13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie

Transkrypt

1 13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 1 / 45

2 1 Podstawowe oznaczenia i definicje 2 Równania różniczkowe: przykłady ekonomiczne 3 Podstawowe typy równań różniczkowych i sposoby ich rozwiązywania Równania o zmiennych rozdzielonych Równania różniczkowe liniowe Podstawienia w równaniach różniczkowych rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 2 / 45

3 Wstęp Często zdarza się, że poszukując zależności pomiędzy wielkościami ekonomicznymi (np. A i B) napotykamy na informacje dotyczące prędkości wzrostu wielkości A w stosunku do wielkości B. Jeśli potrafimy opisać tę prędkość jako funkcję A (B) to wystarczy ją scałkować, by uzyskać zależność funkcyjną A(B). Jednak zdarza się, że mamy tylko pewne informacje o A (B) przedstawione w formie równania, a nie sam wzór. Takie równanie, którego niewiadomą jest funkcja i w którym występują pochodne tej funkcji nazywamy równaniem różniczkowym. Czasem takie równania się da rozwiązać i o tego typu równaniach jest ten rozdział. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 3 / 45

4 Wstęp Często zdarza się, że poszukując zależności pomiędzy wielkościami ekonomicznymi (np. A i B) napotykamy na informacje dotyczące prędkości wzrostu wielkości A w stosunku do wielkości B. Jeśli potrafimy opisać tę prędkość jako funkcję A (B) to wystarczy ją scałkować, by uzyskać zależność funkcyjną A(B). Jednak zdarza się, że mamy tylko pewne informacje o A (B) przedstawione w formie równania, a nie sam wzór. Takie równanie, którego niewiadomą jest funkcja i w którym występują pochodne tej funkcji nazywamy równaniem różniczkowym. Czasem takie równania się da rozwiązać i o tego typu równaniach jest ten rozdział. Dodam jeszcze, że równania różniczkowe mają poważne zastosowania w jakichkolwiek badaniach naukowych, w których występuje ruch lub zmiana warunków (tzw. układ dynamiczny). Na nich opiera się cała klasyczna fizyka, a coraz częściej są konieczne do modelowania zjawisk z dziedzin innych nauk przyrodniczych i społecznych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 3 / 45

5 Oznaczenia - komentarz W tym rozdziale rozważamy funkcje różniczkowalne jednej zmiennej y(x), gdzie y : R D y R. Pochodną takiej funkcji oznaczaliśmy przez y, jednak w tym rozdziale wyjątkowo będziemy zazwyczaj używać bardziej fizycznej notacji dy (ze względów dx mnemotechnicznych - jak zobaczymy, taki zapis ułatwi nam rozwiązywanie pewnych typów równań). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 4 / 45

6 Definicja Równanie różniczkowe zwyczajne Niech f : R n+2 D f R. Wtedy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie f (x, y(x), y (x), y (x),..., y (n) (x)) = 0, w którym niewiadomą jest funkcja jednej zmiennej y i w którym występuje pochodna rzędu n tej funkcji (y (n) (x)) i mogą występować pochodne niższych rzędów, sama funkcja y i zmienna niezależna x. Rozwiązaniem (lub całką) takiego równania jest n-krotnie różniczkowalna funkcja y, która je spełnia dla każdego x w swojej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 5 / 45

7 Definicja Równanie różniczkowe zwyczajne Niech f : R n+2 D f R. Wtedy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie f (x, y(x), y (x), y (x),..., y (n) (x)) = 0, w którym niewiadomą jest funkcja jednej zmiennej y i w którym występuje pochodna rzędu n tej funkcji (y (n) (x)) i mogą występować pochodne niższych rzędów, sama funkcja y i zmienna niezależna x. Rozwiązaniem (lub całką) takiego równania jest n-krotnie różniczkowalna funkcja y, która je spełnia dla każdego x w swojej dziedzinie. Słowo zwyczajny w definicji odróżna te równania od równań różniczkowych cząstkowych, które odpowiadają za poszukiwanie funkcji wielu zmiennych na podstawie informacji o ich pochodnych cząstkowych. Takie równania są o wiele bardziej skomplikowane i nie będziemy się nimi zajmować. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 5 / 45

8 Przykład - II zasada dynamiki Newtona Zasadę dynamiki Newtona znają Państwo na pewno w postaci F = am, gdzie F jest siłą działającą na ciało, a - przyspieszeniem, jakiego ciało nabiera pod wpływem tej siły, a m - masą ciała. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 6 / 45

9 Przykład - II zasada dynamiki Newtona Zasadę dynamiki Newtona znają Państwo na pewno w postaci F = am, gdzie F jest siłą działającą na ciało, a - przyspieszeniem, jakiego ciało nabiera pod wpływem tej siły, a m - masą ciała. Zauważmy, że jeśli przez x(t) oznaczymy położenie ciała w czasie t to F może być dowolną funkcją zależną od x i t, a(t) jest drugą pochodną funkcji x, a m jest stałą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 6 / 45

10 Przykład - II zasada dynamiki Newtona Zasadę dynamiki Newtona znają Państwo na pewno w postaci F = am, gdzie F jest siłą działającą na ciało, a - przyspieszeniem, jakiego ciało nabiera pod wpływem tej siły, a m - masą ciała. Zauważmy, że jeśli przez x(t) oznaczymy położenie ciała w czasie t to F może być dowolną funkcją zależną od x i t, a(t) jest drugą pochodną funkcji x, a m jest stałą. Dlatego jeśli zdefiniujemy f (t, x(t), x (t), x (t)) = F (x(t), t) m x (t), to f (t, x(t), x (t), x (t)) = 0 jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, opisującym II zasadę dynamiki Newtona. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 6 / 45

11 Przykład - II zasada dynamiki Newtona Zasadę dynamiki Newtona znają Państwo na pewno w postaci F = am, gdzie F jest siłą działającą na ciało, a - przyspieszeniem, jakiego ciało nabiera pod wpływem tej siły, a m - masą ciała. Zauważmy, że jeśli przez x(t) oznaczymy położenie ciała w czasie t to F może być dowolną funkcją zależną od x i t, a(t) jest drugą pochodną funkcji x, a m jest stałą. Dlatego jeśli zdefiniujemy f (t, x(t), x (t), x (t)) = F (x(t), t) m x (t), to f (t, x(t), x (t), x (t)) = 0 jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, opisującym II zasadę dynamiki Newtona. Jeśli założymy, że F F jest stałe i = a R to równanie różniczkowe F mx (t) = 0 m jest równoważne równaniu x (t) = a i jego rozwiązanie opisuje ruch ciała pod wpływem stałej, działającej na nie siły. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 6 / 45

12 Przykład - II zasada dynamiki Newtona Spróbujmy rozwiązać równanie x (t) = a, gdzie a R jest stałą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 7 / 45

13 Przykład - II zasada dynamiki Newtona Spróbujmy rozwiązać równanie x (t) = a, gdzie a R jest stałą. W tym celu, wprowadźmy funkcję pomocniczą y(t) = x (t). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 7 / 45

14 Przykład - II zasada dynamiki Newtona Spróbujmy rozwiązać równanie x (t) = a, gdzie a R jest stałą. W tym celu, wprowadźmy funkcję pomocniczą y(t) = x (t). Naturalnie y (t) = x (t) = a. Poszukujemy zatem funkcji, której pochodna jest stała. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 7 / 45

15 Przykład - II zasada dynamiki Newtona Spróbujmy rozwiązać równanie x (t) = a, gdzie a R jest stałą. W tym celu, wprowadźmy funkcję pomocniczą y(t) = x (t). Naturalnie y (t) = x (t) = a. Poszukujemy zatem funkcji, której pochodna jest stała. Jedyne funkcje spełniające tę zależność to wielomiany pierwszego stopnia, o współczynniku a przy wyrazie w pierwszej potędze. Możemy więc zapisać, że y(t) = at + C 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 7 / 45

16 Przykład - II zasada dynamiki Newtona Spróbujmy rozwiązać równanie x (t) = a, gdzie a R jest stałą. W tym celu, wprowadźmy funkcję pomocniczą y(t) = x (t). Naturalnie y (t) = x (t) = a. Poszukujemy zatem funkcji, której pochodna jest stała. Jedyne funkcje spełniające tę zależność to wielomiany pierwszego stopnia, o współczynniku a przy wyrazie w pierwszej potędze. Możemy więc zapisać, że y(t) = at + C 1. Stąd x (t) = at + C 1. Innymi słowy, x jest funkcją pierwotną do at + C 1 (względem zmiennej t). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 7 / 45

17 Przykład - II zasada dynamiki Newtona Spróbujmy rozwiązać równanie x (t) = a, gdzie a R jest stałą. W tym celu, wprowadźmy funkcję pomocniczą y(t) = x (t). Naturalnie y (t) = x (t) = a. Poszukujemy zatem funkcji, której pochodna jest stała. Jedyne funkcje spełniające tę zależność to wielomiany pierwszego stopnia, o współczynniku a przy wyrazie w pierwszej potędze. Możemy więc zapisać, że y(t) = at + C 1. Stąd x (t) = at + C 1. Innymi słowy, x jest funkcją pierwotną do at + C 1 (względem zmiennej t). Całkując at + C 1 otrzymamy, że x musi być postaci a 2 t2 + C 1 t + C 2, C 1, C 2 R. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 7 / 45

18 Przykład - II zasada dynamiki Newtona x(t) = a 2 t2 + C 1 t + C 2, C 1, C 2 R. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 8 / 45

19 Przykład - II zasada dynamiki Newtona x(t) = a 2 t2 + C 1 t + C 2, C 1, C 2 R. Jeśli założymy, że ciało, którego ruch badamy, zaczynało w chwili t = 0 z położenia x(0) = 0 i było nieruchome tj. miało zerową prędkość początkową (y(0) = x (0) = 0), to możemy obliczyć: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 8 / 45

20 Przykład - II zasada dynamiki Newtona x(t) = a 2 t2 + C 1 t + C 2, C 1, C 2 R. Jeśli założymy, że ciało, którego ruch badamy, zaczynało w chwili t = 0 z położenia x(0) = 0 i było nieruchome tj. miało zerową prędkość początkową (y(0) = x (0) = 0), to możemy obliczyć: 0 = y(0) = a 0+C 1 C 1 = 0; Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 8 / 45

21 Przykład - II zasada dynamiki Newtona x(t) = a 2 t2 + C 1 t + C 2, C 1, C 2 R. Jeśli założymy, że ciało, którego ruch badamy, zaczynało w chwili t = 0 z położenia x(0) = 0 i było nieruchome tj. miało zerową prędkość początkową (y(0) = x (0) = 0), to możemy obliczyć: 0 = y(0) = a 0+C 1 C 1 = 0; 0 = x(0) = a 2 0+C 1 0+C 2 C 2 = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 8 / 45

22 Przykład - II zasada dynamiki Newtona x(t) = a 2 t2 + C 1 t + C 2, C 1, C 2 R. Jeśli założymy, że ciało, którego ruch badamy, zaczynało w chwili t = 0 z położenia x(0) = 0 i było nieruchome tj. miało zerową prędkość początkową (y(0) = x (0) = 0), to możemy obliczyć: 0 = y(0) = a 0+C 1 C 1 = 0; 0 = x(0) = a 2 0+C 1 0+C 2 C 2 = 0. Zatem ostateczny wzór na ruch pod wpływem stale działającej siły to x(t) = a 2 t2 - znany ze szkolnej fizyki wzór na pokonaną drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 8 / 45

23 Postać normalna Teraz, do końca tego rozdziału, skupimy się na równaniach różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, czyli zawierających tylko zmienną niezależną, funkcję oraz jej pierwszą pochodną. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 9 / 45

24 Postać normalna Teraz, do końca tego rozdziału, skupimy się na równaniach różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, czyli zawierających tylko zmienną niezależną, funkcję oraz jej pierwszą pochodną. Warto zauważyć, że równanie różniczkowe z definicji dane jest w postaci uwikłanej ze względu na wszystkie zmienne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 9 / 45

25 Postać normalna Teraz, do końca tego rozdziału, skupimy się na równaniach różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, czyli zawierających tylko zmienną niezależną, funkcję oraz jej pierwszą pochodną. Warto zauważyć, że równanie różniczkowe z definicji dane jest w postaci uwikłanej ze względu na wszystkie zmienne. Najczęściej równania te jednak będą w postaci rozwikłanej ze względu na pierwszą pochodną, czyli tzw. normalnej. Równanie różniczkowe zwyczajne Postać normalna równania różniczkowego pierwszego rzędu to równanie postaci dy dx = g(x, y(x)), gdzie D g R 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 9 / 45

26 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Rozwiązywanie równania różniczkowego jest w pewnym sensie uogólnionym całkowaniem - wiedząc coś o pochodnej, szukamy wzoru funkcji. Dlatego równanie różniczkowe najczęściej ma nieskończenie rozwiązań (tak jak całka). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 10 / 45

27 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Rozwiązywanie równania różniczkowego jest w pewnym sensie uogólnionym całkowaniem - wiedząc coś o pochodnej, szukamy wzoru funkcji. Dlatego równanie różniczkowe najczęściej ma nieskończenie rozwiązań (tak jak całka). Aby otrzymać pojedyncze rozwiązanie, narzuca się dodatkowe warunki np. wartość w pewnym punkcie początkowym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 10 / 45

28 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Rozwiązywanie równania różniczkowego jest w pewnym sensie uogólnionym całkowaniem - wiedząc coś o pochodnej, szukamy wzoru funkcji. Dlatego równanie różniczkowe najczęściej ma nieskończenie rozwiązań (tak jak całka). Aby otrzymać pojedyncze rozwiązanie, narzuca się dodatkowe warunki np. wartość w pewnym punkcie początkowym. Tak właśnie było w rozwiązanym przed chwilą problemie: na początku dostaliśmy wzór ogólny na x(t), zależny od stałych C 1, C 2, a dopiero potem, po uzyskaniu informacji o początkowym położeniu i prędkości badanego obiektu, otrzymaliśmy jednoznaczny wzór funkcji x. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 10 / 45

29 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Rozwiązywanie równania różniczkowego jest w pewnym sensie uogólnionym całkowaniem - wiedząc coś o pochodnej, szukamy wzoru funkcji. Dlatego równanie różniczkowe najczęściej ma nieskończenie rozwiązań (tak jak całka). Aby otrzymać pojedyncze rozwiązanie, narzuca się dodatkowe warunki np. wartość w pewnym punkcie początkowym. Tak właśnie było w rozwiązanym przed chwilą problemie: na początku dostaliśmy wzór ogólny na x(t), zależny od stałych C 1, C 2, a dopiero potem, po uzyskaniu informacji o początkowym położeniu i prędkości badanego obiektu, otrzymaliśmy jednoznaczny wzór funkcji x. Jak uogólnić ten wynik? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 10 / 45

30 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Zagadnienie Cauchy ego Zagadnienie Cauchy ego (lub zagadnienie początkowe) to zadanie polegające na wyznaczeniu rozwiązania równania różniczkowego spełniającego warunek: y (x) = g(x, y(x)). y(x 0 ) = y 0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 11 / 45

31 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Zagadnienie Cauchy ego Zagadnienie Cauchy ego (lub zagadnienie początkowe) to zadanie polegające na wyznaczeniu rozwiązania równania różniczkowego spełniającego warunek: y (x) = g(x, y(x)). y(x 0 ) = y 0 Twierdzenie Peano-Piccarda Jeśli g : R 2 R jest funkcją różniczkowalną w pewnym otoczeniu (x 0, y 0 ) to zagadnienie Cauchy ego zadane tak jak w powyższej definicji posiada dokładnie jedno rozwiązanie y w pewnym otoczeniu x 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 11 / 45

32 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Naturalnym pytaniem jest, czy istnieją zagadnienia Cauchy ego, które nie mają rozwiązań lub mają więcej niż jedno. Oczywiście, w takiej sytuacji funkcja g z definicji zagadnienia nie może być różniczkowalna. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 12 / 45

33 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Naturalnym pytaniem jest, czy istnieją zagadnienia Cauchy ego, które nie mają rozwiązań lub mają więcej niż jedno. Oczywiście, w takiej sytuacji funkcja g z definicji zagadnienia nie może być różniczkowalna. Jeśli funkcja g nie jest ciągła w (x 0, y 0 ), to zagadnienie może w ogóle nie mieć rozwiązań. Przykładowo: nie ma w ogóle rozwiązań. y 0, gdy x < 0; (x) = 1, gdy x 0 y(0) = 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 12 / 45

34 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x 0, y 0 ), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 13 / 45

35 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x 0, y 0 ), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy: y (x) = 3 3 y 2 y(0) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 13 / 45

36 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x 0, y 0 ), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy: y (x) = 3 3 y 2 y(0) = 0 Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y(x) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 13 / 45

37 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x 0, y 0 ), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy: y (x) = 3 3 y 2 y(0) = 0 Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y(x) = 0 (bo obie strony równania różniczkowego się zerują), ale też funkcja y(x) = x 3, bo lewa strona równania różniczkowego wynosi. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 13 / 45

38 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x 0, y 0 ), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy: y (x) = 3 3 y 2 y(0) = 0 Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y(x) = 0 (bo obie strony równania różniczkowego się zerują), ale też funkcja y(x) = x 3, bo lewa strona równania różniczkowego wynosi 3x 2, a prawa. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 13 / 45

39 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x 0, y 0 ), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy: y (x) = 3 3 y 2 y(0) = 0 Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y(x) = 0 (bo obie strony równania różniczkowego się zerują), ale też funkcja y(x) = x 3, bo lewa strona równania różniczkowego wynosi 3x 2, a prawa również 3x 2 dla dowolnego x R.. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 13 / 45

40 Równania różniczkowe - jednoznaczność rozwiązań Z kolei, jeśli funkcja g jest ciągła, ale nieróżniczkowalna w (x 0, y 0 ), to zagadnienie może mieć dla tego warunku początkowego więcej niż jedno rozwiązanie. Przykładowo rozważmy: y (x) = 3 3 y 2 y(0) = 0 Oczywiście rozwiązaniem jest funkcja stała y(x) = 0 (bo obie strony równania różniczkowego się zerują), ale też funkcja y(x) = x 3, bo lewa strona równania różniczkowego wynosi 3x 2, a prawa również 3x 2 dla dowolnego x R. Nie jest to sprzeczne z twierdzeniem Peano-Piccarda, gdyż funkcja g(x, y) = 3 3 y 2 nie ma pochodnej cząstkowej g y w punkcie (0, 0).. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 13 / 45

41 Model Friedmana oczekiwań inflacyjnych W warunkach długotrwałej inflacji ludzie przyjmują pewne oczekiwania inflacyjne (czyli przewidują przyszłą inflację na pewnym poziomie), co wpływa na ich zachowania rynkowe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 14 / 45

42 Model Friedmana oczekiwań inflacyjnych W warunkach długotrwałej inflacji ludzie przyjmują pewne oczekiwania inflacyjne (czyli przewidują przyszłą inflację na pewnym poziomie), co wpływa na ich zachowania rynkowe. Milton Friedman modelował te oczekiwania za pomocą prostego równania różniczkowego: dπ = a(p π), dt gdzie a (0, 1], π(t) oznacza oczekiwaną, a p(t) rzeczywistą stopę inflacji w momencie t. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 14 / 45

43 Model Friedmana oczekiwań inflacyjnych W warunkach długotrwałej inflacji ludzie przyjmują pewne oczekiwania inflacyjne (czyli przewidują przyszłą inflację na pewnym poziomie), co wpływa na ich zachowania rynkowe. Milton Friedman modelował te oczekiwania za pomocą prostego równania różniczkowego: dπ = a(p π), dt gdzie a (0, 1], π(t) oznacza oczekiwaną, a p(t) rzeczywistą stopę inflacji w momencie t. Model powstał na bazie następującej obserwacji: jeśli w danej chwili p > π to stopa oczekiwana będzie rosnąć (czyli dπ > 0), zaś jeśli p < π to stopa oczekiwana będzie dt maleć (czyli dπ < 0). dt Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 14 / 45

44 Model wzrostu gospodarczego Domara Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 15 / 45

45 Model wzrostu gospodarczego Domara Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ). W modelu zakładamy, że inwestycje wpływają na dochód w przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 15 / 45

46 Model wzrostu gospodarczego Domara Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ). W modelu zakładamy, że inwestycje wpływają na dochód w przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego. Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K): I = dk dt. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 15 / 45

47 Model wzrostu gospodarczego Domara Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ). W modelu zakładamy, że inwestycje wpływają na dochód w przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego. Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K): I = dk. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy dt produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρk(t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 15 / 45

48 Model wzrostu gospodarczego Domara Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ). W modelu zakładamy, że inwestycje wpływają na dochód w przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego. Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K): I = dk. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy dt produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρk(t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 15 / 45

49 Model wzrostu gospodarczego Domara Zbudujemy najprostszy model wzrostu gospodarczego, w celu oszacowania wpływu wielkości inwestycji (I ) na dochód narodowy (Y ). W modelu zakładamy, że inwestycje wpływają na dochód w przyszłości, ale zależą od dochodu obecnego. Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K): I = dk. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy dt produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρk(t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s dy dt = di dt. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 15 / 45

50 Model wzrostu gospodarczego Domara Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K): I = dk. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy dt produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρk(t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s dy = di. dt dt Łącząc te równości otrzymujemy: di dt = s dy dt Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 16 / 45

51 Model wzrostu gospodarczego Domara Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K): I = dk. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy dt produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρk(t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s dy = di. dt dt Łącząc te równości otrzymujemy: di dt = s dy dt = s dυ dt = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 16 / 45

52 Model wzrostu gospodarczego Domara Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K): I = dk. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy dt produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρk(t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s dy = di. dt dt Łącząc te równości otrzymujemy: di dt = s dy dt = s dυ dt = sρdk dt = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 16 / 45

53 Model wzrostu gospodarczego Domara Inwestycje (I ) można zdefiniować jako stopę przyrostu kapitału (K): I = dk. Zakładamy, że potencjał produkcyjny (Υ), czyli największy dt produkt narodowy możliwy do wytworzenia w chwili t jest proporcjonalny do posiadanego kapitału: Υ(t) = ρk(t), gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności. Jeśli potencjał produkcyjny jest w pełni wykorzystany (wtedy mówi się, że gospodarka jest w stanie równowagi), to możemy założyć, że Y (t) = Υ(t). Z kolei, jeśli s jest krańcową skłonnością do oszczędzania dochodu narodowego (czyli częścią tego dochodu, która zostaje zaoszczędzona i może być zainwestowana: zakładamy, że jest stała) to możemy zapisać s dy = di. dt dt Łącząc te równości otrzymujemy: di dt = s dy dt = s dυ dt = sρdk dt = ρsi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 16 / 45

54 Ogólne uwagi o rozwiązywaniu równań różniczkowych Zasadniczo, przygniatającej większości równań różniczkowych nie da się rozwiązać analitycznie, a przynajmniej przedstawić algorytmu, który w skończonej liczbie kroków dawałby ich rozwiązanie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 17 / 45

55 Ogólne uwagi o rozwiązywaniu równań różniczkowych Zasadniczo, przygniatającej większości równań różniczkowych nie da się rozwiązać analitycznie, a przynajmniej przedstawić algorytmu, który w skończonej liczbie kroków dawałby ich rozwiązanie. W wielu wypadkach również rozwiązania numeryczne (czyli przybliżone, obliczone za pomocą komputerów) nie zdają egzaminu ze względu na tzw. silną zależność od warunków początkowych (popularniejszymi, acz mniej ścisłymi określeniami tego zjawiska są chaos lub efekt motyla), czyli fakt, że mała niedokładność pomiaru stanu początkowego układu, który dane równanie różniczkowe modeluje, może powodować po pewnym czasie dowolnie dużą różnicę między przewidywaniami modelu a stanem rzeczywistym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 17 / 45

56 Ogólne uwagi o rozwiązywaniu równań różniczkowych Zasadniczo, przygniatającej większości równań różniczkowych nie da się rozwiązać analitycznie, a przynajmniej przedstawić algorytmu, który w skończonej liczbie kroków dawałby ich rozwiązanie. W wielu wypadkach również rozwiązania numeryczne (czyli przybliżone, obliczone za pomocą komputerów) nie zdają egzaminu ze względu na tzw. silną zależność od warunków początkowych (popularniejszymi, acz mniej ścisłymi określeniami tego zjawiska są chaos lub efekt motyla), czyli fakt, że mała niedokładność pomiaru stanu początkowego układu, który dane równanie różniczkowe modeluje, może powodować po pewnym czasie dowolnie dużą różnicę między przewidywaniami modelu a stanem rzeczywistym. W ramach tego wykładu zajmiemy się jedynie kilkoma najprostszymi rodzajami równań różniczkowych, które akurat da się rozwiązać. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 17 / 45

57 Najprostsze równania różniczkowe Najprostsze równania różniczkowe to równania postaci: dy dx = f (x), gdzie f jest pewną funkcją zależną tylko od zmiennej x. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 18 / 45

58 Najprostsze równania różniczkowe Najprostsze równania różniczkowe to równania postaci: dy dx = f (x), gdzie f jest pewną funkcją zależną tylko od zmiennej x. Ich rozwiązania można uzyskać całkując obie strony względem x i są oczywiście wyrażone wzorem: y(x) = f (x)dx + C. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 18 / 45

59 Najprostsze równania różniczkowe - przykład Ten sposób rozwiązywania stosowaliśmy, zmagając się z II zasadą dynamiki Newtona. Równanie: dx dt = at + C 1, przy danych a, C 1 R jest właśnie równaniem tego typu (prawa strona jest funkcją tylko zmiennej niezależnej t), więc rozwiązaliśmy je całkując obustronnie po t i otrzymując: x(t) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 19 / 45

60 Najprostsze równania różniczkowe - przykład Ten sposób rozwiązywania stosowaliśmy, zmagając się z II zasadą dynamiki Newtona. Równanie: dx dt = at + C 1, przy danych a, C 1 R jest właśnie równaniem tego typu (prawa strona jest funkcją tylko zmiennej niezależnej t), więc rozwiązaliśmy je całkując obustronnie po t i otrzymując: x(t) = a 2 t2 + C 1 t + C 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 19 / 45

61 Równania o zmiennych rozdzielonych Niemal równie proste są równania o rozdzielonych zmiennych, postaci: f (y) dy dx = g(x) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 20 / 45

62 Równania o zmiennych rozdzielonych Niemal równie proste są równania o rozdzielonych zmiennych, postaci: f (y) dy dx = g(x) Rozwiązujemy je mnożąc obie strony przez dx i następnie całkując: f (y) dy dx = g(x) = [f (y)dy = g(x)dx] = f (y)dy = g(x)dx rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 20 / 45

63 Równania o zmiennych rozdzielonych Niemal równie proste są równania o rozdzielonych zmiennych, postaci: f (y) dy dx = g(x) Rozwiązujemy je mnożąc obie strony przez dx i następnie całkując: f (y) dy dx = g(x) = [f (y)dy = g(x)dx] = f (y)dy = g(x)dx Oczywiście, zapis w nawiasie kwadratowym powyżej jest zupełnie niepoprawny (przynajmniej według naszej wiedzy), bo samo dx bądź dy nie ma zdefiniowanego znaczenia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 20 / 45

64 Równania o zmiennych rozdzielonych f (y) dy dx = g(x) = [f (y)dy = g(x)dx] = f (y)dy = g(x)dx Oczywiście, zapis w nawiasie kwadratowym powyżej jest zupełnie niepoprawny (przynajmniej według naszej wiedzy), bo samo dx bądź dy nie ma zdefiniowanego znaczenia. To mnożenie jest tylko mnemotechniczną sztuczką, dzięki której możemy łatwo zapamiętać sposób rozwiązywania równania o zmiennych rozdzielonych, a nie jakimś znanym nam działaniem. Dlatego, zanim ćwiczeniowiec/wykładowca się zorientuje, że robimy z tym równaniem coś nieprzyzwoitego, musimy dopisać szybko całkę po obu stronach i już wszystko jest w porządku. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 21 / 45

65 Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana) Dla stałego poziomu inflacji p, model Friedmana oczekiwań inflacyjnych jest zadany równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych: dπ dt = a(p π), Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 22 / 45

66 Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana) Dla stałego poziomu inflacji p, model Friedmana oczekiwań inflacyjnych jest zadany równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych: dπ dt = a(p π), gdzie a, p > 0. By to zauważyć, wystarczy przenieść na lewą stronę wszystko, co jest zależne od π np.: 1 dπ p π dt = a. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 22 / 45

67 Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana) 1 dπ p π dt = a. Zgodnie z zasadą rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielonych możemy nieformalnie zapisać postać równoważną jako: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 23 / 45

68 Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana) 1 dπ p π dt = a. Zgodnie z zasadą rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielonych możemy nieformalnie zapisać postać równoważną jako: dπ = adt], a formalnie jako: [ 1 p π 1 p π dπ = adt rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 23 / 45

69 Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana) 1 dπ p π dt = a. Zgodnie z zasadą rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielonych możemy nieformalnie zapisać postać równoważną jako: dπ = adt], a formalnie jako: [ 1 p π 1 p π dπ = adt ln p π + C 1 = at + C 2 ln p π = at + C 3 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 23 / 45

70 Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana) ln p π = at + C 3 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 24 / 45

71 Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana) ln p π = at + C 3 p π = e at+c 3 = e C3 e at = Ce at. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 24 / 45

72 Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana) ln p π = at + C 3 p π = e at+c 3 = e C3 e at = Ce at. I ostatecznie: π(t) = p Ce at (moduł mogliśmy opuścić, bo C może być ujemne). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 24 / 45

73 Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana) ln p π = at + C 3 p π = e at+c 3 = e C3 e at = Ce at. I ostatecznie: π(t) = p Ce at (moduł mogliśmy opuścić, bo C może być ujemne). Warto zauważyć, że lim t π(t) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 24 / 45

74 Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana) ln p π = at + C 3 p π = e at+c 3 = e C3 e at = Ce at. I ostatecznie: π(t) = p Ce at (moduł mogliśmy opuścić, bo C może być ujemne). Warto zauważyć, że lim t π(t) = p, skąd można wyciągnąć wniosek, że jeśli stopa inflacji jest stała przez dłuższy czas, to oczekiwania inflacyjne społeczeństwa zaczną się pokrywać z faktyczną stopą inflacji (o ile model Friedmana jest prawdziwy). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 24 / 45

75 Równania o zmiennych rozdzielonych - przykład (model Friedmana) ln p π = at + C 3 p π = e at+c 3 = e C3 e at = Ce at. I ostatecznie: π(t) = p Ce at (moduł mogliśmy opuścić, bo C może być ujemne). Warto zauważyć, że lim t π(t) = p, skąd można wyciągnąć wniosek, że jeśli stopa inflacji jest stała przez dłuższy czas, to oczekiwania inflacyjne społeczeństwa zaczną się pokrywać z faktyczną stopą inflacji (o ile model Friedmana jest prawdziwy). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 24 / 45

76 Stałe w rozwiązaniach równań różniczkowych - uwaga techniczna Zauważmy, że w rozwiązanym przykładzie pojawiło się wiele stałych: C 1, C 2, C 3 itd., a na końcu miała znaczenie tylko stała C, z tych stałych powstająca. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 25 / 45

77 Stałe w rozwiązaniach równań różniczkowych - uwaga techniczna Zauważmy, że w rozwiązanym przykładzie pojawiło się wiele stałych: C 1, C 2, C 3 itd., a na końcu miała znaczenie tylko stała C, z tych stałych powstająca. Jakkolwiek ten zapis formalnie jest jedynym poprawnym, to w praktyce równań różniczkowych przyjęło się oznaczać wszystkie stałe jako C np. w zapisie wyniku e C możemy zastąpić przez C bez utraty ogólności rozwiązania. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 25 / 45

78 Stałe w rozwiązaniach równań różniczkowych - uwaga techniczna Zauważmy, że w rozwiązanym przykładzie pojawiło się wiele stałych: C 1, C 2, C 3 itd., a na końcu miała znaczenie tylko stała C, z tych stałych powstająca. Jakkolwiek ten zapis formalnie jest jedynym poprawnym, to w praktyce równań różniczkowych przyjęło się oznaczać wszystkie stałe jako C np. w zapisie wyniku e C możemy zastąpić przez C bez utraty ogólności rozwiązania. Podobnie, gdy obliczamy całki po obydwu stronach równości (jak w procedurze rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielonych), wystarczy by stałą zapisać po jednej stronie (bo i tak można jedną z nich odjąć stronami). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 25 / 45

79 Stałe w rozwiązaniach równań różniczkowych - uwaga techniczna Zauważmy, że w rozwiązanym przykładzie pojawiło się wiele stałych: C 1, C 2, C 3 itd., a na końcu miała znaczenie tylko stała C, z tych stałych powstająca. Jakkolwiek ten zapis formalnie jest jedynym poprawnym, to w praktyce równań różniczkowych przyjęło się oznaczać wszystkie stałe jako C np. w zapisie wyniku e C możemy zastąpić przez C bez utraty ogólności rozwiązania. Podobnie, gdy obliczamy całki po obydwu stronach równości (jak w procedurze rozwiązywania równań o zmiennych rozdzielonych), wystarczy by stałą zapisać po jednej stronie (bo i tak można jedną z nich odjąć stronami). Do tej konwencji odtąd będę się stosować. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 25 / 45

80 Rozwiązania w postaci uwikłanej - uwaga techniczna Warto pamiętać o jeszcze jednej kwestii: równania różniczkowe, tak jak całki, często nie dają się rozwiązać w sposób elementarny, a czasami dają się rozwiązać tylko w sposób niedoskonały tj. nie dając jawnego wzoru funkcji, która jest niewiadomą w równaniu, ale pewne o niej informacje. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 26 / 45

81 Rozwiązania w postaci uwikłanej - uwaga techniczna Warto pamiętać o jeszcze jednej kwestii: równania różniczkowe, tak jak całki, często nie dają się rozwiązać w sposób elementarny, a czasami dają się rozwiązać tylko w sposób niedoskonały tj. nie dając jawnego wzoru funkcji, która jest niewiadomą w równaniu, ale pewne o niej informacje. Nawet w prostych sytuacjach może się zdarzyć, że rozwiązanie równania różniczkowego można przedstawić jedynie w postaci uwikłanej. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 26 / 45

82 Rozwiązania w postaci uwikłanej - uwaga techniczna Warto pamiętać o jeszcze jednej kwestii: równania różniczkowe, tak jak całki, często nie dają się rozwiązać w sposób elementarny, a czasami dają się rozwiązać tylko w sposób niedoskonały tj. nie dając jawnego wzoru funkcji, która jest niewiadomą w równaniu, ale pewne o niej informacje. Nawet w prostych sytuacjach może się zdarzyć, że rozwiązanie równania różniczkowego można przedstawić jedynie w postaci uwikłanej. Z rozdziału o funkcjach wielu zmiennych i twierdzenia o funkcji uwikłanej wiemy, że taka postać może być nie do rozwikłania, ale możemy na jej podstawie wyciągnąć wiele wniosków o danej funkcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 26 / 45

83 Rozwiązania w postaci uwikłanej - przykład Rozważmy równanie: dy dx = x y. Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, które można rozwiązać następująco: dy dx = x y rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 27 / 45

84 Rozwiązania w postaci uwikłanej - przykład Rozważmy równanie: dy dx = x y. Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, które można rozwiązać następująco: dy dx = x y ydy = xdx rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 27 / 45

85 Rozwiązania w postaci uwikłanej - przykład Rozważmy równanie: dy dx = x y. Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, które można rozwiązać następująco: dy dx = x y ydy = xdx 1 2 y 2 = 1 2 x 2 +C rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 27 / 45

86 Rozwiązania w postaci uwikłanej - przykład Rozważmy równanie: dy dx = x y. Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, które można rozwiązać następująco: dy dx = x y ydy = xdx 1 2 y 2 = 1 2 x 2 +C x 2 +y 2 = C. W rezultacie, wiemy, że wykresy rozwiązań leżą na okręgach o środku w (0, 0), ale wyniku nie da się rozwikłać bez dodatkowych informacji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 27 / 45

87 Równania liniowe jednorodne Rozdzielając zmienne możemy rozwiązać w szczególności równania liniowe jednorodne (RLJ) postaci: dy dx + f (x)y = 0, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 28 / 45

88 Równania liniowe jednorodne Rozdzielając zmienne możemy rozwiązać w szczególności równania liniowe jednorodne (RLJ) postaci: dy dx + f (x)y = 0, przenosząc na drugą stronę i dzieląc przez y rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 28 / 45

89 Równania liniowe jednorodne Rozdzielając zmienne możemy rozwiązać w szczególności równania liniowe jednorodne (RLJ) postaci: dy dx + f (x)y = 0, przenosząc na drugą stronę i dzieląc przez y (tu musimy zauważyć, że funkcja y = 0 spełnia równanie, więc można założyć y 0 i dzielić) otrzymujemy: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 28 / 45

90 Równania liniowe jednorodne Rozdzielając zmienne możemy rozwiązać w szczególności równania liniowe jednorodne (RLJ) postaci: dy dx + f (x)y = 0, przenosząc na drugą stronę i dzieląc przez y (tu musimy zauważyć, że funkcja y = 0 spełnia równanie, więc można założyć y 0 i dzielić) otrzymujemy: 1 y dy = f (x) dx. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 28 / 45

91 Równania liniowe jednorodne Rozdzielając zmienne możemy rozwiązać w szczególności równania liniowe jednorodne (RLJ) postaci: dy dx + f (x)y = 0, przenosząc na drugą stronę i dzieląc przez y (tu musimy zauważyć, że funkcja y = 0 spełnia równanie, więc można założyć y 0 i dzielić) otrzymujemy: 1 y dy = f (x) dx. Dostaniemy rozwiązanie postaci ln y = F (x) + c, czyli y(x) = Ce F (x), gdzie F (x) jest funkcją pierwotną dla f (x), a C dowolną stałą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 28 / 45

92 Równania liniowe jednorodne Rozdzielając zmienne możemy rozwiązać w szczególności równania liniowe jednorodne (RLJ) postaci: dy dx + f (x)y = 0, przenosząc na drugą stronę i dzieląc przez y (tu musimy zauważyć, że funkcja y = 0 spełnia równanie, więc można założyć y 0 i dzielić) otrzymujemy: 1 y dy = f (x) dx. Dostaniemy rozwiązanie postaci ln y = F (x) + c, czyli y(x) = Ce F (x), gdzie F (x) jest funkcją pierwotną dla f (x), a C dowolną stałą. Pamiętamy, że funkcja dana wzorem y(x) = 0 też jest rozwiązaniem, ale podstawienie C = 0 uwzględnia ten przypadek. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 28 / 45

93 Równania liniowe jednorodne - przykład - model Domara Model rozwoju gospodarczego Domara doprowadził nas do równania: gdzie ρ, s > 0. di dt = ρsi, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 29 / 45

94 Równania liniowe jednorodne - przykład - model Domara Model rozwoju gospodarczego Domara doprowadził nas do równania: di dt = ρsi, gdzie ρ, s > 0. Możemy to równanie zapisać w postaci: di ρsi = 0, dt więc jest to równanie liniowe jednorodne dla f (t) = ρs. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 29 / 45

95 Równania liniowe jednorodne - przykład - model Domara di ρsi = 0. dt Skoro f (t) = ρs, to F (t) = f (I )dt = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 30 / 45

96 Równania liniowe jednorodne - przykład - model Domara di ρsi = 0. dt Skoro f (t) = ρs, to F (t) = f (I )dt = ρst i, zgodnie z zasadami rozwiązywania równań liniowych jednorodnych otrzymujemy rozwiązanie: I (t) = Ce ρst. Stosowanie modelu Domara prowadzi do pewnych paradoksów, dlatego nie jest on używany bezpośrednio, ale jest bazą innych, bardziej realistycznych modeli wzrostu gospodarczego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 30 / 45

97 Równania liniowe niejednorodne Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne (RLN) to równanie postaci: dy + f (x)y = g(x). dx rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 31 / 45

98 Równania liniowe niejednorodne Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne (RLN) to równanie postaci: dy + f (x)y = g(x). dx Od równania liniowego jednorodnego różni je fakt, że po prawej stronie nie musi występować 0, ale dowolna funkcja g zmiennej niezależnej x. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 31 / 45

99 Równania liniowe niejednorodne Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne (RLN) to równanie postaci: dy + f (x)y = g(x). dx Od równania liniowego jednorodnego różni je fakt, że po prawej stronie nie musi występować 0, ale dowolna funkcja g zmiennej niezależnej x. Równania takie rozwiązujemy za pomocą tzw. metody uzmienniania stałej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 31 / 45

100 Metoda uzmienniania stałej - procedura Z RLN dy + f (x)y = g(x) postępujemy następująco: rozwiązujemy dx najpierw RLJ: dy dx + f (x)y = 0 metodą podaną wcześniej, dostając ogólne rozwiązanie postaci y = Ce F (x). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 32 / 45

101 Metoda uzmienniania stałej - procedura Z RLN dy + f (x)y = g(x) postępujemy następująco: rozwiązujemy dx najpierw RLJ: dy dx + f (x)y = 0 metodą podaną wcześniej, dostając ogólne rozwiązanie postaci y = Ce F (x). Teraz zakładamy, że C jest funkcją C(x) zmiennej x, różniczkujemy: y = C(x)e F (x) = dy dx = C (x) e F (x) C(x) F (x)e F (x), i podstawiamy do pierwotnego równania. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 32 / 45

102 Metoda uzmienniania stałej - procedura Z RLN dy + f (x)y = g(x) postępujemy następująco: rozwiązujemy dx najpierw RLJ: dy dx + f (x)y = 0 metodą podaną wcześniej, dostając ogólne rozwiązanie postaci y = Ce F (x). Teraz zakładamy, że C jest funkcją C(x) zmiennej x, różniczkujemy: y = C(x)e F (x) = dy dx = C (x) e F (x) C(x) F (x)e F (x), i podstawiamy do pierwotnego równania. Powinno się ładnie poskracać i dostaniemy wzór na C (x). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 32 / 45