KRÓTKOTERMINOWE PROGNOZOWANIE WIELKO CI UDZIAŁU KOMPONENTÓW USZKODZONYCH W PRODUKCJI CAŁKOWITEJ Z WYKORZYSTANIEM KLASYCZNYCH METOD PREDYKCJI

Transkrypt

1 KRÓTKOTERMINOWE PROGNOZOWANIE WIELKO CI UDZIAŁU KOMPONENTÓW USZKODZONYCH W PRODUKCJI CAŁKOWITEJ Z WYKORZYSTANIEM KLASYCZNYCH METOD PREDYKCJI WOJCIECH WO NIAK, JERZY MIKULIK Sreszczeie W pracy zaprezeowao wyiki bada polegaj cych a doborze odpowiediej meody do progozowaia wielko ci udziału kompoeów uszkodzoych w produkcji całkowiej w wybraym przedsi biorswie produkcyjym. Wykorzysuj c meod aiw, meody rediej ruchomej oraz meody wygładzaia wykładiczego zbudowao modele progosycze oraz porówao je ze sob wg wybraych kreriów. Słowa kluczowe: aaliza bł dów, iezawodo, progozowaie Wprowadzeie Isieje wiele defiicji poj progoza czy progozowaie. A. Zelia przyjmuje, e progoza o wybór w ramach daego układu ajbardziej prawdopodobej drogi rozwoju wyró ioego zjawiska ekoomiczego w adchodz cym czasie, przy czym podsaw ego wyboru saowi doychczasowy przebieg ego zjawiska i akualy sa układu [3, s. 5]. Defiicja progozowaia, zaczerpi a z pracy M. Cie lak mówi, e jes o po prosu wioskowaie o zdarzeiach iezaych a podsawie zdarze zaych [4, s. 5], jedak ajwi ksze uproszczeie mo a zale w pracy C. Bozarha oraz R. B. Hadfielda [2, s. 32] wg ych auorów progoza o szacukowe okre leie poziomu daej zmieej. Proces progozowaia przebiega według schemau opisaego w kolejym akapicie. Pierwszym eapem jes sformułowaie zadaia progosyczego ale y okre li progozowae zjawisko oraz cel budowy progozy. W kolejym eapie badamy czyiki wpływaj ce a zmiay ego zjawiska. Eap rzeci o zebraie daych saysyczych oraz ich obróbka i aaliza. W eapie czwarym ale y wybra odpowiedi meod progozowaia, a as pie w eapie pi ym w oparciu o wybra meod zbudowa model progosyczy i wyzaczy progoz. Szósym eapem jes ocea jako ci rozwi zaia ale y sprawdzi czy uzyskaa progoza daje dopuszczale rezulay. W suacji, gdy progoza jes progoz dopuszczal as puje jej zasosowaie w prakyce. Osai eap polega a oceie rafo ci progozy [5, s ].. Meody progozowaia Isieje wiele meod progozowaia, kóre maj zasosowaie do ró ej klasy szeregów czasowych. Jako ajbardziej fudameale mo a wymiei meody aiwe, meody rediej ruchomej oraz meody wygładzaia wykładiczego. Modele aiwe, jak apisao w pracy M. Cie lak [4, s. 67 7] opare s a prosym zało eiu braku isoych zmia poziomu zmieej progozowaej w ajbli szym czasie (rówaie ): * y = y () * y progoza zmieej y wyzaczoa a okres, 6

2 Wojciech Wo iak, Jerzy Mikulik Krókoermiowe progozowaie wielko ci udziału kompoeów uszkodzoych w produkcji całkowiej z wykorzysaiem klasyczych meod predykcji y waro zmieej y w okresie, W przypadku szeregów czasowych odzaczaj cych si sezoowo ci mo a zasosowa meod opisa wzorem 2: * = y r (2) r waro zmieej y w odpowiadaj cej fazie cyklu poprzediego okresu, r liczba faz cyklu. Drug grup modeli progosyczych saowi modele ARIMA i SARIMA, kóre szczegółowo zosały omówioe przez G. E. P. Boxa oraz G. M. Jekisa []. S o zw. modele auoregresji AR i rediej ruchomej MA. Model auoregresji AR ma ogól posa [5, s. 98]: y ϕ ϕ ϕ ϕ + ε = p p (3),, 2,..., p waro ci zmieej progozowaej w okresie,, 2,, p, ϕ, ϕ, ϕ2,..., ϕ p paramery modelu, ε bł d modelu w okresie, p wielko opó ieia. Budowa modeli AR opiera si a wzajemej zale o ci zmieej progozowaej z waro ciami ej samej zmieej opó ioymi w czasie. Model rediej ruchomej MA ma posa [4, s. 95]: = ϑ ϑε ϑ2ε 2... ϑqε q + ε (4) y waro zmieej progozowaej w okresie,, ϑ, ϑ2 ϑ,..., ϑ p paramery modelu, ε ε ε..., ε q,, 2, q bł dy modelu w okresach,, 2,, p, wielko opó ieia. W przypadku modelu MA ale y zazaczy, e suma paramerów modelu ϑ i ie musi by rówa jedo ci, a poado paramery e ie musz by dodaie [4, s. 95]. W wyiku poł czeia modeli AR i MA orzymujemy model ARMA [6, s. 2]: = ϕ ϕ p p + ε + ϑ ϑε... ϑqε q (5) Omówioe modele AR, MA oraz ARMA zakładaj sacjoaro szeregu zmieej progozowaej. W suacji, je eli szereg czasowy ie jes szeregiem sacjoarym ale y przekszałci go w szereg sacjoary za pomoc operacji d-kroego ró icowaia [6, s. 239]. Proces ró icowaia mo a przedsawi za pomoc rówa (wzór 6 dla pierwszych ró ic) oraz (wzór 7 dla kolejych ró ic) [6, s. 2]. y = y y (6) 6 q

3 Sudies & Proceedigs of Polish Associaio for Kowledge Maageme Nr 85, 27 d d d y = y (7) Efekem zabiegu ró icowaia iesacjoarych szeregów czasowych jes mo liwo ich progozowaia przy u yciu modeli AR, MA oraz ARMA. Modele akie, w kórych uprzedio as piło ró icowaie azywamy procesami ziegrowaymi: ARI (ag. Auoregressive Iegraed ziegroway proces auoregresji), IMA (ag. Iegraed Movig Average ziegroway proces rediej ruchomej) oraz ARIMA (ag. Auoregressive Iegraed Movig Average ziegroway proces auoregresji i rediej ruchomej). Modele ziegrowae mo a przedsawi w ogólej posaci ARIMA (p, q, d), gdzie p ozacza rz d auoregresji, d kroo ró icowaia, a q wielko opó ieia rediej ruchomej [2, s. 239]. Proces ARIMA (p, q, d) wyra a si wzorem [2, s. 24]: p d ( B) y = Θ ( B) ε Φ (8) gdzie B, o zw. operaor przesui cia wsecz obliczay a podsawie wzoru 9: Bε = ε (9) W przypadku wys pieia sezoowo ci w szeregu czasowym model ARIMA podlega kolejej modyfikacji, w wyiku kórej orzymujemy model SARIMA (ag. Seasoal Auoregressive Iegraed Movig Average ziegroway sezoowy proces auoregresji i rediej ruchomej). Model SARIMA ogólej posaci wyra a si wzorem: S d S Φ ( B ) y = Θ ( B ) ε () p S Jak apisao w pracy A. Lichoy [9, s. 57], w modelu ym zakłada si, e wielko progozowaa w okresie zale y od przeszłych jej waro ci i od bł dów przeszłych progoz oraz ych waro ci w okresie s. W pracy ej mo emy poado zale szczegółowe zaleceia doycz ce mo liwo ci sosowaia wy ej wymieioych meod [9, s ]. Model auoregresyjy ale y sosowa gdy liczba współczyików korelacji cz skowej jes bardzo mała. W przeciwym wypadku ale y sosowa model rediej ruchomej. Model ARMA ma zasosowaie am, gdzie waro ci współczyików zarówo fukcji auoregresji jak i auoregresji cz skowej malej wykładiczo w kieruku zera. Procesy ziegrowae maj zasosowaie am, gdzie jak ju wcze iej wspomiao mamy do czyieia z iesacjoaro ci szeregu czasowego. Kolej grup saysyczych meod progozowaia s meody polegaj ce a wygładzaiu szeregu czasowego za pomoc rediej ruchomej wa oej. Meody e szczegółowo zosały omówioe przede wszyskim w pracach R. G. Browa [3], C. C. Hola [7] oraz P. R. Wiera []. Model Browa, czyli prose wygładzaie wykładicze opisuje rówaie: y ( ) = α + α () y, y wyrówae wykładiczo redie ocey redu po okresach oraz, y osaia realizacja zmieej progozowaej, α sała wygładzaia, przyjmuj ca waro ci z przedziału ; W przypadku ego modelu isoe jes pocz kowe usaleie waro ci progozy a okres. Z reguły przyjmuje si j rów rzeczywisej waro ci zmieej z ego okresu: y q q y = (2) 62

4 Wojciech Wo iak, Jerzy Mikulik Krókoermiowe progozowaie wielko ci udziału kompoeów uszkodzoych w produkcji całkowiej z wykorzysaiem klasyczych meod predykcji Nale y zauwa y, e im dłu szy jes szereg czasowy, ym miejszy wpływ a progoz ma przyj a waro pocz kowa y. Model ma zasosowaie w odiesieiu do sacjoarych szeregów czasowych, w kórych mamy do czyieia z prawie sałym poziomem zmieej progozowaej oraz wahaiami przypadkowymi [, s. 22]. Podwóje wyrówaie wykładicze Hola, jak zauwa a M. Sobczyk zajduje zasosowaie wówczas, gdy w szeregu czasowym wys puje składowa sysemaycza w posaci liiowego redu oraz iewielkie wahaia sezoowe [, s. 27]. Model e słu y do budowy progoz krókookresowych a jede lub kilka okresów a przód. Zwi kszaj c horyzo progozowaia ale y liczy si ze wzrosem iepewo ci. Model opisuj rówaia: F α y + α F S (3) S ( )( + ) ( F F ) + ( β ) S = β (4) = = F + S y (5) F, F redie obliczoe wykładiczo po okresach oraz, S, S redie zmiay redu obliczoe wykładiczo po okresach oraz, α, β sałe wygładzaia, przyjmuj ce waro ci z przedziału ; y osaia realizacja zmieej progozowaej, W modelu wys puj dwie sałe wygładzaia α oraz β. Ich waro ci s dobierae eksperymealie w aki sposób, aby zmiimalizowa redi kwadraowy bł d progoz wygasłych [, s. 28]. W przypadku ego modelu isoe jes usaleie waro ci pocz kowych F oraz S. Z reguły waro F przyjmuje si a poziomie rówym y. Z kolei waro S mo a przyj a poziomie rówym lub obliczy jako ró ic y2 y. Model Wiera jes wykorzysyway, gdy w szeregu czasowym obok waha przypadkowych i redu wys puj rówie wahaia sezoowe [, s. 3]. Rozró iamy wersj addyw i muliplikayw modelu. Addywy model Wiera opisuj rówaia: F α y C + α F S (6) ( r ) ( )( + ) = ( F F ) + ( β ) S = ( F ) + ( γ ) C r = S C β (7) γ (8) = F + S( ) + C r (9) Muliplikaywy model Wiera opisuj rówaia: F α y / C ) + α F S (2) ( )( ) ( F F ) + ( β ) S ( F ) + ( ) C r [ F + S( ] C r = ( r + β (2) γ / (22) S C = γ = y = ) 63 (23)

5 Sudies & Proceedigs of Polish Associaio for Kowledge Maageme Nr 85, 27 F, F redie obliczoe wykładiczo po okresach oraz, S, S redie zmiay redu obliczoe wykładiczo po okresach oraz, C wska ik sezoowo ci, α, β, γ sałe wygładzaia, przyjmuj ce waro ci z przedziału ; y osaia realizacja zmieej progozowaej, W modelu wys puj rzy sałe wygładzaia α, β oraz γ. Ich waro ci podobie jak w przypadku modelu Hola s dobierae eksperymealie w aki sposób, aby zmiimalizowa redi kwadraowy bł d progoz wygasłych, przy czym α wpływa a wygładzo oce waro ci rediej a okres, β decyduje o waro ci przyrosu redu liiowego a okres, a γ wpływa a wygładzo oce waro ci absoluych poziomów waha sezoowych. Isoe jes usaleie waro ci pocz kowych F, S oraz C, C 2,, C r. Z reguły waro F przyjmuje si a poziomie rówym y. Z kolei waro S mo a przyj a poziomie rówym lub obliczy jako ró ic y 2 y. Waro ci C, C 2,, 2. Progozowaie wielko ci udziału produkcji wadliwej C r dobiera si w aki sposób, aby ich suma była rówa. Omówioe w poprzedim podrozdziale meody posłu yły jako arz dzie do progozowaia udziału kompoeów uszkodzoych w produkcji całkowiej w wybraym przedsi biorswie. Na rysuku zaprezeowao dae, a podsawie kórych przeprowadzoo aalizy. Jako dae wej ciowe do uworzoych modeli progosyczych posłu yły dae zebrae a przesrzei kolejych 66 di roboczych. Jak mo a zauwa y a rysuku udział kompoeów uszkodzoych w produkcji całkowiej odzacza si redem malej cym ajwy szy udział kompoeów uszkodzoych w produkcji całkowiej odoowao pi ego dia aalizowaego okresu, aomias aji szy dia pi dziesi ego siódmego. Wi kszo daych skupioa jes jedak wokół rediej, czego powierdzeiem s zamieszczoe rówie a rysuku hisogram daych oraz siaka prawdopodobie swa rozkładu ormalego. Waro ci podsawowych miary saysyczych dla aalizowaego zbioru daych zesawioo z kolei w abeli. 64

6 Wojciech Wo iak, Jerzy Mikulik Krókoermiowe progozowaie wielko ci udziału kompoeów uszkodzoych w produkcji całkowiej z wykorzysaiem klasyczych meod predykcji Dae hisorycze [%] kolejy dzie aalizy Hisogram daych Siaka rozkładu ormalego cz so wysapieia 5 Prawdopodobie swo [%] Dae Rysuek. Dae, a podsawie kórych przeprowadzoo proces progozowaia Tabela. Waro ci podsawowych miar saysyczych aalizowaego zbioru daych Miara saysycza Waro miary redia,5853 Odchyleie sadardowe,737 Miimum,295 Maksimum,67 Rozs p,7872 Mediaa,58 Współczyik kierukowy liiowej fukcji redu -,63 Wyraz woly liiowej fukcji redu,7967 Na rysuku 2 zaprezeowao przebiegi progoz wygasłych uzyskaych z zasosowaia wybraych meod progosyczych. 65

7 Sudies & Proceedigs of Polish Associaio for Kowledge Maageme Nr 85, Meoda aiwa Meoda rediej ruchomej 3-okresowej Meoda Browa Meoda addywa Wiera Meoda rediej ruchomej 2-okresowej Meoda rediej ruchomej 4-okresowej Meoda Hola Meoda muliplikaywa Wiera Dae rzeczywise Progoza Rysuek 2. Progozy wielko ci udziału produkcji wadliwej w produkcji całkowiej uzyskae z zasosowaia wybraych meod progozowaia 66

8 Wojciech Wo iak, Jerzy Mikulik Krókoermiowe progozowaie wielko ci udziału kompoeów uszkodzoych w produkcji całkowiej z wykorzysaiem klasyczych meod predykcji Ocey uzyskaych wyików dokoao a podsawie miar bł dów ex pos (ab. 2). Tabela 2. Podsawowe miary bł dów ex pos Bł d Fukcja bł du Bł d redi ME = ( ) (ag. Mea error) y i y i Waro bezwzgl da bł du rediego (ag. Mea absolu error) MAE = y i y i Pierwiasek bezwzgl dego bł du rediokwadraowego RMSE = ( ) (ag. Roo mea squared error) y i y i redi bł d proceowy (ag. Mea perceage error) redi wzgl dy bł d proceowy (ag. Mea absolu perceage error) ródło: opracowaie włase a podsawie [8, s. 53]. MPE = MAPE = yi yi y W abeli 3 zasosowao zesawieie ych e miar dla aalizowaego przypadku. i yi yi y Tabela 3. Waro ci bł dów uzyskaych z zasosowaia wybraych meod predykcji do progozowaia udziału kompoeów wadliwych w produkcji całkowiej Meoda progozowaia Bł d ME MAE RMSE MPE MAPE Meoda aiwa -,,958,49-6,75% 9,99% Meoda rediej ruchomej 2-okresowej -,47,94,463-8,65% 9,87% Meoda rediej ruchomej 3-okresowej -,2,989,475 -,45% 2,33% Meoda rediej ruchomej 4-okresowej -,254,4,442 -,78% 2,7% Meoda Browa -,272,939,327 -,3% 9,98% Meoda Hola,33,97,377-4,78% 9,92% Meoda addywa Wiera,26,353,55 4,88% 6,84% Meoda muliplikaywa Wiera,23,343,542 4,9% 6,68% W przypadku meod wygładzaia wykładiczego sałe wygładzaia zosały dobrae w aki sposób, aby zmiimalizowa waro bł du RMSE. Zesawieie ych e sałych zamieszczoo w abeli 4. i 2 67

9 Sudies & Proceedigs of Polish Associaio for Kowledge Maageme Nr 85, 27 Tabela 4. Waro ci sałych wygładzaia w uworzoych meodami Browa, Hola i Wiera modelach progosyczych Meoda progozowaia Sała wygładzaia α β γ Meoda Browa, Meoda Hola,398, - Meoda addywa Wiera,954,2924, Meoda muliplikaywa Wiera,94,2948, Naji sze waro ci bł dów uzyskao dla progoz zbudowaych w oparciu o modele Wiera. Aalizy rozkładów bł dów uzyskaych z zasosowaia omawiaych wcze iej meod progosyczych powierdziły słuszo wyboru modeli Wiera (rys. 3). Rysuek 3. Aaliza bł dów uzyskaych z zasosowaia modeli Wiera do progozowaia wielko- ci udziału produkcji wadliwej 68

10 Wojciech Wo iak, Jerzy Mikulik Krókoermiowe progozowaie wielko ci udziału kompoeów uszkodzoych w produkcji całkowiej z wykorzysaiem klasyczych meod predykcji 3. Podsumowaie Temayka progozowaia i aalizy szeregów czasowych saowi ieprzerwaie isoy i akualy obszar bada aukowych. W iiejszej pracy zbadao mo liwo wykorzysaia klasyczych meod progosyczych do progozowaia wielko ci udziału kompoeów uszkodzoych w produkcji całkowiej w przykładowym przedsi biorswie. Wykorzysuj c meod aiw, meody rediej ruchomej oraz meody wygładzaia wykładiczego ajlepsze rezulay uzyskao dla modeli progosyczych zbudowaych w oparciu o modele Wiera. Koleje badaia jakie b d prowadzoe w ym emacie, b d zwi zae ze sprawdzeiem mo liwo ci zasosowaia meod wska ików sezoowo ci oraz ich modyfikacji do progozowaia udziału kompoeów wadliwych. Bibliografia [] Box G. E. P., Jekis G. M.: Aaliza szeregów czasowych. PWE, Warszawa 983. [2] Bozarh C., Hadfield R. B.: Wprowadzeie do zarz dzaia operacjami i ła cuchem dosaw. Helio, Gliwice 27. [3] Brow R. G.: Saisical Forecasig for Iveory Corol. McGraw-Hill, Nowy Jork 959. [4] Cie lak M. [red.]: Progozowaie gospodarcze. Meody i zasosowaia. PWN, Warszawa 999. [5] Dima P.: Progozowaie w przedsi biorswie. Meody i ich zasosowaie. Wolers Kluwer busiess, Kraków 28. [6] Dima P., Dima I., Szabela Pasierbi ska E., Szpulak A.: Progozowaie w zarz dzaiu przedsi biorswem. Wolers Kluwer busiess, Kraków 29. [7] Hol C. C.: Forecasig Seasoal ad Treds by Expoeially Weighed Movig Averages. ONR Research Memoradum No. 52/957. [8] Krzy aiak S.: Podsawy zarz dzaia zapasami w przykładach. ILiM, Poza 28. [9] Lichoa A.: Progozowaie krókoermiowe a lokalym ryku eergii elekryczej. rozprawa dokorska, Wydział Zarz dzaia AGH, Kraków 26. [] Sobczyk M.: Progozowaie. PLACET, Warszawa 28. [] Wiers P. R.: Geeral Expoeial forecasig; A Compuer Program for he IBM 36. ONR Research Memoradum No. 7/96. [2] Zelia A., Pawełek B., Waa S.: Progozowaie ekoomicze. Teoria, przykłady, zadaia. PWN, Warszawa 23. [3] Zelia A.: Teoria progozy. PWE, Warszawa

11 Sudies & Proceedigs of Polish Associaio for Kowledge Maageme Nr 85, 27 SHORT-TERM FORECASTING OF THE SHARE OF FAILURE COMPONENTS IN TOTAL PRODUCTION USING CLASSICAL FORECASTING METHODS Summary I he paper shor-erm forecasig models of he share of failure compoes i oal producio i some producio eerprise has bee preseed. Usig aive mehod, movig average mehods ad expoeial smoohig mehods, forecasig models has bee buil. The obaied resuls has bee compared ad discussed. Keywords: error aalysis, reliabiliy, forecasig Praca realizowaa w ramach bada sauowych prowadzoych w AGH r Wojciech Wo iak Jerzy Mikulik Kaedra I yierii Zarz dzaia Wydział Zarz dzaia AGH Akademia Góriczo-Huicza im. Saisława Saszica w Krakowie Ul. Gramayka, 3-67 Kraków wojciech.woziak.293@zarz.agh.edu.pl jmikulik@zarz.agh.edu.pl 7