Regresja liniowa. Załóżmy, że mamy pięć punktów doświadczalnych danych w tabeli: Tabela 11.1 i x i y i 1 2 2,

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Regresja liniowa. Załóżmy, że mamy pięć punktów doświadczalnych danych w tabeli: Tabela 11.1 i x i y i 1 2 2,"

Bartłomiej Górski
7 lat temu
Przeglądów:

1 Regrej low. Złóżm, że mm pęć puktów dośwdczlch dch w tbel: Tbel., Jeśl wkreślm te pukt, otrzmm Ruek.. Ruek. Wdć, że chocż pukt ą eco porozrzuce kutek, powedzm, błędów pomrowch, to jedk wrźe ukłdją ę wzdłuż protej. Śwdcz to o tm, że mm tu do cze z zleżoścą lową wzelke prób prokmow tch puktów welomem terpolcjm czwrtego top), któr mułb przez e przechodzć, e mją wękzego eu. Rówe protej m potć tępującą: = +b, gdze b to wpółczk, którch chwlowo e zm. Pozukwe prmetrów tkej protej, któr b przechodzł możlwe jblżej wztkch puktów dośwdczlch, ), poleg mmlzcj um: [ )] S, b) [ b)].) 93

2 gdze ) to wrtośc wpółrzędej oblczoej z rów protej dl dch. Różce mędz dokłdm wrtoścm orz wrtoścm oblczom z rów protej ą podeoe do kwdrtu, b ukąć możlwośc, że będą ę wzjem zoł kutek różc zków. Z tego też względu przedtwo w tm rozdzle metod potępow o zwę metod jmejzch kwdrtów. Dl dch z Tbel. welkość S będze rów: S,b)= [,5 +b)] + [ 4+b)] +[3 6+b)] +[4 8+b)] +[6 +b)] Formle rzecz borąc jet to fukcj dwóch zmech b. Itereują tke wrtośc tch zmech, dl którch S,b) jet mml. Wdomo, że fukcj welu zmech m mmum w pukce, dl którego pochode czątkowe tej fukcj po wztkch zmech ą rówe zeru, ztem w tm przpdku muzą bć pełoe wruk: czl: S,b ) S,b ) b [,5 b)]-)+[ 4 b]-4) +[3 6 b] 6) + [4 8 b]-8) +[ 6 b)]-) = orz [,5 b)]-)+[ 4 b]-) +[3 6 b] ) + [4 8 b]-) +[ 6 b)]-) = Po uprozczeu otrzmujem: b = 34 Rozwązem tego ukłdu rówń lowch ą welkośc:.) 6 + b = 89.3) = 7,5 orz b = 4,6 N Ruku. przedtwoo pukt z Tbel. orz lę protą określoą przez rówe : = 7,5* 4,6. 94

3 95 Aprokmcj dch dośwdczlch krzwm o częto mo zwę regrej. W przpdku, gd do tch dch dopowujem protą, mówm o regrej lowej. Wprowdźm terz wzor dl regrej lowej w poób ogól. Rówe l zpzm terz eco czej ż poprzedo jko: p ) = + = ) Fukcj S, ) dl dch {, ) [ =,...]} m potć: ) ), S gdze ozcz lczbę puktów. Chcąc zleźć mmum tej fukcj, mum rozwązć ukłd rówń, któr o zwę ukłdu rówń ormlch rów.) też ą ormle)..4) Po uporządkowu, otrzmm ukłd rówń:.5) z którego tchmt dotje ę ogóle wzor wpółczk defujące lę protą: Ruek. ) ) ), S ) ),), S

4 96.6) Spróbujm określć epewośc pomrowe w probleme regrej lowej. Zkłdm, że epewość w pomrch -ów jet zedbwl. Złożee to jet w peł uzdoe poewż wet jeśl jkś epewość teje, to jet o ewelk w porówu z epewoścm -ów. Dlej zkłdm, że epewośc wztkch wrtośc mją tką mą welkość jeśl tk e jet możem rtowć ę toowem różch wg tttczch). Oblczjąc odpowede średe odchlee tdrdowe błąd tdrdow) powśm uwzględć fkt, że jet oo podwżzoe z powodu błędów z jkm wlczlśm tłe. Iczej moż powedzeć, że wzczee prmetrów protej obż lczbę top wobod zego ukłdu. Zjduje to odzwercedlee w fkce, że lcząc średą dzelm przez -) zmt przez, co powoduje odpowede podwżzee wrtośc błędu. ) gdze.7) Po podtweu do wzorów.5).7) dch z Tbel. otrzmujem: = -4,6 = 7,5 =4.535 Tke me wrtośc wpółczków protej oblczlśm poprzedo, rozwązując w prot poób ukłd rówń.). Nepewośc prmetrów protej zjdujem metodm przeoze błędów, trktując te prmetr jko fukcje zmerzoch wrtośc ptrz rozdz. ). Otrzmm w te poób tępujące wzor błęd tdrdowe wzczoch prmetrów orz :.8) gdze welkość jet średm tdrdowm odchleem od protej zdefowm wzorem.7).

5 Ztoowe tch wzorów do dch z Tbel. dje: 4,35395 ;, Po wkreśleu puktów dch w Tbel. Ruek.) ocelśm oko, że ą oe powąze zleżoścą lową. W prktce tego tpu oce rczej e wtrcz dltego oblcz ę tzw. wpółczk korelcj, którego wrtość jet mrą korelcj mędz zmem. Jeśl wpółczk te jet blk ozcz to, że welkośc ą dobrze korelowe lub cłkowce, gd wpółczk jet rów ), co ozcz, że mędz tm zmem prwdopodobe teje jkś zleżość fukcją. W przpdku regrej lowej wpółczk te o oczwśce zwę wpółczk korelcj lowej oblcz ę go zgode ze wzorem: r.9) Wzór te podjem w potc jlepej djącej ę do oblczeń umerczch. Wrto jedk przjrzeć mu ę blżej, b zrozumeć jego e. Pokż, że wrżee: w którm śred wrtość jet: moż przekztłcć do potc: Po podtweu do wzoru.9) dch z Tbel. otrzmujem r =,976. Zmee ą ztem dobrze korelowe złożee, że ą powąze zleżoścą lową, jet uzdoe. 97

6 Omówoe wżej prmetr regrej lowej oprócz mch wpółczków orz ) zw ę tttkm.. Regrej low w Ecelu Ecel wpożo jet w rzędz fukcje tttcze łużące do oblczeń zwązch z regreją lową wkłdczą. Jede ze poobów zbkego uzk wrtośc wkjącch z regrej lowej lub wkłdczej poleg wbru obzru komórek zwerjącch de ewetule plu dodtkowe komórk polece Nrzędz główe / Edcj / Wpełee / Sere dch..., zzczć pole wboru Tred, Werze lub Kolum, Artmetcz lub Geometrcz. Progrm zme de wrtośc wrtośc leżące protej pute komórk wpeł tępm wrtoścm leżącm tej protej. Oto tbelk wkre zrobo w oprcu o tę tbelkę I6:K8) dl regrej lowej: de ą wpe w komórk I6:K7. Obok M6:Q8) pokzo te me oblcze wkoe prz pomoc fukcj tttczch: W komórkch M8:N8 ztoowo formułę tblcową REGLINP, w komórkch O8:Q8 formułę tblcową REGLINW. W Ecelu mm do regrej lowej jezcze jedą formułę tblcową REGLINX, orz tępujące formuł dzłjące jedej komórce: REGBŁSTD lcz ), NACHYLENIE lcz ), ODCIĘTA lcz ), WSP.KORELACJI lcz r), 98

7 PEARSON lcz r), R.KWADRAT lcz r ), orz KOWARIANCJA lcz ). Ntęp przkłd pokzuje ztoowe ektórch z ch. Fukcj REGLINP może lczć ż prmetrów, w przkłdze wbro tlko 6. Arkuz. W kolumch B C Arkuz. zjdują ę de z Tbel., w kolumch D, E, F oblczoo odpowedo kwdrt locz orz. W kolume G mm wrtośc oblczoe z rów protej dl kolejch, w kolume H kwdrt ptrz wzór.7)). W kolume B od werz 9 do 4 ą wpółczk protej orz część tttk regrej oblczoe podtwe wzorów.6.9). W komórkch od 9-ej do -tej kolum E oblczoo poowe część tch welkośc z użcem odpowedch fukcj Ecel. Wróżo w komórkch D4:E6 tbelk jet mcerzą zwerjącą wk dzł fukcj REGLINP. Jk zwze, gd mm do cze z fukcją djąc wk w potc mcerz, jperw leż zzczć komórk, w którch mją ę zleźć wk, wwołć fukcję, zdć jej prmetr, tępe cąć jedocześe klwze Shft, Ctrl orz Eter. Fukcj REGLINP oblcz węcej tttk ż pokzo w Arkuzu., le tm etpe ogrczlśm ę tlko do tch, które omówoo wżej. Nleż róweż dodć, że w wku dzł tej fukcj otrzmujem kwdrt wpółczk korelcj lowej, e m wpółczk,98797 =,976). Regreję lową touje ę róweż do zleżośc wrżoch fukcją wkłdczą, poewż logrtmując rówe wkłdcze otrzmujem rówe protej. Jet to wże 99

8 ztoowe regrej lowej, bowem zleżośc wkłdcze ą powzeche w fzce, chem bolog. Pokżem jk to ę rob przkłdze rozpdu jąder promeotwórczch Rozdzł 9). Rozwąze rów opującego rozpd moż zpć jko: N t N e gdze jet średm czem żc zwązm z okreem połowczego zku relcją: Po zlogrtmowu mm: t T / =,693 l N t l N gdze zmeą jet oczwśce t, czl cz. Wobec tego prmetrm protej będą ln orz /. W tbelce zmezczm odpowede oblcze dl dch umezczoch w dwóch perwzch kolumch. Są to: cz p. w godzch orz zbkość zlcz rozpdów w jedotkch umowch. Wkre zrobo jet w oprcu o zzczoe kolum. W zzczoej zro komórce zjduje ę wlczoe jlepze przblżee średego czu żc wkjące z metod regrej lowej. t 3,,, ep.lnt) teoret.lnt), 3 4

Podobne dokumenty

Załóżmy, że mamy pięć punktów doświadczalnych danych w tabeli: Tabela 11.1 i x i y i 1 2 2, Rysunek 11.

Załóżmy, że mamy pięć punktów doświadczalnych danych w tabeli: Tabela 11.1 i x i y i 1 2 2, Rysunek 11. Regrej low. Złóżm, że mm pęć puktów dośwdczlch dch w tbel: Tbel.,5 4 3 6 3 4 8 4 5 6 Jeśl wkreślm te pukt, otrzmm Ruek.. 7 6 5 4 3 4 6 8 Ruek. Wdć, że chocż pukt ą eco porozrzuce kutek, powedzm, błędów