ANALIZA WP YWU STA YCH FIZYCZNYCH I GEOMETRYCZNYCH NA DEFORMACJE WALCOWYCH KONSTRUKCYJNYCH ELEMENTÓW GUMOWYCH

Transkrypt

1 Gónictwo i Geoin yniei Rok 3 Zeszyt Min Pluch*, Mich Betlej* ANALIZA WP YWU STA YCH FIZYCZNYCH I GEOMETRYCZNYCH NA DEFORMACJE WALCOWYCH KONSTRUKCYJNYCH ELEMENTÓW GUMOWYCH. Wst p Pzedmiotem pcy jest nliz stnu np eni, odkszt ceni i pzemieszczeni gumowych, wlcowych czników pzepowdzon n podstwie nieliniowej teoii sp ysto ci o odków odkszt clnych. Gumowe elementy sp yste mj szeokie zstosownie z uwgi n ich zlety techniczne i technologiczne. Mtei gumowy, tzw. elstome powstje n bzie ó nych kuczuków z miesznki gumowej zwiej cej szeeg dodtków wp ywj cych n w ciwo ci fizyczne i mechniczne. Zówno chkteystyk sp yst jk i dopuszczlne obci enie cznik zle y nie tylko od mtei u, le i jego ukszt towni. Gum jest mtei em nie ci liwym. W pcy pzyj to, e jest to mtei Mooney o potencjle sp ystym [3: W = U^I- 3h+ W^I- 3h+ C3^I - 9h ; I3 = () gdzie: W potencj sp ysto ci, I, I, I 3 niezmienniki tenso odkszt ceni,,, C 3 st e mtei owe (po. wzó 8).. Oke lenie sk dowych tenso np eni i odkszt ceni oz wekto pzemieszczeni W tójwymiowej pzestzeni Euklides ozw my wlec ko owy, któy w ntulnym, niezdefomownym stnie konfigucj pocz tkow B m wymiy: pomie * Kted Geomechniki, Budownictw i Geotechniki, Wydzi Gónictw i Geoin ynieii, Akdemi Góniczo-Hutnicz, Kków 59

2 i wysoko h (ys., ). W konfigucji odkszt conej B czyli ktulnej jego wymiy to: pomie i wysoko h. Rys.. Konfigucje ci Rys.. Schemt obci eni i sposób odkszt ceni wlc Zgodnie z ysunkiem, w B pzyj to uk d wspó z dnych ktezj skich {x i } zwi zny ze wspó z dnymi cylindycznymi (konwekcyjnymi) { } zle no ci : Z x cos { cos cos h z kz _ = `{ + j = m ^{ + h = { b : [ x = m sin^{ + kzh = sin { ` x h 3 = z = z = z b h () gdzie:, h, pmety geometyczne w konfigucji pocz tkowej, 5

3 , h, pmety geometyczne w konfigucji odkszt conej,, z wspó z dne w wlcowym uk dzie wspó z dnych. Pzyj to tutj wspó z dne konwekcyjne =, =, 3 = z. Pmety opisuj ce defomcj ci zmienij si wed ug zle no ci: m ; { = k = ; = h h h (3) W konfigucji ktulnej B wspó z dne ktezj skie {y i } zwi zne s ze wspó z dnymi cylindycznymi zle no ci : R: y = cos { y = sin { y3 = z * () Funkcje =, = + kz, z = z opisuj ce defomcj ci b d wyznczne z wunku nie ci liwo ci 3 =. Tensoy metyczne w konfigucji pocz tkowej B : g s s x x b = ; g = i i i x b b s i x b s (5) mj elementy: ^g b m h = f m m k p (6) m k m k+ g = det gb = m J - m N K g k k O b - ^ h = K c m + ^m h - O K O k - K - O L P (7) (8) Tensoy metyczne w konfigucji B: G s s y y b = ; G = i i i y b b s i y b s (9) mj elementy: 5

4 Gb = ; b G = - ^ f ^ f h p h p () G = det G = b () Z wunku nie ci liwo ci: I G 3 = = g () otzymujemy ównnie wi ce pmety, : ^m - h^m + h= (3) i st d pmet wy my pzez : = = m - m () W dlszym toku oblicze zle no () wstwimy do (8): - m b ^g h = f - - m k + m -km p (5) -km m Do wyznczeni sk dowych tenso np eni musimy zn elementy tenso geometii: b b {} { b} B = G{} ^g g -g g h (6) - m + m + m k b ^B h= f - - m k + ^m _ m h -km p (7) -km m Obliczenie elementów tenso np eni dl ci Mooney: Z b b b b C_ C3I g C x = ^ h + B + pg b - I = g Gb = m + m + m k [ W C W C U = = } = = I I I I 3 3 W = C^I- 3h+ C^I- 3h+ C3^I -9h (8) 5

5 gdzie p ci nienie hydosttyczne. Z C C k C3 x = v = m + ^m + m + m h+ ^m + m + m k h+ p - - x = v = C^m k + m h+ C^m k + m + m h C3^m k + m h^m + m + m k h+ p [ 3 - x = v3 =-Ck m -Ckm - C3km ^m + m + m k h 3 x = x = 33 - x = v33 = Cm + Cm + C3m ^m + m + m k h + p (9) W cylindycznym uk dzie wspó z dnych symbole Chistoffel II-go odzju s ówne: C ; =- C = C = ; pozost e C bc = () Ztem ównni ównowgi w cylindycznym uk dzie wspó z dnych s nst puj ce: Z 3 x + x + x - x + x = { z 3 x x x 3 [ x = { z x x x x = { z () Wstwij c (9) do () wyznczmy nieznne ci nienie hydosttyczne: 8 p ^,{, zh= p ^ h= Cm k- Cm k+ C3m k^ + kh + p () St p obliczmy z wunku zeowni np e n pobocznicy wlc, któ jest nieobci on. Zchodzi ztem: v = = (3) I st d: - - p=- C^m k + m h- C^m + m h C3 6m + 8m + ^m + mhk + m () Wstwij c () do () i (9) otzymujemy ostteczn post elementów tenso np eni: 53

6 Z 8 8 C k C3 x = v = m ^ - h+ 6m k ^ - h+ m k ^ - h+ m k ^ - h@ x = v = Cm k ^3 - h C3 6m k ^3 - h+ m k ^3 - h+ m k ^5 - h@ [ 3 - x = v3 =-Cm k -Cm k - C3m ^m + m + m k hk x = v33 = C 6m - m + m k ^ - h@ + C^m -m - m k h C3 6m + m -8m - m k + m k ^3 - h+ m k ^ - h@ (5) Obliczenie zedukownej si y osiowej ciskj cej denk wlc: N d C k C z, h k = v = = m ` -m - m -m - + j ` j # 6-6 C 6 + 3m 8m + - m + ^m -hk 6 B (6) Obliczenie zedukownego momentu sk cj cego denk wlc: - M d k C C C 6 S = v3 z=, h = m $ m m ^m + m h+ m k 3 B. # (7) Elementy tenso odkszt ce [ wyznczmy z zle no ci: c b = ^Gb -gbh (8) - m ^cbh = f - m -m k p (9) - -m k -m k-m Sk dowe fizyczne tenso odkszt ceni wynosz : Z f = c = - m f = c = ^ -mh [ f33 = c33 = ^ -m -m kh f3 = c3 =- m k (3) Obliczeni wykonno dl zwi zków defomcyjnych: * x = m cos^{ + kzh x = m sin^{ + kzh x3 = z (3) 5

7 3. Anliz wp ywu st ych fizycznych i geometycznych n defomcj wlc ko owego N podstwie wypowdzonych wzoów podj cych np eni, odkszt ceni i pzemieszczeni oz zedukowne obci enie N i M s pzebdno jk st e mtei owe C, C, C 3 wp ywj n zedukowne si y zewn tzne pzy st ych zdnych pmetch geometycznych. Do oblicze pzyj to wymiy wlc wynosz ce: wysoko 3 mm, ednic 3 mm oz pmety =, i k = 6,73 d/m odpowidj ce pi ciostopniowemu sk ceniu wlc. St e mtei owe zmienino w nst puj cych zkesch: C od do 8 kn/m, C od do kn/m, C 3 od do kn/m. Uzyskne wyniki pzedstwiono n ysunkch 3,, 5. Rys. 3. Wto zedukownych si zewn tznych w funkcji st ej C Rys.. Wto zedukownych si zewn tznych w funkcji st ej C Z ysunków 3,, 5 wynikj nst puj ce wnioski: ze wzostem st ej C o nie liniowo si N, pzy czym n jej wto niewielki wp yw mj st e C i C 3, ze wzostem st ej C o nie ównie liniowo moment sk cj cy M s pzy czym wp yw st ych C i C 3 jest wi kszy i dochodzi do 5%, ze wzostem st ej C pzy ustlonych C i C 3 wto si y osiowej N mleje z o nie M s, 55

8 Rys. 5. Wto zedukownych si zewn tznych w funkcji st ej C 3 ze wzostem st ej C 3 pzy ustlonych C i C wto si y osiowej N mleje z o nie wto momentu sk cj cego, w pktycznych obliczenich mo n pzyjmow st C 3 ówn zeo, gdy jej wp yw n zedukowny uk d si zewn tznych jest niewielki, obliczeni zncznie si upszczj. W dlszym ci gu pzepowdzono nliz wp ywu pmetów i k n zedukowny uk d si N i M s pzy ustlonych wto cich st ych mtei owych. Do oblicze pzyj to podobnie jk popzednio: h = 3 mm, = 5 mm oz st e C = 8 kn/m, C = kn/m i C 3 = kn/m. Pmet zmienino w zkesie od do pzy st ym k, z w kolejnym wincie zmienino k w zkesie od do 3 pzy ustlonym pmetze z pzedzi u [. Wyniki pzedstwij ysunki 6, 7. Rys. 6. Wto zedukownych si zewn tznych w funkcji Rys. 7. Wto zedukownych si zewn tznych w funkcji k 56

9 Wynikj z nich nst puj ce wnioski: ze wzostem pmetu si osiow o nie tym szybciej im mniejsze jest k, ze wzostem pmetu moment sk cj cy ównie o nie, jednk wp yw pmetu k jest odwotny, tzn. moment o nie tym szybciej im wi ksze jest k, ze wzostem pmetu k si osiow mleje i to tym bdziej im wi ksze jest. Funkcje s kzywoliniowe i nie mo n ich pzybli postymi, nwet dl niewielkich zkesów i k. ze wzostem pmetu k moment sk cj cy o nie. Szybko pzyostu jest tym wi ksz im wi ksze jest. Tym zem jednk funkcje w ozptywnym zkesie wto ci i k mo n pzybli postymi.. Podsumownie W pcy podno ozwi znie zmkni te pozwlj ce n oke lenie sk dowych stnu np eni, odkszt ceni i wekto pzemieszczeni pzy z o onych zwi zkch defomcyjnych dl nie ci liwego wlc ko owego. Poblem ozwi zno kozystj c z ówn nieliniowej mechniki o odków odkszt clnych. N podstwie otzymnych ezulttów mo n by o pzepowdzi szeok nliz wp ywu st ych fizycznych i geometycznych n defomcj wlcowych elementów wykonnych z elstomeu. Pc mo e znle zstosownie we wst pnych stdich pojektowni np. gumowych o ysk mostowych czy ó nego odzju czników, motyztoów itp. LITERATURA [ Fung J.C.: Podstwy mechniki ci st ego, PWN, Wszw 969 [ Geen A.E., Adkins J.E.: Lge Elstic Defomtions nd Non-Line Continuum Mechnics, Oxfod 98 [3 Mooney M.: A Theoy of Lge Elstic Defomtion, J. Appl. Phys.,, 9 [ Pluch M.: Podstwy teoii sp ysto ci i plstyczno ci z pzyk dmi, Wyd. Politechniki Kkowskiej, Kków 6 [5 Pluch M.: Zstosownie chunku tensoowego do wybnych zgdnie geomechniki, Rozpwy-Monogfie, AGH Kków 8 [6 P klk M., Rdkowski S.: Gumowe elementy sp yste, PWN, Wszw 989 [7 Rymz Cz.: Mechnik o odków ci g ych, PWN, Wszw 993 [8 Weso owski Z., Wo nik Cz.: Podstwy nieliniowej teoii sp ysto ci, PWN Wszw 97 [9 Zhoski S.: Do widczlne bdni niektóych w sno ci mechnicznych gumy, Rozpwy In., 9, 96