METODY PROGNOZOWANIA Z WYKORZYSTANIEM TRENDU POTĘGOWEGO

Transkrypt

1 PRZEGLĄD SAYSYCZNY R LVI ZESZY 009 JAN PURCZYŃSKI MEODY PROGNOZOANIA Z YKORZYSANIEM RENDU POĘGOEGO SĘP Praca doyczy esymacji paramerów ieliiowych modeli redu i saowi, w pewym sesie, koyuację zagadień rozparzoych w pracy [6], gdzie omówioo meody esymacji paramerów redu wykładiczego dla celów predykcji Naomias iiejsza praca jes poświęcoa meodom esymacji paramerów redu poęgowego a porzeby procesu progosyczego Celem badań zaprezeowaych w arykule jes wyzaczeie posaci wzorów przybliżoych umożliwiających esymację paramerów redu poęgowego posiadających zbliżoe właściwości, do oszacowaia paramerów uzyskaych MNK w odiesieiu do modelu I (wzór ()) celu określeia przydaości ych wzorów wykoao symulacje kompuerowe Poado zosaie wyprowadzoy wzór określający błąd ex ae progozy uzyskaej MNK dla redu poęgowego Ze względu a charaker składika losowego, rozparzoe zosaą rzy modele: Model addyywy (Model I) Model muliplikaywy (Model II) Model mieszay (Model III) y A $ + f a gdzie,, f, () gdzie: ea składik losowy o rozkładzie N (0, sa) em składik losowy o rozkładzie N (0, sm) y dae empirycze m y A$ $ ef () m y A$ $ ef +fa (3) przypadku modelu II zalecaa jes meoda rasformacji liiowej [5, 7], polegająca a logarymowaiu rówaia (): l _ y i l( A) + $ l( ) +fm (4)

2 Meody progozowaia z wykorzysaiem redu poęgowego 53 Sosując MNK do rówaia (4), orzymuje się asępujące oszacowaia paramerów i A: L L ] ' - r' g ; AL exp ] Lr -L $ r ' g ] ' - r ' g (5) gdzie: L l y ; Lr L ; ' l( ); r ' '; _ i AL; L oszacowaia paramerów A i Dla modelu addyywego (model I) zalecaa jes MNK w odiesieiu do rówaia (), w wyiku czego, uzyskuje się układ rówań: S S S S y $ l() $ y $ $ l() (6a) AS y $ S S, (6b) gdzie: AS i S ozaczają oszacowaia paramerów A i uzyskae MNK celu wyzaczeia oszacowaia S ależy rozwiązać rówaie (6a) meodą umeryczą [] Nasępie, z rówaia (6b) oblicza się oszacowaie AS Omawiając zagadieie szacowaia paramerów ieliiowych fukcji regresji, do kórych zalicza się fukcja poęgowa, auorzy podręczików i zbiorów zadań zwracają uwagę a ograiczeia sosowaia rasformacji logarymiczej wyikające z założeia posaci modelu muliplikaywego (wzór ()) [4] pracy [3] auorzy dodakowo podkreślają dwa ie problemy związae ze sosowaiem rasformacji: brak przeiesieia własości esymaora l (A) (wzór (4)) a esymaor parameru A oraz ierówoważość kryeriów MNK sosowaej do fukcji krzywoliiowej (wzór ()) i fukcji zlogarymowaej (wzór (4)) związku z czym, w pracy [3] propouje się rozwiązaie układu rówań (6) za pomocą arkusza kalkulacyjego p Microsof Excel Jak już wspomiao powyżej, w iiejszej pracy zosaą zapropoowae wzory przybliżoe umożliwiające esymację paramerów redu poęgowego UPROSZCZONA MEODA SZACOANIA PARAMERÓ RENDU POĘGOEGO Załóżmy, że dla modelu addyywego () zosała wyzaczoa posać eoreycza ŷ :

3 54 Ja Purczyński y A $ (7) gdzie: A i ozaczają oszacowaia paramerów redu Pukem wyjścia jes różica symerycza Ze wzoru (7) i (8), orzymuje się: y - y (8) + - y - y A $ $ < b l -b - l F (9) Sosując rozwiięcie w szereg poęgowy []: m mm ] -g mm m x mx! x ] - g] - g ]! g! +! 3! x3+ f (0) i uwzględiając rzy pierwsze wyrazy szeregu (0) oraz zależość (7), wzór (9) przyjmuje posać: y y - y () + - $ celu zmiejszeia wpływu składika losowego, wykouje się obusroe sumowaie we wzorze (), uzyskując: - _ y y y - i () Możąc rówaie () przez, oraz sumując obusroie, uzyskuje się: - _ y+ - y- i$ - y (3) Poprawym sposobem esymacji parameru jes meoda ajmiejszych kwadraów, kóra zasosowaa do wzoru (), prowadzi do zależości: 3 - y _ y+ - y- i $ - c y m (4)

4 Meody progozowaia z wykorzysaiem redu poęgowego 55 Oszacowaie parameru A uzyskuje się ze wzoru (6b): y $ j A j ; j 3,,, j (5) gdzie: j określają wzory (), (3), (4) 3 YNIKI SYMULACJI KOMPUEROYCH celu ocey przydaości propoowaych wzorów przybliżoych wykoao szereg symulacji kompuerowych dla różych warości paramerów A i oraz liczby obserwacji Poiżej zosaą zamieszczoe wyiki dla A 0, 7 oraz 0,5 i,5 oraz dla okresu progozowaia 8,9,0 Przy określoym poziomie składika losowego wykoywao M 5000 symulacji z użyciem geeraora liczb losowych o rozkładzie ormalym, obliczając zgodie ze wzorami ()-(3) warości obserwacji y m, Dla każdej symulacji wyzaczao warość progozy YP m, : YP A $ m, gdzie: m,, M umer kolejej symulacji, A m i m oszacowaia paramerów redu dla poszczególych symulacji, okres progozy m m (6) Aalogiczie określao warość realizacji zmieej progozowaej YR m,, podsawiając do wzorów ()-(3) Do ocey jakości progozy zasosowao błąd względy progozy ex pos b :: b M M _ YP - YR i m m, m, YRr $ 00 (7) gdzie: YRr M YRm, M m Zakładając zgodość wariacji błędu spowodowaego obecością składika losowego dla modelu I i modelu II, w pracy [5] podao zależość pomiędzy warością odchyleia sadardowego sa i sm Dla małych warości sm zachodzi wzór przybliżoy: gdzie: E yd A _ i vm va, E_ ydi (8)

5 56 Ja Purczyński ykoując symulacje, uruchamiao geeraor liczb losowych o rozkładzie N (0, sa), a asępie dla modelu I, ze wzoru () obliczao warości y Przy realizacji modelu II określao rówoważą warość odchyleia sadardowego sm zgodie ze wzorem (8) Model mieszay (III) był realizoway zgodie ze wzorem: fm a y A$ $ e + f (9) celu rozwiązaia rówaia (6a), sosowao meodę bisekcji (połowieia), kóra w odróżieiu od meody sieczych i meody syczych, daje gwarację zbieżości procesu ieracyjego [] Przy określoym poziomie składika losowego (sa), warość błędu progozy ex pos zależy od warości paramerów redu A i celu ograiczeia wpływu warości paramerów fukcji poęgowej dokoao ormalizacji, wprowadzając względą warość poziomu składika losowego sv: va vv ; yr gdzie: y r y (0) wyiku ormalizacji, dla wszyskich symulacji kompuerowych, paramer sv ależał do ego samego przedziału zmieości [0 0,] pierwszej kolejości wykoao symulacje dla addyywego modelu składika losowego wzór (): A 0, 0,5, 7, okres progozy 8 Spośród rzech meod przybliżoych ajmiejszym błędem ex pos charakeryzuje się meoda I (wzory (), (5), (7)) Meoda przybliżoa III (wzory (4), (5), (7)) prowadzi do błędu ex pos saowiącego,05 warości błędu meody I Najgorzej wypada meoda II (wzory (3), (5), (7)), dla kórej błąd ex pos wyosi,043 warości błędu meody I szyskie rysuki zamieszczoe w pracy przedsawiają warości błędu względego ex pos (wyrażoego w proceach) w fukcji poziomu składika losowego sv Na rysuku porówao warości błędu ex pos uzyskae dla asępujących meod: bl meoda rasformacji logarymiczej, bnk meoda ajmiejszych kwadraów, bp meoda przybliżoa I Do ajmiejszych warości błędu progozy ex pos prowadzi MNK, aomias ajwiększym błędem obarczoe są wyiki meody rasformacji logarymiczej Zbliżoe warości błędu wykazują progozy uzyskae meodą ajmiejszych kwadraów (bnk) oraz meodę przybliżoą (bp) celu ocey przydaości meod przybliżoych, wykoao symulacje dla addyywego modelu składika losowego paramer,5 Najmiejszym błędem progozy ex pos wyróżia się meoda ajmiejszych kwadraów, przy czym błąd progozy rośie liiowo w fukcji poziomu składika losowego sv i dla sv 0, osiąga warość 6,% Sosuek warości błędów ex pos poszczególych meod przybliżoych do warości błędu ex pos MNK wyosi:,05 dla meody I,,0 dla meody II,,07 dla meody III

6 Meody progozowaia z wykorzysaiem redu poęgowego bl i bnk i 5 bp i ,0 0,04 0,06 0,08 0, Rysuek arości błędu względego ex pos (w %) dla addyywego modelu składika losowego w fukcji poziomu składika losowego sv i ; paramer 0,5, okres progozy 8 Liią przerywaą bl i ozaczoo wyiki meody rasformacji logarymiczej, liia ciągła bnk i odpowiada meodzie MNK, liia kropkowaa bp i odpowiada meodzie przybliżoej I sv i Źródło: opracowaie włase bl i ,0 0,04 0,06 0,08 0, Rysuek arości błędu względego ex pos (w %) dla addyywego modelu składika losowego w fukcji poziomu składika losowego sv i paramer,5 yiki odoszą się do meody rasformacji logarymiczej sv i Źródło: opracowaie włase

7 58 Ja Purczyński Na rysuku przedsawioo warości błędu względego ex pos bl i odoszące się do meody rasformacji logarymiczej, uzyskae dla addyywego modelu składika losowego paramer,5 Z rysuku wyika odcikami liiowa zależość warości błędów od względego poziomu składika losowego sv, przy czym, powyżej warości sv 0,04 asępuje gwałowy wzros współczyika kierukowego prosej bl (sv) Podczas gdy dla sv 0,04 błąd wyosi bl 0,6%, o dla sv 0, osiąga warość bl 77% Przyczyy ależy uparywać w wysokim poziomie składika losowego, kóry zgodie ze wzorem (0), dla sv 0, i yr 75, 49 wyosi sa 7,55 ykoując logarymowaie wzoru () popełia się błąd szczególie duży dla małych warości, gdy warości składika losowego są porówywale z warością fukcji poęgowej ykoując eksperyme umeryczy dla muliplikaywego modelu składika losowego z warością parameru 0,5 swierdzoo, że ajmiejszy błąd ex pos zapewia meoda rasformacji logarymiczej, kóry dla sv 0, osiąga warość,3% Dla pozosałych meod uzyskao: bnk bp bp bp3 bl 00,, bl 035,, bl 06,, bl 09, Na uwagę zasługują zbliżoe warości błędów bl, NK i bp3 Symulacje kompuerowe wykoae dla muliplikaywego modelu składika losowego z warością parameru,5 wykazały, że spośród meod przybliżoych, ajmiejszy błąd ex pos zapewia meoda przybliżoa I, kóry dla sv 0, przyjmuje warość 0,6% bnk Dla pozosałych meod uzyskao: bp 0 bp bp,, bp , 58, bp 0, bl i bnk i 6 bp i ,0 0,04 0,06 0,08 0, Rysuek 3 arości błędu względego ex pos (w %) dla muliplikaywego modelu składika losowego w fukcji poziomu składika losowego sv i paramer,5 Liią przerywaą bl i ozaczoo wyiki meody rasformacji logarymiczej Liia ciągła odpowiada MNK (bnk i ) łąd meody przybliżoej I (bp i ) zazaczoo liią kropkowaą sv i Źródło: opracowaie włase

8 Meody progozowaia z wykorzysaiem redu poęgowego 59 Na rysuku 3 porówao warości błędu ex pos uzyskae dla muliplikaywego modelu składika losowego (warość parameru,5) asępujących meod: bl meoda rasformacji logarymiczej, bnk meoda ajmiejszych kwadraów, bp meoda przybliżoa I Do ajmiejszych warości błędu progozy ex pos prowadzi meoda rasformacji logarymiczej Meoda przybliżoa I charakeryzuje się miejszym błędem iż MNK Eksperyme umeryczy wykoay dla mieszaego modelu składika losowego (wzór (3)) z warością parameru 0,5 wykazał, że ajmiejszy błąd ex pos zapewia MNK, kóry dla sv 0, przyjmuje warość 8,5% Dla pozosałych meod uzyskao: bp bp bp3 bl bnk 0, 8, bnk 0, 97, bnk 0, 09, bnk, 0 Z powyższych daych wyika, że aż czery meody prowadzą do zbliżoych warości błędu względego ex pos: MNK, meoda rasformacji logarymiczej oraz meody przybliżoe I i III Jako osai przebadao model mieszay z warością parameru,5 swierdzając, że ajmiejszy błąd ex pos zapewia meoda przybliżoa I, kóry dla sv 0, bnk bp osiąga warość 8,5% Dla pozosałych meod uzyskao: bp 0,, bp 0, 6, bp3 bp 007, bl i bnk i ,0 0,04 0,06 0,08 0, Rysuek 4 arości błędu względego ex pos (w %) dla modelu mieszaego (wzór (3)) w fukcji poziomu składika losowego sv i paramer,5 Liią przerywaą bl i ozaczoo wyiki meody rasformacji logarymiczej Liia ciągła odpowiada MNK (bnk i ) sv i Źródło: opracowaie włase

9 60 Ja Purczyński Na rysuku 4 porówao warości błędu ex pos uzyskae dla modelu mieszaego (warość parameru,5) w wyiku zasosowaia meody rasformacji logarymiczej (bl) oraz MNK (bnk) Z rysuku wyika odcikowo liiowa zależość warości błędów od względego poziomu składika losowego sv, przy czym, powyżej warości sv 0,05 asępuje gwałowy wzros współczyika kierukowego prosej bl (sv) Podczas gdy, dla sv 0,05 błąd wyosi bl 8,59%, o dla sv 0, osiąga warość bl 90,90% ysępuje u, ieco załagodzoa, syuacja zaprezeowaa a rysuku, odoszącym się do addyywego modelu składika losowego warości błędu bl a rysuku 4 saowią (w przybliżeiu) 50% warości błędu bl przedsawioego a rysuku Przyczyą ego jes jedakowy udział składika addyywego i składika muliplikaywego w modelu mieszaym (wzór (3)) Podsumowując wyiki symulacji kompuerowych pod kąem przydaości poszczególych meod przybliżoych ależy swierdzić, że dla sześciu rozparzoych przypadków, meoda przybliżoa I prowadzi do ajmiejszego błędu progozy ex pos dla rzech wariaów: model addyywy ( 0,5), model muliplikaywy (,5), model mieszay (,5) Meoda przybliżoa III okazała się ajlepsza dla dwóch przypadków: model muliplikaywy ( 0,5) oraz model mieszay ( 0,5) Meoda przybliżoa II zapewiała ajmiejszy błąd ex pos dla modelu addyywego z paramerem,5 Mając a uwadze, że w ym osaim przypadku meoda III miimalie usępuje meodzie II moża zalecić sosowaie meod przybliżoych I i III Meody przybliżoe I i III zapewiają miejszy błąd progozy iż MNK dla modelu mieszaego i muiplikaywego z paramerem,5 Meoda rasformacji logarymiczej prowadzi do ajmiejszego błędu, spośród rozparywaych meod, dla muliplikaywego modelu składika losowego przypadku modelu addyywego i mieszaego meoda rasformacji logarymiczej może być sosowaa dla małych warości parameru ( < 0,8) Ograiczeie warości < 0,8 wyika sąd, że dla addyywego modelu składika losowego (sv 0,) wykoao symulacje kompuerowe dla zmieiających się warości parameru 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9;,0, uzyskując warości błędu bl 9,57; 9,69; 0,07; 0,85;,9; 5,68% Ozacza o, że dla > 0,8 asępuje gwałowy wzros błędu Osaia uwaga odosi się do modelu rozparzoego w pracy (A 0, 7, 8, sv 0,) celu jej uogólieia ależałoby rozparzyć modele z ią warością obserwacji oraz okresu progozy w wyiku ormalizacji poziomu składika losowego (wzór (0) paramer A ie ma wpływu a warość względego błędu ex pos 4 ŁĄD EX ANE PROGNOZY UZYSKANEJ MNK DLA RENDU POĘGOEGO Sosując meodę rasformacji logarymiczej, w pierwszej kolejości oblicza się odchyleie sadardowe resz S modelu zliearyzowaego yl : S' _ L - yl i - ()

10 Meody progozowaia z wykorzysaiem redu poęgowego 6 gdzie: yl l AL + L L, AL, L, określa wzór (5) a asępie wyzacza się błąd progozy ex ae [5, 7]: DAL S' + + ] ' - r ' g ] ' - r ' g $ YP () gdzie: l (); S określa wzór (); YP wzór(6); r ' wzór (5) Naomias auor ie spokał w lieraurze wzoru określającego błąd progozy ex ae dla oszacowaia paramerów redu poęgowego wyzaczoych MNK Pukem wyjścia wyprowadzeia ej zależości jes macierz iformacji Fishera []: I v a R S S $ S S S y d A y y $ A A gdzie: ŷ określa wzór (7) a v oszacowaie wariacji składika losowego Z zależości (7) i (3) orzymuje się: I v a V y y $ A y d X (3) f ^ h Af ^ h $ > Af ^ h A f ^ hh (4) gdzie: f ^h $ ; f ^h l( ) $ $ ; f ^h l( ) $ $ 3 (4a) Nasępie wyzacza się odwroość macierzy iformacji Fishera 3 a A f A f I v $ ^ h 3 - $ ^ h - de $ > -A $ f ^ h f ^ h H (5) gdzie: de A 9f ^hf ^h-f ^h C 3 f ^h, f ^h, f ^h opisuje wzór (4a) 3 Elemey macierzy I leżące a główej przekąej określają, zgodie z ierówością Rao-Cramera, dolą graicę wariacji esymaorów paramerów A i []:

11 6 Ja Purczyński Var^A h $ V A v af ^ h 3 f ^hf ^h- f ^h 3 (6) Var^ h $ V a v f ^ h A ` f ^hf ^h- f ^h j 3 (7) dalszej części przyjmuje się uproszczeie polegające a założeiu, że wariacja oszacowań paramerów uzyskaych MNK przyjmuje dolą graicę Rao-Cramera, ozaczoą we wzorach (6) i (7) odpowiedio V A i V łąd progozy D wyraża się wzorem: gdzie: y A ; yd A D y - yd +fa (8) Dokoując rozwiięcia fukcji ŷ w szereg aylora dla fukcji dwóch zmieych w ooczeiu puku (A, ) i ograiczając się do wyrażeń zawierających pierwsze pochode, uzyskuje się: yd yd y A + ^A - Ah + ^ -h A (9) Ze wzorów (8) i (9), orzymuje się: D ^A - Ah + ^ - h A$ l( ) $ +fa (30) ariacja błędu progozy V (D ), wyosi: V_ Di 8V + V ^ A$ l( ) h + cov _ A, ial( ) +v a (3) A gdzie: V A i V określają wzory (6) i (7); cov _ A, i odpowiada elemeom leżącym poza główą przekąą macierzy I (wzór (5): -v a f ^ h cov _ A, i A ` f ^hf ^h- f ^h j 3 Ze wzorów (6), (7), (3), (3) oraz przyjęego uproszczeia A Â i, orzymuje się: V_ D R S l b l G S i v a + S f ^ hf ^ 3 h- f ^ h V X (3) (33)

12 Meody progozowaia z wykorzysaiem redu poęgowego 63 Uwzględiając, że błąd progozy ex ae DA wyraża się zależością: uzyskuje się: DA V_ D i, (34) DA S + b l b ll l () - c l() m (35) gdzie:,,, ; v a S _ y - y i - (35a) y obserwacje; ŷ określa wzór (7); okres progozy Zgodie z wcześiejszymi założeiami upraszczającymi, zależość (35) określa błąd progozy ex ae dla addyywego modelu składika losowego (wzór ()) celu zweryfikowaia wzorów () i (35) określających błąd ex ae, wykoao symulacje kompuerowe dla rzech modeli składika losowego (wzory (), (), (3)) Dla kolejych warości względego poziomu składika losowego sv 0, 00, 00,, 0 wykoao M 5000 powórzeń z wykorzysaiem geeraora liczb losowych arości błędu ex pos wyzaczao zgodie z poiższym wzorem opisującym średi błąd kwadraowy progozy: DP M M _ YP, -YR, i (36) m m m Nasępie obliczao współczyik saowiący sosuek błędu ex ae do błędu ex pos: DA DP (37) spółczyik e zosał ozaczoy odpowiedio: NK dla MNK; P, P, P3 dla meod przybliżoych I, II, III; L dla meody rasformacji logarymiczej przypadku współczyików NK, P, P, P3 błąd ex ae wyzaczao ze wzoru (35) a dla L sosowao wzór () Zamieszczoe w abeli warości współczyików uzyskao w rezulacie uśredieia wyików dla zmieiającego się poziomu składika losowego sv

13 64 Ja Purczyński abela Sosuek warości błędu ex ae do warości błędu ex pos (wzór (37)) Addyywy model składika losowego (wzór ()) NK P P P3 L 0,5,5 0,5,5 0,5,5 0,5,5 0,5 5 8,03,034,00,0,05,05,06,05, ,0,048,0,00,004,036,0,07, ,995,038 0,98 0,970 0,96,09 0,969,008, Muliplikaywy model składika losowego (wzór () 8 0,77 0,506 0,77 0,57 0,75 0,53 0,79 0,54,03,03 9 0,75 0,57 0,76 0,56 0,73 0,5 0,77 0,54,000, ,75 0,53 0,73 0,56 0,69 0,5 0,75 0,55 0,974 0,974 Model mieszay składika losowego (wzór (3)) 8,003 0,703 0,999 0,734 0,968 0,703,06 0,78, ,939 0,690 0,940 0,7 0,90 0,688 0,95 0,704, ,9 0,703 0,9 0,74 0,855 0,697 0,9 0,7, --- Źródło: opracowaie włase Aalizując wyiki zaware w abeli swierdza się asępujące faky przypadku addyywego modelu składika losowego warości współczyika NK ależą do przedziału á0,995,,048ñ; współczyiki P, P, P3 zawierają się w przedziałach á0,97,,0ñ, á0,96,,036ñ, á0,969,,07ñ Dla okresu progozy 0 warości współczyików są miejsze od, co ozacza, że błąd progozy ex ae jes miejszy od rzeczywisego błędu progozy wyzaczoego a drodze symulacji kompuerowych Należy swierdzić sosukowo dużą dokładość oszacowaia błędu ex ae (wzór (35)) warości współczyików różią się od liczby o miej iż 5% Meoda rasformacji logarymiczej, dla parameru 0,5, prowadzi do warości z przedziału á,83,,368ñ, co ozacza zawyżoe warości błędu progozy ex ae abeli ie zamieszczoo warości współczyika L (dla warości parameru,5), poieważ wykazywał zby duże wahaia (ależy do przedziału á0,3,,54ñ), aby moża było uśredić jego warości przypadku muliplikaywego modelu składika losowego, zby małe warości NK i P ozaczają ieprzydaość wzoru (35) Meoda rasformacji logarymiczej prowadzi do warości L z przedziału á0,974,,03ñ, co ozacza dużą dokładość wzoru () zaiżoe warości błędu progozy ex ae wysępują ylko dla okresu progozy 0 Dla modelu mieszaego z paramerem,5 zrezygowao z zamieszczeia współczyika L, kóry ależał do przedziału á0,6,,53ñ arości współczyików

14 Meody progozowaia z wykorzysaiem redu poęgowego 65 dla MNK i meod przybliżoych wskazują a możliwość sosowaia wzoru (35) dla parameru 0,5 Naomias, dla,5 wzór (35) ie powiie być sosoway Odośie meody rasformacji logarymiczej moża zauważyć, że wzór () jes ieprzyday dla modelu mieszaego 4 ZAKOŃCZENIE pracy rozparzoo wybrae aspeky związae ze sosowaiem redu poęgowego w procesie progosyczym Symulacje kompuerowe opisae w p 3 wykazały dużą wrażliwość meody rasformacji logarymiczej a założoy model składika losowego Meoda a sprawdza się, jak powszechie wiadomo, dla modelu muliplikaywego a akże dla modelu mieszaego i modelu addyywego składika losowego przy małych warościach parameru ( < 0,8) Naomias meody ej ie powio się sosować dla modeli I i III, gdy esymoway paramer przyjmuje duże warości ( > 0,8) ym samym powierdziły się zasrzeżeia doyczące ograiczeia rasformacji logarymiczej wyrażae w pracach [3] i [4] odróżieiu od pracy [3], gdzie propouje się wykorzysaie arkusza kalkulacyjego Microsof Excel do rozwiązaia układu rówań (6), w pracy zapropoowao meody przybliżoe, kóre prowadzą do wyików zbliżoych, jakie uzyskuje się MNK Meody e moża uporządkować w asępującej kolejości: meoda przybliżoa I (wzory (), (5)), meoda przybliżoa III (wzory (4), (5)) oraz meoda przybliżoa II (wzory (3), (5)) przypadku meody I wzór () moża zapisać w posaci dogodiejszej do obliczeń: y y y y y (38) Sosując meody przybliżoe, jak rówież MNK, moża wyzaczyć błąd ex ae a podsawie wzoru (35) Przyjmując jako kryerium ajmiejszą warość błędu ex ae zaleca się wykoaie obliczeń rzema meodami przybliżoymi, a warość progozy wyzacza się ą meodą, kóra spełia o kryerium Uiwersye Szczeciński LIERAURA [] Chow GC, [995], Ekoomeria, ydawicwo Naukowe PN, arszawa [] Dahlquis G, jorck A, [983], Meody umerycze, PN, arszawa [3] Jurkiewicz, Pleikowska-Ślusarz, [00], Algorymy opymalizacyje w esymacji ieliiowych fukcji regresji, iadomości Saysycze z 0, s 0-5 [4] Kmea J, [990], Elemes of Ecoomerics (secod ediio), Macmilla Publishig Co

15 66 Ja Purczyński [5] Progozowaie gospodarcze Meody i zasosowaia, [00], pod redakcją Cieślak M ydawicwo Naukowe PN, arszawa [6] Purczyński J, [008], ybrae aspeky progozowaia z wykorzysaiem redu wykładiczego, Przegląd Saysyczy z, s 7-44 [7] Zeliaś A, Pawełek, aa S, [004], Progozowaie ekoomicze eoria, przykłady, zadaia, PN, arszawa Praca wpłyęła do redakcji w luym 009 r? MEODY PROGNOZOANIA Z YKORZYSANIEM RENDU POĘGOEGO Sreszczeie pracy rozparzoo wybrae aspeky związae ze sosowaiem redu poęgowego w procesie progosyczym Zapropoowao przybliżoe meody esymacji paramerów redu (wzory ()-(5)), kóre prowadzą do zbliżoych wyików, jakie daje meoda ajmiejszych kwadraów (MNK) yprowadzoo wzór (35) określający błąd ex ae progozy wyzaczoej meodami przybliżoymi oraz MNK dla addyywego modelu składika losowego ykoao symulacje kompuerowe uwzględiające rzy modele składika losowego (addyywy, muliplikaywy, mieszay) mające a celu określeie zakresu przydaości meody rasformacji logarymiczej, MNK oraz meod przybliżoych Słowa kluczowe: progozowaie, esymacja paramerów redu poęgowego, błąd progozy ex ae, symulacje kompuerowe MEHODS OF FORECASING IH HE USE OF POER REND Summary I his paper seleced aspecs cocerig he use of power red i he forecasig process were cosidered Approximae mehods for esimaig red parameers (equaios ()-(5)) were proposed he mehods yielded resuls similar o resuls give by leas squares mehod (LSM) Formula (35) deermiig ex ae error of he forecas deermied by he approximae mehods ad LSM for radom eleme addiive model was defied Compuer simulaios were doe icludig hree models of radom eleme (addiive, muliplicaive, mixed) wih he aim of deermiig he rage of usefuless of logarihmic rasformaio mehod, LSM ad he approximae mehods Key words: forecasig, esimaio of power red parameers, forecas ex ae error, compuer simulaios