eulidsow E - biór putów Współręd putów w E trój licb rcwistch Krtjńsi ułd współrędch w E Pocąt ułdu p. put p. Tr wjmi

Bardziej szczegółowo

Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych

Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl SZEREGI POTĘGOWE ( c ciąg licz zspoloych c ( z z - szrg potęgowy, gdzi ( c - ciąg współczyiów szrgu, z C - środ, ctrum (ustalo, z C - zmia. Dla

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Obliczanie pierwiastków wielomianów. Własności wielomianów. Własności wielomianów. Schemat Hornera. Własności wielomianów. p z. p c r.

Plan wykładu. Obliczanie pierwiastków wielomianów. Własności wielomianów. Własności wielomianów. Schemat Hornera. Własności wielomianów. p z. p c r. Pl wyłdu Olicie pierwistów wielomiów Włsości wielomiów Schemt Horer olicie wrtości dieleie wielomiów deflcj omplety schemt Horer metod Newto eśli, to p m stopień. p p /3 3/3 Włsości wielomiów Włsości wielomiów

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Algebra liniowa z geometrią analityczną WYKŁAD. Elmtar fucj mij spoloj: wilomiay, pirwiasti jdości, fucja: pirwiast stopia, fucja wyładica, fucja logarytmica. Podstawow własości wilomiaów: podilość, twirdi Bout, podstawow twirdi algbry, suai

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych Prtwarani sygnałów biomdycnych Cłowi- nalpsa inwstyca Prot współfinansowany pr Unię Europsą w ramach Europsigo Fundusu Społcngo Wyład VII Systmy minną cęstotliwością próbowania multirat Systmy minną cęstotliwością

Bardziej szczegółowo

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 23 dr Adam Ćmiel

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 23 dr Adam Ćmiel Automty i ooty Aliz Wyłd dr Adm Ćmil mil@gh.du.pl SZEEGI POTĘGOWE iąg liz zspoloyh z z - szrg potęgowy, gdzi - iąg współzyiów szrgu, z C - środ, trum ustlo, z C - zmi. Dl dowolgo ustlogo z C szrg potęgowy

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Współęde postoąte De są t osie OX OY OZ wjemie postopdłe peijąe się w puie O. Oiem pewie odie jo jedostow i om pe współęde putów odpowiedih osih. DEFINICJA Postoątm

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 8 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e ro b ó t b u d o w l a n y c h w b u d y n k u H

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y n i w d n i u 2 0 1 4 r po m i d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j i j e d n o s t k a b u d e t o w a ( 8 1-5 3 8 G d y n i a ), l

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych Prztwarzani sygnałów biomdycznych dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof. PW Człowik- najlpsza inwstycja Projkt współfinansowany przz Unię Europjską w ramach Europjskigo Funduszu Społczngo Wykład XI Filtracja

Bardziej szczegółowo

Technika Próżniowa. Przyszłość zależy od dobrego wyboru produktu. Wydanie Specjalne.

Technika Próżniowa. Przyszłość zależy od dobrego wyboru produktu. Wydanie Specjalne. Technika Próżniowa Przyszłość zależy od dobrego wyboru produktu Wydanie Specjalne www.piab.com P6040 Dane techniczne Przepływ podciśnienia Opatentowana technologia COAX. Dostępna z trójstopniowym wkładem

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią analityczną. WYKŁAD 11. PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE Przekształcenie liniowe

Algebra liniowa z geometrią analityczną. WYKŁAD 11. PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE Przekształcenie liniowe lgbr liio gomtrią litcą / WYKŁD. PRZEKSZTŁCENIE LINIOWE WRTOŚCI I WEKTORY WŁSNE Prkstłci liio Diicj Prporądkoi ktorom R ktoró k R, : jst prkstłcim liiom td i tlko td gd: k k k k c c c c c Postć prkstłci

Bardziej szczegółowo

Przy zakupie kompletu opon Goodyear UltraGrip 8 ciepły koc w prezencie. Gratis! ** www.premio.pl. Nowość! UltraGrip 8 155/70 R13 75T 209 zł*

Przy zakupie kompletu opon Goodyear UltraGrip 8 ciepły koc w prezencie. Gratis! ** www.premio.pl. Nowość! UltraGrip 8 155/70 R13 75T 209 zł* Gt! ** **c c gc, ść! UltG 8 209 ł*.m.l P mlt Gd UltG 8 cł c c Zm mc Dl śc Zmę Gd UltG 8 SP t St 4D 195/65 R15 91T SP t St 4D. dchd m mch. lc tó mtch cą c gd. tc fl tchę d d g t mch gdżtó Dl. 319,-* 209,-*

Bardziej szczegółowo

I n f o r m a c j e n a t e m a t p o d m i o t u k t ó r e m u z a m a w i a j» c y p o w i e r z y łk p o w i e r z y l i p r o w a d z e p o s t p

I n f o r m a c j e n a t e m a t p o d m i o t u k t ó r e m u z a m a w i a j» c y p o w i e r z y łk p o w i e r z y l i p r o w a d z e p o s t p A d r e s s t r o n y i n t e r n e t o w e j, n a k t ó r e j z a m i e s z c z o n a b d z i e s p e c y f i k a c j a i s t o t n y c h w a r u n k ó w z a m ó w i e n i a ( j e e ld io t y c z y )

Bardziej szczegółowo

1 3. N i e u W y w a ć w o d y d o d o g a s z a n i a g r i l l a! R e k o m e n d o w a n y j e s t p i a s e k Z a w s z e u p e w n i ć s i

1 3. N i e u W y w a ć w o d y d o d o g a s z a n i a g r i l l a! R e k o m e n d o w a n y j e s t p i a s e k Z a w s z e u p e w n i ć s i M G 4 2 7 v.1 2 0 1 6 G R I L L P R O S T O K Ą T N Y R U C H O M Y 5 2 x 6 0 c m z p o k r y w ą M G 4 2 7 I N S T R U K C J A M O N T A 7 U I B E Z P I E C Z N E G O U 7 Y T K O W A N I A S z a n o w

Bardziej szczegółowo

00 O O PO y N O N N N N. c O, O p O,' W. W pn. Nao Wr 3o y y 6x C 0 : > M1. 0 " C " 1 CD. 4. r' m < xmi. k b z a C 4. Inv z0. 1 wxo. XNC7 nv22.

00 O O PO y N O N N N N. c O, O p O,' W. W pn. Nao Wr 3o y y 6x C 0 : > M1. 0  C  1 CD. 4. r' m < xmi. k b z a C 4. Inv z0. 1 wxo. XNC7 nv22. U V V, VD,, P M I V IV,,',. 6. t - " < : > M. " " D.. < ' < ' MI k I E k b " ` '< " l = V > < t `'"' l Lf ) 7 ` `-]! II. b t9 F

Bardziej szczegółowo

Sygnały i systemy dynamiczne Część I

Sygnały i systemy dynamiczne Część I Michał Taduiwic Sygały i ymy dyamic Cęść I Zadai r 3 - Dooowai iruu Auomaya i Roboya do rowadia udiów iacoarych ( wyoryaim -larigu . Oi i właściwości ygałów i ymów.. Oi i właściwości ygałów Sygał cau ciągłgo

Bardziej szczegółowo

CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA

CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA Auomy i Rooy Aliz Wyłd 4 d Adm Ćmiel cmiel@gh.edu.pl AŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA Niech ędzie płsim lu pzeszeym łuiem głdim o pmeyzcji: x : y weoowo ; ) z z [ ] Uwg: Złożeie głdości x,, z, ) gwuje posowlość

Bardziej szczegółowo

!"#$ # % &'# #% # # ( )*+,-.-% /.0! 1!"#$%&' ()*+,-./% "67 8&9:;! )* DE FGHIJ/KLKMNO KM * K 9 PQR4STUVKNWX4N%&Y N )* Z[ \]B^_`ab

!#$ # % &'# #% # # ( )*+,-.-% /.0! 1!#$%&' ()*+,-./% 67 8&9:;! )* DE FGHIJ/KLKMNO KM * K 9 PQR4STUVKNWX4N%&Y N )* Z[ \]B^_`ab !"#$ # % &'# #% # # ( )*+,-.-% /.0! 1=>?@ 1!"#$%&' ()*+,-./%01 2345 "67 8&9:;! )* ?@ABC DE FGHIJ/KLKMNO KM * K 9 PQR4STUVKNWX4N%&Y N )* Z[ \]B^_`abNc LGH M QR4S!"#$%!&' "!ABC$%&' DE C /0 1 FGHIJ CKLM

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 01 82 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A P r o m o c j a G m i n y M i a s t a G d y n i a p r z e z z e s p óp

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i

Bardziej szczegółowo

DYDAKTYCZNA PREZENTACJA PRÓBKOWANIA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

DYDAKTYCZNA PREZENTACJA PRÓBKOWANIA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH POZA UIVE RSIY OF E CHOLOGY ACADE MIC JOURALS o 73 Electricl Engineering 3 Wojciech LIPIŃSI* DYDAYCZA PREZEACJA PRÓBOWAIA SYGAŁÓW ORESOWYCH Przedstwiono dydtyczną prezentcję próbowni przebiegów oresowych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA Z n a k s p r a w y GC S D Z P I 2 7 1 0 1 42 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e p r a c p i e l g n a c y j n o r e n o w a c y j n

Bardziej szczegółowo

7. Szeregi funkcyjne

7. Szeregi funkcyjne 7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n

Bardziej szczegółowo

Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01

Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01 WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r

Bardziej szczegółowo

Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski

Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz

Bardziej szczegółowo

, , , , 0

, , , , 0 S T E R O W N I K G R E E N M I L L A Q U A S Y S T E M 2 4 V 4 S E K C J I G B 6 9 6 4 C, 8 S E K C J I G B 6 9 6 8 C I n s t r u k c j a i n s t a l a c j i i o b s ł u g i P r z e d r o z p o c z ę

Bardziej szczegółowo

2 7k 0 5k 2 0 1 5 S 1 0 0 P a s t w a c z ł o n k o w s k i e - Z a m ó w i e n i e p u b l i c z n e n a u s ł u g- i O g ł o s z e n i e o z a m ó w i e n i u - P r o c e d u r a o t w a r t a P o l

Bardziej szczegółowo

5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.

5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej. 5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 70 1 3 7 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e w r a z z r o z s t a w i e n i e m o g

Bardziej szczegółowo

± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi

± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi TYGONOMETRYCZNE Przjmujm, ż znn są dfinicj i podstwow włsności funkcji trgonomtrcznch. Zprzntujm poniżj kilk prktcznch sposobów szbkigo, prktczngo obliczni wrtości funkcji trgonomtrcznch, rozwiązwni równń

Bardziej szczegółowo

၇剗Ż ၇剗 ၇剗 ၇剗၇剗၇剗၇剗 NAZWA INWESTYCJI : "GAJÓWKA MIKOŁAJA - Budynek Główny ADRES INWESTYCJI : GORCZAŃSKI PARK NARODOWY DATA OPRACOWANIA : 10.0.008R. Ogółem wartość kosztorysowa robót : 0.00 zł Słownie: zero

Bardziej szczegółowo

Rejestracja obrazów w fotogrametrii naziemnej budowa kamery Photheo 19/1318. Rejestracja obrazów w fotogrametrii naziemnej budowa kamery UMK 10/1318

Rejestracja obrazów w fotogrametrii naziemnej budowa kamery Photheo 19/1318. Rejestracja obrazów w fotogrametrii naziemnej budowa kamery UMK 10/1318 Rejestj obów w fotogmetii niemnej budow mey Photheo 9/38 Libell κ Libell ω oientowni Spęg oientowni meą Pesuwny obietyw Spęg mey e spodą Rejestj obów w fotogmetii niemnej budow mey UMK /38 Libell κ Libell

Bardziej szczegółowo

Wzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).

Wzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b). Wzory uproszczonego mno zeni: ( + b) = + b + b, ( b) = b + b, b = ( b) ( + b). Dzi ni n pot ¾egch: Dl ; y R orz ; b > 0 (dl pewnych wyk dników ; y z o zeni o ; b mog¾ być os bine w zle zności od sytucji)

Bardziej szczegółowo

Wiązki gaussowskie scalony Strona 1 z 9 Wiązki gaussowskie

Wiązki gaussowskie scalony Strona 1 z 9 Wiązki gaussowskie Wiąi gussowsi sclony Sron 9 Wiąi gussowsi. rdmio opisu: pol rochodi się w irunu osi, ogrnicon do oolicy osi opycnj: D y x ol lrycn możn rołożyć n słdow ( i poprcną: ). odobni dywrgncję możn rołożyć n sm

Bardziej szczegółowo

Wrocław, dnia 24 czerwca 2016 r. Poz UCHWAŁA NR XXVI/540/16 RADY MIEJSKIEJ WROCŁAWIA. z dnia 16 czerwca 2016 r.

Wrocław, dnia 24 czerwca 2016 r. Poz UCHWAŁA NR XXVI/540/16 RADY MIEJSKIEJ WROCŁAWIA. z dnia 16 czerwca 2016 r. DZE UZĘDY EÓDZA DLŚLĄE, d 24 2016 2966 UCHAŁA XXV/540/16 ADY EE CŁAA d 16 2016 ś g bdó b ó d gó d 18 2 15 d 8 1990 ąd g (D U 2016 446) 12 11 92 1 d 5 1998 ąd (D U 2015 1445 1890), ą 17 4 5 d 7 ś 1991 ś

Bardziej szczegółowo

w 1 9 2 8 i 1 9 3 0 r.

w 1 9 2 8 i 1 9 3 0 r. I I O G Ó L N O P O L S K A K O N F E R E N C J A N A U K O W A D O K T O R A N C K I E S P O T K A N I A Z H I S T O R I } K o m i t e t n a u k o w y U n i w e r s y t e t W a r m i f -M s kaoz u r s

Bardziej szczegółowo

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe

Bardziej szczegółowo

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4 Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest

Bardziej szczegółowo

Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 2. Układy liniowe i niezmienne w czasie (układy LTI) y[n] x[n]

Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 2. Układy liniowe i niezmienne w czasie (układy LTI) y[n] x[n] Toi Sgłów II ok Goizki III ok Ioki Sosowj Wkłd Ukłd liiow i izi w czsi ukłd LTI Kilk uwg: LTI jpopulijsz odl ilcji LTI odl pocsów izczch [] Ukłd liiow [] gdzi ozcz sgł wjściow do ukłdu zś sgł wjściow.

Bardziej szczegółowo

I 3 + d l a : B E, C H, C Y, C Z, ES, F R, G B, G R, I E, I T, L T, L U V, P T, S K, S I

I 3 + d l a : B E, C H, C Y, C Z, ES, F R, G B, G R, I E, I T, L T, L U V, P T, S K, S I M G 6 6 5 v 1. 2 0 1 5 G R I L L G A Z O W Y T R Ó J P A L N I K O W Y M G 6 6 5 I N S T R U K C J A U 7 Y T K O W A N I A I B E Z P I E C Z E Ń S T W A S z a n o w n i P a s t w o, D z i ę k u j e m y

Bardziej szczegółowo

cos(ωt) ω ( ) 1 cos ω sin(ωt)dt = sin(ωt) ω cos(ωt)dt i 1 = sin ω i ( 1 cos ω ω 1 e iωt dt = e iωt iω II sposób: ˆf(ω) = 1 = e iω 1 = i(e iω 1) i ω

cos(ωt) ω ( ) 1 cos ω sin(ωt)dt = sin(ωt) ω cos(ωt)dt i 1 = sin ω i ( 1 cos ω ω 1 e iωt dt = e iωt iω II sposób: ˆf(ω) = 1 = e iω 1 = i(e iω 1) i ω Rachunk prawdopodobiństwa MAP6 Wydział Elktroniki, rok akad. 8/9, sm. ltni Wykładowca: dr hab. A. Jurlwicz Przykłady do listy : Transformata Fourira Przykłady do zadania. : Korzystając z dfinicji wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

u«w VH TUMJ : U-U'.U s = w eii5gfshimi>i "l >55 = gc»fgs5jf - 2» - > => -... >.- Z 5C " -' "- K,, 5H IIHli!gi5h-i-m!l!.5 = H i"" i ii; V «i» > 1 J} - - -f.-'".-"f"f.f; vr-.'"--

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k Zó aw m ó w i e n i a Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 1 1 2 0 14 W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w Gd y n

Bardziej szczegółowo

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n 6 Szeregi Fourier Defiij Dwie fuje ψ :< > C zywmy fujmi ortogolymi przedzile < > gdy ψ Defiij Ciąg fuji ) :< > C zywmy ułdem ortogolym przedzile < > gdy fuje są prmi ortogole przedzile < > tz gdy j j λ

Bardziej szczegółowo

Opis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu

Opis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu O p i s i z a k r e s c z y n n o c is p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o C e n t r u m S p o r t u I S t a d i o n p i ł k a r s k i w G d y n i I A S p r z» t a n i e p r z e d m e c

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostką budżetową Zamawiającym Wykonawcą

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostką budżetową Zamawiającym Wykonawcą W Z Ó R U M O W Y n r 1 4 k J Bk 2 0 Z a ł» c z n i k n r 5 z a w a r t a w G d y n i w d n i u 1 4 ro ku p o m i 2 0d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j ei d n o s t k» b

Bardziej szczegółowo

n ó g, S t r o n a 2 z 1 9

n ó g, S t r o n a 2 z 1 9 Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I2 7 1 0 6 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A D o s t a w a w r a z z m o n t a e m u r z» d z e s i ł o w n i z

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych Przetwarzanie sygnałów biomedycznych dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof. PW Człowiek- najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1) etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

1 Definicja całki oznaczonej

1 Definicja całki oznaczonej Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x

Bardziej szczegółowo

啇c go b kt ᆗ匷 y l y s l g y l. P ysł ᆗ匷 ᆗ匷 s ob kt b o l go ᆗ匷 l. P ysł ᆗ匷ᆗ匷.. ᆗ匷ᆗ匷ᆗ匷 ᆗ匷ᆗ匷ᆗ匷ᆗ匷 啇c go Pᆗ匷ᆗ匷 ᆗ匷 ᆗ匷 s 啇c go l. ᆗ匷. 呷b s ᆗ匷ᆗ匷 ᆗ匷2-500 ᆗ匷 s o ot o co 啇c go ᆗ匷 P ó O g Z I s y TECHPLAN ᆗ匷 ᆗ匷

Bardziej szczegółowo

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona. Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech

Bardziej szczegółowo

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1 O p i s p r z e d m i o t u z a m ó w i e n i a - z a k r e s c z y n n o c i f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o O r o d k a S p o r t u i R e ks r e a c j i I S t a d i

Bardziej szczegółowo

8 6 / m S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu E L E K T R Y K K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ó w i s p e c j a l n o ś c i d l a p o t r z e b r y n k

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:

Bardziej szczegółowo

Z e s p ó ł d s. H A L i Z

Z e s p ó ł d s. H A L i Z C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P P L A N P R A C Y K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j I 2 0 1 5- V I 2 0 1 6 1. C h a r a k t e r y s t y k a C h o r ą g w i C h o r ą g

Bardziej szczegółowo

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)

Bardziej szczegółowo

Zanim zapytasz prawnika

Zanim zapytasz prawnika 2 Zanim zapytasz prawnika 1 Zanim zapytasz prawnika Poradnik dla Klientów Biur Porad Prawnych i Informacji Obywatelskiej Pod redakcją Grzegorza Ilnickiego Fundacja Familijny Poznań Poznań 2012 3 N i n

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

Wykład 3: Transformata Fouriera

Wykład 3: Transformata Fouriera Rchunek prwdopodobieństw MAP64 Wydził Elektroniki, rok kd. 28/9, sem. letni Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 3: Trnsformt Fourier Złóżmy, że f(t) jest określon n R, ogrniczon, okresow o okresie 2T i

Bardziej szczegółowo

1 0 2 / m S t a n d a r d w y m a g a ñ - e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu R A D I E S T E T A Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln o ci dla p ot r ze b r yn ku p r acy Kod z klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I. RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 5 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e p r z e g l» d ó w k o n s e r w a c y j n o -

Bardziej szczegółowo

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =

Bardziej szczegółowo

Instrukcja obiegu i kontroli dokumentów powodujących skutki finansowo-gospodarcze w ZHP Spis treści

Instrukcja obiegu i kontroli dokumentów powodujących skutki finansowo-gospodarcze w ZHP Spis treści C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P U c h w a ł a n r 2 1 / I X / 2 0 1 5 K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j Z H P z d n i a 2 10. 5. 2 0 1 5 r. w s p r a w i e I n s t r u

Bardziej szczegółowo

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera AALIZA FOURIEROWSKA szybi trasformaty Fourira dowola fuję priodyzą F( w zasi lub przstrzi (tx, ors T) moża przdstawić jao () F( b o + [ a si( + b os( ] gdzi π / T lub ω zauważmy, ż ω, jst ajiższą zęstośią

Bardziej szczegółowo

F u l l H D, I P S D, I P F u l l H D, I P 5 M P,

F u l l H D, I P S D, I P F u l l H D, I P 5 M P, Z a ł» c z n i k n r 6 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k ó w Z a m ó w i e n i a Z n a k s p r a w yg O S I R D Z P I 2 7 1 02 4 2 0 1 5 W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa IV

Mechanika kwantowa IV Mcik kwtow IV Opcowi: Bb Pc Piot Ptl Atom wodou W ukłdi śodk ms ówi Scödig dl tomu wodou i joów wodoopodobc m postć: V [W..] µ E gdi: Z Vˆ [W..] - opto Lplc dfiiow wom [W..7] Sfci smtc potcjł w ówiu [W..]

Bardziej szczegółowo

r = ψ x ( 5 ) = x ψ ( 6 ) dn = q(x)dx ( 7 ) dt = μdn = μq(x)dx ( 8 ) M = M ( 1 )

r = ψ x ( 5 ) = x ψ ( 6 ) dn = q(x)dx ( 7 ) dt = μdn = μq(x)dx ( 8 ) M = M ( 1 ) M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X O K R E L E N I E O S I O B R O T U M A Y C H R O B O T W G Ą S I E N I C O W Y C H D L A P O T R Z E B O P I S U M O D E L

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S i R D Z P I 2 7 1 0 3 62 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A Z a p e w n i e n i e z a s i l a n i ea n e r g e t y c z ne g o

Bardziej szczegółowo

3. Unia kalmarska IE W O EN MAŁGORZATA I 116 ERYK VII POMORSKI 119 KRZYSZTOF III BAWARSKI ESTRYDSII IE DAN W LO KRÓ 115

3. Unia kalmarska IE W O EN MAŁGORZATA I 116 ERYK VII POMORSKI 119 KRZYSZTOF III BAWARSKI ESTRYDSII IE DAN W LO KRÓ 115 K R Ó L O W I E D ~ N I IW. S TE R Y D S E N O W I E 1 1 4 3. Unia kalmarska K R Ó L O W I E D ~ N I IW. S TE R Y D S E N O W I E M~ Ł G O R Z~ T~ I E R Y K V I I O M O R S K I K R Z Y S Z T O F I I I

Bardziej szczegółowo

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY . Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest

Bardziej szczegółowo

POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA

POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA Ćwiczenie 50 POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA 50.. Widomości ogólne Soczewką nzywmy ciło pzeźoczyste oczyste ogniczone dwiem powiezchnimi seycznymi. Post pzechodząc pzez śodki kzywizny ob powiezchni

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

INWENTARZ AKT DZIAŁU WSPÓŁPRACY Z ZAGRANICĄ AKADEMII MEDYCZNEJ W KRAKOWIE SYGNATURA: DWZ AM opracowała: Agnieszka Niedziałek

INWENTARZ AKT DZIAŁU WSPÓŁPRACY Z ZAGRANICĄ AKADEMII MEDYCZNEJ W KRAKOWIE SYGNATURA: DWZ AM opracowała: Agnieszka Niedziałek INWENTARZ AKT DZIAŁU WSPÓŁPRACY Z ZAGRANICĄ AKADEMII MEDYCZNEJ W KRAKOWIE 1982-1993 SYGNATURA: DWZ AM 1-112 opracowała: Agnieszka Niedziałek DWZ AM 1 Zarządzenia dotyczące współpracy z zagranicą. Korespondencja,

Bardziej szczegółowo

2 ), S t r o n a 1 z 1 1

2 ), S t r o n a 1 z 1 1 Z a k r e s c z y n n o c i s p r z» t a n i a Z a ł» c z n i k n r 1 d o w z o r u u m o w y s t a n o w i» c e g o z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k ó w

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki kwantowej

Podstawy fizyki kwantowej Wykł XI Postwy fiyki kwtowj Mot ęu Oto otu ęu fiiujy jko więc skłow x i y y ˆ i w wsółęych ktjńskich ów są y i x x i x y y x Łtwo wykć ż skłow otu ęu słiją stęujący wiąk koutcyjy ijk [ ] i i j k x y i

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne. Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,

Bardziej szczegółowo

δ δ δ 1 ε δ δ δ 1 ε ε δ δ δ ε ε = T T a b c 1 = T = T = T

δ δ δ 1 ε δ δ δ 1 ε ε δ δ δ ε ε = T T a b c 1 = T = T = T M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 8 9 6-7 7 X M O D E L O W A N I E P A S Z C Z Y Z N B A Z O W Y C H K O R P U S W N A P O D S T A W I E P O M W S P R Z D N O C I O W Y C H

Bardziej szczegółowo

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4.

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4. M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X A N A L I Z A W Y T R Z Y M A O C I O W A S Y S T E M U U N I L O C K 2, 4 S T O S O W A N E G O W C H I R U R G I I S Z C Z

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego

Bardziej szczegółowo

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu

Bardziej szczegółowo

W praktycznym doświadczalnictwie, a w szczególności w doświadczalnictwie polowym, potwierdzono występowanie zależności pomiędzy wzrastającą liczbą

W praktycznym doświadczalnictwie, a w szczególności w doświadczalnictwie polowym, potwierdzono występowanie zależności pomiędzy wzrastającą liczbą W prktyczym doświdczlictwi, w zczgólości w doświdczlictwi polowym, potwirdzoo wytępowi zlżości pomiędzy wzrtjącą liczą oiktów doświdczlych w lokch, wzrotm orwowgo łędu ytmtyczgo. Podcz plowi doświdczń

Bardziej szczegółowo

Mo emy dostarczyæ równie przepustnice jednop³aszczyznowe sterowane rêcznie lub si³ownikiem.

Mo emy dostarczyæ równie przepustnice jednop³aszczyznowe sterowane rêcznie lub si³ownikiem. PODSTWY UNIWERSLNE DO WENTYLTORÓW DOWY PU i PUT ZSTOSOWNIE Podstawy owe s³u ¹ do zamocowaia ów owych OWD; WDVOS; WDVOS; WDVS; WDVS; WDJ; WDJV oraz WD i WD PLUS. Wykoywae s¹ jako uiwersale PU i jako uiwersale

Bardziej szczegółowo

- :!" # $%&' &() : & *+, &( -. % /0 ( 1 $+ #2 ( #2 ) !( # ;<= &( ) >- % ( &( $+ #&( #2 A &? -4

- :! # $%&' &() : & *+, &( -. % /0 ( 1 $+ #2 ( #2 ) !( # ;<= &( ) >- % ( &( $+ #&( #2 A &? -4 - :!" # $%&' &() : 1. 8 -& *+, &( -. % /0 ( 1 $+ #2 ( #2 ) 3 45 167-1.!( # ;- % ( &(- 17 #(?!@- 167 1 $+ &( #&( #2 A &? -2.!"7 # ;- % #&( #2 A &? -3.!( # ;

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

u l. W i d o k 8 t e l. 2 2 6 9 0 6 9 6 9

u l. W i d o k 8 t e l. 2 2 6 9 0 6 9 6 9 T A D E U S Z R O L K E J U T R O B Ę D Z I E L E P I E J T o m o r r o w W i l l B e B e t t e r K a w i a r n i a F a f i k, K r a k ó w, 1 9 9 2 F a f i k C a f e, C r a c o w, 1 9 9 2 W ł a c i c i

Bardziej szczegółowo