Programowanie liniowe w logistyce

Transkrypt

1 Programowanie liniowe w logistyce kierunek Informatyka, studia I stopnia ćwiczenia Programowanie liniowe Modelowanie Zadanie Zapisać nast epujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego Producent odzieży powinien określić, ile kurtek i płaszczy należy wyprodukować tak, aby zysk osiagni ety z ich sprzedaży był maksymalny Do produkcji wykorzystywany jest jeden rodzaj tkaniny Producent posiada 5 m tej tkaniny Zgodnie z zamówieniami należy wyprodukować co najmniej kurtek i co najwyżej płaszczy Do produkcji jednej kurtki i jednego płaszcza potrzeba odpowiednio, 5 m i 4 m tkaniny Przy sprzedaży jednej kurtki producent osiaga zysk 5 zł, płaszcza - 6 zł Rozwiazanie Zadania Wprowadźmy następujace oznaczenia: u - ilość wyprodukowanych kurtek, u - ilość wyprodukowanychpłaszczy Ograniczenia nałożone na zmienne u, u można zapisać następujaco: u, u,, 5u +4u 5 Funkcjonał kosztu, który należy zmaksymalizować, przyjmuje postać 5u +6u

2 Uwzględniajac więc naturalne ograniczenia nieujemności zmiennych u, u,możemy zapisać badane zagadnienie w postaci następujacego zadania programowania liniowego h( 5, 6), (u,u )i min u U = {u =(u,u ) R ; u, u u }, Zadanie Zapisać nast epujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego Pewien wytwórca posiada magazyny z Lublinie, Łodzi i Szczecinie W magazynach tych znajduje sie odpowiednio 4, i 4 jednostek produktu Sklepy zamówiły nastepuj ace ilości produktu: Białystok - 5 jednostek, Cieszyn-, Kraków-, Sopot - 3, Warszawa - 5 Koszty transportu jednostki produktu (w zł) z magazynów do sklepów podaje nastepu- jaca tabela: Białystok Cieszyn Kraków Sopot Warszawa Lublin Łódź Szczecin Należy tak zaplanować dystrybucje produktu, by koszt transportu był minimalny Rozwiazanie Zadania W dalszym ciagu magazyny w Lublinie, Łodzi i Szczecinie oznaczaćbędziemy numerami,, 3, natomiast sklepy w Białymstoku, Cieszynie, Krakowie, Sopocie i Warszawie- numerami,, 3, 4, 5, odpowiednio Wprowadźmy także następujace oznaczenia: u i,j -ilość jednostek produktu transportowanych z i - tego magazynu do j -tegosklepu c i,j - koszt transportu jednostki produktu z i - tego magazynu do j - tego sklepu Funkcjonał kosztu, który należy zminimalizować, przyjmuje postać X 3 i= X 5 j= c i,ju i,j,

3 natomiast ograniczenia nałożone na zmienne u i,j można zapisać następujaco: X 5 j= u,j = 4 X 5 j= u,j = X 5 j= u3,j = 4 Oznaczajac więc X 3 i= ui, = 5 X 3 i= ui, = X 3 i= ui,3 = X 3 i= ui,4 = 3 X 3 i= ui,5 = 5 u =(u,,,u,5,u,,, u,5,u 3,,, u 3,5 ) R 5, c =(55, 3, 4, 5, 4, 35, 3,, 45, 6, 4, 6, 95, 35, 3) iuwzględniajac naturalne ograniczenie nieujemności zmiennych, możemy zapisać rozważane zadanie w postaci następujacego zadania programowania liniowego hc, ui min u U = {u R 5 ; u, u = 3 5 Zadanie 3 Zapisać nast epujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego 3

4 Wytwórca mebli powinien określić, ile stoł ów, krzeseł, biurek i szaf powinien wyprodukować, by zysk z ich sprzedaży był maksymalny Do produkcji wykorzystywane sa dwa typy desek Wytwórca posiada 5 m desek I typu i m-desekiitypuorazdysponuje kapitałem 86 godzin roboczych na wykonanie zaplanowanej produkcji Ze złożonych zamówieńwynika,że należy wyprodukowaćconajmniej 4 stołów, 3 krzeseł, 3 biurek i nie wiecej niż szaf Do produkcji każdego stołu, krzesła, biurka i szafy potrzeba odpowiednio 5,, 9, m desek I typu i, 3, 4, m desek II typu Na wykonanie stołu potrzeba3 godzin pracy, krzesła - godzin, biurka - 5 godzin, szafy - godzin Ze sprzedaży jednego stołu, krzesła, biurka i szafy wytwórca osiaga zysk odpowiednio 5,, 6 i 4 zł Rozwiazanie Zadania 3 Wprowadźmy następujace oznaczenia: u - ilość stołów u - ilość krzeseł u 3 - ilość biurek u 4 - ilość szaf Funkcjonał kosztu, który należy zmaksymalizować, przyjmuje postać 5u +u +6u 3 +4u 4 max Ograniczenia nałożone na zmienne u,, u 4 można zapisać następujaco: u 4, u 3, u 3 3, u 4, 5u + u +9u 3 +u 4 5, u +3u +4u 3 + u 4, 3u +u +5u 3 +u 4 86 Zatem, uwzględniajac naturalne ograniczenia nieujemności zmiennych u,, u 4,możemy 4

5 zapisać badane zagadnienie w postaci następujacego zadania programowania liniowego h( 5,, 6, 4), (u,u,u 3,u 4 )i min u 3 5 u U = {u =(u,, u 4 ) R 4 u ; u, 86 u 3 4 } 3 u 4 3 Zadanie 4 Zapisać nast epujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego Zadaniem dietetyka jest opracowanie składu porannej owsianki tak, aby zawierała ona niezbedne dzienne zapotrzebowanie organizmu na określone składniki odżywcze i jednocześnie była możliwie najtańsza Dietetyk ma dyspozycji płatki dwóch rodzajów: I i II Śniadanie powinno zawierać co najmniej mg witaminy B, mg żelaza i mieć wartość energetycznarówn a 36 kcal gpłatków I rodzaju zawiera, mg witaminy B, mg żelaza i ma wartość energetycznarówn a 368 kcal, natomiast gpłatków II rodzaju zawiera, 5 mg witaminy B, mg żelaza i ma wartość energetyczn arówn a 39 kcal Ponadto gpłatków I rodzaju kosztuje 3 gr, a gpłatków II rodzaju - 36 gr Rozwiazanie Zadania 4 Wprowadźmy następujace oznaczenia: u - ilość płatków I rodzaju ( gramowych porcji) u - ilość płatków II rodzaju ( gramowych porcji) Funkcjonał kosztu, który należy zminimalizować jest postaci 3u +36u, natomiast ograniczenia można zapisać wpostacinastępujacych nierówności irówności, u +, 5u, u +u, 368u +39u = 36 5

6 Po uwzględnieniu naturalnych ograniczeń nieujemności zmiennych u, u otrzymujemy następujace zadanie programowania liniowego h(3, 36), (u,u )i min u U = {u =(u,u ) R ; u,,, 5 u, u h i u u = [36]} Zadanie 5 Zapisać nast epujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego Dyrektor pewnego przedsiebiorstwa powinien obsadzić trzy stanowiska pracy, majac do dyspozycji trzech pracowników Ze wzgledu na różne ich kwalifikacje oraz zdobyte doświadczenie, wartość (dlaprzedsi ebiorstwa) każdego z tych pracowników zależy od stanowiska, na którym jest on zatrudniony Poniższa tabela zawiera oceny wartości pracowników zatrudnionych na poszczególnych stanowiskach Stanowisko I Stanowisko II Stanowisko III Pracownik A Pracownik B Pracownik C 8 Należy tak rozmieścić pracowników na rozważanych stanowiskach, by całkowita ich wartość dla przedsiebiorstwa była maksymalna Zakładamy, że każdy pracownik powinien być zatrudniony łacznie na jeden etat i każdemu stanowisku powinien być przypisany jeden etat Rozwiazanie Zadania 5 Symbolem u i,j oznaczać będziemy część etatu, na jaka należy zatrudnić i - tego pracownika na j -tym stanowisku zagadnienia, który należy zmaksymalizować, ma następujac a postać Funkcjał kosztu dla tego 5u, +4u, +7u,3 +6u, +7u, +3u,3 +8u 3, +u 3, +u 3,3, 6

7 zaś ograniczenia sanastępuj ace: u, + u, + u,3 =, u, + u, + u,3 =, u 3, + u 3, + u 3,3 =, u, + u, + u 3, =, u, + u, + u 3, =, u,3 + u,3 + u 3,3 = Uwzględniajac zatem naturalne ograniczenia nieujemności zmiennych u i,j,możemy badane zagadnienie zapisać w postaci następujacego zadania programowania liniowego h( 5, 4, 7, 6, 7, 3, 8,, ), (u,,,u,3,u,,, u,3,u 3,,, u 3,3 )i min u U = {u =(u,,, u,3,u,,, u,3,u 3,,, u 3,3 ) R 9 ; u, u, u, u,3 u, u, u,3 u 3, u 3, u 3,3 = } Zadanie 6 Zapisać nast epujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego Producentfarbmusiokreślić, ile litrów farby białej, zielonej, niebieskiej i czerwonej powinien wyprodukować, aby zysk osiagni etyzesprzedaży był maksymalny Do produkcji wykorzystywane sa trzy surowce: A, B i C Producent posiada 3 litrów surowca A, litrów - surowca B i 7 litrów - surowca C oraz dysponuje kapitałem 6 godzin roboczych Z przyjetych zamówień wynika,że należy wyprodukować conajmniej 5 litrów farby białej, 7

8 co najmniej 35 litrów - farby zielonej, co najwyżej 5 litrów - farby niebieskiej i nie mniej niż 75 litrów - farby czerwonej Ilości poszczególnych surowców potrzebnych do wyprodukowania litra każdej farby przedstawione sawnast epujacej tabeli (w litrach) biała zielona niebieska czerwona A,3,6,35,5 B,5,,45,55 C,45,,,3 Ponadto, wyprodukowanie litra każdej farby wymaga 5 minut pracy Zysk ze sprzedaży litra farby białej wynosi 7 zł, zielonej-6 zł, niebieskiej - 7 zł, czerwonej-5 zł Rozwiazanie Zadania 6 Symbolem u, u, u 3 oznaczaćbędziemy odpowiednio ilość (w litrach) farby białej, zielonej, niebieskiej i czerwonej, która należy wyprodukować Funkcjał kosztu dla tego zagadnienia, który należy zmaksymalizować, ma następujac a postać zaś ograniczenia sanastępuj ace: 7u +6u +7u 3 +5u 4, u 5, u 35, u 3 5, u 4 75,, 3u +, 6u +, 35u 3 +, 5u 4 3,, 5u +, u +, 45u 3 +, 55u 4,, 45u +, u +, u 3 +, 3u 4 7,, 5u +, 5u +, 5u 3 +, 5u 4 6 Uwzględniajac zatem standardowe ograniczenia nieujemności zmiennych u i,możemy badane zagadnienie zapisać w postaci następujacego zadania programowania liniowego w postaci 8

9 podstawowej h( 7, 6, 7, 5), (u,, u 4 )i min u U = {u =(u,, u 4 ) R 4 ; u,, 3, 6, 35, 5, 5,, 45, 55, 45,,, 3, 5, 5, 5, 5 u u u 3 u } Zadanie 7 Zapisać nast epujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego Hodowca krowy karmi zwierze produktami pochodzacymi z gospodarstwa rolnego Jednak ze wzgledu na konieczność zapewnienia w diecie odpowiednich ilości pewnych składników odżywczych (oznaczmy je przez A, B, C) hodowca musi zakupić raz w roku trzy dodatkowe produkty (oznaczmy je przez I,II,III), które zawieraja teskładniki Jeden kilogram produktu I zawiera 63 g składnika A i 9 g składnika B, jeden kilogram produktu II zawiera 4 g składnika B i 8 g składnika C, zaś jeden kilogram produktu III zawiera 5 g składnika A i 5 g składnika C Minimalne zapotrzebowanie zwierzecia na poszczególne składniki wynosi: 87 g składnika A, g składnika B, 45 g składnika C Każdy z produktów zawiera jednak pewne ilości szkodliwych środków konserwujacych I tak, kg produktu I zawiera 7 g tych środków, produktu II - g, produktu III - 9 g Roczne spożycie tych środków nie powinno być wieksze niż 5 g Przyjmijmy na koniec, 9

10 że kg produktu I kosztuje 35 zł, produktuii - 9 zł, aproduktuiii - 9 zł Celem hodowcy jest ustalenie ilości kupowanych produktów I,II,III tak, aby zapewnićzwierz eciu właściwadiet eijednocześnie ponieść możliwie najmniejsze koszty Równoważność zadań Zadanie 8 Zapisać zadanie o stolarzu w postaci kanonicznego zadania programowania liniowego Rozwiazanie Odpowiednie zadanie kanoniczne jest następujace: h( 5,, 6, 4,,, ), (u,u,u 3,u 4,u 5,,u )i min u U = {u =(u,,u ) R ; u, Zadanie 9 Zapisać nast epujace zadanie programowania liniowego u u 5 86 = } J(u) =u 3u 3 u 4 +5u 5 min u U = {u =(u,u,u 3,u 4,u 5 ) R 5 ; u, u 4, u 5, u +u 3, u + u 4 +3u 5, u u 3 +7u 5 =, u 7u 4 =9} w postaci odpowiedniego zadania kanonicznego

11 Zadanie Zapisać zadanie ogólne J(u) =u +u +3u 3 min w postaci zadania kanonicznego u U = {u =(u,u,u 3 ) R 3 ; u, u +u +3u 3, u + u +3u 3 u + 3 u + 4 u3 =} Zadanie Zapisać zadanie o diecie w postaci kanonicznego zadania programowania liniowego Rozwiazanie Odpowiednie zadanie kanoniczne jest następujace: h(,, 3, 36), (v,v,u,u )i min z Z = {z =(v,v,u,u ) R 4 ; z, v [368]u + [39]u = [36]} =,, 5 {z =(z,, z 4 ) R 4 ;(z,, z 4 ), v +, u +, 5 u = 5 z z z 3 z 4 = } 36, Zadanie Zapisać zadanie ogólne J(u) =3u +5u +7u 3 +9u 4 min w postaci zadania kanonicznego u U = {u =(u,u,u 3,u 4 ) R 4 ; u, u 4, u +u +3u 3 +4u 4, u +3u 3, 3u 8, u + u + 3 u3 + 4 u4 =, u + 4 u4 = }

12 3 Interpretacja geometryczna zadań programowania liniowego Zadanie 3 Rozwiazać w sposób geometryczny nastepuj ace zadanie: J(u) =u + u min Rozwiazanie u U = {u =(u,u ) R ; u, u u, u u, u + u, u 3} Zadanie 4 Rozwiazać w sposób geometryczny nastepuj ace zadanie: J(u) = u + u min u U = {u =(u,u ) R ; u, u u, u + u, u +u, u u 5}

13 Rozwiazanie Zadanie 5 Rozwiazać w sposób geometryczny nastepuj ace zadanie: J(u) =u u min u U = {u =(u,u ) R ; u, u + u, u u } Zadanie 6 Rozwiazać w sposób geometryczny nastepuj ace zadanie: J(u) = u u min u U = {u =(u,u ) R ; u, u + u, 3 u u = } Zadanie 7 Rozwiazać w sposób geometryczny nastepuj ace zadanie Wpewnymzakładziewytwarzanes aproduktyaibdoprodukcjikażdego z nich wykorzystywana jest praca trzech maszyn: M, M, M3 Maszyna M może być wykorzystana przez 4 minut, M - 4 minut, M3-7 minut Poniższa tabela podaje czas pracy każdej maszyny potrzebny do wyprodukowania jednostki każdego produktu 3

14 A B M 3 6 M 8 4 M3 9 3 Zysk ze sprzedaży jednostki produktu A wynosi 9 zł, B-6 zł Należy zaplanować produkcje tak,byzyskzesprzedaży był maksymalny Zadanie 8 Rozwiazać w sposób geometryczny nastepuj ace zadanie: J(u) = u 3u u 4 3u 5 min u U = {u =(u,u,u 3,u 4,u 5 ) R 5 ; u, u +u 4 +3u 5 =5, u + u 3 + u 4 +5u 5 =, u + u +u 4 + u 5 =} Rozwiazanie Rozważamy zadanie pomocnicze postaci D E c, A b A Au + c, u min gdzie u {u R ; u, A Au A b}, 3 5 c =(, 3, ), A =, A = 5, b = Ze wzoru na macierz odwrotna D do macierzy nieosobliwej D: D = det D [( )i+j D ij ] T (tutaj D ij jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy D przez skreslenie i-tego wiersza i j-tej kolumny) wynika, że A = 4

15 Awi ec zadanie pomocnicze jest postaci (, 3, ), (5, 5, ) (u 4 +3u 5, u 5, 3u 4 u 5 ) + (, 3), (u 4,u 5 ) = (, 6), (u 4,u 5 ) min 3 u {u =(u 4,u 5 ) R ; u, u } Rozwiazuj ac powyższe zadanie w sposób graficzny, stwierdzamy, że jego rozwiazaniem jest punkt u =( 5 7, 5 7 ) W konsekwencji, rozwiazaniem zadania wyjściowego jest punkt u =(A b A Au, u )=(, 5 7,, 5 7, 5 7 ) Zadanie 9 Rozwiazać w sposób geometryczny nastepuj ace zadanie: J(u) = u u + u 3 min u U = {u =(u,u,u 3,u 4,u 5 ) R 5 ; u, 3u u +u 3 u 4 +3u 5 =38, u + u +3u 4 u 5 =3, u u + u 3 =4} 4 Punkty wierzchołkowe Zadanie Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u =(u,u ) R ; u, 3 u + u =} 5

16 Zadanie Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u =(u,u,u 3,u 4 ) R 4 ; u, u + u +3u 3 + u 4 =3, u u + u 3 +u 4 =} Rozwiazanie Łatwo widać, że rank 3 = Niech j =, j = Kolumny A =, A = sa liniowo niezależne Ponadto, rozwiazaniem układu A v + A v = b, czyli v + v =3 v v = jest para v =, v = Zatem punkt v =(,,, ) jest nieosobliwym punktem wierzchołkowym zbioru U zbaza A, A Niech j =, j =3 Kolumny A =, A 3 = 3 sa liniowo niezależne Ponadto, rozwiazaniem układu A v + A 3 v 3 = b, czyli v +3v 3 =3 v + v 3 = jest para v =, v 3 = Zatem punkt v =(,,, ) jest osobliwym punktem wierzchołkowym zbioru U zbaza A, A 3 3 Niech j =, j =4 Kolumny A =, A 4 = sa liniowo niezależne Ponadto, rozwiazaniem układu A v + A 4 v 4 = b, 6

17 czyli v + v 4 =3 v +v 4 = jest para v =5, v 4 = < Zatem kolumny A, A 4 nie sabaz adlażadnego punktu wierzchołkowego 4 Niech j =, j =3 Kolumny A =, A 3 = 3 sa liniowo niezależne Ponadto, rozwiazaniem układu A v + A 3 v 3 = b, czyli v +3v 3 =3 v + v 3 = jest para v =, v 3 = Zatem punkt v =(,,, ) jest osobliwym punktem wierzchołkowym zbioru U zbaza A, A 3 5 Niech j =, j =4KolumnyA =, A 4 = s a liniowo niezależne Ponadto, rozwiazaniem układu A v + A 4 v 4 = b, czyli v + v 4 =3 v +v 4 = jest para v = 5, 3 v4 = 4 Zatem punkt v =(, 5,, 4 ) jest nieosobliwym punktem wierzchołkowym zbioru U zbaza A, A 4 6 Niech j =3, j =4 Kolumny A 3 = 3, A 4 = sa liniowo niezależne Ponadto, rozwiazaniem układu A 3 v 3 + A 4 v 4 = b, czyli 3v 3 + v 4 =3 v 3 +v 4 = 7

18 jest para v 3 =, v 4 = Zatem punkt v =(,,, ) jest osobliwym punktem wierzchołkowym zbioru U zbaza A 3, A 4 Zadanie Znaleźć punkty wierzchołkowe zbioru U = {u =(u,u,u 3,u 4 ) R 4 ; u, u + u 4 =, u + u 4 =3, 3u 3 =} iwskazaćichbazyrozwi azanie Łatwo widać, że rank =3 3 Niech j =, j =, j 3 =3 Kolumny A =, A =, A 3 = 3 sa liniowo niezależne (można to sprawdzić, korzystajac zpojęcia wyznacznika macierzy) Ponadto, rozwiazaniem układu A v + A v + A 3 v 3 = b, czyli v = v =3 3v 3 = jest "trójka" v =, v = 9, 6 v3 = Zatem punkt v =(, 9,, ) jest 6 osobliwym punktem wierzchołkowym zbioru U zbaza A, A, A 3 Niech j =, j =, j 3 =4 Kolumny A =, A =, A 4 = sa liniowo zależne (można to sprawdzić, korzystajac zpojęcia wyznacznika macierzy) Zatem nie sa one baza żadnego punktu wierzchołkowego zbioru U 8

19 3 Niech j =, j =3, j 3 =4KolumnyA =, A 3 =, A 4 = salin- iowo niezależne (możnatosprawdzić, korzystajac zpojęcia wyznacznika 3 macierzy) Ponadto, rozwiazaniem układu A v + A 3 v 3 + A 4 v 4 +=b, czyli v + v 4 = v 4 =3 3v 3 = jest "trójka" v = 3 <, v 3 =, v 4 =3 Zatem kolumny A, A 3, A 4 nie sabaz a żadnego punktu wierzchołkowego 4 Niech j =, j =3, j 3 =4Niechj =, j =3, j 3 =4KolumnyA =, A 3 =, A 4 = sa liniowo niezależne (możnatosprawdzić, korzystaj ac z 3 pojęcia wyznacznika macierzy) Ponadto, rozwiazaniem układu A v + A 3 v 3 + A 4 v 4 +=b, czyli v 4 = v + v 4 =3 3v 3 = jest "trójka" v = 3 >, v3 =, v 3 = Zatem punkt v =(, 3,, ) jest osobliwym punktem wierzchołkowym zbioru U zbaza A, A 3, A 4 9

20 Zadanie 3 Znależć punkty wierzchołkowe zbioru U = {u =(u,u,u 3 ) R 3 ; u, u +u +3u 3 =4, u +5u 3 =} Podać bazy znalezionych punktów wierzchołkowych Zadanie 4 Znaleźć, w oparciu o twierdzenie, punkty wierzchołkowe zbioru U = {u =(u,u,u 3 ) R 3 ; u, u + u +u 3 =, u +3u 3 =9, u +u +7u 3 =9} Rozwiazanie Łatwo widać, że rank 3 = 7 Niech j =, j = Kolumny A =, A = s a liniowo niezależne (możnatosprawdzić, korzystajac z definicji liniowej niezależności wektorów) Ponadto, rozwiazaniem układu czyli A v + A v = b, v + v = v =9 v +v =9 jest para v = 9 <, v =9 Zatem kolumny A, A nie sabaz adlażadnego punktu wierzchołkowego Niech j =, j =3 Kolumny A =, A 3 = 3 s a liniowo niezależne (możnatosprawdzić, korzystajac zdefinicji liniowej niezależności 7 wektorów)

21 Ponadto, rozwiazaniem układu A v + A 3 v 3 = b, czyli v +v 3 = v +3v 3 =9 v +7v 3 =9 jest para v = >, 5 v3 = 9 > Zatem punkt v 5 =(,, 9 ) jest nieosobliwym 5 5 punktem wierzchołkowym zbioru U zbaza A, A 3 3 Niech j =, j =3 Kolumny A =, A 3 = 3 s a liniowo niezależne 7 (możnatosprawdzić, korzystajac z definicji liniowej niezależności wektorów) Ponadto, rozwiazaniem układu A v + A 3 v 3 = b, czyli v +v 3 = 3v 3 =9 v +7v 3 =9 jest para v =4>, v 3 =3> Zatem punkt v =(, 4, 3) jest nieosobliwym punktem wierzchołkowym zbioru U zbaza A, A 3 5 Metoda sympleksowa Zadanie 5 Utworzyć tablic esympleksow adlazadania J(u) =u u +u 4 min u U = {u =(u,u,u 3,u 4 ) R 4 ; u, u 3u +4u 3 + u 4 =3, u + u u 3 =}

22 ipunktuwierzchołkowego v =( 33 5, 7 5,, ) Zadanie 6 Rozwiazać metod asympleksow a zadanie J(u) =u +u +3u 3 +4u 4 min u U = {u =(u,u,u 3,u 4 ) R 4 ; u, startujac z punktu wierzchołkowego u + u +3u 3 + u 4 =3, u u + u 3 +u 4 =}, v =(,,, ) Rozwiazanie Łatwo widać, że r = ranka = i w konsekwencji współrzednymi bazowymi punktu v sa dwie pierwsze współrzedne Zgodnie z przyj etymi wcześniej oznaczeniami mamy u =(u,u ), v =(, ), c =(, ), B = Zatem B = T =, skad γ,3 = B A 3 =, oraz γ,3 γ,4 γ,4 = B A 4 = 3 3 = c, B A 3 c3 =, 4 = c, B A 4 c4 = 7 Tablica sympleksowa dla punktu v =(,,, ) jest wiec postaci u u u 3 u 4 u 3 u 7 4

23 Łatwo widać, że dla powyższej tablicy zachodzi przypadek 3 Mamy 3 > skad I 3 = {i {, }; γ i,3 > } = {, }, min i I 3 v i γ i,3 =min{, } = Zatem k =3, s =(elementem rozwiazujacym tablicy sympleksowej jest γ,3 =) Baza kolejnego punktu wierzchołkowego bedzie układ kolumn A,A 3 Korzystajac z twierdzenia charakteryzujacego punkty wierzchołkowe znajdujemy kolejny punkt wierzchołkowy w: skad w =(,,, ) Ponadto, B = w + 3 w 3 = 3, 3 B = 4 3 i w konsekwencji T 4 4 = 3 4 4, skad oraz γ, γ 3, γ,4 γ 3,4 = B A = = B A 4 = , = c, B A c =, 4 = c, B A 4 c4 = 7 4 3

24 Tablica sympleksowa dla punktu w =(,,, ) jest wiec postaci u u u 3 u 4 u 5 4 u Łatwo widać, że dla powyższej tablicy zachodzi przypadek, co oznacza, że punkt w = (,,, ) jest rozwiazaniem zadania Zadanie 7 Rozwiazać metod asympleksow a zadanie J(u) =u u + u 4 min u U = {u =(u,u,u 3,u 4 ) R 4 ; u, u u +4u 3 + u 4 =, u + u + u 4 =}, startuj ac z punktu wierzchołkowego ν =(,,, ), wiedz ac, że jego baz a jestukład kolumn, 4 Zadanie 8 Zapisać zadanie J(u) =u +u +3u 3 +4u 4 min u U = {u =(u,u,u 3,u 4 ) R 4 ; u, u + u +3u 3 + u 4 3, u u + u 3 +u 4 =} w postaci zadania kanonicznego, rozwiazać tak otrzymane zadanie metodasympleksow a, anast epnie podać rozwiazanie zadania wyjściowego Zadanie 9 Rozwiazać metod asympleksow a zadanie J(u) =u +u +3u 3 +4u 4 min u U = {u =(u,u,u 3,u 4 ) R 4 ; u, u + u +3u 3 + u 4 =3, u u + u 3 +u 4 =}, 4

25 startujac z punktu wierzchołkowego v =(, 5 3,, 4 3 ) Zadanie 3 Sprawdzić, korzystajac z zadania pomocniczego, czy zbiór U = {u =(u,u,u 3,u 4 ) R 4 ; u, u + u +3u 3 + u 4 =3, u u + u 3 +u 4 =} jest niepusty i jeśli tak - wyznaczyć, przy pomocy metody sympleksowej, punkt wierzchołkowy tego zbioru Rozwiazanie Rozważmy zadanie pomocnicze J(z) =u 5 + u 6 min Z = {z =(u,, u 6 ) R 6 ; z, 3 z = 3 } Widać, że b = Punkt z = (,b) = (,,,, 3, ) jest punktem wierz- chołkowym zbioru Z zbaza C 5 =, C 6 = Zastosujmy więc do zadania pomocniczego metodę sympleksow a W tym przypadku r =, j =5, j =6, z =(u 5,u 6 ), v =(3, ), c =(, ), B = Zatem B =, skad γ 5, γ 6, = B C = C =, γ 5, γ 6, = B C = C =, 5

26 γ 5,3 = B C 3 = C 3 = 3, oraz γ 6,3 γ 5,4 γ 6,4 = B C 4 = C 4 = = c, B C c = h(, ), (, )i =, = c, B C c = h(, ), (, )i =, 3 = c, B A 3 c3 = h(, ), (3, )i =4, 4 = c, B A 4 c4 = h(, ), (, )i =3 Tablica sympleksowa dla punktu v =(,,,, 3, ) jest więc postaci u u u 3 u 4 u 5 u 6 u u Dla powyższej tablicy zachodzi przypadek 3 Mamy skad > I v, = {j i {5, 6}; γ ji, > } = {5, 6}, min v ji j i I v, γ ji, =min{ 3, } = Zatem k =, j s =6(elementem rozwiazujacym tablicy sympleksowej jest γ 6, =) Baza kolejnego punktu wierzchołkowego będzie układ kolumn C,C 5 Korzystajac z twierdzenia charakteryzujacego punkty wierzchołkowe znajdujemy kolejny punkt wierzchołkowy w: w + w 5 = 3, 6

27 skad w =(,,,,, ) Ponadto, B = B = i w konsekwencji T =, skad γ, γ 5, = B C =, γ,3 = B C 3 =, γ 5,3 γ,4 = B C 4 =, oraz γ 5,4 γ,6 γ 5,6 = B C 6 = = h(, ), (, )i =, 3 = h(, ), (, )i =, 4 = h(, ), (, )i =, 6 = h(, ), (, )i = Tablica sympleksowa dla punktu w =(,,,,, ) jest więc postaci u u u 3 u 4 u 5 u 6 u u 5 Dla powyższej tablicy zachodzi przypadek 3 Mamy > 7

28 skad I v, = {j i {, 5}; γ ji, > } = {5}, min v ji j i I v, γ ji, =min{ } = Zatem k =, j s =5(elementem rozwiazuj acym tablicy sympleksowej jest γ 5, =) Baza kolejnego punktu wierzchołkowego będzie układ kolumn C,C Korzystajac z twierdzenia charakteryzujacego punkty wierzchołkowe znajdujemy kolejny punkt wierzchołkowy w: w + skad w =(,,,,, ) Ponadto, B = B = w = 3, T i w konsekwencji =, skad γ,3 γ,3 = B C 3 =, γ,4 = B C 4 = 3, oraz γ,4 γ,5 γ,5 γ,6 γ,6 = B C 5 = = B C 6 =, 3 = h(, ), (, )i =, 8

29 4 = (, ), ( 3 À, ) =, 5 = (, ), (, À ) =, 6 = (, ), ( À, ) = Tablica sympleksowa dla punktu w =(,,,,, ) jest więc postaci u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 3 u Dla powyższej tablicy zachodzi przypadek Ponieważ J (,,,,, ) =, więc zbiór U jest niepusty Ponadto, ponieważ punkt z =(,,,,, ) jest rozwiazaniem zadania pomocniczego, więc punkt v =(,,, ) jest punktem wierzchołkowym zbioru U Zadanie 3 Kontrprzykład do stwierdzenia: jeśli v jest rozwiazaniem zadania, to i dla dowolnego i =,,n J(u,u,u 3 )=u + u min U = {u =(u,, u 3 ) R 3 ; u, u = } Oczywiście (,, ) jest punktem wierzchołkowym zbioru U zbaza A, A (na mocy twierdzenia charakteryzujacego punkty wierzchołkowe) Łatwo widać, że punkt ten jest rozwiazaniem zadania Tablica sympleksowa dla punktu (,, ) jest postaci u u u 3 u u, 9

30 ponieważ oraz γ,3 γ,3 = B A 3 = = 3 = h(, ), (, )i = Zauważmy dalej, że dla powyższej tablicy zachodzi przypadek 3 Łatwo widać, że k = 3, j s = W zwiazku z tym bazanowegopunktuwierzchołkowego jest układ A, A 3 Tym punktem wierzchołkowym jest punkt (,, ) Teraz tablica sympleksowa dla punktu (,, ) jest postaci ponieważ oraz u u u 3 u u 3 γ, = B A = = γ 3, = h(, ), (, )i =, co oznacza, że ma miejsce przypadek Zatem punkt (,, ) jest rozwiazaniem zadania/, Zadanie 3 Rozważmy zadanie J(u) =u +3u 5u 3 + u 4 3u 5 min u U = {u R 5 ; u, u + u 4u 3 + u 4 3u 5 =3, u 4u 3 +u 4 5u 5 =6} Utworzyć tablic esympleksow adlapunkuwierzchołkowego v =(,,, 3, ), wiedz ac, że współrzednymi bazowymi tego punktu sawspółrz edne v, v 4 Czypunktv jest rozwiazaniem zadania? Odpowiedź uzasadnić 3