Programowanie liniowe
|
|
- Amelia Szydłowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Programowanie liniowe 1 Wstęp Programowanie liniowe jest jednym z działów teorii zadań ekstremalnych. Podstawy programowania liniowego stworzył Kantorowicz w latach 30-tych ubiegłego stulecia. Przedmiotem programowania liniowego sa zadania polegajace na szukaniu punktów minimum (badź maksimum) funkcji liniowej na zbiorze opisanym układem równości lub nierówności liniowych. Najprostszym przykładem zadania programowania liniowego jest zadanie znalezienia punktu minimum funkcji f(x) =ax na przedziale [c, d] R + 0. W postaci zadania programowania liniowego można zapisać wiele praktycznych zagadnień natury ekonomicznej. Przykład 1 (planowanie produkcji). Wytwórca dysponuje określonymi ilościami różnych środków (surowce, praca, sprzęt), wykorzystywanych do produkcji różnych towarów. Wia-domo, jaka ilość i-tego środka jest potrzebna do produkcji jednostki j-tegotowaru,atakże jaki dochód daje sprzedaż każdej wyprodukowanej jednostki j-tego towaru. Wytwórca powinien tak zaplanować produkcję, by całkowity dochód uzyskany ze sprzedaży towarów był maksymalny. Model. Wprowadźmy następujace oznaczenia: m -ilość środków n -ilość towarów a ij -ilość jednostek i-tego środka potrzebna do produkcji jednostki j-tego towaru b i -dostępna ilość jednostek i-tego środka x j - wielkość produkcjij-tego towaru (niewiadoma) c j - dochód uzyskiwany ze sprzedaży jednostki j-tego towaru Całkowita ilość i-tego środka, zużyta podczas produkcji, można więc wyrazić następujaco: nx a ij x j. j=1 Ilość tapowinnabyć mniejsza lub równa dostępnej ilości jednostek i-tego środka, czyli nx a ij x j b i,i=1,...,m. j=1 Dochód uzyskany ze sprzedaży wszystkich wyprodukowanych towarów wyraża się następujaco: nx c j x j, j=1 1
2 przy czym oczywiście x j 0, j=1,..., n. Można więc sformułować opisane zagadnienie w następujacy sposób: zmaksymalizować funkcjonał kosztu (dochód) przy ograniczeniach nx c j x j j=1 x j 0, j=1,..., n, nx a ij x j b i,i=1,...,m. j=1 Przykład 2 (zagadnienie transportowe). Wytwórca zamierza przesłać pewna ilość jednostek towaru z kilku magazynów do kilku punktów sprzedaży. Każdy punkt sprzedaży złożył zamówienie u wytwórcy na określona ilość jednostek towaru. Każdy magazyn dysponuje określonymi zapasami towaru. Wytwórca zna koszt transportu jednostki towaru z każdego magazynu do każdego punktu sprzedaży. Należy tak zaplanować dystrybucję towaru, by koszt transportu był minimalny. Model. Aby sformułować powyższe zadanie jako zadanie programowania liniowego, wprowadźmy następujace oznaczenia: m -ilość magazynów n -ilość punktów sprzedaży a i -ilość jednostek towaru znajdujacych się wi-tym magazynie b j - zapotrzebowanie (ilość jednostek) na towar złożone przez j-ty punkt sprzedaży x ij - ilość jednostek towaru przesyłana z i-tego magazynu do j-tego punktu sprzedaży (niewiadoma) c ij - koszt przesłania jednostki towaru z i-tego magazynu do j-tego punktu sprzedaży Całkowity koszt transportu można więc wyrazić następujaco: mx i=1 nx c ij x ij. j=1 Żada się dodatkowo,abykażdy punkt sprzedaży otrzymał dokładnie b j jednostek towaru i aby każdy magazyn wysłał dokładnie a i jednostek towaru. Naturalnym założeniem jest, że x ij 0, i=1,..., m, j =1,..., n. Możemy więc sformułować nasze zagadnienie w następujacy sposób: zminimalizować funkcjonał kosztu mx nx c ij x ij, i=1 j=1 2
3 przy ograniczeniach x ij 0, i=1,..., m, j =1,..., n. nx x ij = a i,i=1,..., m, j=1 mx x ij = b j,j=1,..., n. Wprzypadkum =2, n =3zadanie przyjmuje postać i=1 c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 13 x 13 + c 21 x 21 + c 22 x 22 + c 23 x 23 min. x 11 0,x 12 0,x 13 0,x 21 0,x 22 0,x 23 0, x 11 + x 12 + x 13 = a 1 x 21 + x 22 + x 23 = a 2 x 11 + x 21 = b 1 x 12 + x 22 = b 2 x 13 + x 23 = b 3. Przykład 3 (zagadnienie diety). Dane sa zawartości określonych składników odżywczych w różnych produktach spożywczych (dokładniej, w 100 g (jednostce) każdego z rozpatrywanych produktów), n.p. wiadomo, ile mg fosforu zawiera 100 g każdego z rozpatrywanych produktów. Znane jest również minimalne dzienne zapotrzebowanie organizmu na poszczególne składniki odżywcze oraz maksymalna (dopuszczalna) dzienna dawka każdego z tych składników, która nie powinna być przekraczana. Znajac koszt jednostki każdego z rozpatrywanych produktów, należy ułożyć dietę w taki sposób, by pokrywała minimalne dzienne zapotrzebowanie organizmu na składniki odżywcze, nie szkodziła ijejkosztbył minimalny. Model. Wprowadźmy następujace oznaczenia: m -ilość składników odżywczych n -ilość produktówspożywczych a ij -ilość mg i-tego składnika odżywczego w 100 gj-tego produktu spożywczego b i - minimalne dzienne zapotrzebowanie (w mg) organizmunai-ty składnik odżywczy d j - maksymalna dzienna dawka (w mg) i-tego składnika odżywczego x j -ilość jednostek (100 g) j-tego produktu spożywczego przewidziana w diecie (niewiadoma) c j - koszt jednostki (100 g) j-tego produktu spożywczego Powyższe zagadnienie można sformułować w postaci następujacego minimalizacyjnego zadania programowania liniowego: c 1 x c n x n min. x j 0, j=1,..., n, a i1 x a in x n b i,i=1,..., m, a i1 x a in x n d i,i=1,..., m. 3
4 2 Sformułowanie zadania Ogólnym zadaniem programowania liniowego nazywamy zadanie postaci (u =(u 1,..., u n ) R n ): J(u) =c 1 u c n u n min. u k 0, k I a 1,1 u a 1,n u n b 1... a m,1 u a m,n u n b m a m+1,1 u a m+1,n u n = b m+1... a s,1 u a s,n u n = b s (I.1) (I.2), (I.3) gdzie c j, a i,j, b i, i =1,..., s, j =1,..., n, sa danymi liczbami rzeczywistymi, I {1,...,n} jest ustalonym zbiorem indeksów; możliwe sa tutaj przypadki: I =, I = {1,..., n}, m = s, m =0. Powyższe zadanie możemy zapisać następujaco: ½ J(u) =hc, ui min. u U = {u =(u 1,..., u n ) R n ; u i (1) 0 dla i I, Au b, Au = b} gdzie A = c =(c 1,..., c n ), a 1,1... a 1,n a m+1,1... a m+1,n, A =.... a m,1... a m,n b = b 1. b m, b = a s,1... a s,n (symbolem hx, yi oznaczamy iloczyn skalarny wektorów x =(x 1,..., x n ), y =(y 1,..., y n ),t.zn. hx, yi = P n i=1 x iy i ;zapis x y, gdzie x =(x 1,..., x n ), y =(y 1,..., y n ), oznacza, że b m+1. b s x i y i,i=1,..., n). Każdy punkt u U nazywamy punktem dopuszczalnym dla zadania (1). Punkt u U nazywamy rozwiazaniem zadania (1), gdy dla dowolnego u U. J(u ) J(u)., 4
5 Kanonicznym zadaniem programowania liniowego nazywamy zadanie postaci ½ J(u) =hc, ui min. u U = {u =(u 1,..., u n ) R n ; u 0, Au = b}. Podstawowym zadaniem programowania liniowego nazywamy zadanie postaci ½ J(u) =hc, ui min. u U = {u =(u 1,..., u n ) R n ; u 0, Au b}. (I.6) (I.7) Zajmiemy się teraz zagadnieniem równoważności zadań różnego typu. A mianowicie, rozwiazywanie zadania podstawowego można zastapić rozwi azywaniem zadania kanonicznego. Istotnie, niech dane będzie zadanie podstawowe (I.7) i rozważmy w przestrzeni R n+m zadanie postaci ½ hd, zi min. z Z = {z =(u, v) R n+m ; z 0, Cu = b}, (I.9) gdzie d =(c, 0) R n+m, C =[A I m m ]= a 1,1... a 1,n.. a m,1... a m,n (I m m jest macierza jednostkowawymiarum m). Łatwo zauważyć, że jeśli u U jest rozwiazaniem zadania (I.7), to z =(u,v ),gdzie v = b Au, jest rozwiazaniem zadania (I.9), t.zn. z Z oraz hd, z i hd, zi dla dowolnego z Z. Jeśli natomiast z =(u,v ) Z jest rozwiazaniem zadania (I.9), to u jest rozwiazaniem zadania (I.7), t.zn. u U oraz hc, u i hc, ui dla dowolnego u U. Podobnie, rozwiazywanie zadania ogólnego (1) można zastapić rozwi azywaniem zadania kanonicznego. Rzeczywiście, rozważmy w przestrzeni R p (p = m + I + J + J, gdziej = {1,..., n}âi) 5
6 zadanie postaci he, zi = X i I c i u i + X i J c i w i + X i J c i w i min. z Z = {z =(v, u i ; i I,w i ; i J, w i ; i J) R p ; z 0, v + X A i u i + X A i w i + X A i w i = b, Xi I i J i J A i u i + X A i w i + X A i w i = b} i I i J i J = {z R p ; z 0, [Im m A i ; i I A i ; i J A i ; i J] 0 Ai ; i I A i ; i J A i ; i J b z = } b, (I.10) gdzie e =(0,c i ; i I,c i ; i J, c i ; i J) R p, A i - i-ta kolumna macierzy A, A i - i-ta kolumna macierzy A. Jeśli u U jest rozwiazaniem zadania ogólnego (1), to gdzie z =(v,u i ; i I,w i ; i J, w i ; i J), v = b Au, w i =max{0,u i }, i J, w i =max{0, u i }, i J, jest rozwiazaniem zadania (I.10) (zauważmy, że u i = w i w i dla i J). Jeśli natomiast z =(v,u i ; i I,w ; i i J, w i ; i J), jest rozwiazaniem zadania (I.10), to jest rozwiazaniem zadania (1). 2.1 Zadania u =(u i ; i I,w i w i ; i J) Zadanie 1. Zapisać następujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Producent odzieży powinien określić, ile kurtek i płaszczy należy wyprodukować tak, aby zysk osiagniety z ich sprzedaży był maksymalny. Do produkcji wykorzystywany jest jeden rodzaj tkaniny. Producent posiada 150 m 2 tej tkaniny. Zgodnie z zamówieniami należy wyprodukować co najmniej 20 kurtek i co najwyżej 10 płaszczy. Do produkcji jednej kurtki i jednego płaszcza potrzeba odpowiednio 2, 5 m 2 i 4 m 2 tkaniny. Przy sprzedaży jednej kurtki producent osiaga zysk 60 zł, płaszcza - 50 zł. Zadanie 2. Zapisać następujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego. 6
7 Pewien wytwórca posiada centrale zbytu z Lublinie, Łodzi i Szczecinie. Centrale te posiadaja odpowiednio 40, 20 i 40 jednostek produktu. Punkty sprzedaży zamówiły nastepujace ilości jednostek produktu: Białystok - 25, Cieszyn-10, Kraków-20, Sopot-30, Warszawa-15. Koszt transportu jednostki (w zł) zkażdej centrali zbytu do dowolnego punktu sprzedaży podaje nastepujaca tablica: Białystok Cieszyn Kraków Sopot Warszawa Lublin Łódź Szczecin Należy tak zaplanować dystrybucje produktu, by koszt transportu był minimalny. Zadanie 3. Zapisać następujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Wytwórca mebli powinien określić, ile stoł ów, krzeseł, biurek i szaf powinien wyprodukować, by zysk z ich sprzedaży był maksymalny. Do produkcji wykorzystywane sa dwa typy desek. Wytwórca posiada 1500 m desek I typu i 1000 m - desek II typu oraz dysponuje kapitałem 860 godzin roboczych na wykonanie zaplanowanej produkcji. Ze złożonych zamówień wynika, że należy wyprodukować conajmniej 40 stołów, 130 krzeseł, 30 biurek i nie wiecej niż 10 szaf. Do produkcji każdego stołu, krzesła, biurka i szafy potrzeba odpowiednio 5, 1, 9, 12 m desek I typu i 2, 3, 4, 1 m desek II typu. Na wykonanie stołu potrzeba3 godzin pracy, krzesła -2 godzin, biurka - 5 godzin, szafy - 10 godzin. Ze sprzedaży jednego stołu, krzesła, biurka i szafy wytwórca osiaga zysk odpowiednio 50, 20, 60 i 40 zł. Zadanie 4. Zapisać następujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Zadaniem dietetyka jest opracowanie składu porannej owsianki tak, aby zawierała ona niezbedne dzienne zapotrzebowanie organizmu na określone składniki odżywcze i jednocześnie byłamożliwie najtańsza. Dietetyk ma dyspozycji płatki Corn Flakes i Nesquik. Śniadanie powinno zawierać co najmniej 1 mg witaminy B 1, 12 mg żelaza i mieć wartość energetyczn arówn a 360 kcal. 100 gpłatków Corn Flakes zawiera 1, 2 mg witaminy B 1, 12 mg żelaza i ma wartość energetyczna równa 358 kcal, natomiast 100 gpłatków Nesquik zawiera 1, 5 mg witaminy B 1, 10 mg żelaza i ma wartość energetycznarówn a 390 kcal. Ponadto 100 gpłatków Corn Flakes kosztuje 32 gr, a 100 gpłatków Nesquik - 36 gr. Zadanie 5. Zapisać następujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Dyrektor pewnego przedsiebiorstwa powinien obsadzić trzy stanowiska, które wymagajaróżnych kwalifikacji i praktyki zawodowej, przy czym ma do dyspozycji trzech pracowników. Ze wzgledu na różne ich kwalifikacje i doświadczenie zawodowe wartość (dlaprzedsiebiorstwa) każdego z tych pracowników zależy od stanowiska, na którym jest on zatrudniony. Poniższa tabela zawiera oceny wartości poszczególnych pracowników zatrudnionych na poszczególnych stanowiskach Stanowisko I Stanowisko II Stanowisko III Pracownik A Pracownik B Pracownik C
8 Należy tak rozmieścić pracowników narozważanych stanowiskach, by całkowita ich wartość dla przedsiebiorstwa była maksymalna. Zadanie 6. Zapisać następujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Producent farb powinien określić, ile litrów farby białej, zielonej, niebieskiej i czerwonej należy wyprodukować, aby zysk osiagni ety z ich sprzedaży był maksymalny. Do produkcji wykorzystywane satrzysurowce:a,bic.producentposiada230 litrów surowca A, 200 litrów - surowca Bi170 litrów - surowca C oraz dysponuje kapitałem 160 godzin roboczych. Z przyjetych zamówień wynika, że należy wyprodukować conajmniej 125 litrów farby białej, co najmniej 135 litrów - farby zielonej, co najwyżej 205 litrów - farby niebieskiej i nie mniej niż 175 litrów - farby czerwonej. Ilości (w litrach) poszczególnych surowców potrzebnych do wyprodukowania 1 litra każdej farby przedstawione sawnast epujacej tabeli biała zielona niebieska czerwona A 0,30 0,60 0,35 0,15 B 0,25 0,20 0,45 0,55 C 0,45 0,20 0,20 0,30. Zysk ze sprzedaży 1 litra farby białej wynosi 7 zł, zielonej-6 zł, niebieskiej - 7 zł, czerwonej- 5 zł. Zadanie 7. Zapisaćnastępujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Hodowca krowy karmi zwierze produktami pochodzacymi z gospodarstwa rolnego. Jednak ze wzgledu na konieczność zapewnienia w diecie odpowiednich ilości pewnych składników odżywczych (nazwijmy je A, B, C) hodowcamusizakupić raz w roku trzy dodatkowe produkty (nazwijmy je I,II,III), które zawieraja teskładniki. Jeden kilogram produktu I zawiera 63 g składnika A i 9 g składnika B, jeden kilogram produktu II zawiera 14 g składnika B i 28 g składnika C, zaś jeden kilogram produktu III zawiera 50 g składnika A i 15 g składnika C. Minimalne zapotrzebowanie zwierzecia na poszczególne składniki wynosi: 870 g składnika A, 200 g składnika B, 450 g składnika C. Każdy z produktów zawiera jednak pewne ilości szkodliwych środków konserwujacych. I tak, 1 kg produktu I zawiera 7 g tych środków, produktu II - 11 g, produktu III - 9 g. Roczne spożycie środków konserwujacych nie powinno przekroczyć 150 g. Przyjmijmy na koniec, że 1 kg produktu I kosztuje 35 zł, produktuii - 29 zł, aproduktuiii - 19 zł. Celem hodowcy jest ustalenie ilości kupowanych produktów I,II,III tak, aby zapewnić zwierzeciu właściwadiet ei jednocześnie ponieść możliwie najmniejsze koszty. Zadanie 8. Zapisać zadanie 2 w postaci podstawowego zadania programowania liniowego. Zadanie 9. Zapisać zadanie 3 w postaci kanonicznego zadania programowania liniowego. 8
9 Zadanie 10. Zapisać zadanie 4 w postaci kanonicznego zadania programowania liniowego. Zadanie 11. Zapisać zadanie ogólne J(u) =u 1 +2u 2 +3u 3 min. u U = {u =(u 1,u 2,u 3 ) R 3 ; u 1 0, 10u 1 +20u 2 +30u 3 11, 100u u u u u u3 =0} w postaci zadania kanonicznego. Zadanie 12. Zapisać zadanie ogólne J(u) =3u 1 +5u 2 +7u 3 +9u 4 min. u U = {u =(u 1,u 2,u 3,u 4 ) R 4 ; u 2 0, u 4 0, 11u 1 +12u 2 +13u 3 +14u 4 1, 21u 1 +23u 3 1, 32u 2 8, 1 1 u u u u4 =2, 1 11 u u4 = 2} w postaci zadania kanonicznego. 9
10 3 Interpretacja geometryczna zadań programowania liniowego Rozważmy zadanie podstawowe (I.7) w przypadku, gdy n =2, czyli J(u) =c 1 u 1 + c 2 u 2 min. u U = {u =(u 1,u 2 ) R 2 ; u 1 0, u 2 0, a i,1 u 1 + a i,2 u 2 b i,i=1,..., m}. (II.1) Wprowadźmy oznaczenia Oczywiście Możliwe sanastępuj ace przypadki: 1 0 zbiór U jest pusty U 0 = {(u 1,u 2 ) R 2 ; u 1 0, u 2 0}, U i = {(u 1,u 2 ) R 2 ; a i,1 u 1 + a i,2 u 2 b i },i=1,..., m. U = m\ U i. 2 0 zbiór U jest niepustym wielobokiem wypukłym i ograniczonym i=0 3 0 zbiór U jest niepustym wielobokiem wypukłym i nieograniczonym 10
11 Ustalmy liczbę α R. Równanie c 1 u 1 + c 2 u 2 = α opisuje poziomicę funkcjonału J odpowiadajac awartości α, czyli zbiór {(u 1,u 2 ) R 2 ; J(u) =α}. Jest to prosta prostopadła dowektorac =(c 1,c 2 ). Przy zmianie wartości stałej α od do prosta ta zmienia swoje położenie, przesuwajac się w sposób równoległy w kierunku wektora c i zamiataj ac całapłaszczyznę. W przypadku 2 0 zawsze istnieje punkt pierwszego kontaktu (być może nie jedyny) przesuwajacej się prostej z wielobokiem U. Odpowiednia wartość stałej α wynosi wówczas min u U J(u) =:J 11
12 W przypadku 3 0 ów punkt pierwszego kontaktu istnieje (być może nie jedyny) lub nie. Jeśli nie istnieje, oznacza to, że zadanie nie ma rozwiazania; w takim przypadku inf J(u) =. u U 12
13 Zpowyższej dyskusji wynika, że zadanie (II.1) może nie mieć rozwiazań, może mieć jedno rozwiazanie lub może mieć nieskończenie wiele rozwiazań. Ponadto, w przypadku, gdy zbiór rozwiazań jest niepusty, w zbiorze tym istnieje co najmniej jeden punkt, który jest wierzchołkiem wieloboku U. Podobna analizę można przeprowadzić w przypadku, gdy n =3, zastępujac wielobok wielościanem, a prosta-płaszczyzn a. Matodagraficzn a można także rozwiazać niektóre zadania o większej niż 2 lub 3 ilości zmiennych. Rozważmy mianowicie zadanie postaci ½ J(u) =hc, ui min. u U = {u R m+2 ; u 0, Au = b} gdzie A = a 1,1... a 1,m a 1,m+1 a 1,m a m,1... a m,m a m,m+1 a m,m+2,b= b 1. b m, 13
14 przy czym ranka = m ikolumnya 1,...,A m sa liniowo niezależne. Wprowadźmy oznaczenia a 1,1... a 1,m a 1,m+1 a 1,m+2 A =.., A =.., a m,1... a m,m a m,m+1 a m,m+2 u 1 u m+1 u =., u = u m+2, u m c 1 cm+1 c =., c =. c m+2 c m Zatem W konsekwencji warunek możemy zapisać jako Stad A = h i u A A,u= u Au = b Au + Au = b. u = A 1 b A 1 Au.,c= c c. Zauważmy teraz, że rozwiazywanie zadania wyjściowego można zastapić rozwi azywaniem zadania postaci ( D E c, A 1 b A 1 Au + c, u min. (=) u U = {u R 2 ; u 0, A 1 Au A 1 b} Dokładniej, jeśli u jest rozwiazaniem zadania (=), to u u =, u jest rozwiaza- gdzie u = A 1 b A 1 Au, u jest rozwiazaniem zadania wyjściowego. Na odwrót, jeśli u = u niem zadania wyjściowego, to u jest rozwiazaniem zadania (=). 14
15 3.1 Zadania Zadanie 1. Rozwiazać w sposób geometryczny następujace zadanie: J(u) =u 1 + u 2 min. u U = {u =(u 1,u 2 ) R 2 ; u 0, 2u 1 u 2 2, 1 2 u1 u 2 1,. 2 u 1 + u 2 2, u 1 3} Zadanie 2. Rozwiazać w sposób geometryczny następujace zadanie: J(u) = 2u 1 + u 2 min. u U = {u =(u 1,u 2 ) R 2 ; u 0, u 1 u 2 1, u 1 + u 2. 1, u 1 +2u 2 0, 2u 1 u 2 5} Zadanie 3. Rozwiazać w sposób geometryczny następujace zadanie: J(u) =2u 1 u 2 min. u U = {u =(u 1,u 2 ) R 2 ; u 0, 1 2 u1 + u 2. 2, 1 2 u1 u 2 1} Zadanie 4. Rozwiazać w sposób geometryczny następujace zadanie: J(u) = u 1 + u 2 min. u U = {u =(u 1,u 2 ) R 2 ; u 0, 1 2 u1 + u 2. 2, 1 3 u1 + u 2 =1} Zadanie 4. Rozwiazać w sposób geometryczny następujace zadanie. Wpewnymzakładziewytwarzanes aproduktyaib.doprodukcjikażdego z nich wykorzystywana jest praca trzech maszyn: M1, M2, M3. Maszyna M1 może być wykorzystana przez s, M s, M s. Poniższa tabela podaje czas pracy każdej maszyny potrzebny do wyprodukowania jednostki każdego produktu 15
16 A B M1 3 6 M2 8 4 M3 9 3 Zysk ze sprzedaży jednostki produktu A wynosi 9 zł, B-6 zł. Należy zaplanować produkcjetak, by zysk ze sprzedaży był maksymalny. Zadanie 6. Rozwiazać w sposób geometryczny następujace zadanie: J(u) = u 1 3u 2 2u 4 3u 5 min. u U = {u =(u 1,u 2,u 3,u 4,u 5 ) R 5 ; u 0, u 1 +2u 4 +3u 5 =15, 2u 1 + u 3 + u 4 +5u 5 =20, u 1 + u 2 +2u 4 + u 5 =10}. Zadanie 7. Rozwiazać w sposób geometryczny następujace zadanie: J(u) = u 1 2u 2 + u 3 min. u U = {u =(u 1,u 2,u 3,u 4,u 5 ) R 5 ; u 0, 3u 1 2u 2 +2u 3 2u 4 +3u 5 =38, u 1 + u 2 +3u 4 u 5 =13, u 1 u 2 + u 3 =14}. 4 Punkty wierzchołkowe Punkt v V R n nazywamy punktem wierzchołkowym (punktem ekstremalnym) zbioru wypukłego i domkniętego V,jeśli przedstawienie v = αv 1 +(1 α)v 2, (III.1) gdzie α (0, 1), v 1,v 2 V,możliwe jest tylko wtedy, gdy v 1 = v 2. Innymi słowy, punkt v V jest punktem wierzchołkowym zbioru V, gdy nie jest on punktem wewnętrznym odcinka oróżnych końcach należacych do V.Pojęcie punktu wierzchołkowego jest pojęciem fundamentalnym w teorii programowania liniowego. W dalszej części wykładu pokażemy, że jeśli zadanie kanoniczne (przy dowolnym n N) posiada rozwiazanie, to wśród rozwiazań jest co najmniej jeden punkt wierzchołkowy zbioru U = {u R n ; u 0, Au= b}. (III.2) Teraz podamy charakteryzację punktów wierzcholkowych zbioru postaci (III.2). 16
17 Twierdzenie 1 Niech dany bedzie zbiór U postaci (III.2) i punkt v R n,przyczyma R m n Â{0}, r := ranka. Punktv jest punktem wierzchołkowym zbioru U wtedy i tylko wtedy, gdy istniejawskaźniki 1 j 1 <... < j r n takie, że v j 0, j {j 1,..., j r } v j =0, j / {j 1,..., j r } A j1 v j A jr v j r = b kolumny A j1,...,a jr saliniowoniezależne w R m (III.4) Dowód. Konieczność. Na wstępie zauważmy, że równość Au = b można zapisać w nastepujacy, równoważny sposób A 1 u A n u n = b. (III.5) Niech v będzie punktem wierzchołkowym zbioru U. Jeśli v =0,tozprzynależności v do zbioru U (por. definicja punktu wierzchołkowego) wynika, że b =0. ZkoleizwarunkuA 6= 0wynika, że r = ranka 1. Zatem istniejakolumnya j1,...,a jr,któres a liniowo niezależne w R m,przy czym A j A jr 0=b, co oznacza, że v =0spełnia warunki (III.4). Załóżmy więc, że v 6= 0iniechv j 1,...,v j k będa wszystkimi dodatnimi współrzędnymi wektora v. ZwarunkuAv = b oraz przedstawienia (III.5) wynika, że A j1 v j A jk v j k = b (III.6) (oczywiście Pokażemy teraz, że kolumny A j1,..., A jk v j =0,j/ {j 1,..., j k }). sa liniowo niezależne w R m.załóżmy więc, że α 1 A j α k A jk =0 (III.7) dla pewnych α 1,..., α k R. Ustalmyε>0 irozważmy punkty postaci v + =(v 1 +,..., v n +), gdzie oraz v jp + = v j p + εα p,p=1,..., k, v j + =0,j/ {j 1,..., j k } v =(v 1,..., v n ), 17
18 gdzie Zfaktu,że v j p warunki v jp = v j p εα p,p=1,..., k, v j =0,j/ {j 1,...,j k }. > 0, p =1,..., k, wynika,że dla dostatecznie małej liczby ε>0 spełnione będa v + 0, v 0. Ponadto, mnożac (III.7) przez ε i ε oraz dodajac do (III.6), dostajemy równości Oznacza to, że v +, v U. Ponadto, Av + = b, Av = b. v = 1 2 (v + + v ). Ponieważ v jest punktem wierzchołkowym, więc oznacza to, że czyli v + = v, α 1 =... = α k =0, co kończy dowód liniowej niezależności kolumn A j1,..., A jk. Zpowyższego wynika, że k r. Jeśli k = r, to z (III.6) wynika, że spełnione sa warunki (III.4). Jeśli zaś k<r,tomożna uzupełnić układ kolumn kolumnami A j1,..., A jk tak, aby układ był liniowo niezależny i aby A jk+1,..., A js A j1,..., A jk,a jk+1,..., A js (III.8) 1) dodanie doń dowolnej kolumny A j dawało układ liniowo zależny lub 2) s było równen. 18
19 W obu przypadkach układ (III.8) tworzy bazę liniowej powłoki wektorów A 1,...,A n.wymiar tej powłoki jest równy rzędowi macierzy A, czyli s = r. Dodaj ac do lewej strony równości (III.6) sumę A jk+1 v j k A jr v jr = A jk A jr 0=0, otrzymujemy (III.4). Dostateczność. Niech v R n będzie punktem spełniajacym warunki (III.4). Wówczas v U. Przypuśćmy, że v = αv 1 +(1 α)v 2, (III.9) gdzie v 1,v 2 U, α (0, 1). Pokażemy, że v 1 = v 2. Zauważmy, że jeśli v j =0, to z (III.9) oraz nierówności otrzymujemy 0 <α<1, v j 1 0, v j αv j 1 +(1 α)v j 2 = v j =0, co oznacza, że v j 1 = v2(= j 0). Jeśli więc v =0,tovjest punktem wierzchołkowym zbioru U. Przypuśćmy wieć, że v 6= 0. Dla zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że v j 1 = v j 2 dla tych wskaźników j, dla których v j > 0. Z waruków (III.4) wynika, że dodatnimi współrzędnymi punktu v mogabyćjedyniewspółrzędne Niech Oczywiście D 6=. Ponieważ więc równości możemy zapisać w postaci v j 1,...,v jr. D := {j {j 1,...,j r }; v j > 0}. v j 1 = v j 2 =0,j/ D, Av 1 = b, Av 2 = b X A j v j 1 = b, j D X A j v j 2 = b. Z liniowej niezależności wektorów A j, j D, izpowyższych równości wynika, że co kończy dowód twierdzenia. j D v j 1 = v j 2,j D, 19
20 Układ wektorów A j1,...,a jr występujacych w warunkach (III.4) nazywamy baza punktu wierzchołkowego v, aodpowiedniewspółrzędne v j 1,...,v j r - współrzednymi bazowymi punktu wierzchołkowego v. Punkt wierzchołkowy, którego wszystkie współrzędne bazowe sa dodatnie nazywamy nieosobliwym. Punkt wierzchołkowy, którego co najmniej jedna współrzędna bazowa jest równa zero nazywamy osobliwym. Zmienne u j 1,...,u j r nazywamy zmiennymi bazowymi (przy ustalonej bazie A j1,...,a jr ). Z twierdzenia 1 wynika, że baza nieosobliwego punktu wierzchołkowego zbioru (III.2) jest wyznaczona jednoznacznie, natomiast osobliwy punkt wierzchołkowy może mieć wiele baz. 4.1 Zadania Zadanie 1. Znaleźć, w oparciu o Twierdzenie 1, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u =(u 1,u 2 ) R 2 ; u 0, 1 3 u1 + u 2 =1}. Zadanie 2. Znaleźć, w oparciu o Twierdzenie 1, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u =(u 1,u 2,u 3,u 4 ) R 4 ; u 0, u 1 + u 2 +3u 3 + u 4 =3,u 1 u 2 + u 3 +2u 4 =1}. Zadanie 3. Znaleźć, w oparciu o Twierdzenie 1, punkty wierzchołkowe zbioru iwskazaćichbazy. U = {u =(u 1,u 2,u 3,u 4 ) R 4 ; u 0, u 1 + u 4 =0, 2u 2 + u 4 =3, 3u 3 =0} Zadanie 4. Znaleźć, w oparciu o Twierdzenie 1, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u =(u 1,u 2,u 3 ) R 3 ; u 0, u 1 +2u 2 +3u 3 =4, u 1 +5u 3 =0}. Podać bazy znalezionych punktów wierzchołkowych. Zadanie 5. Znaleźć, w oparciu o Twierdzenie 1, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u =(u 1,u 2,u 3 ) R 3 ; u 0, u 1 + u 2 +2u 3 =10, u 1 +3u 3 =9, u 1 +2u 2 +7u 3 =29}. 20
21 5 Metoda sympleksowa Metodasympleksowapolegana uporz adkowanym sprawdzaniu wartości funkcjonału kosztu w punktach wierzchołkowych zbioru ograniczajacego ( uporzadkowanie oznacza tu, że wartości funkcjonału kosztu w badanych punktach nie rosna). Rozważmy zadanie kanoniczne postaci ½ J(u) =hc, ui min. u U = {u =(u 1,..., u n ) R n (IV.1) ; u 0, Au = b} gdzie 0 6= A R m n.będziemy zakładać w tym rozdziale, że U 6= (kwestia niepustości zbioru U omówiona będzie w dalszej części wykładu). Oczywiście ranka min{m, n} (podobnie, jak wcześniej, ranka oznaczać będziemy przez r). Równość możemy zapisać w postaci układu równań Au = b nx a i,j u j = b i,i=1,...,m. j=1 Nie zmniejszajac ogólności rozważań, możemy założyć, że r = m. Oczywiście r n. Jeżeli r = n, topowyższy układ ma dokładnie jedno rozwiazanie u, przyczymu 0 (gdyby któraś ze współrzędnych punktu u była ujemna, tozbióru byłby pusty, co sprzeczne byłoby z naszym założeniem). W konsekwencji zbiór U jest jednoelementowy i tym samym u jest rozwiazaniem zadania (IV.1). Będziemy więc zakładać wdalszymciagu, że r<n. Wówczas równość Au = b możemy zapisać wpostaci a 1,1 u a 1,n u n = b 1... (IV.2) a r,1 u a r,n u n = b r gdzie r<n. Podamy teraz opis metody sympleksowej. Przypuśćmy, że dany jest punkt wierzchołkowy v zbioru U = {u =(u 1,..., u n ) R n ; u 0, Au = b} izałóżmy, że kolumny A 1,...,A r sabaz a tego puntu, v 1,...,v r -jegowspółrzędnymi bazowymi (kwestia wyznaczenia poczatkowego punktu wierzchołkowego v zbioru U iokreślenia jego współrzędnych bazowych omówiona będzie w dalszej części wykładu). Wprowadźmy następujace oznaczenia u = u 1. u r, v = 21 v 1. v r, c = c 1. c r,
22 a 1,1... a 1,r B =.. =[A 1... A r ]. a r,1... a r,r Wówczas układ (IV.2) możemy zapisać w postaci Bu + A r+1 u r A n u n = b. (IV.3) Z liniowej niezależności kolumn A 1,...,A r (jest to baza punktu v) wynika,że istnieje macierz odwrotna B 1.Współrzędne niebazowe punktu v sa zerowe, zatem punkt v możemy zapisać w postaci v v =, 0 przy czym v 0. Awięcz(IV.3)otrzymujemy skad Bv = b, v = B 1 b. Mnożac równość (IV.3) lewostronnie przez B 1 otrzymujemy nx u + B 1 A k u k = B 1 b = v. k=r+1 (IV.4) Oznaczmy = (B 1 A k ) s dla k = r +1,..., n, s =1,..., r gdzie (B 1 A k ) s oznacza s-tawspółrzędn awektora-kolumnyb 1 A k. Równość (IV.4)możemy teraz zapisać wpostacinastępujacego układu równań u 1 + γ 1,r+1 u r γ 1,n u n = v 1 u 2 + γ 2,r+1 u r γ 2,n u n = v 2. (2)... u r + γ r,r+1 u r γ r,n u n = v r Określmy także =(B 1 A k ) s dla k =1,...r, s =1,..., r (oczywiście γ s.k = δ s,k dla k =1,..., r, s =1,..., r, gdzieδ s,k jest symbolem Kronekera). Pokazaliśmy, że majac ustalony punkt wierzchołkowy v zbioru U iwiedzac, że współrzędne z indeksami 1,...,r sa jego współrzędnymi bazowymi, można zapisać ograniczenia (IV.2) w równoważnej postaci (IV.3) lub (IV.4) lub (2) lub (??) lub(??). 22
23 Korzystajacz(??), wartość funkcjonału kosztu J wpunkcieu spełniajacym ograniczenia typu równości (IV.2), można zapisać wnastępujacej postaci J(u) = hc, ui = * = c, v = hc, vi nx nx c i u i = hc, ui + c i u i i=1 i=r+1 i=r+1 + nx nx B 1 A i u i + c i u i i=r+1 nx ( c, B 1 A i ci )u i. i=r+1 Ponieważ hc, vi = hc, vi = J(v), więc nx J(u) =J(v) i u i, i=r+1 gdzie i = rx c, B 1 A i ci = c s γ s,i c i,i= r +1,..., n. Określmy także i = c, B 1 A i ci dla i =1,..., r (oczywiście s=1 (IV.8) (IV.9) i = c, B 1 A i ci = hc, e i i c i = c i c i =0 dla i =1,..., r, gdziee i jest i-takolumn a macierzy jednostkowej o wymiarach r r). Dokonajmy częściowego podsumowania.zadanie (IV.1) zapisaliśmy w następujacej postaci P J(u) =J(v) n i u i min. i=r+1 U = {u =(u 1,..., u n ) R n ; u 0, u spełnia (2)} Występujace w powyższym opisie wielkości, v i, i zapiszemy w postaci t.zw. tablicy sympleksowej, odpowiadajacej punktowi wierzchołkowemu v 23
24 Tablica sympleksowa I (dla punktu v) u 1... u i... u s... u r u r+1... u k... u j... u n u γ 1,r+1... γ 1,k... γ 1,j... γ 1,n v u i γ i,r+1... γ i,k... γ i,j... γ i,n v i u s γ s,r γ s,j... γ s,n v s u r γ r,r+1... γ r,k... γ r,j... γ r,n v r r+1... k... j... n J(v) Teraz skonstruujemy (o ile to będzie konieczne!) punkt wierzchołkowy w zbioru U, dla którego J(w) J(v). Dokładniej, wybierzemy wskaźnik k {r +1,..., n} iwartość w k 0 tak,abynowypunktw, którego k-ta współrzędna jest równa w k,apozostałe spełniaja warunki w 1 = v 1 γ 1,k w k,..., w i = v i γ i,k w k,..., w s = v s w k,..., w r = v r γ r,k w k,w r+1 =... = w k 1 = w k+1 =... = w n =0, (IV.10) czyli warunki spełniał także warunki w = v (B 1 A k )w k,w j =0,j= r +1,...,n, j 6= k, w 0, J(w) J(v) (IV.11) i był punktem wierzchołkowym zbioru U (z (IV.11) i (IV.3) wynika, że przy dowolnym wyborze w k 0, dla punktu w określonego przez (IV.10) mamy Aw = B(v (B 1 A k )w k )+ nx j=r+1 A j w j = Bv A k w k + A k w k = b). Oczywiście wtedy J(w) =J(v) k w k. Otóż, analizujac tablicę sympleksowai,rozważmytrzyprzypadki: 1 0 spełnione sanierówności i = c, B 1 A i ci 0 (IV.12) (IV.13) 24
25 dla i = r +1,...,n, t.zn. w ostatnim wierszu tablicy sympleksowej wszystkie liczby i sa niedodatnie. W tym przypadku punkt v jest rozwiazaniem zadania. Istotnie, bowiem dla dowolnego u U mamy nx J(u) =J(v) i u i j(v) i=r+1 (bo i 0, u i 0). 2 0 istnieje wskaźnik k {r +1,...,n} taki, że ½ k > 0 γ i,k 0 dla i =1,..., r (czyli B 1 A k 0) (IV.14) Oznacza to, że w k-tej kolumnie tablicy sympleksowej ostatni element ( k ) jest dodatni, a pozostałe - niedodatnie. W tym przypadku, przy dowolnym wyborze wartości w k > 0 punkt w określony przez (IV.10) spełnia warunek i w konsekwencji inf J(u) =, gdyż u U w 0 (czyli w U) J(w) =J(v) k w k w k (w jest tutaj punktem postaci (IV.10). Oznacza to, że zadanie nie ma rozwiazania. 3 0 nie zachodza przypadki 1 0 i2 0 ; w konsekwencji istniejawskaźniki k {r +1,...,n}, i {1,..., r} takie, że k > 0, γ i,k > 0. (IV.15) Oznacza to, że w k-tej kolumnie tablicy sympleksowej ostatni element ( k )jestdodatniico najmniej jedna z liczb γ i,k jest dodatnia. Pokażemy teraz, jak wybrać w k 0, abypunktpostaci(iv.10)spełniał warunek w 0. Określmy zbiór I k = {i {1,..., r}, γ i,k > 0}. Otóż, jeśli i {1,...,r}\I k (czyli γ i,k 0), to przy dowolnym wyborze w k 0. Jeśli zaś w i = v i γ i,k w k v i 0 to 0 w k min i I k v i γ i,k, w i = v i γ i,k w k v i γ i,k v i γ i,k =0 25
26 dla dowolnego i I k (bo γ i,k > 0). W rozważanym przypadku punkt w określony przez (IV.10) spełnia też warunek J(w) =J(v) k w k J(v) przy dowolnym wyborze w k 0 Niech teraz s I k będzie takim wskaźnikiem, że v s =min i I k v i γ i,k (IV.16) Współczynnik,gdziewskaźniki k, s sa określone przez (IV.15) i (IV.16), nazywany jest elementem rozwiazuj acym tablicy sympleksowej I. Ustalmy teraz jeden z elementów rozwiazuj acych tablicy I -.Połóżmy w (IV.10) i (IV.12) w k = vs. Otrzymujemy punkt w =(w 1,..., w n ) owspółrzędnych w 1 = v 1 γ 1,k v s,..., w i = v i γ i,k v s,..., w s 1 = v s 1 γ s 1,k v s w s = v s v s, =0,w s+1 = v s+1 γ s+1,k v s,...,w r = v r γ r,k v s, w r+1 =0,..., w k 1 =0,w k = vs,w k+1 =0,..., w n =0, (IV.17) dajacy wartość funkcjonału kosztu J(w) =J(v) k v s J(v). (IV.18) Jak zostało pokazane w U. Teraz pokażemy, że w postaci (IV.17) jest punktem wierzchołkowym zbioru U zbaza A 1,..., A s 1,A s+1,..., A r,a k. (IV.19) (gdyby wybrać 0 w k < min (o ile to możliwe), to punkt w nie byłby punktem wierzchołkowym z baza A 1,..., A s 1,A s+1,..., A r,a k,ponieważ jego współrzędna w s nie byłaby ze- i I γ k i,k rowa). Otóż, uwzględniajac fakt, że v i w s =0,w r+1 =... = w k 1 = w k+1 =... = w n =0, (gdyby wybrać w k < min, to punkt w nie byłby punktem wierzchołkowym z baza i I γ k i,k A 1,..., A s 1,A s+1,..., A r ponieważ jego współrzędna w s nie byłaby zerowa) warunek v i Aw = b 26
27 możemy zapisać w postaci A 1 w A s 1 w s 1 + A s+1 w s A r w r + A k w k = b. Zatem, zgodnie z twierdzeniem charakteryzujacym punkty wierzchołkowe, wystarczy zauważyć, że układ kolumn (IV.19) jest liniowo niezależny. Istotnie, przypuśćmy, że α 1 A α s 1 A s 1 + α s+1 A s α r A r + α k A k =0, (IV.20) gdzie α 1,..., α s 1,α s+1,..., α r,α k R. Ponieważ więc z (IV.20) wynika, że A k = IA k = BB 1 A k = rx A i (B 1 A k ) i = i=1 rx A i γ i,k, i=1 0= rx α i A i + α k i=1 i6=s rx γ i,k A i = i=1 rx (α i + α k γ i,k )A i + α k A s. i=1 i6=s Zuwaginafakt,że układ kolumn A 1,...,A s,..., A r jest baza punktuv (a więc układem liniowo niezależnym), z ostatniej równości wynika, że α i + α k γ i,k =0,i {1,..., r}, i6= s, α k =0. Ale > 0 (jako element rozwiazuj acy), więc α k = 0 i w konsekwencji α i = 0 dla i {1,..., r} r {s}. Oznacza to liniowa niezależność układu (IV.19). Zatem punkt w dany przez (IV.17) jest punktem wierzchołkowym zbioru U, przy czym układ (IV.19) jest jego baza, a zmienne u 1,..., u s 1,u s+1,..., u r,u k - zmiennymi bazowymi. Teraz, podobnie jak w przypadku punktu wierzchołkowego v (przypomnijmy, że układ (??) określał zmienne bazowe punktu u spełniajacego ograniczenia (IV.2) przy pomocy zmiennych niebazowych i współrzadnych punktu wierzchołkowego v), określimy zmienne bazowe u 1,...u s 1,u s+1,..., u r,u k punktu u spełniajacego ograniczenia (IV.2) przy pomocy zmiennych niebazowych i współrzędnych punktu wierzchołkowego w. Wtymceluzs-tego równania układu (??) wyznaczmyzmi- enna u k : u k = vs 1 u s nx j=r+1 j6=k γ s,j u j. (IV.21) 27
28 Podstawmy tak otrzymanawartość u k do pozostałych równańukładu (??). Układ ten przyjmuje wówczas postać (wobec(iv.17)i(iv.21)) P u i = v i n P γ i,j u j = v i n P γ i,j u j γ i,k ( n vs γ s,j j=r+1 = w i ( γ i,k )u s u k = w k 1 u s n P j=r+1 j6=k 1 u s j=r+1 j6=k u j ) (γ i,j γ i,k γ s,j )u j,i=1,..., s 1,s+1,...,r, j=r+1 j6=k P n γ s,j u j j=r+1 j6=k Analogicznie, podstawiajac (IV.21) do (IV.8), otrzymujemy (wobec (IV.18)) (IV.22) J(u) =J(v) nx j u j k ( vs 1 u s j=r+1 j6=k nx j=r+1 j6=k γ s,j u j ) = J(w) ( k )u s nx γ s,j ( j k )u j. j=r+1 j6=k (IV.23) dka punktów u spełniajacych ograniczenia (IV.2). A zatem, w szczególności, bazowe zmienne punktu u U (względem bazy punktu wierzchołkowego w) iwartość funkcjonału J w takim punkcie wyrażone zostały przypomocyzmien- nych niebazowych i współrzędnych punktu wierzchołkowego w. Wprowadźmy oznaczenia ( γ 0 i,s = γ i,k,i=1,..., s 1,s+1,..., r, γ 0 k,s = 1 (IV.24) ( 0 γ i,j = γ i,j γ i,k γ s,j,i=1,...,s 1,s+1,..., r, j = r +1,..., k 1,k+1,..., n γ 0 k,j = γ s,j,j= r +1,..., k 1,k+1,..., n. (IV.25) oraz, dodatkowo, γ 0 i,j = δ i,j (*) dla i, j =1,..., s 1,s+1,..., r, k, gdzieδ i,j jest symbolem Kronekera. Określmy także ( 0 s = k 0 γ j = j s,j k,j= r +1,..., n, j 6= k, (IV.26) oraz, dodatkowo, dla j =1,..., s 1,s+1,..., r, k. 0 j =0 (**) 28
29 Uwaga. (IV.24) wynika z (IV.25) rozszerzonego na wskaźnik j = s; (*) wynikaz(iv.25) rozszerzonego na wskaźniki j =1,..., s 1,s+1,..., r, k; pierwszy zwiazek w (IV.26) wynika z drugiego rozszerzonego na wskaźnik j = s; (**) wynika z (IV.26) rozszerzonego na wskaźniki j =1,..., s 1,s+1,..., r, k. Zwiazki (IV.22) i (IV.23) możemy zapisać wnastępujacej postaci: P u i = w i γ 0 i,su s n γ 0 i,ju j,i=1,..., s 1,s+1,...,r, j=r+1 j6=k P u k = w k γ 0 k,s us n (IV.27) γ 0 k,j uj j=r+1 j6=k J(u) =J(w) 0 su s nx 0 ju j. j=r+1 j6=k Innymi słowy, ograniczenia typu równości i funkcjonał kosztu, występujace w opisie zadania wyjściowego, można zapisać wformiedanej powyżej, uzależniajac zmienne bazowe punktu u U iwartość funkcjonału kosztu w punkcie u U od punktu w izmiennychniebazowych punktu u U. Tablica sympleksowa II (dla punktu w) u 1... u s 1 u s u s+1... u r u r+1... u k 1 u k u k+1... u n u γ 0 1,s γ 0 1,r+1... γ 0 1,k 1 0 γ 0 1,k+1... γ 0 1,n w u s γ 0 s 1,s γ 0 s 1,r+1... γ 0 s 1,k 1 0 γ 0 s 1,k+1... γ 0 s 1,n w s 1 u s γ 0 s+1,s γ 0 s+1,r+1... γ 0 s+1,k 1 0 γ 0 s+1,k+1... γ 0 s+1,n w s u r γ 0 r,s γ 0 r,r+1... γ 0 r,k 1 0 γ 0 r,k+1... γ 0 r,n w r u k γ 0 k,s γ 0 k,r+1... γ 0 k,k 1 1 γ 0 k,k+1... γ 0 k,n w k s r k k n J(w) Opisaliśmy więc jeden krok metody sympleksowej, czyli przejście od jednego punktu wierzchołkowego zbioru U (v) dodrugiego(w) wtakisposób,że J(w) J(v). To przejście można formalnie traktować jakoprzejście od jednej tablicy sympleksowej (I) do drugiej (II) opisane wzorami (IV.17)-(IV.18), (IV.24)-(IV.26), przy czym element rozwiazuj acy określony jest warunkami (IV.15)-(IV.16). Wzory (IV.17)-(IV.18), (IV.24)-(IV.26) i warunki (IV.15)-(IV.16) zostały otrzymane przy założeniu, że współrzędnymi bazowymi punktu wierzchołkowego v sawspółrzędne v 1,..., v r. 29
30 Łatwo zauważyć, że jeśli współrzędnymi bazowymi punktu v będa v j 1,...,v j r, gdzie 1 j 1 <... < j r n, towzory(??) i(iv.8)wyrażajace zmienne bazowe i funkcjonał kosztu przy pomocy zmiennych niebazowych przyjmujapostać(poniżej symbolem I v oznaczamy zbiór {j 1,...,j r }) u j 1 = v j 1 P γ j1,ku k k/ I v... u j r = v j r P (IV.7 ) γ jr,ku k k/ I v J(u) =J(v) X k/ I v k u k, (IV.8 ) gdzie γ ji,k =(B 1 A k ) i ; i =1,..., r, k =1,...,n (w szczególności γ ji,k = δ ji,k dla i =1,..., r, k I v ) k = B =[A j1... A jr ], v j i =(B 1 b) i,i=1,..., r, v k =0,k/ I v, rx rx c ji γ ji,k c k = c ji (B 1 A k ) i c k,k=1,...,n i=1 (w szczególności k =0dla k I v ). W tym przypadku tablica sympleksowa dla punktu v jest następujaca: i=1 Tablica sympleksowa III (dla punktu v) u 1... u j 1... u j i... u k... u js... u j... u jr... u n u j 1 γ j1, γ j1,k γ j1,j γ j1,n v j u j i γ ji, γ ji,k γ ji,j γ ji,n v j i u j s γ js, γ js,k γ js,j γ js,n v j s u jr γ jr, γ jr,k γ jr,j γ jr,n v jr k j n J(v) 30
31 Tak jak wcześniej, należy rozważyć trzy przypadki: 1 0 spełniony jest warunek k 0, k/ I v 2 0 istnieje k/ I v takie, że k > 0, γ ji,k 0, i=1,...,r (IV.13 ) (IV.14 ) 3 0 nie zachodzi przypadek 1 0 i2 0 ; w konsekwencji istnieja k/ I v oraz j i I v takie, że k > 0, γ ji,k > 0. (IV.15 ) Podobnie jak wtedy, łatwo sprawdzić, że w pierwszym przypadku punkt v jest rozwiazaniem zadania (IV.1), w drugim - inf hc, ui =, czyli zadanie (IV.1) nie ma rozwi azania. W u U trzecim przypadku można wybrać elementrozwiazuj acy γ js,k na podstawie warunku (IV.15 ) oraz warunku v ji min = vj s, (IV.16 ) j i I v,k γ ji,k γ js,k gdzie I v,k = {j i I v ; γ ji,k > 0}, któres a analogiczne do warunków (IV.15), (IV.16). Następnie, należy wykonać przejście donowegopunktuwierzchołkowego w iodtablicy sympleksowej (III) dla punktu v do tablicy sympleksowej dla punktu w, zgodnie ze wzorami analogicznymi do wzorów (IV.17)-(IV.18), (IV.24)-(IV.26), t.zn. w j 1 = v j 1 γ j1,k vjs γ j s,k. w j i = v j i γ ji,k vj s γ js,k. w j s 1 = v j s 1 γ js 1,k vj s γ j s,k w js = v js γ js,k vjs γ js,k =0 w j s+1 = v j s+1 γ js+1,k vj s γ j s,k. w jr = v jr γ jr,k vjs γ js,k w k = vj s γ j s,k w l =0,l/ I v,l 6= k, (IV.17 ) oraz ( 0 γ j i,j s = γ j i,k γ j s,k γ 0 k,j s = 1 γ j s,k J(w) =hc, wi = J(v) k v j s γ js,k ; i =1,..., r, i 6= s, (IV.18 ) (IV.24 ) 31
32 ( 0 γ j i,j = γ ji,j γ j i,k γ γ js j,j ; i =1,..., r, i 6= s, j / I v,j6= k, s,k γ 0 k,j = γ js,j (IV.25 ),j/ I γ v,j6= k, js,k (podobnie jak wcześniej, aby wypełnić cała tablicę sympleksowa dodatkowo należy określić γ 0 i,j = δ i,j (* ) dla i, j ({j 1,..., j r }\{j s }) {k}). Ponadto określmy ( 0 j s = k γ j s,k 0 γ j = j j (IV.26 ) s,j k dla j/ I γ v,j6= k j s,k idodatkowo 0 j =0dla j I v,j 6= j s oraz j = k. (** ) Tablica sympleksowa IV (dla punktu w) u 1... u j 1... u j i... u k... u js... u j... u jr... u n u j 1 γ 0 j 1, γ 0 j 1,j s... γ 0 j 1,j γ 0 j 1,n w j u j i γ 0 j i, γ 0 j i,j s... γ 0 j i,j γ 0 j i,n w j i u j s 1 γ 0 j s 1, γ 0 j s 1,j s... γ 0 j s 1,j γ 0 j s 1,n w j s 1 u j s+1 γ 0 j s+1, γ 0 j s+1,j s... γ 0 j s+1,j 0 γ 0 j s+1,n w j s u j r γ 0 j r, γ 0 j r,j s... γ 0 j r,j γ 0 j r,n w j r u k γ 0 k, γ 0 k,j s... γ 0 k,j γ 0 k,n w k j s... 0 j n J(w) Uwaga 3. Wzory (IV.24 ) wynikaja ze wzorów (IV.25 ) rozszerzonych na przypadek j = j s. Pierwszy zwiazek z (IV.26 ) wynika z drugiego zwiazku rozszerzonego na przypadek j = j s. (* ) wynika z (IV.25 ) rozszerzonego na wskaźniki j ({j 1,..., j r }\{j s }) {k}. (** )wynikaz (IV.26 ) rozszerzonego na wskaźniki j ({j 1,..., j r }\{j s }) {k}. Uwaga 4. Majac ustalona bazę punktu w, jego współrzędne bazowe możemy znaleźć w oparciu o twierdzenie charakteryzujace punkty wierzchołkowe. Uwaga 5. Niech dany będzie punkt wierzchołkowy v i jego baza; przyjmijmy, że bazat a jest układ kolumn A j1,...,a jr. Załóżmy, że ograniczenia typu równości można zapisać nadwa sposoby u + P B 1 A k u k = v, (1) k/ I v u + P k/ I v γ 1,k. γ r,k 32 u k = v. (2)
33 Ograniczenia (1) spełnione sa przez wszystkie takie punkty (u 1..., u n ), że u k dla k / I v sa dowolne, a u j i dla i =1,..., r - wyznaczone przez (1). Każdy taki punkt spełnia (2). Stad γ P 1,k (B 1 A k. )u k =0 k/ I v dla dowolnych u k R, k/ I v.st ad P dla dowolnych u k R, k/ I v.awięc γ r,k k/ I v ((B 1 A k ) 1 γ 1,k )u k =0 dla k/ I v.podobnie (B 1 A k ) 1 = γ 1,k (B 1 A k ) p = γ p,k dla dowolnych k/ I v, p =2,..., r. Podobnie rzecz się mazewspółczynnikami 0 j.jeśli bowiem funkcjonał J(u) =hc, ui na zbiorze punktów spełniajacych ograniczenia typu równości można przedstawić wpostaci J(u) =J(v) P ( c, B 1 A j cj )u j, j/ I v J(u) =J(v) P j u j, j/ I v gdzie c =(c j1,..., c jr ),toponieważdladowolnychu j R, j / I v istnieja u j 1..., u j r R dane przez (IV.7 ) takie, że (u 1..., u n ) jest punktem spełniajacym ograniczenia typu równości, więc P ( j ( c, B 1 A j cj ))u j =0 j/ I v dla dowolnych u j R, j/ I v.st ad wynika, że j = c, B 1 A j cj,j/ I v. Opisany więc został jeden krok metody sympleksowej w dowolnym przypadku (co do bazy punktu wierzchołkowego), czyli przejście od jednego punktu wierzchołkowego (v) zbioru U do drugiego punktu wierzchołkowego (w) tego zbioru (w przypadku 3 0 )wtakisposób,że J(w) J(v). 33
34 Powstaje pytanie, kiedy J(w) <J(v)? Otóż, z przeprowadzonych rozważań wynika, że jeśli punkt wierzchołkowy v jest nieosobliwy, to J(w) =J(v) k v js γ js,k <J(v). (por. (IV.18 )) Celowym wydaje się więc wydzielić klasęt.zw. zadań nieosobliwych, czyli takich, których wszystkie punkty wierzchołkowe sa nieosobliwe (majajedyn abazę i wszystkie współrzędne bazowe - dodatnie). Zauważmy, że w przypadku takich zadań wybór elementu rozwiazuj acego γ js,k z warunku jest jednoznaczny: min v ji j i I v,k γ ji,k = vj s γ js,k 0 <w j i = v j i γ ji,k v js γ js,k = γ ji,k v j i γ ji,k γ ji,k v js γ js,k = γ ji,k( vj i γ ji,k vjs ) γ js,k dla j i I v,k,j i 6= j s. Ponadto, ponieważ v j s > 0, więc w przypadku zadania nieosobliwego metoda sympleksowa pozwala w skończonej ilości kroków (iteracji) stwierdzić, czy zadanie ma rozwiazanie i jeśli ma -znaleźć je(warunekj(w) <J(v) oznacza, że jeśli jakiś punkt wierzchołkowy występuje w ciagu iteracyjnym, to występuje w nim tylko jeden raz). W przypadku zadania osobliwego (t.zn. takiego, które nie jest zadaniem nieosobliwym) i osobliwego punktu wierzchołkowego v U może się zdarzyć, że 0= min v ji j i I v,k γ ji,k = vj s. γ js,k Ze wzorów (IV.17 )-(IV.18 ) wynika, że w takim przypadku w = v i w konsekwencji J(w) =J(v), aprzejście od punktu v do punktu w oznacza jedynie przejście od bazy A j1,..., A jr do bazy A j1,..., A js 1,A js+1,..., A jr,a k. Można podać przykłady zadań osobliwychpokazujace, że przy ustalonym sposobie wyboru elementu rozwiazuj acegometodasympleksowamoże sie zapętlić, t.zn. w kolejnych iteracjach punkt wierzchołkowy nie będzie się zmieniał, ajegobazybęda zmieniały się w sposób okresowy (cykliczny). 34
35 Można jednak określić (naróżne sposoby) prawo wyboru elementu rozwiazuj acego w taki sposób, by uniknać owegozapętlenia. Każde takie prawo (metoda) nazywane jest prawem antycyklicznym (metoda antycykliczna). Podamy teraz opis jednego z takich praw. Do tablicy sympleksowej punktu v (dla uproszczenia przyjmijmy, że kolumny A 1,...,A r tworza bazę punktu v) dopisujemyr r -wymiarow a macierz jednostkowa [d i,j ]. Dopisane wyrazy przekształcamy w każdej iteracji zgodnie z regułaopisuj aca przekształcenie kolumn niebazowych tablicy sympleksowej, które pozostaja kolumnami niebazowymi (wzory (IV.25)), przy czym nie tworzymy współczynników i.elementrozwi azujacy wybieramy w następujacy sposób. Niech k > 0 i I k = {i {1,..., r}, γ i,k > 0} 6=. Określmy zbiór I k,1 = {s I k ;min i I k v i = vs } γ i,k (jak zostało pokazane wcześniej, w zadaniu nieosobliwym zbiór I k,1 jest zawsze jednoelementowy). Jeśli zbiór I k,1 zawiera więcej niż jeden element, to tworzymy zbiór d i,1 I k,2 = {s I k,1 ; min = d s,1 }. i I k,1 γ i,k Jeśli mamy już określony zbiór I k,m (m 2) i zawiera on więcej niż jeden element, to tworzymy zbiór d i,m I k,m+1 = {s I k,m ; min = d s,m }. i I k,m γ i,k Dowodzi się, że istnieje l {1,..., r +1} takie, że zbiór I k,l składa się z jednego elementu s, przy czym wszystkie zbiory I k,i, i =1,..., l 1, zawieraj awięcej niż jeden element. Jako indeks s, służacy do określenia elementu rozwiazuj acego, przyjmujemy ów jedyny element zbioru I k,l. Można pokazać, że stosowanie w każdym kroku metody sympleksowej takiego sposobu wyboru indeksu s, opisujacego element rozwiazuj acy, pozwala uniknać zapętlenia i w skończonej ilości kroków rozwiazać zadanie,b adź stwierdzić, że rozwiazanie nie istnieje ( 1 ). 5.1 Zadania Zadanie 1. Rozwiazać metod a sympleksowazadanie J(u) =u 1 u 2 + u 4 min. u U = {u =(u 1,u 2,u 3,u 4 ) R 4 ; u 0, 2u 1 2u 2 +4u 3 + u 4 =2, u 1 + u 2 + u 4 =0} startuj ac z punktu wierzchołkowego ν =(0, 0, 1, 0), 2 wiedz ac, że jego baz a jest układ kolumn 2 4,. 1 0, 1 Zatem nie może się także zdarzyć, że w nieuporzadkowany sposób będziemy przerabiać bazy jednego punktu wierzchołkowego, a także, iż wnieskończony sposób (cykliczny lub nie) będziemy przerabiać punkty wierzchołkowe (przejście do kolejnego punktu wierzchołkowego w 6= v oznacza, że v s 6=0iwkonsekwencji J(w) <J(v)). 35
36 Zadanie 2. Rozwiazać metod asympleksow a zadanie J(u) =u 1 +2u 2 +3u 3 +4u 4 min. u U = {u =(u 1,u 2,u 3,u 4 ) R 4 ; u 0, u 1 + u 2 +3u 3 + u 4 =3, u 1 u 2 + u 3 +2u 4 =1}, startujac z punktu wierzchołkowego v =(2, 1, 0, 0). Zadanie 3. Zapisać zadanie J(u) =u 1 +2u 2 +3u 3 +4u 4 min. u U = {u =(u 1,u 2,u 3,u 4 ) R 4 ; u 0, u 1 + u 2 +3u 3 + u 4 3, u 1 u 2 + u 3 +2u 4 =1} w postaci zadania kanonicznego, rozwiazać tak otrzymane zadanie metodasympleksow a, a następnie podaćrozwiazanie zadania wyjściowego. Zadanie 4. Utworzyć tablicę sympleksowa dla zadania J(u) =u 1 u 2 +2u 4 min. u U = {u =(u 1,u 2,u 3,u 4 ) R 4 ; u 0, 2u 1 3u 2 +4u 3 + u 4 =3, u 1 + u 2 2u 3 =10} i punktu wierzchołkowego v =( 33 5, 17 5, 0, 0). Zadanie 5. Rozwiazać metod a sympleksowazadanie J(u) =u 1 +2u 2 +3u 3 +4u 4 min. u U = {u =(u 1,u 2,u 3,u 4 ) R 4 ; u 0, u 1 + u 2 +3u 3 + u 4 =3, u 1 u 2 + u 3 +2u 4 =1}, startujac z punktu wierzchołkowego v =(0, 5 3, 0, 4 3 ). 36
37 Zadanie 6. Zaobserwować cykl, rozwiazuj ac zadanie ½ J(u) =u 1 u 4 u 5 + u 6 min. u U = {u =(u 1,..., u 7 ) R 7 ; u 0,Au= b} gdzie A = , b = 1 0, metodasympleksow a, startujaczpunktu wierzchołkowego v =(0,...0, 1) zbaza A 2,A 3,A 7 iwybieraj ac wartości indeksów określajacych element rozwiazuj acy w następujacy sposób: (k =4,j s =2), (k =4,j s =2), (k =1,j s =3), (k =4,j s =2), (k =5,j s =4), (k =6,j s =1), (k =3,j s =6). 6 Wybór poczatkowego punktu wierzchołkowego Niech dane będzie zadanie kanoniczne J(u) =hc, ui min. (V.1) u U = {u =(u 1,...,u n ) R n ; u 0, Au = b}, (V.2) gdzie 6= A R m n.opisuj ac metodę sympleksowa, zakładaliśmy między innymi, że zbiór U jest niepusty i znany jest poczatkowy punkt wierzchołkowy tego zbioru. Pokażemy teraz jak stwierdzić, czy U 6= iznaleźć ów punkt wierzchołkowy. Bez zmniejszania ogólności rozważań możemy założyć, że b i 0 dla i =1,..., m (mnożac w razie potrzeby odpowiednie równania przez 1). Rozważmy zadanie pomocnicze postaci J 1 (z) =u n u n+m min. u z Z = {z = R w n+m ; z 0, Cz= b}, (V.3) (V.4) gdzie C =[A I m m ], w =(u n+1,..., u n+m ).Układ Cz = b zapiszmy w postaci a 1,1 u a 1,n u n + u n+1 = b a m,1 u a m,n u n + u n+m = b m Łatwo widać, że zbiór Z jest niepusty, bowiem z 0 := (0,b) Z. Łatwo teżwidać, że z 0 jest punktem wierzchołkowym zbioru Z zbaz azłożona z ostatnich m kolumn macierzy C, czyli wektorów jednostkowych e 1,...,e m R m (rankc = m). Można więc do 37
38 zadania (V.3)-(V.4) zastosować metodę sympleksowazpocz atkowym punktem wierzchołkowym z 0. Ponieważ J 1 (z) 0, z Z, więc niemożliwy jest przypadek inf J 1(z) =. z Z Zatem, stosujac metodę sympleksowa, w skończonej ilości kroków otrzymamy punkt wierzchołkowy z =(v 1,w 1 ) Z będacy rozwiazaniem zadania (V.3)-(V.4). Możliwe sa tutaj dwa przypadki. 1 0 J 1 (z ) > 0. Wówczas zbiór U (dany przez (V.2)) jest zbiorem pustym. Istotnie, w przeciwnym bowiem razie (czyli gdyby istniał punkt u U) punktz =(u, 0) należałby do zbioru Z oraz spełniona byłaby równość J 1 (z) =0, co sprzeczne jest z nierównościa J 1 (z ) > 0 (por. założenie rozważanego przypadku) i optymalnościa punktu z. 2 0 J 1 (z )=0. Wówczas punkt z jest postaci (v 1, 0). Jako punkt uzyskany przy pomocy metody sympleksowej z jest punktem wierzchołkowym zbioru Z. Stad wynika, że v 1 jest punktem wierzchołkowym zbioru U. Istotnie, ponieważ z 0, więc v 1 0, natomiastz równości Cz = b wynika, że Av 1 = b. Awięc v 1 U. Przypuśćmy teraz, że v 1 = αu 1 +(1 α)u 2, gdzie α (0, 1), u 1,u 2 U. Punkty z 1 =(u 1, 0), z 2 =(u 2, 0) należa oczywiście do zbioru Z, przy czym z = αz 1 +(1 α)z 2. Ponieważ z jest punktem wierzchołkowym zbioru Z, więc to oznacza, że z 1 = z 2, skad u 1 = u 2. Pokazaliśmy więc, że, majac wyjściowe zadanie (V.1)-(V.2) i rozważajac zadanie pomocnicze (V.3)-(V.4), potrafimy stwierdzić (stosujac metodę sympleksowa do zadania (V.3)-(V.4)), czy U 6= i, jeśli tak - wyznaczyć pocz atkowy punkt wierzchołkowy zbioru U. Więcej, można pokazać, że analizujac tablicę sympleksowa dla punktu z =(v 1, 0) będacego rozwiazaniem zadania (V.3)-(V.4)), można 38
Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia. Zestaw 1. Modelowanie zadań programowania liniowego.
Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia Zestaw. Modelowanie zadań programowania liniowego. Zadania dotyczące zagadnienia planowania produkcji Zadanie.. Zapisać następujące zadanie w postaci
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe w logistyce
Programowanie liniowe w logistyce kierunek Informatyka, studia I stopnia wyklad 1 Wstęp Przedmiotem logistyki sa min procesy transportu i magazynowania surowców oraz wytworzonych dóbr, a także planowania
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe w logistyce
Programowanie liniowe w logistyce kierunek Informatyka, studia I stopnia ćwiczenia Programowanie liniowe Modelowanie Zadanie Zapisać nast epujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego Producent
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. 1 Programowanie liniowe. kierunek Informatyka, studia II stopnia ćwiczenia. 1.1 Modelowanie
Badania operacyjne kierunek Informatyka studia II stopnia ćwiczenia Programowanie liniowe Modelowanie Zadanie Producent odzieży powinien określić ile kurtek i płaszczy należy wyprodukować tak aby zysk
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne. 1 Programowanie liniowe. kierunek Informatyka, studia II stopnia. wyklad. 1.1 Modelowanie
Badania Operacyjne kierunek Informatyka, studia II stopnia wyklad 1 Programowanie liniowe Programowanie liniowe jest jednym z działów teorii zadań ekstremalnych i głównym nurtem badań operacyjnych Podstawy
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23
Wykład 7 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2018 Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 1 / 23 Programowanie liniowe Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 2 / 23
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne. 1 Programowanie liniowe. kierunek Informatyka, studia II stopnia. wyklad. 1.1 Modelowanie
Badania Operacyjne kierunek Informatyka, studia II stopnia wyklad 1 Programowanie liniowe Programowanie liniowe jest jednym z działów teorii zadań ekstremalnychigłównym nurtem badań operacyjnych. Podstawy
Bardziej szczegółowoWstęp do logistyki. kierunek: Matematyka specjalność: Logistyka z zastosowaniem matematyki i informatyki. wykład. 1.1 Modelowanie
Wstęp do logistyki kierunek: Matematyka specjalność: Logistyka z zastosowaniem matematyki i informatyki wykład Wstęp Przedmiotem logistyki sa min procesy transportu i magazynowania surowców oraz wytworzonych
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoRozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.
Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoWykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo