WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA PROSTEGO

Transkrypt

1 Ćwiczenie 19 WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA PROSTEGO Widomości oóne N kżde ciło umieszczone w pobiżu Ziemi dził, zodnie z niutonowskim pwem witcji, sił powszechneo ciążeni, powodując uch pzyspieszony cił w kieunku Ziemi (spdek swobodny) z pzyspieszeniem okeśonym wyżeniem GM =. (19.1) Jest to wektoow wiekość fizyczn chkteyzując poe witcyjne, czyi pewien obsz pzestzeni wokół msy M, będącej źódłem po (np. Ziemi), zwn pzyspieszeniem witcyjnym. Jeżei w tkim obszze umieścimy inną msę m, to zodnie z pwem powszechneo ciążeni wtość siły wzjemneo oddziływni jest ówn Mm F = G, (19.) dzie G = (6,673 ±,3) 1 11 m 3 / k s uniwesn stł pzyody, zwn stłą witcji, iczbowo ówn sie witcji, jką dziłją n siebie dw cił o jednostkowej msie 1 k kżde z odełości 1 m. Wiekość jest odełością między śodkmi tych cił pzy złożeniu, że są to msy punktowe ub kue jednoodne. Pmetem, któy jednozncznie chkteyzuje poe witcyjne, jest wekto ntężeni po K, zdefiniowny jko stosunek siły witcji F do wtości msy punktowej (póbnej) m, więc iczbowo ówny wtości siły F, dziłjącej n jednostkową msę punktową umieszczoną w tym pou: F M M K = = G = G. (19.3) m (R + h) Znk wskzuje, że wekto ntężeni po witcyjneo K m zwot pzeciwny do wekto jednostkoweo, tzn. jest skieowny do śodk msy M, będącej źódłem po. Ozncz to, że oddziływni witcyjne mją chkte oddziływń pzyciąjących. Ziemię tktujemy jk jednoodną kuę o pomieniu R, wiekość h ozncz wysokość położeni msy m nd powiezchnią Ziemi. Pzyjmując, że n powiezchni Ziemi (h = ) wtość siły powszechneo ciążeni jest z bdzo dobym pzybiżeniem ówn ciężowi cił (Q = m), możemy wyznczyć w dowonym punkcie n powiezchni Ziemi wtość pzyspieszeni ziemskieo Mm G = m, R M = G = K. R (19.4) Pzyspieszenie ziemskie o stłej wtości ównej 9,81 m/s, odpowidjące punktowi eżącemu n 45 stopniu szeokości eoficznej, nzyw się pzyspieszeniem nomnym. Tk więc poównnie wyżeń (19.3) i (19.4) okeś jednozncznie sens fizyczny pzyspieszeni witcyjneo jest to wekto ntężeni po witcyjneo w dowonym punkcie teo po ( K ). Jednym z njpostszym sposobów wyznczni pzyspieszeni ziemskieo jest pomi okesu whń whdł mtemtyczneo. Whdłem mtemtycznym nzywmy punkt mteiny zwieszony n niewżkiej i nieozciąiwej nici. Dobym pzybiżeniem whdł mtemtyczneo jest whdło poste, czyi niewiekie ciło 1

2 (np. kuk o msie m) zwieszone n nici o dłuości, pzy czym wymiy iniowe kuki są młe w poównniu z dłuością nici (ys. 19.1). Q A α Q N x Q s α s Rys O S Rozptzmy uch whdł posteo pokzneo n ysunku. Po wychyeniu msy punktowej A z położeni ównowi, siłę ciężkości możemy ozłożyć n dwie siły skłdowe: Q npinjącą nić oz Q s styczną do tou, wymuszjącą uch okesowy whdł wokół punktu ównowi O. Opis uchu whdł, niezeżnie od teo czy jest to whdło poste czy fizyczne otzymujemy z II zsdy dynmiki Newton d uchu obotoweo były sztywnej M ε = I dzie: ε = d α/dt pzyspieszenie kątowe, M = m sinα moment siły ciężkości wzędem punktu zwieszeni, I = m jest momentem bezwłdności msy punktowej A ównież wzędem punktu zwieszeni. Podstwijąc powyższe oznczeni do (19.5), otzymujemy ównnie opisujące uch djący dowoneo whdł pzy dowonym kącie wychyeni dα dt = sin α. (19.6) Znk ozncz, że wekto momentu siły zwotnej Q S m zwsze zwot pzeciwny do wekto pzyspieszeni kątoweo. Zkłdjąc młe wychyenie, tzn. tkie, że α sin α = x/, co ozncz ównież, że dłuość łuku s jest w pzybiżeniu ówn wychyeniu (s x), otzymujemy óżniczkowe ównnie iniowe w postci d x + ω x = ; dt ω =, (19.7) dzie ω o jest częstością (puscją) dń włsnych whdł posteo. Jest to ównnie uchu djąceo hmoniczneo, któeo ozwiązniem jest funkcj w postci: x(t) = x sin (ω t + ϕ), okes dń T możemy wyznczyć z zeżności π T = = ω π. (19.8) Ze wzou teo wynik, że okes whń whdł posteo zeży od dłuości nici i od oknej wtości pzyspieszeni ziemskieo, nie zeży zś od msy punktu A. Pondto, pzy młych kątch wychyeni, okes T nie zeży też od mpitudy x (izochonizm). Pzeksztłcjąc wzó (19.8) otzymujemy wyżenie, z któeo możn wyznczyć okną wtość pzyspieszeni ziemskieo, znjąc okes whń T pzy ustonej dłuości whdł : = 4π. (19.9) T Ruch dowoneo whdł, zówno posteo, jk i fizyczneo, jest hmoniczny jedynie d młych wychyeń, d któych słuszne jest pzybiżenie: α sinα. D dużych kątów wychyeni pzybiżenie to nie jest słuszne i do nizy tkieo uchu neży posłużyć się pełnym ównniem (19.6),

3 d α + sin α =. (19.1) dt Równnie (19.1) nie jest ównniem iniowym, jeo ozwiąznie opisuje uch djący, e nie hmoniczny. Okes dń tkieo uchu djąceo zeży od kąt wychyeni i m dość złożoną postć T( α) = π n = 1 T( α) = T 1 + ( n)! n ( n! ) sin n α 1 3 sin + 4 α, 4 α sin α sin (19.11) Wypowdzenie teo wyżeni czytenik może zneźć w podęczniku [3]. Wpowdzjąc upszczjące oznczeni koejnych członów ozwinięci wyżeni (19.11) 1 α α α A = sin, B = sin, C = sin, otzymujemy wyodniejszą w obiczenich postć teo ównni T(α) = T [ 1 + A + B + C +...]. (19.1) T jest okesem whń whdł posteo, wyznczonym pzy jk njmniejszym kącie wychyeni i z mksymną w wunkch ćwiczeni dokłdnością, ntomist wtości tzech piewszych współczynników ozwinięci w zeżności od kąt wychyeni zwte są w tbei Popwki występujące w ozwinięciu wzou (19.1) α α/ A B C 3 1,5 6 3, 9 4,5,15 1 6,,7 15 7,5,43 1,, ,,167 4,,9,19 5 5,,446,45 6 3,,65,88, ,,8,15,35 8 4,,13,4, ,,15,35,1 Tbe 19.1 Wzó (19.9) pozw wyznczyć pzyspieszenie ziemskie z pomiu okesu whń T i dłuości whdł. Pomi dłuości whdł posteo jest dość niewyodny i zzwyczj obczony znczną niepewnością. Możemy ominąć tę tudność, stosując metodę óżnicową pomiu, tzn. dokonując pomiu okesów whń whdł pzy ustonej óżnicy dłuości whdł. W metodzie óżnicowej pzyspieszenie ziemskie wyznczmy ze wzou 4π = xi, (19.13) T T i 3

4 dzie: x i = i, T i T i wtości okesów pzy dwóch dłuościch nici whdł óżniących się o x i i wyznczonych pzy tym smym, początkowym kącie wychyeni α, któeo wtość okeśmy z pomiów w punkcie.3.1. Pzyjmujemy, że T jest okesem whń pzy możiwie njkótszej (ub njdłuższej) w wunkch ćwiczeni dłuości nici... Zdni Zbdć zeżność okesu whń od kąt wychyeni whdł Zbdć zeżność okesu whń od dłuości whdł Wyznczyć pzyspieszenie witcyjne Zsd i pzebie pomiów Ćwiczenie wykonujemy z pomocą zestwu pomioweo pokzneo n ys W skłd zestwu wchodzi whdło poste (W) o zmiennej dłuości nici, pzesuwn sk wz z kątomiezem (K) oz eektomnetyczny mechnizm spustowy (EM) Pomi zeżności okesu whń od kąt wychyeni K Ustmy możiwie njkótszą dłuość nici i odchymy whdło o ustony kąt α, bokując wychyenie eektomnetycznym mechnizmem spustowym, któy zpewni ównoczesny stt whdł i sekundomiez, tkże stłość płszczyzny whń. Miezymy czs n pełnych whnięć t i (np. 4), zpisując wtość kąt wychyeni początkową (α ) i końcową (α n ). Okes whń whdł T i oz śednią wtość kąt wychyeni α i wyiczmy ze wzoów W ti Ti = ; n α + αn α i =. (19.14) Pomiy powtzmy d początkowych wtości kąt wychyeni z EM zkesu od ze do 6, pzy czym d młych kątów wtości Rys. 19. zmienimy co ub 3 stopnie, zwiększjąc stopniowo pzedził do 1 stopni w zkesie dużych kątów. Wyniki pomiów pzedstwić n wykesie zeżności okesu whń od śednieo kąt wychyeni: T i = f(α i ), z zznczeniem oszcownych w tkcie pomiów niepewności. Nnieść n ten sm wykes teoetyczną zeżność okesu whń T whdł od kąt wychyeni okeśoną wzoem (19.1), wykozystując odpowiednie popwki z tb w tki sposób, by zpewnić tką smą dokłdność w mię wzostu wtości kąt wychyeni (tzn. uwzędnijąc koejne człony ozwinięci). Występujący we wzoze (19.1) okes whń T wyznczmy pzy tej smej, ustonej wcześniej dłuości nici. 4

5 Wyzncznie pzyspieszeni witcyjneo Wykozystując wyniki pomiów w pkt ustmy tką stłą wtość kąt wychyeni whdł, pzy któym m miejsce izochonizm (okes whń nie zeży od kąt wychyeni). Zmienijąc dłuość whdł (np. co 5 1 cm ) w zkesie około 6 cm (uzyskmy w ten sposób mksymnie do 1 1 punktów pomiowych), wyznczmy okes whń T i whdł z noiczneo wzou, jk w pkt Pzeksztłcjąc wzó (19.13) do postci T 4π Ti = x i (19.15) i oznczjąc: y i = T T i, powyższe wyżeni spowdzmy do postci iniowej: y i = x i, dzie pmet postej = 4π /, ntomist x i jest i-tą óżnicą dłuości whdł. Kozystjąc nstępnie ze wzou (41), wyznczmy współczynnik kieunkowy postej, w pzypdku niepełneo ównni inioweo. Pzyspieszenie witcyjne wyiczmy ze wzou 4π =. (19.16) Wyniki pomiów oz oszcowne niepewności nnosimy n wykes y i = f(x i ) z ównoczesnym wysowniem obiczonej funkcji y = x. Pondto iniow zeżność óżnicy kwdtów okesów T T i od zminy dłuości whdł x i, jest ównocześnie potwiedzeniem niezeżności pzyspieszeni witcyjneo od dłuości 1 whdł posteo (pkt 19.) Ocen niepewności pomiów Niepewności pomiowe w pkt szcujemy metodą typu B, uwzędnijąc wszystkie możiwe w ćwiczeniu czynniki, zodnie ze wzoem (3) Wstęp. Oszcowne w ten sposób niepewności mksymne T i α, nnosimy n wykes doświdcznej zeżności T i = f(α i ). Niepewność w wyznczeniu pzyspieszeni ziemskieo (pkt 19.3.) wynik z metody njmniejszych kwdtów oz ówności niepewności stnddowych wzędnych: pzyspieszeni witcyjneo i współczynnik kieunkoweo postej u() δ = δ =, (19.17) dzie u() jest niepewnością stnddową bezwzędną współczynnik kieunkoweo postej y = x, obiczoną z wzou (4) d niepełneo ównni postej. Bezwzędną niepewność stnddową pzyspieszeni ziemskieo obiczmy osttecznie ze wzou u() u() = δ =, (19.18) dzie jest wtością pzyspieszeni wyznczoną w pkt Wynik końcowy pomiu pzyspieszeni ziemskieo podjemy łącznie z niepewnością stnddową bezwzędną i wzędną, zodnie z zsdmi opisnymi we Wstępie. Litetu [1] Szczeniowski S.: Fizyk doświdczn, cz. I. Wszw: PWN [] Mssski J., Msssk M.: Fizyk d inżynieów, cz. II. Wszw: WNT 198. [3] Kitte C., Kniht W. D., Rudemn M. A. Mechnik. Wszw: PWN