LABORATORIUM DRGANIA I WIBROAKUSTYKA MASZYN. Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów

Transkrypt

1 LABORAORIUM DRGANIA I WIBROAKUSYKA MASZYN Wydził Budowy Mszyn i Zządzni Zkłd Wibokustyki i Bio-Dynmiki Systemów Ćwiczenie n WYZNACZANIE PARAMERÓW DYNAMICZNYCH UKŁADÓW metodą dgń swobodnych Ce ćwiczeni: Poznnie zsd modeowni obiektów zeczywistych zstąpienie obiektu bdnego (bek jedno- ub dwu- wsponikow z dodtkową msą) modeem fizycznym i mtemtycznym (ukłd zstępczy mode fizyczny o jednym stopniu swobody). Okeśenie n dodze nityczno-ekspeymentnej d kżdego z bdnych ukłdów pmetów dynmicznych: msy zedukownej, zstępczego współczynnik tłumieni i zstępczego współczynnik spężystości. Wyposżenie stnowisk: Stnowisko skłd się z dwóch ukłdów: ) zeczywistego ukłdu mechnicznego złożonego z: podstwy umożiwijącej jedno- ub dwustonne mocownie beek, pzymiu miimetowego umocownego n podstwie, kiku beek o óżnej gubości, kiku ms mocownych wymiennie n bekch; b) ukłdu pomiowego zwiejącego: piezoeektyczny pzetwonik pzyspieszeń dgń, mienik dgń ze wzmcniczem i ukłdem cłkującym, oscyoskop, pzetwonik nogowo-cyfowy (A-C), kompute z opogmowniem oscyoskop cyfowy. Litetu:. C. Cempe: Dgni mechniczne. Wpowdzenie, skypt PP N 6 984; st. 8-6; Z. Osiński: eoi dgń, PWN Wszw 978. st. 79-9, Z. Osiński: łumienie dgń mechnicznych. PWN Wszw 986. st Z. Pszewski: Dgni i dynmik mszyn. WN Wszw 988, st K. Piszczek, J. Wczk: Dgni w budowie mszyn. PWN Wszw 98, st Zgdnieni kontone:. Zsdy modeowni ukłdów zeczywistych.. Znjomość ukłdni ównń uchu d ukłdów o jednym stopniu swobody.. Sposoby ozwiązywni ównń óżniczkowych zwyczjnych iniowych o stłych współczynnikch. 4. Intepetcj pmetów dynmicznych ukłdów. 5. Chkteystyk mpitudowo-częstotiwościow ukłdu o jednym stopniu swobody.

2 . PODSAWY EOREYCZNE W wieu zgdnienich technicznych np. w zdniu minimizcji dgń ukłdów zeczywistych, pzy okeśeniu bezpiecznego zkesu pcy ze wzgędu n odpowiedź obiektu n występujące wymuszeni (np. siłmi w mszynie), pzy optymizcji konstukcji pod wzgędem wytzymłościowym i w wieu innych pzypdkch, istotn jest znjomość włsności dynmicznych obiektów. Duż złożoność budowy wieu ukłdów zeczywistych powoduje, że ównież ich modee fizyczne i mtemtyczne chkteyzują się dużą złożonością. Dtego też, w piewszym pzybiżeniu, ukłdy tkie zstępuje się modemi postszymi np. ukłdmi o jednym ub dwóch stopnich swobody i d nich okeś się pmety dynmiczne. Rozptzmy dw poste ukłdy mechniczne pzedstwione n ysunku i b. W kżdym pzypdku jest to bek pyzmtyczn o długości i msie m b z msą skupioną M zmocowną w punkcie o współzędnej. Obydw ukłdy óżnią się jedynie wunkmi bzegowymi. Obydw te ukłdy zstąpimy modeem dysketnym iniowym o jednym stopniu swobody (ysunek c) pzyjmując, że jedynie możiwy ich uch to dgni giętne z piewszą postcią włsną. ) m b M c) k m b) m b M c Rys.. Rozptywne obiekty zeczywiste bek pyzmtyczn z msą skupioną: ) jednostonnie utwiedzon, b) obustonnie pzegubowo podpt, c) mode obiektu zeczywistego. W ceu okeśeni pmetów dynmicznych modeu wykozystmy dwie metody: enegetyczną tzw. metodę Ryeigh' d okeśeni msy zedukownej m i sztywności zedukownej k (metod nityczn), optą n kyteium ówności pzemieszczeń dgń swobodnych wybnego punktu obiektu zeczywistego (punktu edukcji) i modeu d okeśeni sztywności zedukownej k i zedukownego współczynnik tłumieni c (metod ekspeymentn). Z powyższego widć, że msę zedukowną m możemy okeśić n podstwie obiczeń numeycznych zś zedukowny współczynnik tłumieni c n dodze ekspeymentnej. Jedynie zedukowną sztywność k możemy wyznczyć n dodze nitycznej, tkże pzy złożeniu znjomości wtości m doświdcznie.

3 N początku wykozystjmy enegetyczną metodę modeowni. W metodzie tej zkłd się, że obiekt mechniczny jest ukłdem zchowwczym, tzn., że nie uwzgędnimy stt enegii (pktycznie tłumienie jest niewiekie tzn. c ). Wtości m i k wyznczmy w opciu o kyteium ówności enegii kinetycznej i enegii potencjnej V : V obiektu obiektu V modeu modeu Zkłdjąc, że bek dg z piewszą postcią włsną, uch dowonego punktu beki możemy opisć zeżnością: x,t Y x cos ω t () ( ) ( ) ( ) y gdzie Y(x) jest mksymnym wychyeniem dowonego punktu beki, ω jest piewszą częstością włsną. y(,t) y (t) () y x dx M x k m y Rys.. Schemt ideowy wykozystywny pzy wyznczniu zedukownych pmetów dynmicznych obiektu mechnicznego metodą enegetyczną. N podstwie ysunku enegię kinetyczną () i potencjną (b) beki z msą skupioną i modeu możemy wyzić nstępująco: obiektu mod eu V V obiektu mod eu [ ρs + Mδ( x ) ] dy m dt d EI k ( x, t) y dx ( x,t) [ y( x.t )] x x dx dy dt ( x, t) gdzie: ρ gęstość mteiłu beki w [kg/m ], S poe pzekoju popzecznego w [m ], M ms skupion w [kg], E moduł Young mteiłu beki w [ N/m ]. I moment bezwłdności pzekoju popzecznego beki wzgędem osi obojętnej w [m 4 ], dx, () (b)

4 m k ms zedukown w [kg], sztywność zedukown modeu w [N/m], położenie msy skupionej i jednocześnie punkt do któego edukujemy włsności msowo spężyste obiektu zeczywistego w [m] (w ogóności możn wybć inny punkt obiektu). d x δ ( x ) det Dic d x Stąd n podstwie kyteium podobieństw obiektu zeczywistego i modeu (), wykozystując zeżności () i (), otzymmy: m Y ( x )dx M + mb, mb ρs, Y ( ) ( x) d y dx k EI Y ( ) Z zeżności (4) możn obiczyć wtości pmetów dynmicznych modeu jeśi znmy postć funkcji Y(x). Omwin metod jest metodą pzybiżoną i stąd w zeżnościch (4) neży pzyjąć pzybiżoną postć tej funkcji. Ogónie zkłd się, że funkcj Y(x) może być dowoną funkcją spełnijącą wunki bzegowe. Jednkże njmniejszy błąd popełnimy jeśi do obiczeń weźmiemy: Y(x) {sttyczn ini ugięci osi beki pod obciążeniem włsnym} (5) Pzyjmując, zgodnie z ysunkiem, obciążenie beki w postci obciążeni ciągłego o gęstości obciążeni q m b g/ i obciążeni dysketnego P M g (g pzyspieszenie ziemskie) dziłjącego mb w punkcie otzymmy: q( x) g + Mδ ( x ). (4) mb g q ( x) const. P Mg y x Rys.. Schemt do obiczeni inii ugięci beki. d beki jednostonnie utwiedzonej z msą skupioną: Y ( x) m g b { 4μ [( x ) H( x ) ( x )x ] + x ( x 4x 6 )} 4EI + (6) d beki obustonnie swobodnie podptej z msą skupioną: 4

5 m g Y( x ) b { 4μ [( x ) H( x ) ( x ) [ x ( )] + x( x x )} 4EI + (7) gdzie: μ M/m b,, x x/, /, H ( x ) d x d x funkcj skoku jednostkowego Po podstwieniu zeżności (6) i (7) do (4) otzymmy związki opisujące wtości zedukownej msy m i zedukownej sztywności k. W niniejszym opcowniu nie pzedstwiono końcowych zeżności powyższych obiczeń z uwgi n ich złożoną postć. Obiczeni numeyczne d konketnych ukłdów możn pzepowdzić wykozystujące pogmy "BELKA" i "BELKA". Pzykłdowo d ukłdu: z ysunku : gdy mmy: EI m M +.4mb, k z ysunku b: gdy.5 mmy: EI m M +.49mb, k 48. Pzejdźmy tez do omówieni, dugiej metody. Wyznczenie wtości zedukownej sztywności k i zedukownego współczynnik c pzepowdzimy w opciu o złożenie ówności pzemieszczeń dgń punktu edukcji obiektu zeczywistego i modeu: Y (,t) y ( t) (8) Rozptzmy ztem uch modeu pzedstwionego n ysunku c. Równnie uchu dgń swobodnych modeu zpiszemy w postci: z wunkmi początkowymi: c d y m dt dy + c + k y (9) dt dy, y () t y, () dt t Rozwiąznie ównni (9) z wunkmi początkowymi () d tłumieni podkytycznego < k m m nstępującą postć: + y ( t ) A exp( ξω t ) cos( ω ξ t ) () gdzie: k ω częstość włsn modeu, m ξ stopień tłumieni modeu, k c m ξω y + v A y + mksymn mpitud dgń swobodnych, ( ) ω ξ 5

6 ξω y + v α ctg( ) pzesunięcie fzowe. ω ξ y Z nizy ozwiązni () (ysunek 4) ównni uchu modeu (9) wynik, że ms m dg wokół położeni ównowgi z częstością: ω ξ Ztem okes dgń swobodnych tłumionych wynosi: ω. () π π. () ω ω ξ Zś koejne mksymne wychyeni twozą ciąg geometyczny o iozie ównym: y ( t ) Ai exp( ξω ) δ (4). y ( t ) A + i+ y (t) / A 4 5 t / - Rys. 4. Wykes dgń swobodnych tłumionych uzyskny n podstwie ozwiązni () d ξ. nzywnym dekementem tłumieni dgń. Bdzo często wykozystuje się ogytmiczny dekement tłumieni dgń A zdefiniowny nstępująco: A i Δ n( δ ) n( ) Ai + ξω Stąd n podstwie zeżności (-5) d znnej wtości zedukownej msy ukłdu m możemy obiczyć wtości zedukownego współczynnik tłumieni c i zedukownej sztywności k : c k m Δ 4m ( π + Δ ) (5) (6) 6

7 gdzie wtości ogytmicznego współczynnik tłumieni Δ i okesu dgń swobodnych tłumionych okeśmy n. podstwie pzebiegu pzemieszczeń dgń swobodnych punktu edukcji obiektu zeczywistego.. OPIS SANOW[SKA Stnowisko botoyjne skłd się z dwóch części: mechnicznej i eektonicznego ukłdu bdwczego (ysunek 5). pzetwonik dgń (t) (t) ) b) mienik dgń wzmocnienie i / ub cłkownie sygnłu, wstępn obsewcj pzebiegów czsowych (t) ub v(t) ub x(t) pzetwonik A/C pzetwznie sygnłu nogowego n jego epezentcję cyfową { j } ub {v j } ub {x j } kompute obsewcj pzebiegów czsowych, twozenie bzy dnych (piki tekstowe) do dszej nizy Rys. 5. Schemt stnowisk botoyjnego:, b bdne ukłdy zeczywiste. Ukłd mechniczny skłd się ze sttywu, w któym mocujemy bekę w ukłdzie ub b. Do beki, w dowonym punkcie jej czynnej długości, mocujemy dodtkową msę M. Piewszym eementem eektonicznego ukłdu pomiowego jest piezoeektyczny pzetwonik pzyspieszeń dgń mocowny do dodtkowej msy ukłdu mechnicznego. Umożiwi on tnsfomcję wiekości mechnicznych n eektyczne. Ztem uwzgędnijąc włsności pzetwonik uzyskujemy sygnł eektyczny o npięciu popocjonnym do pzyspieszeni dgń. Nstępnie sygnł ten może być wzmocniony i dej dwukotnie scłkowny (wzmcnicz z ukłdem cłkującym). Umożiwi to obsewcję i nstępnie bdni koejnych wiekości mechnicznych pędkości i pzemieszczeni dgń. Wykozystując pzetwonik nogowo cyfowy uzyskujemy epezentcję cyfową sygnłów nogowych w ukłdzie wygodnym do dszej nizy z wykozystniem odpowiednio opogmownego kompute. 7

8 . SPOSÓB PRZEPROWADZENIA ĆWICZENIA. Ekspeyment njepiej pzepowdzić zgodnie z podnymi poniżej wytycznymi: D wskznego pzez powdzącego ukłdu mechnicznego (ysunek ub b) okeśić wtości wiekości mteiłowo-geometycznych: msę M (ms dodtkowego ciężk + ms uchwytu + ms czujnik dgń), długość czynną beki. współzędną mocowni msy skupionej, msę czynnej części beki m b (m b ρbh ; gdzie ρ gęstość mteiłu beki, możn pzyjąć, że bek jest stow: d sti ρ 78 [kg/m ]; b szeokość beki, h gubość beki; uwg: msę czynnej części beki możn wyznczyć też z popocji wżąc bekę bo wyznczjąc gęstość mteiłu beki ρ, moment bezwłdności pzekoju beki wzgędem osi obojętnej I (d beki o pzekoju postokątnym I bh /, gdzie b szeokość beki, h gubość beki), Uwg: w obiczenich współczynnik spężystości k pzyjąć wtość moduł Young E mteiłu beki d sti E. [N/m ], Kozystjąc ze wzoów (4) i (6) ub (7) wzgędnie z pogmów "BELKA" ub "BELKA" obiczyć wtości zedukownej msy m i zedukownej sztywności k ukłdu oz jego często- k tiwość włsną zgodnie ze wzoem: f [Hz] π m Pobudzić ukłd do dgń (wychyić ukłd z położeni ównowgi) i zejestowć pzebieg dgń gsnących w komputeze nstępnie n włsnym nośniku. N podstwie zejestownych pzebiegów dgń włsnych ukłdu dokonć obiczeń zgodnie z poniższą poceduą: y (t) 4 A A A A 4 A 5 A A A A 4 A 5 t 4 Rys. 6. Wykes dgń swobodnych tłumionych: A ij wtości koejnych mksymnych pzemieszczeń ukłdu, tj okes dgń swobodnych tłumionych. 8

9 o Obiczyć śednią wtość okesu dgń swobodnych ś i ogytmicznego dekementu tłumieni Δ ś zgodnie z zeżnościmi: n m ś j j, ij tij tij + n j m +, (7) j k Aij + A j Δ ś n n (8) k j Aij+ j A j+ gdzie i dotyczy dodtniej i ujemnej części wykesu. o Kozystjąc ze wzoów (6) obiczyć wtości zedukownego współczynnik tłumieni c i zedukownej sztywności k oz stopień tłumieni ξ pzyjmując wcześniej wyznczoną msę zedukowną m. o Nysowć pzybiżoną chkteystykę mpitudowo-częstotiwościową bdnego ukłdu. Chkteystyk t zwie infomcję o zchowniu się ukłdu zeczywistego pod dziłniem hmonicznej siły wymuszjącej o częstotiwości biskiej częstotiwości włsnej ukłdu, gdyż definicyjnie jest to funkcj mpitudy dgń wymuszonych ustonych A w w zeżności od częstotiwości siły wymuszjącej f, A w A w (f). o N podstwie pzepowdzonych bdń nityczno-ekspeymentnych, kozystjąc z dnych zwtych w [] (ozdził 4), możemy wyznczyć chkteystyczne punkty funkcji A w (f). I tk: A y w st Q π Q Δś Q d d d d d f f f Δf f f f Δf f + f ys.7 punkt B punkt D punkt C punkt E gdzie: y st F /k ugięcie sttyczne, F o mpitud siły wymuszjącej, Q doboć ukłdu; wiekość opisując zdoność ukłdu do kumuowni enegii. f Δ f Δ f szeokość połówkow kzywej ezonnsowej, Δf. π Q 9

10 Q C Q / D E Aw/yst Δ f B f f [Hz] Rys. 7. Pzybiżon chkteystyk mpitudowo-częstotiwościow ukłdu. 4. ZAWAROŚĆ OPRACOWANIA. Opcownie ćwiczeni powinno zwieć nstępujące eementy: ce ćwiczeni, schemt stnowisk bdwczego, pzebieg dgń znikjących bdnego ukłdu, zestwienie wtości pmetów dynmicznych ukłdu wyznczonych n dodze obiczeń numeycznych i bdń ekspeymentnych: o zedukownej msy m, o zedukownej sztywności k, o zedukownego współczynnik tłumieni c, zestwienie innych wtości pmetów chkteyzujących dgni swobodne ukłdu o jednym stopniu swobody: o częstotiwość dgń swobodnych tłumionych ω i nietłumionych ω o, o stopień tłumieni ξ, o ogytmiczny dekement tłumieni Δ, o pzybiżoną chkteystykę mpitudowo-częstotiwościową ukłdu.