Badania operacyjne. 1 Programowanie liniowe. kierunek Informatyka, studia II stopnia ćwiczenia. 1.1 Modelowanie

Transkrypt

1 Badania operacyjne kierunek Informatyka studia II stopnia ćwiczenia Programowanie liniowe Modelowanie Zadanie Producent odzieży powinien określić ile kurtek i płaszczy należy wyprodukować tak aby zysk osi agni ety z ich sprzedaży był maksymalny Do produkcji wykorzystywany jestjedenrodzajtkaniny Producentposiada5m tejtkaniny Zgodniezzamówieniami należy wyprodukować co najmniej kurtek i co najwyżej płaszczy Do produkcji jednej kurtki i jednego płaszcza potrzeba odpowiednio 5 m i 4 m tkaniny Przy sprzedaży jednej kurtki producent osiagazysk 5złpłaszcza-6zł Rozwiazanie Wprowadźmy następujace oznaczenia: u -ilośćwyprodukowanychkurtek u -ilośćwyprodukowanychpłaszczy Ograniczenianałożonenazmienneu u możnazapisaćnastępuj aco: u u 5u +4u 5 Funkcjonał kosztu który należy zmaksymalizować przyjmuje postać 5u +6u Uwzględniajacwięcnaturalneograniczenianieujemnościzmiennychu u możemyzapisać badane zagadnienie w postaci następujacego zadania programowania liniowego ( 5 6)(u u ) min u U ={u=(u u ) R ; u 5 4 [ u u 5 } Zadanie Wytwórca mebli powinien określić ile stołów krzeseł biurek i szaf należy wyprodukować by zysk z ich sprzedaży był maksymalny Do produkcji wykorzystywane s a dwa typy desek Wytwórca posiada 5 m desek I typu i m - desek II typu

2 oraz dysponuje kapitałem 86 godzin roboczych na wykonanie zaplanowanej produkcji Ze złożonych zamówień i możliwości magazynowych wynika że należy wyprodukować co najmniej 4stołówconajmniej 3krzesełconajmniej 3biurekiniewi ecejniż szaf Do produkcji każdego stołu krzesła biurka i szafy potrzeba odpowiednio 5 9 m desek I typu i 3 4 mdesek II typu Na wykonanie stołu potrzeba 3 godzin pracy krzesła- godzin biurka- 5 godzin szafy- godzin Ze sprzedaży jednego stołu krzesła biurkaiszafywytwórcaosi agazyskodpowiednio 56i 4zł Model Wprowadźmy następujace oznaczenia: u -ilośćstołów u -ilośćkrzeseł u 3 -ilośćbiurek u 4 -ilośćszaf Funkcjonał kosztu który należy zmaksymalizować przyjmuje postać 5u +u +6u 3 +4u 4 max Ograniczenianałożonenazmienneu u 4 możnazapisaćnastępuj aco: u 4 u 3 u 3 3 u 4 5u +u +9u 3 +u 4 5 u +3u +4u 3 +u 4 3u +u +5u 3 +u 4 86 Zatem uwzględniajacstandardoweograniczenianieujemnościzmiennychu u 4 możemy zapisać badane zagadnienie w następujacej postaci ( 5 6 4)(u u u 3 u 4 ) min u u U ={u=(u u 4 ) R 4 ; u u u } u Zadanie 3 Zadaniem dietetyka jest opracowanie składu porannej owsianki tak aby zawierała ona niezbedne dzienne zapotrzebowanie organizmu na określone składniki odżywcze i jednocześnie była możliwie najtańsza Dietetyk ma dyspozycji płatki dwóch rodzajów: IiIIŚniadaniepowinnozawieraćco najmniej mgwitaminyb mgżelaza imieć wartość energetycznarówn a 36kcal gpłatkówirodzajuzawiera mgwitaminy B mgżelazaimawartośćenergetyczn arówn a 358kcalnatomiast gpłatkówii rodzajuzawiera5mgwitaminyb mgżelazaimawartośćenergetyczn arówn a 39 kcal PonadtogpłatkówIrodzajukosztuje 3gra gpłatkówiirodzaju-36gr

3 Rozwiazanie Wprowadźmy następujace oznaczenia: u -ilośćpłatkówirodzaju(gramowychporcji) u -ilośćpłatkówiirodzaju(gramowychporcji) Funkcjonał kosztu który należy zminimalizować jest postaci 3u +36u natomiast ograniczenia można zapisać w postaci następujacych nierówności i równości u +5u u +u 358u +39u = 36 Po uwzględnieniu naturalnych ograniczeń nieujemności zmiennych u u otrzymujemy następujace zadanie programowania liniowego (336)(u u ) min [ u U ={u=(u [ u ) R [ ; u 5 u u [ [ u u =[36} Zadanie 4 Zapisać następujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego Producent farb musi określić ile litrów farby białej zielonej niebieskiej i czerwonej powinien wyprodukować aby zysk osiagni ety ze sprzedaży był maksymalny Do produkcji wykorzystywane s a trzy surowce: A B i C Producent posiada 3 litrów surowca A litrów - surowca B i 7 litrów - surowca C oraz dysponuje kapitałem 6 godzin roboczych Z przyjetych zamówień wynika że należy wyprodukować co najmniej 5 litrów farby białej co najmniej 35 litrów - farby zielonej co najwyżej 5 litrów - farby niebieskiej i nie mniej niż 75 litrów - farby czerwonej Ilości poszczególnych surowców potrzebnych do wyprodukowania litra każdej farby przedstawione sawnast epuj acej tabeli(w litrach) biała zielona niebieska czerwona A B C 45 3 Ponadto wyprodukowanie litra każdej farby wymaga 5 minut pracy Zysk ze sprzedaży litrafarbybiałejwynosi 7złzielonej-6złniebieskiej-7złczerwonej-5zł Rozwiazanie Symbolemu u u 3 oznaczaćbędziemyodpowiednioilość(wlitrach) farby białej zielonej niebieskiej i czerwonej która należy wyprodukować Funkcjał kosztu dla tego zagadnienia który należy zmaksymalizować ma następujac apostać 7u +6u +7u 3 +5u 4 3

4 zaś ograniczenia sanastępuj ace: u 5 u 35 u 3 5 u u +6u +35u 3 +5u 4 3 5u +u +45u 3 +55u 4 45u +u +u 3 +3u 4 7 5u +5u +5u 3 +5u 4 6 Uwzględniajaczatemstandardoweograniczenianieujemnościzmiennychu i możemybadane zagadnienie zapisać w postaci następujacego zadania programowania liniowego w postaci podstawowej ( )(u u 4 ) min u U={u=(u u 4 ) R 4 ; u u u u 3 u } Równoważność zadań Zadanie 5 Postać kanoniczna zadania o stolarzu jest następujaca: ( 5 6 4)(u u u 3 u 4 u 5 u ) min u U ={u=(u u ) R ; u u u = }

5 Zadanie Zapisać następujace zadanie programowania liniowego J(u)=u 3u 3 u 4 +5u 5 min u U ={u=(u u u 3 u 4 u 5 ) R 5 ; u u 4 u 5 u +u 3 u +u 4 +3u 5 u u 3 +7u 5 = u 7u 4 =9} w postaci odpowiedniego zadania kanonicznego Zadanie 6 Zapisać zadanie ogólne J(u)=u +u +3u 3 min u U={u=(u u u 3 ) R 3 ; u u +u +3u 3 u +u +3u 3 u + 3 u + 4 u3 =} w postaci zadania kanonicznego Zadanie 7 Zapisać zadanie o diecie w postaci kanonicznego zadania programowania liniowego Rozwiazanie Odpowiednie zadanie kanoniczne jest następujace: (336)(v v u u ) min [ [ [ [ v z Z={z=(v v u u ) R 4 5 ; z v + u + u 5 = [368u +[39u =[36}= {z=(z z 4 ) R 4 ; (z z 4 ) z z z 3 z 4 = 36 } Zadanie 8 Zapisać zadanie ogólne J(u)=3u +5u +7u 3 +9u 4 min u U ={u=(u u u 3 u 4 ) R 4 ; u u 4 u +u +3u 3 +4u 4 u +3u 3 3u 8 u + u + 3 u3 + 4 u4 = w postaci zadania kanonicznego u + 4 u4 = } 5

6 3 Interpretacja geometryczna zadań programowania liniowego Zadanie9 Rozwi azać w sposób geometryczny następujace zadanie: J(u)=u +u min u U={u R ; u u 3 Rozwiazanie Zadanie Rozwiazać w sposób geometryczny następujace zadanie: J(u)= u +u min u U={u R ; u u 5 Rozwiazanie 6

7 Zadanie Rozwiazać w sposób geometryczny następujace zadanie: J(u)= u u min u U={u=(u u ) R ; u u +u 3 u u = } Zadanie Rozwiazać w sposób geometryczny następujace zadanie W pewnym zakładzie wytwarzane sa produktyaib Do produkcji każdego z nich wykorzystywana jest praca trzech maszyn: M M M3 Maszyna M może być wykorzystana przez 4minutM-4minutM3-7minut Poniższatabelapodajeczaspracy każdej maszyny potrzebny do wyprodukowania jednostki każdego produktu A B M 3 6 M 8 4 M3 9 3 ZyskzesprzedażyjednostkiproduktuAwynosi 9 złb-6 zł Należyzaplanowaćprodukcje tak by zysk ze sprzedaży był maksymalny 4 Punkty wierzchołkowe Zadanie 3 Znaleźć w oparciu o twierdzenie punkty wierzchołkowe zbioru U ={u=(u u u 3 u 4 ) R 4 ; u u +u +3u 3 +u 4 =3 u u +u 3 +u 4 =} Rozwiazanie Łatwo widać że rank [ 3 Niechj = j = KolumnyA = Ponadto rozwiazaniem układu [ A v +A v =b = [ A = s a liniowo niezależne czyli { v +v =3 v v = jestparav = v = Zatempunktv=()jestnieosobliwympunktem wierzchołkowym zbioru U z bazaa A 7

8 [ [ 3 Niech j = j = 3 Kolumny A = A 3 = Ponadto rozwiazaniem układu A v +A 3 v 3 =b s a liniowo niezależne czyli { v +3v 3 =3 v +v 3 = jestparav = v 3 = Zatempunktv=()jestosobliwympunktem wierzchołkowym zbioru U z bazaa A 3 [ [ 3 Niechj = j = 4 Kolumny A = A 4 = s a liniowo niezależne Ponadto rozwiazaniem układu A v +A 4 v 4 =b czyli { v +v 4 =3 v +v 4 = jest para v = 5 v 4 = < Zatem kolumny A A 4 nie s a baz a dla żadnego punktu wierzchołkowego [ [ 3 4 Niechj = j =3 KolumnyA = A 3 = s a liniowo niezależne Ponadto rozwiazaniem układu A v +A 3 v 3 =b czyli { v +3v 3 =3 v +v 3 = jestparav = v 3 = Zatempunktv=()jestosobliwympunktem wierzchołkowym zbioru U z bazaa A 3 [ [ 5 Niechj =j =4 KolumnyA = A 4 = s a liniowo niezależne Ponadto rozwiazaniem układu A v +A 4 v 4 =b czyli { v +v 4 =3 v +v 4 = jestparav = 5 3 v4 = 4 3 Zatempunktv=( )jestnieosobliwympunktem wierzchołkowym zbioru U z bazaa A 4 [ [ 3 6 Niech j = 3 j = 4 Kolumny A 3 = A 4 = s a liniowo niezależne Ponadto rozwiazaniem układu A 3 v 3 +A 4 v 4 =b 8

9 czyli { 3v 3 +v 4 =3 v 3 +v 4 = jestparav 3 = v 4 = Zatempunktv=()jestosobliwympunktem wierzchołkowym zbioru U z bazaa 3 A 4 Zadanie 4 Znależć w oparciu o twierdzenie punkty wierzchołkowe zbioru U={u=(u u u 3 ) R 3 ; u u +u +3u 3 =4 u +5u 3 =} Podać bazy znalezionych punktów wierzchołkowych Zadanie 5 Znaleźć w oparciu o twierdzenie punkty wierzchołkowe zbioru U={u=(u u u 3 ) R 3 ; u u +u +u 3 = u +3u 3 =9 u +u +7u 3 =9} Rozwiazanie Łatwo widać że rank 3 7 = Niechj =j = KolumnyA = A = s a liniowo niezależne (można to sprawdzić korzystajac z definicji liniowej niezależności wektorów) Ponadto rozwiazaniem układu A v +A v =b czyli v +v = v =9 v +v =9 jest para v = 9 < v = 9 Zatem kolumny A A nie s a baz a dla żadnego punktu wierzchołkowego Niechj =j =3 KolumnyA = A 3 = 3 s a liniowo niezależne 7 (można to sprawdzić korzystajac z definicji liniowej niezależności wektorów) Ponadto rozwiazaniem układu A v +A 3 v 3 =b czyli v +v 3 = v +3v 3 =9 v +7v 3 =9 9

10 jest para v = > v 3 = 9 > Zatem punkt v = ( punktem wierzchołkowym zbioru U z bazaa A 3 3 Niech j = j = 3 Kolumny A = A 3 = 9 ) jest nieosobliwym s a liniowo niezależne (można to sprawdzić korzystajac z definicji liniowej niezależności wektorów) Ponadto rozwiazaniem układu A v +A 3 v 3 =b czyli v +v 3 = 3v 3 =9 v +7v 3 =9 jestparav =4>v 3 =3> Zatempunktv=(43)jestnieosobliwympunktem wierzchołkowym zbioru U z bazaa A 3 Zadanie 6 Znaleźć w oparciu o twierdzenie punkty wierzchołkowe zbioru Rozwiazanie Łatwo widać że U ={u=(u u u 3 u 4 ) R 4 ; u u +u 4 = u +u 4 =3 3u 3 =} rank 3 =3 Niechj = j = j 3 = 3 Kolumny A = A = A 3 = 3 s a liniowo niezależne(można to sprawdzić korzystajac z pojęcia wyznacznika macierzy) Ponadto rozwiazaniem układu czyli A v +A v +A 3 v 3 =b v = v =3 3v 3 = jest "trójka" v = v = 9 6 v3 = Zatem punkt v = ( 9 ) jest 6 osobliwym punktem wierzchołkowym zbioru U z bazaa A A 3 Niechj = j = j 3 = 4 Kolumny A = A = A 4 = s a liniowo zależne (można to sprawdzić korzystajac z pojęcia wyznacznika macierzy) Zatemnies aonebaz a żadnego punktu wierzchołkowego zbioru U

11 3 Niechj =j =3j 3 =4 KolumnyA = A 3 = 3 A 4 = s aliniowo niezależne(można to sprawdzić korzystajac z pojęcia wyznacznika macierzy) Ponadto rozwiazaniem układu czyli A v +A 3 v 3 +A 4 v 4 +=b v +v 4 = v 4 =3 3v 3 = jest"trójka"v = 3<v 3 = v 4 =3 ZatemkolumnyA A 3 A 4 nie s abaz a żadnego punktu wierzchołkowego 4 Niechj =j =3j 3 =4 Niechj =j =3j 3 =4 KolumnyA = A 3 = A 4 = s a liniowo niezależne(można to sprawdzić korzystajaczpojęcia 3 wyznacznika macierzy) Ponadto rozwiazaniem układu czyli A v +A 3 v 3 +A 4 v 4 =b v 4 = v +v 4 =3 3v 3 = jest "trójka" v = 3 > v3 = v 3 = Zatem punkt v = ( 3 ) jest osobliwym punktem wierzchołkowym zbioru U z bazaa A 3 A 4 Zadanie 7 Znaleźć w oparciu o twierdzenie punkty wierzchołkowe zbioru 5 Metoda sympleksowa U ={u=(u u u 3 u 4 ) R 4 ; u u 3u +4u 3 +u 4 =3 u +u u 3 =} Zadanie 48 Utworzyć tablicę sympleksowa dla zadania J(u)=u u +u 4 min u U ={u=(u u u 3 u 4 ) R 4 ; u u 3u +4u 3 +u 4 =3 u +u u 3 =}

12 i punktu wierzchołkowego v=( ) Zadanie 9 Rozwiazaćmetod a sympleksowazadanie J(u)=u +u +3u 3 +4u 4 min U={u R 4 ; u [ 3 [ 3 u= startujac zpunktuwierzchołkowegov=() Rozwiazanie Łatwo widać że r = ranka = i w konsekwencji współrzędnymi bazowymi punktu v s a dwie pierwsze współrzędne Zgodnie [ z przyjętymi wcześniej oznaczeniamimamyu=(u u )v=()c=()b= Zatem B = [ T = sk ad [ [ γ3 A γ 3 = 3 [ γ4 γ A 4 = 4 oraz [ [ 3 3 = cb A 3 c3 = 4 = cb A 4 c4 = 7 Tablicasympleksowadlapunktuv=()jestwięcpostaci u u u 3 u 4 u 3 u 7 4 Łatwowidaćżedlapowyższejtablicyzachodziprzypadek3 Mamy 3 > } sk ad I 3 ={i {}; γ i3 >}={} v i min =min{ i I 3 γ i3 }=

13 Zatemk=3s=(elementemrozwi azujacymtablicysympleksowejjestγ 3 =) Baz a kolejnego punktu wierzchołkowego będzie układ kolumn A A 3 Korzystajac z twierdzenia charakteryzuj acego punkty wierzchołkowe znajdujemy kolejny punkt wierzchołkowy w: [ [ [ 3 3 w + w 3 = [ 3 sk adw=() PonadtoB= B = 4 [ 3 sk ad [ γ A γ = 3 [ γ4 A γ 4 = 34 oraz iwkonsekwencji T [ = [ [ = cb A c = 4 = cb A 4 c4 = 7 4 Tablicasympleksowadlapunktuw=()jestwięcpostaci u u u 3 u 4 u 5 4 u Łatwowidaćżedlapowyższejtablicyzachodziprzypadek cooznaczażepunktw= ()jestrozwi azaniem zadania Zadanie Rozwiazaćmetod a sympleksowazadanie J(u)=u u +u 4 min u U={u=(u u u 3 u 4 ) R 4 ; u u u +4u 3 +u 4 = u +u +u 4 =} startujac [ z punktu [ wierzchołkowego ν = ( ) wiedz ac że jego baz a jest układ 4 kolumn 3

14 Zadanie Rozwiazaćmetod a sympleksowazadanie J(u)=u +u +3u 3 +4u 4 min u U ={u=(u u u 3 u 4 ) R 4 ; u u +u +3u 3 +u 4 =3 u u +u 3 +u 4 =} startujac z punktu wierzchołkowego v=( ) Zadanie Rozważmy zadanie J(u)=u +3u 5u 3 +u 4 4u 5 min u U ={u R 5 ; u u +u 4u 3 +u 4 3u 5 =3 u 4u 3 +u 4 5u 5 =6} Utworzyć tablicę sympleksowadlapunkuwierzchołkowegov =(3)wiedz acże współrzędnymi bazowymi tego punktu sawspółrzędnev v 4 Czypunktvjestrozwi azaniem zadania? Odpowiedź uzasadnić Zadanie 3 (kontrprzykład do stwierdzenia: jeśli v jest rozwiazaniem zadania to i dladowolnegoi=n) J(u u u 3 )=u +u min U={u=(u u 3 ) R 3 ; u [ [ u= } Oczywiście () jest punktem wierzchołkowym zbioru U z baz a A A (na mocy twierdzenia charakteryzujacego punkty wierzchołkowe) Łatwo widać że punkt ten jest rozwiazaniem zadania Tablica sympleksowa dla punktu( ) jest postaci u u u 3 u u ponieważ [ [ [ γ3 A γ 3 = = 3 oraz 3 = ()() = Zauważmydalejżedlapowyższejtablicyzachodziprzypadek3 Łatwowidaćżek=3 j s = Wzwi azkuztymbaz anowegopunktuwierzchołkowegojestukłada A 3 Tym [ 4

15 punktem wierzchołkowym jest punkt ( ) Teraz tablica sympleksowa dla punktu ()jestpostaci u u u 3 u u 3 ponieważ [ [ [ [ γ γ A = = 3 oraz = ()() = cooznaczażemamiejsce przypadek Zatempunkt()jestrozwi azaniem zadania Zadanie 4 Sprawdzić korzystajac z zadania pomocniczego czy zbiór U ={u=(u u u 3 u 4 ) R 4 ; u u +u +3u 3 +u 4 =3 u u +u 3 +u 4 =} jest niepusty i jeśli tak - wyznaczyć przy pomocy metody sympleksowej punkt wierzchołkowy tego zbioru Rozwiazanie Rozważmy zadanie pomocnicze J(z)=u 5 +u 6 min Z={z=(u u 6 ) R 6 ; z [ 3 [ 3 z= [ Widać że b = Punkt z = (b) = (3) jest punktem wierzchołkowymzbioruz zbaz ac 5 = C [ [ 6 = Zastosujmy więc do zadania pomocniczego metodę sympleksow [ a Wtymprzypadku r=j =5j =6z=(u 5 u 6 )v=(3)c=()b= Zatem B = [ sk ad [ [ γ5 γ C =C = 6 [ [ γ5 γ C =C = 6 [ [ γ53 3 γ C 3 =C 3 = 63 5 }

16 oraz [ [ γ54 γ C 4 =C 4 = 64 = cb C c = ()() = = cb C c = ()( ) = 3 = cb A 3 c3 = ()(3) =4 4 = cb A 4 c4 = ()() =3 Tablicasympleksowadlapunktuv=(3)jestwięcpostaci u u u 3 u 4 u 5 u 6 u u Dlapowyższejtablicyzachodziprzypadek3 Mamy sk ad > I v ={j i {56}; γ ji >}={56} v ji min j i I v γ ji =min{ 3 }= Zatemk=j s =6(elementemrozwi azuj acymtablicysympleksowejjestγ 6 =) Baz a kolejnego punktu wierzchołkowego będzie układ kolumn C C 5 Korzystajac z twierdzenia charakteryzuj acego punkty wierzchołkowe znajdujemy kolejny punktwierzchołkowyw: [ [ w + [ sk adw=() PonadtoB= B = [ [ 3 w 5 = T = sk ad [ [ γ γ C = 5 [ [ γ3 γ C 3 = 53 6 iwkonsekwencji [

17 oraz [ γ4 [ γ C 4 = 54 [ C γ 6 = 56 [ γ6 = ()( ) = 3 = ()() = 4 = ()( ) = 6 = ()( ) = Tablicasympleksowadlapunktuw=()jestwięcpostaci u u u 3 u 4 u 5 u 6 u u 5 Dlapowyższejtablicyzachodziprzypadek3 Mamy sk ad > I v ={j i {5}; γ ji >}={5} v ji min j i I v γ ji =min{ }= Zatemk=j s =5(elementemrozwi azuj acymtablicysympleksowejjestγ 5 =) Baz a kolejnego punktu wierzchołkowego będzie układ kolumn C C Korzystajac z twierdzenia charakteryzuj acego punkty wierzchołkowe znajdujemy kolejny punkt wierzchołkowy w: [ [ [ 3 w + w = [ sk adw=() PonadtoB= B = [ iwkonsekwencji T = [ 7

18 sk ad [ [ γ3 γ C 3 = 3 [ [ 3 γ4 γ C 4 = 4 oraz [ γ5 C γ 5 = 5 C γ 6 = 6 [ γ6 [ [ 3 = ()() = 4 = ()( 3 ) = 5 = ()( ) = 6 = ()( ) = Tablicasympleksowadlapunktuw=()jestwięcpostaci u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 3 u Dlapowyższejtablicyzachodziprzypadek PonieważJ ()=więczbiór U jestniepusty Ponadtoponieważpunktz =()jestrozwi azaniem zadania pomocniczegowięcpunktv =()jestpunktemwierzchołkowymzbioruu 8