Statystyka. Metody analizy korelacji i regresji

Transkrypt

1 Sttstk Metod lz korelcj regresj

2 Bd stop keruku zleżośc różch zjwsk gd steje przpuszczee o stee węz przczowej łączącej te zjwsk jest jedm z czelch zdń kżdej dscpl ukowej Alz współzleżośc może dotczć zrówo cech merzlch, jk cech jkoścowch Zwązek korelcj chrkterzuje sę tm, że kokretm wrtoścom jedej zmeej odpowdją ścśle określoe wrtośc średe drugej zmeej Zwązk mędz zmem mją chrkter low lub elow, co moż stwerdzć, gd formcje o dwóch zmech X Y zostą esoe w postc puktów wkres korelcj Obserwując wkrese korelcjm rozrzut tzw puktów emprczch (, ) moż rozróżć, cz wstępuje korelcj dodt, cz też ujem (względe jej brk)

3 Korelcj dodt wstępuje wted, gd wzrostow (spdkow) wrtośc jedej zmeej towrzsz wzrost (spdek) wrtośc średch drugej zmeej Z korelcją ujemą mm do cze wted, gd wzrostow (spdkow) wrtośc jedej zmeej towrzsz spdek (wzrost) wrtośc średch drugej zmeej Zupeł brk korelcj wstępuje wówczs, gd wzrostow (spdkow) wrtośc jedej zmeej odpowdją przecęte zerowe wzrost (spdk) drugej zmeej Im słow, zm jedej zmeej e wwołują zm drugej zmeej Bde zwązków korelcjch jest uzsdoe tlko w przpdkch, gd mędz bdm zmem steje węź przczow

4 Stosując lzę regresj otrzmujem formcję, jkej przecętej wrtośc zmeej zleżej leż sę spodzewć, gd wrtość zmeej ezleżej wzrośe lub obż sę o jedostkę Ztem lz regresj przedstw mechzm dzł bdch zjwsk, zś lz korelcj dje obrz sł zwązku mędz tm zjwskm Zwkle też bd korelcje poprzedzją lzę regresj

5 Isteje prost sposób pozwljąc oceć słę rodzj zleżośc wstępującej mędz dwom cechm sttstczm X Y Zkłdjąc, że dspoujem relzcjm zmeej X -(,,, ) orz Y - (,,, ), moż wzczć wrtość oce współczk korelcj lowej posługując sę wzorem: r ( )( ) ( ) ( )

6 gdze: Wzór te moż zpsć róweż w postc: cov( X, Y ) r, ( X, Y ) cov Kowrcję dwóch zmech X Y moż otrzmć tkże w stępując sposób: cov czl kowrcj zmech X, Y jest różcą mędz średą loczów zmech loczem ch średch s s ( X, Y ) ( )( ),

7 Współczk korelcj lowej przber wrtośc z przedzłu [-,] Gd r - lub r, wówczs medz zmem X Y zchodz zleżość fukcj (rozrzut puktów emprczch ukłd sę wkrese korelcjm l prostej) Gd r 0, bde cech są eskorelowe, czl e wstępuje medz m żd węź Może sę zdrzć, że r 0 róweż wted, gd mędz zmem X Y zchodz zleżość fukcj krzwolow (p przpdek zleżośc tpu ) Wówczs przpdek tk możem zuwżć wcześej sporządzom wkrese korelcjm

8 W prktce bdń sttstczch wrtośc współczk korelcj lowej ezwkle rzdko osągją -, 0 lub Gd r >0,9, mów sę o brdzo slej zleżośc łączącej cech X Y Gd r <0,, stwerdz sę ogół, że brk jest zwązku mędz bdm cechm Jeśl zś r <0,, 0,9>, to w zleżośc od lczb elemetów prób, woskuje sę o umrkowej, względe zczącej zleżośc łączącej obe zmee э

9 Współczk korelcj rg Sperm, zw czej współczkem korelcj kolejoścowej, stosow jest w dwóch grupch zgdeń: ) gd obe cech są merzle lecz zborowość jest mło lcz, b) gd obe, względe jed z cech m chrkter jkoścow jest możlwość ustle w kolejośc poszczególch obektów lz względem tęże tch cech

10 Współczk korelcj kolejoścowej oblczm według wzoru: r S d ( ), gdze d ozczją różce mędz rgm odpowdjącch sobe wrtośc cech cech (,,, ) Oblcze rozpoczm zwkle od uporządkow wjścowch formcj według rosącch (lub mlejącch) wrtów jedej z cech Uporządkowm wrtoścom zmech djem stępe umer kolejch lczb turlch Czość t zw sę rgowem Rgowe może sę odbwć od jwększej do jmejszej wrtośc lub odwrote (sposób rgow mus bć jedkow dl obdwu zmech) 6

11 W przpdku, gd wstępują jedkowe wrtośc relzcj zmech, przporządkowujem m średą rtmetczą oblczoą z ch kolejch umerów Mów sę wówczs o wstępowu tzw węzłów Jedkowe rg wrtośc bdch zmech (lub ogół jedkowe) śwdczą o steu dodtej korelcj mędz zmem Ntomst przecwstw umercj sugeruje stee korelcj ujemej Współczk korelcj rg przjmuje wrtośc z przedzłu [-, ], jego terpretcj jest detcz jk współczk korelcj Perso

12 W bdch sttstczch ejedokrote zchodz koeczość ustl skojrzeń (socjcj, kotgecj) mędz dwem cechm X Y, z którch obe (lub przjmej jed) mją chrkter jkoścow W tkm przpdku budujem tblce welodzele o określoej lczbe wersz kolum, w którch zmeszczm lczebośc poszczególch wrtów cech ( e ch wrtośc) Lczb kolum wersz w tkch tblcch, jk róweż specfkcj ktegor cech zleżą od deczj bdcz

13 Njprostszą tblcą welodzelą jest tblc, tj o dwóch werszch dwóch kolumch Schemt tkej tblc przedstw sę stępująco: X + - Y + - Rzem c b d +b c+d Rzem +c b+d Użte w tej tbel smbole ozczją: - lczb jedostek posdjącch cechę X cechę Y, b- lczb jedostek posdjącch cechę X, e posdjącch cech Y, c- lczb jedostek posdjącch cechę Y, e posdjącch cech X, d- lczb jedostek e posdjącch żdej z bdch cech

14 Współczk te służ do bd sł zwązku dwóch cech jkoścowch, z którch kżd m dw wrt Wrż o zleżość φ od χ Zleżość tę moż określć stępująco: lub, χ ϕ χ χ ϕ lub ϕ Jk wk z powższego wzoru, w celu oblcze współczk φ ezbęd jest zjomość sttstk χ Dl tblc o wmrch steje sposób bezpośredego oblcz współczk φ: ϕ d bc ( + b)( + c)( b + d )( c + d ) Użte smbole są zgode z wstępującm w ogólm schemce tblc czteropolowej

15 Współczk określo wcześejszm wzorem może, teoretcze, przjmowć wrtośc z przedzłu od - do + W przpdku ezleżośc zmech φ0 Współczk φ osąg wrtość - lub + tlko w przpdku, gd d0 lub bc0 W ch przpdkch współczk e osąg wrtośc krńcowch ±, wet prz brdzo slm zwązku cech Nleż zwrócć uwgę, że zk współczk φ w przecweństwe do merków korelcj cech loścowch e formuje o keruku zleżośc, gdż zleż od sposobu uporządkow wrtów cech w tblc czteropolowej Dltego terpretcję ścsłośc zwązku zchodzącego mędz bdm zmem jkoścowm leż operć wrtośc bsolutej współczk φ

16 Współczk te przber wrtośc z przedzłu [0, ] Zleżość rozptrwch cech jest tm slejsz m V jest blższe jedośc Współczk V Crmer jest zdefow stępująco: V χ m ( r, k ) m( r, k ), gdze r jest lczbą wersz, k lczbą kolum Jk wk z wzoru, współczk Crmer jest oprt lbo χ, lbo φ ϕ

17 Współczk te róż sę od omwch wcześej merków tm, że może bć stosow prz tblcch welodzelch dowolej welkośc (jmejsz lczb pól wos 4) dowolej form (prostokątch lub kwdrtowch) Wrtość współczk C Perso oblczm ze wzoru: gdze: ϕ ϕ χ χ + + C r s j j j j χ

18 Teoretcze współczk C może przjmowć wrtośc z przedzłu lczbowego od 0 (cech są wówczs ezleże) do (gd lczb pól w tblc wzrst do eskończoośc) Kres gór współczk C zleż od lczb wersz kolum w tblc welodzelej Im wersz kolum jest węcej, tm wrtość C jest wższ Dltego też otrzmą z oblczeń wrtość współczk C leż rozptrwć w stosuku do jego wrtośc mksmlej dl dej tblc welodzelej W przpdku tblc kwdrtowej: Dl tblc prostokątch: C m C m k + k k, k r r

19 Współzleżość medz zmem może wstępowć w dwóch odmch: fukcjej (determstczej) stochstczej W śwece zjwsk społeczo-ekoomczch przrodczch mm jczęścej do cze ze współzleżoścą tpu stochstczego (probblstczego) Do pomru sł tej współzleżośc wkorzstujem współczk korelcj Ntomst rzędzem pozwljącm bdć mechzm powązń mędz różm zjwskm (co do którch steje przpuszczee o zwązku przczowm) są fukcje regresj Fukcje te moż podzelć lowe elowe Njprostszm jczęścej wkorzstwm rzędzem bd współzleżośc wstępującch medz dwom zjwskm jest fukcj low z jedą zmeą ezleżą

20 Fukcj regresj Y względem zmeej X przber postć: α + α + ξ,,, 0 Fukcję regresj X względem zmeej Y moż przedstwć stępująco: β + β + ε,,,, 0 gdze: lczb obserwcj (lczebość prób), α 0, α, β 0, β - prmetr rówń regresj, ξ, ε -skłdk losowe obu rówń

21 Metod jmejszch kwdrtów poleg tkm oszcowu prmetrów α 0, α fukcj f ( ) α 0 + α + ξ, b dl dch z prób wrtośc (, ),,,,, wrżee S + + ξ, 0 osągęło mmum Wrżee powższe jest fukcją dwóch zmech 0 Zgdee sprowdz sę ztem do zleze mmum fukcj kwdrtowej dwóch zmech Wrukem koeczm ste ekstremum jest zerowe sę pochodch cząstkowch

22 Pochode cząstkowe fukcj względem 0 są stępujące: Przrówując pochode cząstkowe do zer orz dokoując odpowedch lgebrczch przeksztłceń otrzmujem stępując ukłd rówń: ( )( ) ( )( ), S S + +, 0 0

23 Ukłd te m rozwąze: Wrżee to moż przedstwć w prostszej postc, mowce: + +, 0 0 ( )( ) ( ), 0

24 Postępując logcze w przpdku lowej fukcj regresj X względem Y otrzmm stępujące wzor estmtor b 0 b prmetrów β 0 β fukcj regresj: ( )( ) ( ), 0 b b b

25 W celu zleze wspólej mr sł współzleżośc mędz zmem X Y leż oblczć średą dwóch współczków regresj Poewż współczk regresj są welkoścm względm, leż zstosowć średą geometrczą Śred geometrcz ze współczków regresj jest współczkem korelcj lowej: r b Współczk korelcj oblczo z pomocą powższego wzoru przjmuje tk sm zk, jk mją współczk regresj Współczk regresj b oblczoe z kokretch formcj wjścowch mją zwsze jedkowe zk

26 Współczk regresj dl lowch fukcj regresj z jedą zmeą objśjącą moż róweż oblczć metodą pośredą Metod t oper sę odpowedej relcj mędz współczkem korelcj lowej odchlem stdrdowm bdch cech, mowce: orz r b r s s s s

27 Po oszcowu rówń regresj otrzmujem różce mędz rzeczwstm teoretczm wrtoścm, czl tzw reszt Reszt odpowdjąc -tej obserwcj wrż sę węc wzorem ) et t t, u t t ˆt, ( t,,, ) Oce wrcj skłdk losowego wrż sę wzorem se ( ˆ ) su ( ˆ ) k t k t gdze k ozcz lczbę szcowch prmetrów Welkość t określ sę często jko wrcję resztową, jej perwstek kwdrtow mów, o le przecęte odchlją sę poszczególe obserwcje zmeej objśej od ch wrtośc teoretczch oszcowch podstwe rów regresj

28 0

29 W celu oce dopsow fukcj regresj do puktów emprczch jczęścej stosuje sę współczk φ : ϕ ϕ t t t t ( ˆ ) ( ) Współczk determcj R moż otrzmć stępująco: R ϕ Ob współczk przjmują wrtośc z przedzłu [0,] ( ˆ ) ( ),

30 Dzękuję z uwgę