2. Wartości własne i wektory własne macierzy

Transkrypt

1 Wartośc włase wektory włase macerzy Wprowadzee Dzałaa a modelach opsuących układy welowymarowe są zazwycza prowadzoe z zastosowaem poęć dotyczących algebry lowe, gdze podstawowym elemetam są: wektor oraz macerz Przez -wymarowy wektor rozume sę układ lczb (ogóle zespoloych) ustawoych w kolumę (wektor kolumowy) lub wersz (wektor werszowy): b b b - wektor kolumowy, c [ c c L c ] - wektor werszowy M b Macerzą m est tablca prostokąta zaweraąca m elemetów macerzy: a a a a a a M M M am am am Wektory p, q o współczykach rzeczywstych są ortogoale (prostopadłe) eśl zachodz rówość: p q, a poadto są uormowae, eśl: p p Kwadratowa macerz ortogoala charakteryzue sę astępuącym właścwoścam: Q Q QQ I, Q Q () skąd wyka, że macerz ortogoala est eosoblwa Macerz o elemetach zespoloych (macerz zespoloa) może być zapsaa w astępuące forme: Re( ) Im( ) U V () Dla macerzy {a } defowaa est macerz sprzężoa o postac: * { a * }, gdze symbol * ozacza operacę sprzężea zespoloego Macerz est hermtowska eśl zachodz rówość: * Odpowedkem zespoloym macerzy ortogoale est macerz utara: * * Q Q QQ I W ektórych publkacach macerz sprzężoą ozacza sę górym deksem H (od azwska Hermte) Charles Hermte (8-9), fracusk matematyk

2 6 Metody umerycze w techce Suma elemetów stoących a przekąte macerzy est azywaa e śladem: ( ) tr () a Macerzą dołączoą ad macerzy kwadratowe est macerz powstała przez zastąpee każdego elemetu a macerzy traspoowae odpowadaącym mu dopełeem algebraczym D []: D ) M ( () gdze M est morem macerzy, który est wyzaczkem macerzy powstałe przez wykreślee -tego wersza oraz -te kolumy z macerzy Przykład Określć macerz dołączoą macerzy : 7 6 Wykouemy kolee krok zgode z podaą defcą 7 7 7, D, D, D, D D, D, D, D, D Zatem: D D D ad D D D 6 6 D 7 D D Warto przypomeć, że z macerzą dołączoą zwązaa est macerz odwrota: det ad () dla det W powyższym przykładze det 9 oraz: ad Łatwo sprawdzć, że: - I Jeśl est macerzą kwadratową, to operaca: w (6) Od agelskego termu adot

3 Wartośc włase wektory włase macerzy 7 może być traktowaa ako przekształcee wektora w wektor w, przy czym, oba wektory maą te sam wymar Macerz w tym zwązku peł rolę operatora przekształcea W ogólym przypadku, wektory w w (6) różą sę kerukem, zwrotem oraz długoścą Ilustrue to astępuący przykład Przykład Określć rezultat przekształcea (6) dla astępuących parametrów: 7, Łatwo sprawdzć, że w wyku przekształcea (6) otrzymamy: w Położee obu wektorów względem początku układów est pokazae a rys a Ich wzaema relaca wyka z operatora przekształcea (macerzy ) L Rys Grafcza lustraca położea rozpatrywaych wektorów Ważym przypadkem est tak dobór wektora, aby w rezultace przekształcea (6) otrzymać wektor proporcoaly: w λ, (7) gdze współczyk proporcoalośc λ est azyway wartoścą własą, a wektor wektorem własym macerzy, zwązaym z wartoścą własą λ [] W takm wypadku oba wektory w (6): w oraz maą te sam keruek, atomast mogą sę różć zwrotem długoścą (w zależośc od zaku wartośc współczyka λ) Rozpatrywaa macerz ma dwa take rozwązaa: 7 / 9 dla λ oraz dla λ Odpowadaą m wektory w spełaące rówaa (6) (7): 7 / 9 w λ oraz w λ (rys b) Sposób wyzaczaa wartośc własych wektorów własych dae macerzy kwadratowe oraz aalza wypływaących stąd właścwośc operac (6) est główym przedmotem rozważań w dalsze częśc eszego rozdzału Wartośc włase weloma charakterystyczy macerzy Przekształcee (6), spełaące waruek (7) ma astępuącą formę:

4 8 Metody umerycze w techce λ (8) gdze est macerzą kwadratową, atomast λ est skalarem Problem określea wartośc współczyka λ oraz zwązaego z m wektora os azwę zagadea wektora wartośc włase macerzy lub króce: zagadea własego Przeosząc składk rówaa (8) a edą stroę otrzymamy astępuącą edorodą postać tego rówaa: ( I) ( λi ) λ (9) Rówae to ma oczywste (trywale) rozwązae: Ne est to edak rozwązae cekawe, gdyż a ego wyk e maą wpływu pozostałe elemety rówaa Okazue sę, że etrywale rozwązae (9) stee wówczas, gdy macerz : λi est osoblwa [], [8]: ( I) det λ () Waruek () prowadz do teresuącego wosku, że prawa stroa (9) pozostae rówa zeru pommo tego, że: Perwastk rówaa () są wartoścam własym macerzy, podczas gdy est wektorem własym te macerzy Wektor także speła rówae (8), edak est to właśe rozwązae trywale, a odpowadaący mu wektor e est wektorem własym macerzy Łatwo sprawdzć, że zależość () przedstawa weloma stopa względem zmee λ: ( λi) p( λ) d λ d λ d λ d det, () Jest to tzw weloma charakterystyczy macerzy Współczyk tego welomau są zwązae z charakterystykam macerzy : wyraz woly est rówy wyzaczkow macerzy (d det()), atomast współczyk stoący przy λ - est rówy śladow macerzy (d - tr()) Łatwo także sprawdzć, że współczyk stoący przy awyższe potędze λ est rówy dla parzystego rozmaru macerzy, oraz dla rozmaru eparzystego: d ( ) W ogólym przypadku perwastk welomau charakterystyczego mogą być welokrote, co wyka z loczyowe formy reprezetac (): m m m ( ) ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) k p( λ) L, () k przy czym: m m L mk, m krotość -tego perwastka W dalsze aalze ograczamy rozważaa do przypadków, gdy macerz kwadratowa ma poedycze wartośc włase Wosk stąd płyące daą sę rozszerzyć także a przypadek welokrotych perwastków welomau charakterystyczego (), edak algorytmy oblczeowe są bardze złożoe [6], [8] Na podstawe () wdać, że perwastk welomau charakterystyczego macerzy są wartoścam własym te macerzy Poadto, wyzaczk macerzy est rówy loczyowy e wszystkch wartośc własych: W rówau edorodym po ede stroe zaku rówośc występue zero

5 Wartośc włase wektory włase macerzy 9 ( ) det λ, () atomast suma wartośc własych macerzy est rówa śladow te macerzy: ( ) tr λ () Właścwość () stae sę oczywsta, gdy rozpszemy zależość (): a λ a a λ a det( λi) () M M M a a a a a λ Przykład Określć wartośc włase macerzy : Stosuąc () otrzymamy: 7 6 λ 7 λ λ 6 λ λ λ 9 Perwastk otrzymaego welomau (a węc także wartośc włase macerzy ) są astępuące: λ 8,999, λ 6 67, λ 6 Moża sprawdzć, że: det() λ λλ -9, tr() λ λ λ, co est także rówe sume elemetów leżących a przekąte orygale macerzy Wracaąc do opsu właścwośc zagadea własego warto zazaczyć, że zbór wartośc własych dae macerzy est azyway spektrum te macerzy Każda macerz, ma wartośc własych, lczoych zgode z ch krotoścą - () Jeśl (8) est spełoe dla wartośc włase λ : λ, (6) to wektor est wektorem własym macerzy przyależym do wartośc włase λ, co tworzy parę: λ, zatem, wektor własy przyależy do wartośc włase λ speła rówae (9): ( I) ( λ I ) λ, (7) przy czym, odrzucamy rozwązae trywale: Przykład Zaleźć wartośc włase wektory włase macerzy: 6

6 Metody umerycze w techce Wartośc włase oblczamy z rówaa: λ det( λi) ( )( ) 8 6 λ λ λ Weloma charakterystyczy ma astępuącą postać: ( λ )( λ ), λ, λ Dla perwsze wartośc włase (λ ) rówae () est astępuące: ( λ I) 6 6 6, skąd: ; 6 6 ; t t Wdać, że powyższe rówaa są spełoe dla każdego wektora [ ] wektora własego e est węc edozaczy Podobe, dla λ otrzymamy: ( λ I) 6, skąd: 6 ; 6 ; t t, t co dae: [ ], t Wybór Wdać, że wektory włase moża określć z dokładoścą do stałego czyka Zazwycza edak podae sę uormowaą wartość wektora, zakładaąc, że: x lub x, (8) gdze: x max( x ) - orma maksmum, x x x x - orma kwadratowa (eukldesowa) Operaca ormalzac według ormy eukldesowe przebega zgode z zależoścą: : (9) / Wektory włase moża także określć a podstawe macerzy dołączoe ( λ I) ad macerzy λ I (): kolumy macerzy [ λi] ad λ λ są wektoram własym macerzy zwązaym z wartoścą własą λ [] Procedurę tę lustrue koley przykład Przykład Określć wartośc włase wektory włase macerzy: Rówae charakterystycze: det( λi) ( λ)(( λ) 9) ma astępuące perwastk: λ, λ, λ Wektory włase określmy przez oblczee macerzy dołączoych:

7 Wartośc włase wektory włase macerzy ( λi) ad [ ( λ ) ( λ ) ( λ )] λ λ ad Spośród tych trzech wektorów tylko (λ ) e est zerowy, węc () [ ] Dla druge wartośc włase otrzymamy: ( λi) ad 9 9 [ ( λ ) ( λ ) ( λ )] λ λ 9 9 ad W tym przypadku każdy z wektorów może być wybray ako wektor własy skoarzoy z wartoścą własą λ Dla trzece wartośc włase mamy: ( λi) ad 9 9 [ ( λ) ( λ) ( λ) ] λ λ 9 9 ad akże w tym przypadku w charakterze wektora własego moża wybrać dowoly wektor spośród (λ ), (λ ), (λ ) Moża zauważyć, że poszczególe wektory włase skoarzoe z tą samą wartoścą własą są take same z dokładoścą do stałe Na przykład: ( λ) a( λ), gdze a ; λ ) b ( ), gdze b ( λ Powyższe przykłady pokazuą sposób rozwązaa zagadea własego macerzy Moża go uąć w astępuący algorytm: - Określć weloma charakterystyczy p(λ) macerzy () - Wyzaczyć perwastk welomau charakterystyczego: p(λ) - Dla każde wartośc włase wyzaczyć odpowadaący e wektor własy, będący etrywalym rozwązaem rówaa eedorodego (7) lgorytm te moża stosować edye do zadań o małych rozmarach macerzy Zaych est wele efektywych algorytmów rozwązywaa zagadea własego, które moża z powodzeem stosować do rozwązywaa zadań o dużych rozmarach Szczegółowy ch ops moża zaleźć w lteraturze przedmotu [], [], [6] Odpowadaące m programy wchodzą w skład zaych paketów oblczeowych [8], [], [] Dagoalzaca macerzy Z zagadeem wartośc własych łączy sę problem podobeństwa macerzy Jeśl w (8) wektor zostae zastąpoy przez wektor y V -, gdze V est macerzą eosoblwą, to otrzymamy: By λy, B V V, () przy czym wartośc włase obu macerzy podobych są edakowe [] Jedocześe, eśl est wektorem własym przyależym do wartośc włase λ, to wektor y V - est wektorem własym macerzy B przyależym do te same wartośc włase λ

8 Metody umerycze w techce Przekształcee () est azywae przekształceem podobeństwa, w którym macerze B są podobe Jeśl macerz V est macerzą ortogoalą (utarą) (), to podobeństwo () azywamy podobeństwem ortogoalym Każda macerz symetrycza może być przekształcoa za pomocą podobeństwa ortogoalego do postac dagoale (przekątoścowe), w które przekąta est utworzoa z wartośc własych macerzy: V V Λ dag λ, λ,, ), () ( λ gdze macerz przekształcea V (zwaa także macerzą modalą) est utworzoa z wektorów własych macerzy : [ L ] V () Wyłączaąc w () macerz otrzymamy: λ [ L ] [ L ] V Λ V M λ M L L O L M λ, () co est azywae rozkładem macerzy względem e wartośc własych, przy czym est wektorem własym macerzy zwązaym z e wartoścą własą λ Warukem stea przekształcea () est eosoblwość macerzy V Jest to spełoe, eśl wektory włase macerzy są ezależe: [ ] det( V) det( L ) () Zależość () est spełoa, eśl wektory włase,,,, macerzy przyależą do różych wartośc własych Na podstawe powyższe aalzy wdać, że rozkład macerzy według e wartośc własych może być stosoway do określea operatora przekształcea te macerzy do postac dagoale Przykład 6 Określć operator, który przekształca macerz z Przykładu : do postac dagoale W Przykładze określoe zostały wektory włase macerzy Wyberzmy astępuący komplet tych wektorów: (λ ) [ ], (λ ) [ ], (λ ) [ ] Macerz ależy utworzyć z wymeoych wektorów własych odpowadaących różym wartoścom własym Poeważ te wektory są określoe z dokładoścą do stałe, węc moża e zormalzować, co dae astępuącą macerz trasformac ortogoale: ( λ ) ( λ ) ( λ),,,,,,,,,,, Moża sprawdzć, że:

9 Wartośc włase wektory włase macerzy λ Λ λ λ Powyższe oblczea moża łatwo przeprowadzć posługuąc sę programem MLB: [,D]eg(); gdze, D Λ (wcześe ależy zadeklarować macerz ) W rezultace otrzymamy astępuące macerze:,9 Λ,,77,77,86,77,77,9 Wdać, że wartośc włase są podae w e koleośc, zaczyaąc od wartośc awększych co do modułu o spowodowało odpowedą zmaę koleośc wektorów w macerzy W stosowae tu procedurze wektory włase są uormowae według ormy kwadratowe, co obawa sę także w ych wartoścach poszczególych elemetach macerzy (suma kwadratów współczyków poszczególych wektorów własych est rówa ) Jak wdać, podstawowe relace pozostaą edak zachowae alzuąc wyk Przykładu 6 moża zauważyć, że dagoalzaca rozpatrywae macerzy rzeczywste wymaga stosowaa operatora w postac macerzy zespoloe Wyka to stąd, że wartośc włase są w tym przypadku zespoloe Pod tym względem zacze korzystesze właścwośc maą symetrycze macerze rzeczywste Dowodz sę, że wartośc włase rzeczywstych macerzy symetryczych są zawsze rzeczywste a zatem, rozkład takch macerzy według wartośc własych est także rzeczywsty [], [] Poadto, wektory włase odpowadaące różym wartoścom własym są wzaeme ortogoale W takm wypadku moża zatem stosować zależośc () () Jeśl macerz V est macerzą ortogoalą (utarą) (), to podobeństwo () azywamy podobeństwem ortogoalym Każda macerz symetrycza może być przekształcoa za pomocą podobeństwa ortogoalego do postac dagoale (przekątoścowe) według (), w które przekąta est utworzoa z wartośc własych macerzy, przy czym: V V, () co est rówoważe zależośc: V V I Wektory włase tworzące macerz V są w tym przypadku ortoormale: I oraz Wyłączaąc w () macerz otrzymamy: V Λ V λ λ L λ (6) M λ [ ] Wdać, że rozkład symetrycze rzeczywste macerzy względem e wartośc własych e wymaga odwracaa macerzy przekształceń, a procedura oblczaa

10 Metody umerycze w techce par: λ, est zazwycza zacze prostsza ż w przypadku macerzy esymetryczych [], [] Przykład 7 Określć operator V, który przekształca astępuącą macerz : do postac dagoale Zauważmy, że est macerzą rzeczywstą symetryczą Określamy rówae charakterystycze: det( λi) λ λ λ Wartośc włase są astępuące: λ, λ 68,, λ 8, Wektory włase moża określć przez rozwązae rówań (7) dla oddzelych wartośc własych, przy czym, poszukwaym welkoścam są wektory włase zwązae z tym wartoścam a λ Rówae (7) ma astępuącą postać: ) ( I λ, skąd otrzymuemy:,, Wydzelaąc z perwszego rówaa, po wstaweu do trzecego, otrzymamy astępuący układ rówań:, które są sobe rówoważe Jedą z występuących tam zmeych ależy zatem wybrać dowole Zakładaąc, otrzymamy: - oraz - W te sposób otrzymalśmy wektor własy dla λ : [ ] b λ Postępuemy podobe, ak w poprzedm pukce: ) ( I λ, skąd otrzymuemy:,,

11 Wartośc włase wektory włase macerzy Zów, zakładaąc, otrzymamy: ( ) oraz otrzymalśmy wektor własy dla λ : ( ) W te sposób c λ Dzałaa podobe ak w poprzedch dwóch puktach prowadzą do astępuące wartośc W te sposób określoa została macerz trasformac V, przedstawaąca rozkład macerzy według wartośc własych:,,7, V [ ],6 6,,, Poszczególe wektory włase w powyższych oblczeach e są uormowae Normalzaca polega a wykoau skalowaa zgode z (9) wszystkch wektorów własych Uormowaa macerz trasformac est astępuąca: wektora własego dla λ : ( ),6,76,76 V [ ],7,6,6,6,76,76 Moża zauważyć, że zamaa dwóch perwszych kolum prowadz do symetrycze postac te macerzy, która est z pewoścą korzystesza Ostatecze otrzymuemy:,76,6,76 V [ ],6,7,6,76,6,76 Moża sprawdzć, że: V V I, a poadto: V V Λ,8,,68 gdze a przekąte występuą wartośc włase macerzy Poże rozpatryway est podoby przykład, gdy est macerzą hermtowską Przykład 8 Określć operator V, który przekształca astępuącą macerz : do postac dagoale Zauważmy, że est macerzą zespoloą hermtowską Określamy rówae charakterystycze: det( λi) λ λ λ,

12 6 Metody umerycze w techce które est detycze, ak dla macerzy z Przykładu 7 prowadz węc do tych samych wartośc własych Skorzystamy w tym przypadku z pomocy programu MLB: [ ; ; - ]; [V,D]eg(); Po wykoau tego programu otrzymamy macerz przekształceń utworzoą z wektorów własych:,6,76 -,9,9 V [ ],6,6,7,7 -,6 -,6,76 -,7,7 Jest to macerz utara, węc moża sprawdzć, że zachodzą astępuące zwązk: * * V V I oraz V V, a poadto: * * * I V V D,8, co odpowada dagoale macerzy D z wartoścam,68 własym a przekąte, otrzymae po wykoau powyższego programu W różych zastosowaach praktyczych macerz przekształceń V w () lub (6), która prowadz do macerzy dagoale, est azywaa macerzą modalą Jest to zwązae z tym, że system wzaeme sprzężoych rówań algebraczych lub różczkowych, po dagoalzac macerzy parametrów, stae sę systemem przedstawaącym ezależych układów, w których e występuą wzaeme sprzężea e ezależe współrzęde azywae są modam ypowym przykładem w elektrotechce est modala macerz przekształcea układu trófazowego we współrzędych fazowych do składowych symetryczych, co prowadz do uproszczea modelu ake podeśce est powszeche stosowae w techce Zadaa Poższe zadaa wykoać posługuąc sę edye podstawowym operacam dostępym w kalkulatorze lub w pakece kalkulacyym komputera Oblczyć wyzaczk: λ det( ) λ λ Określć wartośc współczyka λ, dla których rówae x ma etrywale rozwązaa Dla podaych macerzy określć: - weloma charakterystyczy p (λ); - wartośc włase; - wektory włase dla każde wartośc włase

13 Wartośc włase wektory włase macerzy 7 a) b) 9 6 c) d) e) e) f) g) h) ) ) ) / / k) l) Dla podaych macerzy symetryczych/hermtowskch określć wartośc włase, wektory włase macerz modalą Przeprowadzć ormalzacę wektorów własych w celu uzyskaa wektorów ortoormalych Sprawdzć, czy są spełoe waruk ortogoalośc/utarośc macerzy modale b) 6 6 c) d) e) e) f) g) h) ) ) ) k) l) Uwaga: w przypadku, gdy weloma charakterystyczy ma stopeń wększy ż dwa, to moża posłużyć sę fukcą programu MLB do zalezea ego perwastków: roots(d), gdze d est wektorem współczyków welomau Na przykład, w przypadku welomau: ) ( λ λ λ λ p perwastk oblcza sę astępuąco: d[- - ]; qroots(d), gdze q est wektorem zaweraącym perwastk:,7,,,,679