Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia. Zestaw 1. Modelowanie zadań programowania liniowego.
|
|
- Anna Orłowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia Zestaw. Modelowanie zadań programowania liniowego. Zadania dotyczące zagadnienia planowania produkcji Zadanie.. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Producent odzieży powinien określić, ile kurtek i płaszczy należy wyprodukować tak, aby zysk osiągnięty z ich sprzedaży był maksymalny. Do produkcji wykorzystywany jest jeden rodzaj tkaniny. Producent posiada 50 m 2 tej tkaniny. Zgodnie z zamówieniami należy wyprodukować co najmniej 20 kurtek i co najwyżej 0 płaszczy. Do produkcji jednej kurtki i jednego płaszcza potrzeba odpowiednio 2, 5 m 2 i 4 m 2 tkaniny. Przy sprzedaży jednej kurtki producent osiąga zysk 60 zł, płaszcza 50 zł. Zadanie.2. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Wytwórca mebli powinien określić, ile stołów, krzeseł, biurek i szaf powinien wyprodukować tak, aby zysk osiągnięty z ich sprzedaży był maksymalny. Do produkcji wykorzystywane są dwa typy desek. Wytwórca posiada 500 m desek I typu i 000 m desek II typu oraz dysponuje kapitałem 860 godzin roboczych na wykonanie zaplanowanej produkcji. Ze złożonych zamówień wynika, że należy wyprodukować co najmniej 40 stołów, 30 krzeseł, 30 biurek i nie więcej niż 0 szaf. Do produkcji każdego stołu, krzesła, biurka i szafy potrzeba odpowiednio 5,, 9, 2 m desek I typu i 2, 3, 4, m desek II typu. Na wykonanie stołu potrzeba 3 godzin pracy, krzesła - 2 godzin, biurka - 5 godzin, szafy - 0 godzin. Ze sprzedaży jednego stołu, krzesła, biurka i szafy wytwórca osiąga zysk odpowiednio 50, 20, 60 i 40 zł. Zadanie.3. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Podać wektor c określający funkcjonał kosztu orza macierz A i wektor b występujące w opisie ograniczeń. Producent farb musi określić, ile litrów farby białej, zielonej, niebieskiej i czerwonej powinien wyprodukować tak, aby zysk osiągnięty z ich sprzedaży był maksymalny. Do produkcji wykorzystywane są trzy surowce: A, B i C. Producent posiada 230 litrów surowca A, 200 litrów surowca B i 70 litrów surowca C oraz dysponuje kapitałem 60 godzin roboczych na wykonanie zaplanowanej produkcji. Ze złożonych zamówień wynika, że należy wyprodukować co najmniej 25 litrów farby białej, co najmniej 35 litrów farby zielonej, co najwyżej 205 litrów farby niebieskiej i nie mniej niż 75 litrów farby czerwonej. Ilość poszczególnych surowców potrzebnych do wyprodukowania litra każdej farby przedstawione są w następującej tabeli (w litrach) biała zielona niebieska czerwona A 0,30 0,60 0,35 0,5 B 0,25 0,20 0,45 0,55 B 0,45 0,20 0,20 0,30 Ponadto wyprodukowanie litra każdej farby wymaga 5 minut pracy. Zysk ze sprzedaży litra farby białej wynosi 7 zł, zielonej - 6 zł, niebieskiej - 7 zł i czerwonej - 5 zł.
2 Modelowanie zadań programowania liniowego. Zadania dotyczące zagadnienia transportowego Zadanie.4. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Pewien wytwórca posiada centrale zbytu w Lublinie, Łodzi i Szczecinie. Centrale te posiadają odpowiednio 40, 20 i 40 jednostek produktu. Punkty sprzedaży zamówiły następujące ilości produktu: Białystok - 25, Cieszyn - 0, Kraków - 20, Sopot - 30, Warszawa - 5. Koszt transportu jednostki (w zł.) z każdej centrali zbytu do dowlnego punktu sprzedaży podaje następująca tabela: Białystok Cieszyn Kraków Sopot Warszawa Lublin Łódź Szczecin Należy rak zaplanować dystrybucję produktu, by koszt transportu był minimalny. Zadanie.5. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Dyrektor pewnego przedsiębiorstwa powinien obsadzić trzy stanowiska, które wymagają różnych kwalifikacji i praktyki zawodowej, przy czym ma do dyspozycji trzech konkretnych pracowników. Ze względu na różne ich kwalifikacje, czas praktyki i zdobyte doświadczenie wartość (dla przedsiębiorstwa) każdego z tych pracowników zależy od stanowiska, na którym jest on zatrudniony. Poniższa tabela zawiera oceny wartości poszczególnych pracowników zatrudnionych na poszczególnych stanowiskach Stanowisko I Stanowisko II Stanowisko III Pracownik A Pracownik B Pracownik C 8 2 Należy rak rozmieścić pracowników na rozważanych stanowiskach, by całkowita ich wartość dla przedsiębiorstwa była maksymalna. Zadania dotyczące zagadnienia diety Zadanie.6. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Zadaniem dietetyka jest opracowanie składu porannej owsianki tak, aby zawierała ona niezbędne dzienne zapotrzebowanie organizmu na określone składniki odżywcze i jednocześnie była możliwie najtańszą. Dietetyk ma do dyspozycji płatki Corn Flakes i Nesquik. Śniadanie powinno zawierać co najmniej mg witaminy B, 2 mg żelaza i mieć wartość energetyczną równą 360 kcal. 00 g płatków Corn Flakes zawiera, 2 mg witaminy B, 2 mg żelaza i ma wartość energetyczną równą 368 kcal, natomiast 00 g płatków Nesquik zawiera, 5 mg witaminy B, 0 mg żelaza i ma wartość energetyczną równą 390 kcal. Ponadto 00 g płatków Corn Flakes kosztuje 32 gr, a 00 g płatków Nesquik - 36 gr. Zadanie.7. Zapisać następujące zadanie w postaci zadania programowania liniowego. Hodowca krowy karmi zwierzę produktami pochodzącymi z gospodarstwa rolnego. Jednak ze względu na konieczność zapewnienia w diecie odpowiednich ilości pewnych składników odżywczych (nazwijmy je A, B, C) hodowca musi zakupić raz w roku trzy dodatkowe produkty (nazwijmy je I, II, III), 2
3 Modelowanie zadań programowania liniowego. które zawierają te składniki. kg produktu I zawiera 63 g składnika A i 9 g składnika B, kg produktu II zawiera 4 g składnika B i 28 g składnika C, zaś kg produktu III zawiera 50 g składnika A i 5 g składnika C. Minimalne zapotrzebowanie zwierzęcia na poszczególne składniki wynosi: 870 g składnika A, 200 g składnika B, 450 g składnika C. Każdy z produktów zawiera jednak pewne ilości szkodliwych środków konserwujących. I tak, kg produktu I zawiera 7 g tych środków, produktu II - g, produktu III - 9 g. Roczne spożycie tych środków nie powinno być większe niż 50 g. Przyjmijmy na koniec, że kg produktu I kosztuje 35 zł, produktu II - 29 zł, produktu III - 9 zł. Celem hodowcy jest ustalenie ilości kupowanych produktów I, II, III tak, aby zapewnić zwierzęciu odpowiednią dietę i jednocześnie ponieść możliwie najmniejsze koszty. Formalny zapis zadań programowania liniowego Zadanie.8. Zapisać zadanie.4 w postaci podstawowego zadania programowania liniowego. Zadanie.9. Zapisać zadanie.2 w postaci kanonicznego zadania programowania liniowego. Zadanie.0. Zapisać zadanie.6 w postaci kanonicznego zadania programowania liniowego. Zadanie.. Zapisać zadanie ogólne w postaci zadania kanonicznego. Zadanie.2. Zapisać zadanie ogólne J(u) = u + 2u 2 + 3u 3 min. u U = {u = (u, u 2, u 3 ) R 3 ; u 0, 0u + 20u u 3, 00u + 200u u 3 2, u 2 + u u 4 3 = 0} J(u) = 3u + 5u 2 + 7u 3 + 9u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 2 0, u 4 0, u + 2u 2 + 3u 3 + 4u 4, 2u + 23u 3, 32u 2 8, w postaci zadania kanonicznego. u + u u u 4 4 = 2, u + u 4 4 = 2} 3
4 2 Geometryczne rozwiązywanie zadań programowania liniowego. Zestaw 2. Geometryczne rozwiązywanie zadań programowania liniowego. Zadanie 2.. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = u + 2u 2 min. u U = {u = (u, u 2 ) R 2 ; u 0, 2u u 2 2, u 2 u 2, 2 u + u 2 2, u 3} Zadanie 2.2. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = 2u + u 2 min. u U = {u = (u, u 2 ) R 2 ; u 0, u u 2, u + u 2, u + 2u 2 0, 2u u 2 5} Zadanie 2.3. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = 2u u 2 min. u U = {u = (u, u 2 ) R 2 ; u 0, 2 u + u 2 2, 2 u u 2 } Zadanie 2.4. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = u + u 2 min. u U = {u = (u, u 2 ) R 2 ; u 0, 2 u + u 2 2, 3 u + u 2 = } Zadanie 2.5. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie W pewnym zakładzie wytwarzane są produkty A i B. Do produkcji każdego z nich wykorzystywana jest praca trzech maszyn: M, M2, M3. Maszyna M może być wykorzystana przez s, M s, M s. Poniższa tabela podaje czas pracy każdej maszyny potrzebny do wyprodukowania jednostki każdego produktu: 4
5 2 Geometryczne rozwiązywanie zadań programowania liniowego. A B M 3 6 M2 8 4 M3 9 3 Zysk ze sprzedaży jednostki produktu A wynosi 9 zł, B - 6 zł. Należy zaplanować produkcję tak, aby zysk ze sprzedaży był maksymalny. Zadanie 2.6. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = u 3u 2 2u 4 3u 5 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4, u 5 ) R 5 ; u 0, u + 2u 4 + 3u 5 = 5, 2u + u 3 + u 4 + 5u 5 = 20, u + u 2 + 2u 4 + u 5 = 0} Zadanie 2.7. Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: J(u) = u 2u 2 + u 3 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4, u 5 ) R 5 ; u 0, 3u 2u 2 + 2u 3 2u 4 + 3u 5 = 38, u + u 2 + 3u 4 u 5 = 3, u u 2 + u 3 = 4} 5
6 3 Punkty wierzchołkowe Zestaw 3. Punkty wierzchołkowe Zadanie 3.. Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u = (u, u 2 ) R 2 ; u 0, 3 u + u 2 = }. Zadanie 3.2. Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 2 + 3u 3 + u 4 = 3, u u 2 + u 3 + 2u 4 = }. Zadanie 3.3. Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 4 = 0, 2u 2 + u 4 = 3, 3u 3 = 0} i wskazać ich bazy. Zadanie 3.4. Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u = (u, u 2, u 3 ) R 3 ; u 0, u + 2u 2 + 3u 3 = 4, u + 5u 3 = 0}. Podać bazy znalezionych punktów wierzchołkowych. Zadanie 3.5. Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u = (u, u 2, u 3 ) R 3 ; u 0, u + u 2 + 2u 3 = 0, u + 3u 3 = 9, u + 2u 2 + 7u 3 = 29}. 6
7 4 Metoda sympleksowa Zestaw 4. Metoda sympleksowa Zadanie 4.. Rozwiązać metodą sympleksową zadanie: J(u) = u u 2 + u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, 2u 2u 2 + 4u 3 + u 4 = 2, u + u 2 + u 4 = 0} [ startując z punktu wierzchołkowego v = (0, 0,, 0), wiedząc, że jego bazą jest układ kolumn 2 [ ] 4. 0 Zadanie 4.2. Rozwiązać metodą sympleksową zadanie: J(u) = u + 2u 2 + 3u 3 + 4u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 2 + 3u 3 + u 4 = 3, u u 2 + u 3 + 2u 4 = } startując z punktu wierzchołkowego v = (2,, 0, 0). Zadanie 4.3. Rozwiązać metodą sympleksową zadanie: J(u) = u + 2u 2 + 3u 3 + 4u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 2 + 3u 3 + u 4 = 3, u u 2 + u 3 + 2u 4 = } 2 ], startując z punktu wierzchołkowego v = (0, 5 3, 0, 4 3 ). Zadanie 4.4. Zapisać zadanie J(u) = u + 2u 2 + 3u 3 + 4u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 2 + 3u 3 + u 4 3, u u 2 + u 3 + 2u 4 = } w postaci zadania kanonicznego, rozwiązać tak otrzymane zadanie metodą sympleksową, a następnie podać rozwiązanie zadania wyjściowego. Zadanie 4.5. Utworzyć tablicę sympleksową dla zadania J(u) = u u 2 + 2u 4 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, 2u 3u 2 + 4u 3 + u 4 = 3, u + u 2 2u 3 = 0} i punktu wierzchołkowego v = ( 33, 7, 0, 0)
8 5 Wybór początkowego punktu wierzchołkowego Zestaw 5. Wybór początkowego punktu wierzchołkowego Zadanie 5.. Sprawdzić, korzystając z zadania pomocniczego, czy zbiór U = {u = (u, u 2, u 3, u 4 ) R 4 ; u 0, u + u 2 + 3u 3 + u 4 = 3, u u 2 + u 3 + 2u 4 = } jest niepusty i jeśli tak - wyznaczyć, przy pomocy metody sympleksowej, punkt wierzchołkowy tego zbioru. Zadanie 5.2. Rozważmy zadanie J(u) = u + 3u 2 5u 3 + u 4 3u 5 min. u U = {u = (u, u 2, u 3, u 4, u 5 ) R 5 ; u 0, u + u 2 4u 3 + u 4 3u 5 = 3, u 4u 3 + 2u 4 5u 5 = 6}. Utworzyć tablicę sympleksową dla punktu wierzchołkowego v = (0, 0, 0, 3, 0), wiedząc, że współrzędnymi bazowymi tego punktu są współrzędne v i v 4. Czy punkt v jest rozwiązaniem zadania? Odpowiedź uzasadnić. 8
Badania operacyjne. 1 Programowanie liniowe. kierunek Informatyka, studia II stopnia ćwiczenia. 1.1 Modelowanie
Badania operacyjne kierunek Informatyka studia II stopnia ćwiczenia Programowanie liniowe Modelowanie Zadanie Producent odzieży powinien określić ile kurtek i płaszczy należy wyprodukować tak aby zysk
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe w logistyce
Programowanie liniowe w logistyce kierunek Informatyka, studia I stopnia ćwiczenia Programowanie liniowe Modelowanie Zadanie Zapisać nast epujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego Producent
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23
Wykład 7 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2018 Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 1 / 23 Programowanie liniowe Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 2 / 23
Bardziej szczegółowoĆwiczenia pierwsze Badania operacyjne (budowanie modelu matematycznego) kierunek: matematyka, studia I specjalność: matematyka finansowa
Ćwiczenia pierwsze Badania operacyjne (budowanie modelu matematycznego) kierunek: matematyka, studia I specjalność: matematyka finansowa dr Jarosław Kotowicz 02 października 2015r. Zadanie 1 ([1, Przykład
Bardziej szczegółowoWstęp do logistyki. kierunek: Matematyka specjalność: Logistyka z zastosowaniem matematyki i informatyki. wykład. 1.1 Modelowanie
Wstęp do logistyki kierunek: Matematyka specjalność: Logistyka z zastosowaniem matematyki i informatyki wykład Wstęp Przedmiotem logistyki sa min procesy transportu i magazynowania surowców oraz wytworzonych
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoLista 1 PL metoda geometryczna
Lista 1 PL metoda geometryczna 1.1. Znajdź maksimum funkcji celuf(x 1,x 2 )=5x 1 +7x 2 przy ograniczeniach: 2x 1 +2x 2 600, 2x 1 +4x 2 1000, x i 0 dlai=1,2 1.2. Znajdź maksimum funkcji celuf(x 1,x 2 )=2x
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
Bardziej szczegółowoEkonometria Programowanie Liniowe. Robert Pietrzykowski
Ekonometria Programowanie Liniowe Robert Pietrzykowski ZADANIE: Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. Ograniczeniem w procesie produkcji jest czas pracy trzech maszyn: M1, M2 i M3. W tablicy
Bardziej szczegółowoZad.1. Microsoft Excel - Raport wyników Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto
Zad.1. Przedsiębiorstwo może wytwarzać trzy typy maszyn: tokarki, piły, frezarki zużywając dwa ograniczone zasoby: energię elektryczną i siłę roboczą w następujących proporcjach: energia (KWH / jedn.)
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Przedmiot: Nr ćwiczenia: 3 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie dynamiczne Cel ćwiczenia: Formułowanie i rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet
Bardziej szczegółowoc j x x
ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony
Bardziej szczegółowo4. PROGRAMOWANIE LINIOWE
4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.
Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowo"Program pilotażowy - Dieta Mamy".
"Program pilotażowy - Dieta Mamy". Dnia 1.10.2019 r Szpital Powiatowy im.t.malińskiego w Śremie podjął współpracę z programem pilotażowym Standard szpitalnego żywienia kobiet w ciąży i w okresie poporodowym-dieta
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoZbilansowana dieta DIY warsztaty z dietetykiem
Zbilansowana dieta DIY warsztaty z dietetykiem Cel diety? Redukcja masy ciała? Utrzymanie masy ciała? Przyrost masy ciała? Zwiększenie wydolności organizmu? Choroba? Ciąża? BMI BMI = waga [kg] / wzrost
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Przedmiot: Nr ćwiczenia: 1 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie liniowe Cel ćwiczenia: Opanowanie umiejętności modelowania i rozwiązywania problemów
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoZbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ).
PROGRAMOWANIE LINIOWE Zbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ). Problem. Przedsiębiorstwo przewozowe STAR zajmuje się dostarczaniem lodów do sklepów. Dane dotyczące
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ NAUK O ŻYWNOŚCI I RYBACTWA
WYDZIAŁ NAUK O ŻYWNOŚCI I RYBACTWA ZAKŁAD PODSTAW ŻYWIENIA CZŁOWIEKA Dr inż. Anna Bogacka, dr inż. Edyta Balejko Przedmiot: Żywienie człowieka Ćwiczenie nr 5 Temat: Wskaźniki oceny wartości odżywczej białek
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7
Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe Ćw. L. 7 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym zapisem
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoPAKIETY ZDROWA ENERGIA
Oferta lato 2017 PAKIETY ZDROWA ENERGIA Pakiety Zdrowa Energia to idealna propozycja dla każdego, kto ceni sobie zdrowe i smaczne jedzenie na co dzień. Posiłki bazują na naturalnych produktach, bogatych
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowoWykład 6. Programowanie liniowe
Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału
Temat: Zagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału Zadanie 1 Trzy piekarnie zlokalizowane na terenie miasta są zaopatrywane w mąkę z trzech magazynów znajdujących się na peryferiach. Zasoby mąki
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoAnaliza korelacji i regresji dwóch zmiennych losowych
Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych losowych 1. Badano zależność między ilością godzin przebywania samolotu w powietrzu ( nalot lotniczy) a ilością wypadków. Na podstawie zebranych danych z pewnego
Bardziej szczegółowoDodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?
Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.3. ZADANIA W zadaniach 2.1 2.20
Bardziej szczegółowoLaboratorium Metod Optymalizacji
Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena
Bardziej szczegółowoMETODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0
METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:
A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowo1-2. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna
-. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna Zagadnienie wyznaczania optymalnego asortymentu produkcji Firma zamierza uruchomić produkcję dwóch wyrobów A i B. Cenę zbytu oszacowano na zł/kg dla
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoPRAWIDŁOWE ODŻYWIANIE NASTOLATKÓW
PRAWIDŁOWE ODŻYWIANIE NASTOLATKÓW Młody organizm, aby mógł prawidłowo się rozwijać potrzebuje wielu różnorodnych składników odżywczych, które powinny być nieodłączną częścią diety każdego dojrzewającego
Bardziej szczegółowoModelowanie całkowitoliczbowe
1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowo(Dz.U. L 55 z , str. 22)
1996L0008 PL 20.06.2007 001.001 1 Dokument ten służy wyłącznie do celów dokumentacyjnych i instytucje nie ponoszą żadnej odpowiedzialności za jego zawartość B DYREKTYWA KOMISJI 96/8/WE z dnia 26 lutego
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa Etap edukacyjny: IV, przedmiot: informatyka (poziom podstawowy )
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:
Bardziej szczegółowoWybrane elementy badań operacyjnych
Wybrane elementy badań operacyjnych 1 Przykład 1. GWOŹDZIE. Pewna fabryczka może produkować dwa gatunki gwoździ II i I. Do wyprodukowania tony gwoździ II gatunku potrzeba 1,2 tony stali oraz 1 roboczogodzinę
Bardziej szczegółowoOpis struktury zagadnień rozważanych w obszarach badawczych projektu Quality of Life w czasie spotkania #1 Perspektywa Dynamiki Systemów
Opis struktury zagadnień rozważanych w obszarach badawczych projektu Quality of Life w czasie spotkania #1 Perspektywa Dynamiki Systemów Elementy określone przez liderów sekcji w obszarze Bezpieczna Żywność
Bardziej szczegółowoWYNIKI ANKIET I TESTÓW KLAUDIA KRZYŻAŃSKA, KL.IIIF GIMNAZJUM NR14 BYTOM
. WYNIKI ANKIET I TESTÓW KLAUDIA KRZYŻAŃSKA, KL.IIIF GIMNAZJUM NR14 BYTOM TESTY TESTY ROZWIĄZAŁO 140 UCZNIÓW 1.Co dostarcza organizmowi najwięcej energii? A)WĘGLOWODANY, TŁUSZCZE I BIAŁKA B)MAGNEZ,POTAS
Bardziej szczegółowoPL Dziennik Urzędowy Unii Europejskiej. 13/t. 15
454 31996L0008 L 55/22 DZIENNIK URZĘDOWY WSPÓLNOT EUROPEJSKICH 6.3.1996 DYREKTYWA KOMISJI 96/8/WE z dnia 26 lutego 1996 r.w sprawie żywności przeznaczonej do użycia w dietach o obniżonej energetyczności
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)
A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że
Bardziej szczegółowoZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.3. ZADANIA Wykorzystując
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)
Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów
Bardziej szczegółowoDziałania na przekształceniach liniowych i macierzach
Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,
Bardziej szczegółowoWybrane dane finansowe z bilansu oraz rachunku zysków i strat za okres od 01.04.2012 r. do 30.06.2012 r. wraz z danymi porównywalnymi...
RAPORT ZA II KWARTAŁ 2012 ROKU READ-GENE Spółka Akcyjna z siedzibą w Szczecinie za okres od 01.04.2012 r. do 30.06.2012 r. wraz z danymi porównywalnymi Szczecin, 14 sierpnia 2012 r. SPIS TREŚCI: Wybrane
Bardziej szczegółowoWspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem Laboratorium 02
Optymalizacja całkowitoliczbowa Przykład. Wspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem Laboratorium 02 Firma stolarska produkuje dwa rodzaje stołów Modern i Classic, cieszących się na rynku dużym zainteresowaniem,
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoZSGH BYTOM, BON APPÉTIT, NUMER 11
Strona 1 z 10 ZADANIE NR 1 Zgodnie z zasadami racjonalnego żywienia 60% dziennej energii powinno pochodzić z węglowodanów. Ile gramów węglowodanów przyswajalnych powinna spożywać osoba, której dzienne
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoZagadnienie diety Marta prowadzi hodowlę zwierząt. Minimalne dzienne zapotrzebowanie hodowli na mikroelementy M1, M2 i M3 wynosi 300, 800 i 700
Zagadnienie diety Marta prowadzi hodowlę zwierząt. Minimalne dzienne zapotrzebowanie hodowli na mikroelementy M1, M2 i M3 wynosi 300, 800 i 700 jednostek, przy czym dla mikroelementu M1 maksymalna dzienna
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:
Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna
Bardziej szczegółowoInterwencje żywieniowe u dzieci otyłych aktualne spojrzenie
Interwencje żywieniowe u dzieci otyłych aktualne spojrzenie H. Dyląg, 1 H. Weker 1, M. Barańska 2 1 Zakład Żywienia 2 Zakład Wczesnej Interwencji Psychologicznej karmienie na żądanie 7-5 posiłków 3 posiłki
Bardziej szczegółowoFirma JCo wytwarza dwa wyroby na dwóch maszynach. Jednostka wyrobu 1 wymaga 2 godzin pracy na maszynie 1 i 1 godziny pracy na maszynie 2.
Przykład Elementy analizy wrażliwości Firma JCo wytwarza dwa wyroby na dwóch maszynach. Jednostka wyrobu 1 wymaga 2 godzin pracy na maszynie 1 i 1 godziny pracy na maszynie 2. Dla wyrobu 2 czasy te wynosza
Bardziej szczegółowoMetody Optymalizacji. Wstęp. Programowanie matematyczne. Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt
Metody Optymalizacji Dr hab. inż. Maciej Komosiński, mgr Agnieszka Mensfelt Wstęp W ogólności optymalizacja związana jest z maksymalizowaniem lub minimalizowaniem pewnej wielkości np. maksymalizacja zysku
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania
METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania Przedstawione dalej zadania rozwiąż wykorzystując Excel/Solver. Zadania 8 są zadaniami optymalizacji liniowej, zadania 9, dotyczą optymalizacji nieliniowej. Przed
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)
ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga
Bardziej szczegółowoMateriał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzie:
Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzie: TECHNIK ŻYWIENIA I USŁUG GASTRONOMICZNYCH przygotowany w ramach projektu Praktyczne kształcenie nauczycieli zawodów branży hotelarsko-turystycznej
Bardziej szczegółowoZasady zdrowego żywienia
Metadane scenariusza Zasady zdrowego żywienia 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: - zna zasady prawidłowego żywienia, - zna piramidę zdrowego żywienia, - zna zapotrzebowanie energetyczne dla osób w danym
Bardziej szczegółowoMateriałpomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzie:
Materiałpomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzie: TECHNIK ŻYWIENIA I USŁUG GASTRONOMICZNYCH przygotowany w ramach projektu Praktyczne kształcenie nauczycieli zawodów branży hotelarsko-turystycznej
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ NAUK O ŻYWNOŚCI I RYBACTWA
WYDZIAŁ NAUK O ŻYWNOŚCI I RYBACTWA ZAKŁAD PODSTAW ŻYWIENIA CZŁOWIEKA Dr inż. Edyta Balejko, dr inż. Anna Bogacka, dr inż. Anna Sobczak-Czynsz Przedmiot: Podstawy żywienia człowieka (MS i TŻiŻCz z uz.)
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoPrzed Tobą zestaw zadań konkursowych. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. wybieraj tak, aby osiągnąć jak najlepszy wynik. POWODZENIA
GIMNAZJUM Przed Tobą zestaw zadań konkursowych. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. wybieraj tak, aby osiągnąć jak najlepszy wynik. POWODZENIA Zadanie 1. Trzy lata temu posadzono przed domem krzew. Co roku
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Programowanie Dynamiczne dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 14 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN POTWIERDZAJĄCY KWALIFIKACJE W ZAWODZIE Rok 2019 CZĘŚĆ PRAKTYCZNA
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 2019 Nazwa kwalifikacji: Organizacja żywienia i usług gastronomicznych Oznaczenie kwalifikacji: T.15 Numer
Bardziej szczegółowoEGZAMIN POTWIERDZAJĄCY KWALIFIKACJE W ZAWODZIE Rok 2017 CZĘŚĆ PRAKTYCZNA
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 16 Nazwa kwalifikacji: Świadczenie usług w zakresie dietetyki Oznaczenie kwalifikacji: Z.16 Numer zadania:
Bardziej szczegółowoImię, nazwisko i tytuł/stopień KOORDYNATORA przedmiotu zatwierdzającego protokoły w systemie USOS Jacek Marcinkiewicz, dr
Tryb studiów Stacjonarne Nazwa kierunku studiów EKONOMIA Poziom studiów Stopień pierwszy Rok studiów/ semestr III; semestr 5 Specjalność Bez specjalności Kod przedmiotu w systemie USOS 1000-ES1-3EC1 Liczba
Bardziej szczegółowo