Wybrane własności kurtozy wektora losowego

Transkrypt

1 Zeszyty Naukowe Metody aalzy daych Uwersytet Ekoomczy w Krakowe 93 ISSN Zesz. Nauk. UEK, 03; 93: 7 58 DOI: /ZNUEK Katedra Matematyk Uwersytet Ekoomczy w Krakowe Wybrae własośc kurtozy wektora losowego Streszczee Prezetowaa praca est kotyuacą rozważań prowadzoych ad kurtozą wektora losowego. Kurtoza wektora losowego rozumaa est tuta ako momet cetraly czwartego rzędu wektora losowego podzeloy przez kwadrat ego warac. Poęce mometu cetralego wektora losowego, a w szczególośc warac, opera sę a defc potęg wektora zostało zapropoowae przez J. Tatara. W eszym artykule przedstawoe zostały wybrae, stote własośc kurtozy wektora losowego. Należą do ch m.. własość ezmeczośc względem pewych przekształceń afczych. Poadto ustaloy został zwązek mędzy kurtozą wektora losowego a kwadratem ego współczyka asymetr. Spełee podaych własośc przez tak skostruowaą marę może uzasadać e wybór a welowymarowy odpowedk kurtozy edowymarowe zmee losowe. Słowa kluczowe: kurtoza wektora losowego, potęga wektora, rozkład welowymarowy, charakterystyk rozkładu welowymarowego.. Wprowadzee Prezetowaa praca est kotyuacą rozważań prowadzoych ad kurtozą wektora losowego [Budy Tatar 009, Budy 009]. U podstaw tych rozważań leży zapropoowaa przez J. Tatara [ ] defca potęg wektora w przestrze z loczyem skalarym. Defca. Dla dowolego v d oraz dowole lczby k d N% N," 0, k-tą potęgę wektora v defuemy w astępuący sposób:

2 8 k o k v $ v dlak-eparzystych v d R oraz v * k v, v dlak-parzystych W pracy rozważać będzemy przestrzeń wektorową (, R, +, ) w które określoo klasyczy (eukldesowy) loczy skalary postac: vw, / vw, gdze v ^v, v,, v h, w ^w, w,, whd R. Dzęk wykorzystau poęca potęg wektora zostały zdefowae m.. momety cetrale welowymarowego wektora losowego [Tatar ]. W pracy przyęto astępuące ozaczee: D k X to momet cetraly rzędu wektora losowego X ^X,, X k h : Ω " R oparty a defc potęg wektora czy też rówoważe waraca całkowta, czyl k D X / D X (por. [Blodeu Breer 999]). Za pomocą mometów cetralych wektora losowego, a podstawe postac kurtozy edowymarowe zmee losowe [Cramer 958, Jakubowsk Sztecel 00], zdefowaa została kurtoza wektora losowego. Załóżmy zatem, że X ^X,, Xh : Ω " R est wektorem losowym, dla którego stee momet cetraly czwartego rzędu. Defca. Przez kurtozę wektora losowego X : Ω " rozumemy lczbę postac: E6 ^X EX β, KurtX. Tak skostruoway wskaźk posada szereg stotych, pożądaych własośc. Dotychczas podao postać kurtozy dla wybraych typów rozkładów (przypadek wektorów losowych o stochastycze ezależych współrzędych, posadaących rozkłady ormale czy też rozkłady t-studeta) [Budy Tatar 009] oraz eco ogóle wyzaczoo postać kurtozy dla wektora losowego o stochastycze ezależych współrzędych [Budy 009]. Warto w tym mescu zwrócć uwagę a wektor losowy, którego wszystke współrzęde posadaą te sam rozkład ormaly są stochastycze ezależe. Kurtoza takego wektora losowego est bowem postac: β, +. W pracy omówoe zostaą kolee waże własośc kurtozy wektora losowego, rozumae ako loraz mometu cetralego czwartego rzędu wektora losowego dzeloego przez kwadrat ego warac całkowte. Własośc te wraz z przedstawoym powyże uzasadaą wybór tak skostruowae mary a welowymarowy odpowedk kurtozy zmee losowe (edowymarowe).

3 Wybrae własośc kurtozy wektora losowego 9 W lteraturze przedmotu poawaą sę propozyce defc kurtozy wektora losowego [Marda 970, Kotz, Johsto Balakrsha 000]. Prezetowae w eszym opracowau podeśce est e ż spotykae do te pory.. Kurtoza ako ezmek pewych przekształceń afczych W koleych trzech twerdzeach zaprezetowaa zostae własość ezmeczośc kurtozy względem wybraych typów przekształceń afczych. Twerdzee. Kurtoza ako ezmek skal Przypuśćmy, że X ^X,, Xh : Ω " R est wektorem losowym, dla którego stee kurtoza, atomast a d R est dowolą lczbą rzeczywstą. Wtedy: Kur t (ax) Kurt X. () Dowód. Poższe przekształcea uzasadaące rówość () wykaą z defc warac wektora losowego, defc parzystych potęg wektora losowego oraz własośc loczyu skalarego: E6^aX E^aX Ea ax E^aX h, ax EaX ^ h k Kurt( ax) ^D ^ax hh ^E^ ax E^aX h, ax EaX ^ h hh Ea a X EX, X EX k a Ea X EX, X EX k E6^ X EX KurtX. ^a ^D X hh a ^D X h Twerdzee. Kurtoza ako ezmek traslac Nech X: Ω " będze wektorem losowym, dla którego stee kurtoza, oraz ech b d będze dowolym wektorem z przestrze. Wówczas: Kur t (X + b) Kurt X. () Dowód. Rówość () wyka wprost z defc kurtozy wektora losowego oraz z faktu, że waraca wektora losowego est ezmekem traslac [Tatar 999]. Istote: E6^ X + b E^X+ E6^ X + b E^X h bh@ Kurt( X + b) ^D ^X+ bhh E6^ X + b E^Xh bh@ E6^ X KurtX.

4 50 Przed sformułowaem kolee własośc kurtozy wektora losowego rozpatrzmy astępuący lemat. Lemat. Załóżmy, że X: Ω " est wektorem losowym, dla którego stee momet cetraly rzędu k oraz C ^# h est macerzą ortogoalą (tz. C T C ). Wówczas: k E6^CX E^CX E6^ X E^X hh k czyl momety cetrale parzystego rzędu są ezmekam przekształceń ortogoalych. Dowód. Na początek zauważmy, że macerz CX est postac: V Rc c VR V S X / c X W S WS W S W S $ $ $ WS $ W S $ W CX S. $ $ $ WS W S W S $ W S $ W S c c W SX S W W T XT X S/ c X W T X Dzęk własoścom mometów cetralych parzystego rzędu otrzymuemy: ( CX E( CX) ) k E E c [ ]s c [ ]t X s E X s [ ],..., [ k] s, t ( ( ( ) ) k ) E C X EX ( ( ))( X t E( X t E c X E X... s, t ( ( )) c [ c k]s [ X k]s s E X s k ( ( ))( X t E( X t )) ( ( )) X t E c [ ]s[ ] c [ ]t[ ]... c [ k]s[ k] c [ k]t[ k] X s[ ] E X s[ ] [ ],..., [ k] s[ ],..., s[ k], t[ ],..., t[ k]... ( X s[ k] E( X s[ k] ))( X t[ k] E( X t[ k] ))) ( ( )) X t E X s[ ] E X s[ ] s[ ],..., s[ k], t[ ],..., t[ k] E X s[ ] E X s[ ] s[ ],..., s[ k], t[ ],..., t[ k] ( [ ] E( X t[ ] ))... X s[ k] E X s[ k] c [ ]s[ ] c [ ]t[ ]... c [ k]s[ k] c [ k]t[ k] [ ],..., [ k] ( ( )) X t c [ ]s[ ] c [ ]t[ ]... [ ] ( [ ] E( X t[ ] ))... X s[ k] E X s[ k] [ k] ( [ ] E( X t[ ] ))... ( ( ))( X t[ k] E( X t[ k] )) ( ( ))( X t[ k] E( X t[ k] )) c [ k]s[ k] c [ k]t[ k]

5 Wybrae własośc kurtozy wektora losowego 5 ( ( )) X t E X s[ ] E X s[ ] s[ ],..., s[ k], t[ ],..., t[ k] gdze c : to -ta koluma macerzy CX. ( [ ] E( X t[ ] ))... X s[ k] E X s[ k] $ c, c $... $ c, c, : s[] : t[] : sk [] : tk []@ ( ( ))( X t[ k] E( X t[ k] )) Przypommy, że kolumy (wersze) macerzy ortogoale tworzą układ ortoormaly, a zatem: k E6 ^CX E^CX E ( X s[ ] E( X s[ ] ))( X t[ ] E( X t[ ] ))... X s[ k] E X s k s[ ],..., s[ k], t[ ],..., t[ k] Wobec tego: E ( CX E( CX) ) k ( ( )) E X s[ ] E X s[ ] s[ ] $ I $ $ I H, gdze I st s[][] t sktk [][] E X s[ ] E X s[ ] s[ ],..., s[ k]... ( ( [ ] )) X t k dla s t 0 dla s t ( ( ))... ( X s[ k] E( X s[ k] )) ( X s[ k] E ( X s[ k] )) s[ k] k E6 ^X E X s E X s s ( [ ] E( X t[ k] )) ( ( )) Twerdzee 3. Kurtoza ako ezmek przekształceń ortogoalych k Jeżel X: Ω " est wektorem losowym, dla którego stee kurtoza, oraz C ( # ) est macerzą ortogoalą (tz. C T C ) to: Kur t (CX) Kurt X. Dowód. Twerdzee 3 est atychmastowym woskem z lematu. Istote z lematu wyka, że momety cetrale czwartego oraz drugego rzędu (waraca) są ezmekam przekształceń ortogoalych, a zatem kurtoza wektora losowego ako loraz ch odpowedch fukc róweż speła tę własość. W astępym rozdzale ustaloe zostaą ograczea dole dla wartośc kurtozy.

6 5 3. Kurtoza wektora losowego ograczea dole Twerdzee. Nech X: Ω " będze wektorem losowym, dla którego stee kurtoza β. Wówczas:, β, $ Dowód. Kluczową rolę w dowodze odgrywać będze erówość Jesea. Przypommy zatem e postać:. gex ^ 6N@ h# E6g^XNh@, gdze X N to zmea losowa, atomast g to fukca wypukła. Zauważmy, że g(x) x est fukcą wypukłą. Jeżel w erówośc Jesea za X N przymemy zmeą losową (X m), to uzyskamy: # ^E6 ^X h E9^^ X mh h C, czyl: # E6 ^X E6 ^X Mamy węc $, a zatem β,. $ Uwaga. Ograczee dole dla kurtozy wektora losowego w przypadku -wymarowym est realzowae przez rozkład wektora losowego, będącego zestaweem ezależych zmeych losowych o tym samym rozkładze dwupuktowym (zero-edykowym ) z p, czyl przez szczególy przypadek welowymarowego rozkładu dwupuktowego. Dowód. Istote dla wektora losowego X ^X,, Xh : Ω " R spełaącego powyższe założea kurtoza est postac: / /, E6^X m h@ + E6^X m h@ E6^ X m β, DX ^ hkurt X+ ^ h Kurt X +, ^D X h

7 Wybrae własośc kurtozy wektora losowego 53 gdze X to zmea losowa o rozkładze zero-edykowym z p, dla które ^3p 3p+ h c3a k 3a k+ m kurtoza wyos, czyl Kurt X. p^ ph Wobec tego a k β, +. Zauważmy poadto, że pośród wektorów losowych będących zestaweem ezależych zmeych losowych o tym samym rozkładze dwupuktowym (zero-edykowym) edye wektor z p, ma kurtozę rówą. Istote z poprzedch oblczeń wyka, ż: ^3p 3p+ h + p^ ph ^3p 3p+ h + ^ hp^ ph β,. p^ ph Szukamy pd^0, h spełaących rówae β, a węc:, ^3p 3p+ h + ^ hp^ ph. p^ ph Otrzymuemy wobec tego rówae kwadratowe zmee p postac: p p + 0, którego edyym rozwązaem est p. Uwaga. Ne ma górego ograczea dla wartośc kurtozy -wymarowego wektora losowego. Dowód. Dla wektorów losowych będących zestaweem ezależych zmeych losowych o tym samym rozkładze dwupuktowym (zero-edykowym) z postac (3) wyka, że eżel p " 0 + lub p ", to β, " + 3. Przed sformułowaem koleego twerdzea przypommy astępuącą defcę. Defca 3. Współczykem asymetr wektora losowego X: Ω " azywamy wektor postac [Tatar 000]: 3 E6 ^X EX γ, SkewX 3. Twerdzee 5. Nerówość mędzy kurtozą wektora losowego a kwadratem ego współczyka asymetr (3)

8 5 Nech X ^X,, Xh : Ω " R będze wektorem losowym, dla którego stee kurtoza. Załóżmy, że wartość oczekwaa tego wektora to m, a macerz kowarac ma postać I, gdze > 0. Wówczas prawdzwa est erówość: β + ^γ h. (),, Dowód. W perwsze częśc dowodu wykażemy, że erówość () est prawdzwa dla wektorów losowych (spełaących założea twerdzea 5) o zerowym wektorze wartośc oczekwaych edostkowe macerzy kowarac. Nech zatem X + d ^0, Ih. Z tego faktu (w oczywsty sposób) wykaą astępuące własośc: E^X h 0 dla każdego d ",,,, (5) D X dla każdego d ",,, & D X E^X h, (6) E^X X h 0 dla wszystkch, d ",,, takch, że. (7) Zauważmy, że dla wszystkch a0dr, ad oraz ad Rzachodz erówość: E9^a + a, X + a hc 0. (8) 0 Nerówość (8) moża atomast przedstawć w postac: a + a, a + a a + a E9 a, X X C + a EX 0. (9) 0 0 Istote z własośc całk uzyskuemy: E9a a + a, X + a X k C E9^a + a, X h + ^a + a, X ha X + ^a X h C 0 0 Ea a0 a, X + a, X + a0ax + a, X ax + a X C a0 + a0e6 a, + E9 a, X C + + ae9 a, X X C + a Zwróćmy teraz uwagę a rówośc: Wykaą oe bezpośredo z własośc (5) (7). 0 E6 a, 0, (0) E9 a, X C a, a. () / / Rzeczywśce E a, X Ec a X m a E^X h 0, atomast: / / / /,, E9 a, X C E; c a X m E E> a a X X H ^a h E^X h+ a a E^XXh / ^a h a, a. () 5 (),( 6 7)

9 Wybrae własośc kurtozy wektora losowego 55 Dzęk rówoścom (0) () otrzymuemy zatem postać (9). Zauważmy róweż, że zachodzą astępuące rówośc: oraz ^E^X hh 3 / f / E^X X hp () E6 E^X h, X ^E^X hh. (3) 3 3 Istote: 3 ^E^X hh 3 3 E^X h, E^X h / / / / fef X X p,, Ef X X pp, fef X X p,, Ef X X pp / / / / / / f E^X X h,, E^X X hp, f E^X X h,, E^X X hp f E^X X hp. Do rówośc (3) atomast prowadzą poższe przekształcea, w których korzystamy z własośc (): / / / s / / / s / / s / / s s, s, ( ) 3 / / / s / / s 3 E6 E^X h, X E> fef X X p,, Ef X X pp, ^X,, X h c X mh E> f E^X X hx pc X mh E> f E^X X hx px H f E^X X hpe^xxh f E^X X hpc ^X X hm f E^X X hp ^E^X hh. Nerówość (9) est prawdzwa dla wszystkch a0dr, ad, oraz ad R, a węc w szczególośc dla a spełaącego rówość a oraz a 0 takego, że a0 + a0a. Przymmy, że a. Wówczas fukca fa ^ 0h a0 + a0 a0 + a0 osąga mmum w pukce a0 rówe fm ^ h. Przymmy zatem 3 a0. Zauważmy, że (przy powyższych a 0 a ) eśl a ce^x h, gdze cd R, to a podstawe własośc (3) erówość (9) przybera postać: c E X, E X c EX + ^ h ^ h + ^E^X hh + 0. Mamy zatem:, c c 3 + c + m ^E^X hh + β 0. s s

10 56 ^E^X hh Przy założeu X + d ^0, Ih otrzymuemy ^γ, h 3. Wówczas 3 + ^c + c h^γ, h + β, 0. 3 Stałą cd R chcemy tak dobrać, aby c + c. Otrzymuemy węc 3 rówae kwadratowe zmee c postac c + c+ 0, w którym 0, czyl posadaące (w zborze lczb rzeczywstych) edye rozwązae postac c0 3. Za a przymuemy zatem wektor postac E X 3 ^ h. Podsumowuąc, dla a 0, a E X 3 ^ h oraz a erówość (9) przymue postać erówośc () (przy założeu X + d ^0, Ih). Weźmy teraz pod uwagę wektor losowy X o wektorze wartośc oczekwaych m oraz macerzy kowarac postac I. Zauważmy, że eżel X + d ^m, Ih, to: E^X m h 0 dla każdego d",,,, () D X dla każdego d",,,, (5) E6 ^X m h^x m h@ 0 dla wszystkch, d",,, takch, że. (6) Rozważmy wektor losowy X N postac: Speła o własośc (5) (7). Istote a podstawe własośc (): X N X m X m,, a k. 3 E E X m ( ) ^XO h a k E^X mh 0 dla każdego d",,,. Dzęk własoścom warac zmee losowe oraz (5) otrzymuemy: D D X m ( 5) XO a k D ^X mh D X dla każdego d",,,. W końcu (6) mplkue własość eskorelowaa zmeych losowych XO oraz XP dla wszystkch, d",,,, takch że. Istote: X m X m ( 6) E^OP XXh E; a kc me E6^X mh^x m h@ 0. Na podstawe powyższych ustaleń moża stwerdzć, że wektor losowy X N ma zerowy wektor wartośc oczekwaych oraz edostkową macerz kowarac, czyl XN + d ^0, Ih. Dla wektorów losowych o takch rozkładach erówość () została uż wykazaa, a węc:

11 Wybrae własośc kurtozy wektora losowego 57 Kurt XN + ^Skew XN h. Zauważmy róweż, że Kurt X N Kurt X oraz Skew X Skew ^ N h ^ Xh. Istote: X m X m EX 6 E; a E X EX EX k c m E 6^ N N / N N / 6 N,, ^D XN h / E6^X mh ^X m h@, E6^ X E6^ X Kurt X. ^ h Rówość dotyczącą kwadratów współczyków asymetr uzasadaą atomast astępuące przekształcea: ^SkewXN h 3 3 ^E6^ XN h ^EX 6 h 3 3 a^ D XN h k / / / / cec X X m,, Ec X X mm, cec X X m,, Ec X X mm 3 X m X m X m X m cec/ a k a km,, Ec/ a k a kmm 3 6 cec/ ^X mh ^X mhm,, Ec/ ^X mh ^X mhmm ^EX h EX EX SkewX. 3 ^ h ^ ^ h ^D X ^ h h h Nerówość () została udowodoa. Lteratura Blodeau M., Breer D. [999], Theory of Multvarate Statstcs, Sprger-Verlag, New York. Budy K. [009], Kurtoza wektora losowego, Prace Naukowe Uwersytetu Ekoomczego we Wrocławu, r 76. Budy K., Tatar J. [009], Kurtoss of a Radom Vector Specal Types of Dstrbutos,,,Statstcs Trasto New Seres, vol. 0, r 3. Cramer H. [958], Metody matematycze w statystyce, PWN, Warszawa.

12 58 Jakubowsk J., Sztecel R. [00], Wstęp do rachuku prawdopodobeństwa, Scrpt, Warszawa. Kotz S., Johso N.L., Balakrsha N. [000], Cotuous Multvarate Dstrbutos: Model ad Applcatos, d ed., Joh Wley ad Sos, New York. Marda K.V. [970], Measures of Multvarate Skewess ad Kurtoss wth Applcatos,,,Bometrka, vol. 57, r 3. Tatar J. [996], O ektórych marach rozproszea rozkładów prawdopodobeństwa,,,przegląd Statystyczy, z. 3/. Tatar J. [999], Momets of a Radom Varable a Hlbert Space,,,Przegląd Statystyczy, z.. Tatar J. [000], Asymetra welowymarowych rozkładów prawdopodobeństwa, Materały z XXXV Koferec Statystyków, Ekoometryków Matematyków Akadem Ekoomczych Polsk Połudowe zorgazowae przez Katedrę Statystyk Akadem Ekoomcze w Krakowe (Oseczay, 3 5 marca 999 r.), Wydawctwo Akadem Ekoomcze w Krakowe, Kraków. Some Propertes of the Kurtoss of a Radom Vector The paper s a cotuato of a dscusso of the kurtoss of a radom vector. Multvarate kurtoss s defed as the fourth cetral momet dvded by the square of the varace of a radom vector. Ths term s bult o the defto of the power of a radom vector proposed by J. Tatar. The paper presets selected, essetal propertes of multvarate kurtoss amog other thgs the varace property uder a umber of affe trasformatos. Besdes that, the relato betwee kurtoss of the radom vector ad ts skewess s fxed. I vew of these propertes, the fourth cetral momet dvded by the square of the varace of a radom vector may be regarded as a satsfactory measure of multvarate kurtoss. Keywords: kurtoss of a radom vector, power of a vector, multvarate dstrbuto, characterstcs of the multvarate dstrbuto.