Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Zastosowae model dwumaowych do opsu asymetr formacj a ryku ubezpeczeń a przykładze pols komukacyjych OC 1.Charakterystyka ryku ubezpeczeń komukacyjych Ubezpeczee odpowedzalośc cywlej (zwaej OC) dotyczy każdego posadacza samochodu. Zakup polsy OC jest obowązkowy. Klet abywając taką polsę jest zateresoway, aby zapłacć jak ajmej, atomast towarzystwo ubezpeczeowe zateresowae jest sprzedażą swoch pols kletom ajlepszym, czyl takm, którzy e powodują szkód. Problemem dla frmy ubezpeczeowej jest określee, przed zwarcem polsy, jak to rodzaj kleta - szkodowec czy eszkodowec (zły czy dobry klet). Ubezpeczycel może oceć potecjalego kleta a podstawe takch cech jak: płeć, mejsce zameszkaa, rodzaj pojazdu, czas posadaa prawa jazdy, lczba szkód komukacyjych tp. o pozwala mu zaklasyfkować kleta do odpowedej klasy ryzyka. Wszystke podmoty w jedej klase płacą jedakową ceę za ubezpeczee. Ozacza, że klec mej skło do ryzyka płacą za ubezpeczee zbyt wygórowaą ceę, eadekwatą do swojej skłoośc do ryzyka odwrote. ake zaklasyfkowae do daej grupy jest właśe wykem asymetr formacyjej. Im wększy stopeń asymetr, tym podmoty w daej grupe są bardzej zróżcowae. Asymetra formacj a ryku ubezpeczeń ozacza, że ubezpeczający e za dywdualej skłoośc ubezpeczaego do ryzyka. Ozacza to, że decyzje o zakwalfkowau do odpowedej grupy podejmowae są w oparcu o oszacowae prawdopodobeństwo wystąpea szkody. Modelam stosowaym do estymacj prawdopodobeństw są modele dwumaowe (dychotomcze, bare).

2 276 Moka Jezorska-Pąpka Celem artykułu jest zaprezetowae model dwumaowych, które mogą być wykorzystywae do określea, jake jest oczekwae prawdopodobeństwo wystąpea szkody z polsy OC przez potecjalego kleta. 2. Modele dwumaowe estymacja weryfkacja W modelach dwumaowych przedmotem wyjaśaa jest prawdopodobeństwo P przyjmowaa przez zmeą Y jedej z dwóch możlwośc (y=1 lub y=0), przy czym jest to prawdopodobeństwo warukowe, to zaczy - pod warukem, że zmee objaśające będą kształtować sę a określoym pozome. Prawdopodobeństwo jest fukcją wektora zmeych objaśających oraz wektora parametrów, co zapsać moża jako: P = P( y = 1) = F( x β ) =1,2,... (1) x - wektor zmeych objaśających, β - wektor oce parametrów, F( ) jest fukcją, która przekształca prawdopodobeństwo z przedzału (0, 1) a cały zbór lczb rzeczywstych. Ze względu a postać fukcj F wyróża sę wele rodzajów model dwumaowych. Najczęścej stosowae są modele logtowe probtowe. W modelu logtowym fukcja trasformacj jest dystrybuatą rozkładu logstyczego: 1 exp( x β ) P = F( x β ) = =, 1+ exp( x β ) 1+ exp( x β ) (2) P LP = l = x β, 1 P (3) gdze: LP jest logarytmem lorazu szas zajśca ezajśca zdarzea, zway logtem. W modelu probtowym przyjmuje sę, że prawdopodobeństwa P są wartoścam dystrybuaty rozkładu ormalego (0,1) w puktach β : x β 2 1 t P = F( x β ) = exp ( ) dt. (4) 2π 2 Wartośc fukcj odwrotej do F: 1 = x β F ( P ) = G( P ) (5) azywa sę probtam 1. x 1 W lteraturze spotyka sę róweż określee ormt, atomast probtem azywa 1 sę wyrażee x β = F ( P ) + 5.

3 Zastosowae model dwumaowych do opsu asymetr formacj Przekształcea probtowe stosuje sę, gdy prawdopodobeństwa dla zmeej objaśaej mają rozkład ormaly, bądź zblżoy do ormalego. Pomędzy parametram β w modelu logtowym probtowym zachodz astępująca zależość 2 : β 1. β. logt 6 probt Parametry modelu dwumaowego dla zboru mkrodaych szacuje sę metodą ajwększej warygodośc. Logarytm fukcj warygodośc wyos: l L = { = 1 y l F ( x ) + ( 1 y ) l[ 1 F( x β )] β }. (6) Jako mary dopasowaa stosuje sę współczyk determacj R 2 Efroa (oparty a teoretyczych wartoścach prawdopodobeństwa) oraz R 2 McFaddea (oparty a wartośc fukcj warygodośc) 3. W modelach dla dużych zborów mkrodaych ska wartość współczyka determacj jest typowa e ozacza jego estotośc. Model dwumaowy pozwala ustalć zarówo progozę prawdopodobeństwa jak progozę zmeej y. Przekształcee prawdopodobeństwa a zmeą dychotomczą odbywa sę według stadardowej zasady progozy: y ) = 1 jeśl P ) > 0. 5 oraz y ) = 0 jeśl P ) 0. 5 W sytuacj, gdy mamy próbę ezblasowaą, tz. taka, w której lczba jedyek zacze róż od lośc zer do progozowaa ależy zastosować modyfkację stadardowej zasady lczyć progozy według zasady optymalej wartośc graczej α, tj: y ) = 1 jeśl P ) > α oraz y ) = 0 jeśl P ) α Wartość graczą α ustala sę jako udzał jedyek w próbe. Po przekształceu prawdopodobeństwa a y=0 y=1 moża oceć jakość progoz korzystając z tablcy trafeń (abela 1). Model dobrze sprawdza sę w progozowau, gdy I > 1 oraz zlczeowy R 2 >50%. Ozacza to, że klasyfkacja a podstawe modelu jest lepsza od przypadkowej. 2 W praktyce często zamast wartośc 1.6 stosuje sę wartość Pozostałe mary dopasowaa szerzej zostały opsae w Gruszczyńsk (2001).

4 278 Moka Jezorska-Pąpka abela 1. ablca poprawośc klasyfkacj Rzeczywste Przewdywae Y= Y= Źródło: Gruszczyńsk (2001) rafość Iloraz trafeń (I) rafość łącza (zlczeowy R 2 ) rafość Y=0 rafość Y= Modele dwumaowe aalza emprycza Do modelowaa prawdopodobeństw wykorzystao dae z jedej z frm ubezpeczeowych dzałających w Polsce. Próba emprycza obejmowała 506 roczych pols OC zawartych 2005 roku. Polsy dotyczyły samochodów osobowych. Zbór potecjalych zmeych objaśających został ustaloy a podstawe wosków ubezpeczeowych. W skład tych zmeych zalczoo 2 zmee cągłe (wek właśccela samochodu, lata eksploatacj pojazdu) oraz 4 zmee jakoścowe (płeć, mejsce zameszkaa, marka samochodu oraz pojemość slka). Wszystke polsy dotyczyły osób, które posadają 60% zżek za bezszkodowość. Y ozacza wystąpea szkody a daej polse. Dla zmeych jakoścowych utworzoo odpowede zmee bare. Na podstawe zmodyfkowaej macerzy korelacj 4 w modelu uwzględoo zmee skorelowae z Y, a astępe dokoao elmacj estotych zmeych metodą a posteror. Zmeą wek właśccela pojazdu rozpatrywao w wersj zmeej cągłej, jak róweż dzeląc ją a 3 kategore. Obe wersje tej zmeej okazały sę eskorelowae z ze zmeą Y. Oszacowao modele logtowy probtowy. Dla obu model otrzymao jedakowy zestaw zmeych objaśających. Poeważ próba była ezblasowaa progozę Y polczoo według zasady optymalej wartośc graczej dla α=0.235 (119/506). 4 Zob. Gruszczyńsk (2001)

5 Zastosowae model dwumaowych do opsu asymetr formacj abela.2. Zbór potecjalych zmeych objaśających Zmea Ops zmeej (kategore) Lczebość Y Szkoda 1-tak 119 G1 Płeć 1-mężczyza 393 C1 Mejsce Masta powyżej 50 tys. meszkańców 220 C2 zameszkaa Mejscowośc od 10 do 50 tys. meszkańców 110 C3 Mejscowośc pożej 10 tys. meszkańców 176 W1 Wek do 35 lat włącze 160 W2 właśccela od 36 do W3 samochodu powyżej M1 Aud, BMW, Mercedes, Chrysler, Rover, Volvo, VW 66 M2 Marka Ctroe, Reault, Peugeot, Laca 77 M3 samochodu Daewoo, Huda, Ka, Fat, FSO 87 M4 Ford, Opel, Seat, Skoda 189 M5 Hoda, Mazda, Nssa, Suzuk, oyota, Mtsubsh 87 L Lata eksploatacj samochodu zmea cągła L1 Lata eksploatacj Do 3 lat włącze 192 L2 od 3 do 10 lat 144 L3 samochodu Powyżej 10 lat 170 P1 do P2 Pojemość P3 slka P4 (w cm 3 ) P5 powyżej Źródło: opracowae włase. abela 3. Wyk estymacj modelu logtowego Zmea Ocea Błąd t-studet Wartość p χ parametru stad. Iloraz Walda p-value szas Stała C M L Średa dla Y R 2 McFaddea 4.54% R 2 Efroa 4.65% Logarytm warygodośc est lorazu warygodośc χ 2 =25.05 (p= ) Kryterum Akaka Źródło: oblczea włase.

6 280 Moka Jezorska-Pąpka abela 4. Poprawość klasyfkacj kletów frmy ubezpeczeowej według modelu logtowego Rzeczywste Przewdywae rafość Iloraz trafeń (I) 2.52 Y= rafość łącza 62.65% Y= rafość Y= % rafość Y= % Źródło: oblczea włase. abela 5. Wyk estymacj modelu probtowego Zmea Ocea parametru Błąd stad. t-studeta Wartość p stała C M L Średa dla Y R 2 McFaddea 4.59% R 2 Efroa 4.688% Logarytm warygodośc est lorazu warygodośc χ 2 = (p= ) Kryterum Akaka Źródło: oblczea włase. abela 6. Poprawość klasyfkacj kletów frmy ubezpeczeowej według modelu probtowego Rzeczywste Przewdywae rafość Iloraz trafeń (I) Y= rafość łącza 76.48% Y= rafość Y= % rafość Y= % Źródło: oblczea włase. Na podstawe powyższych model moża powedzeć, że meszkańcy mejscowośc powyżej 50 tys. meszkańców (zmea C1) mają wększe szase spowodowaa szkody, atomast posadacze pojazdów mark: Daewoo, Huda, Ka, Fat, FSO (kategora M3) maja mejsza skłoość do szkody ż właśccele ych pojazdów. Ocey parametrów w modelu logtowym probtowym spełają zależość β 1. β, przy czym zak przy zmeej L jest róży w logt 7 probt każdym z model. Staow to pewą rozbeżość w terpretacj. Na podstawe modelu logtowego stwerdza sę, że m starsze auto tym wększe prawdopodobeństwo spowodowaa szkody. Natomast według modelu probtowego zależość ta kształtuje sę odwrote. Aby rozwkłać tę rozbeżość oszacowao model logtowy probtowy, w których zmeą L podzeloo a 3 kategore. Po elmacj a posteror otrzymao modele, w których zmee C1, M3 L1 okazały sę stote statystycze.

7 Zastosowae model dwumaowych do opsu asymetr formacj abela 7. Wyk estymacj modelu logtowego zmee bare Zmea Ocea Błąd t-studet Wartość p χ parametru stad. Iloraz Walda Wartość p szas Stała C M L Średa dla Y R 2 McFaddea 4.58% R 2 Efroa 4.572% Logarytm warygodośc est lorazu warygodośc χ 2 = (p= ) Kryterum Akaka Źródło: oblczea włase. abela 8. Poprawość klasyfkacj kletów frmy ubezpeczeowej według modelu logtowego zmee bare Rzeczywste Przewdywae rafość Iloraz trafeń (I) Y= rafość łącza 60.87% Y= rafość Y= % rafość Y= % Źródło: oblczea włase. abela 9. Wyk estymacj modelu probtowego zmee bare Zmea Ocea parametru Błąd stad. t-studet Wartość p stała C M L Średa dla Y R 2 McFaddea 4.64% R 2 Efroa 4.623% Logarytm warygodośc est lorazu warygodośc χ 2 = (p= ) Kryterum Akaka Źródło: oblczea włase. abela 10. Poprawość klasyfkacj kletów frmy ubezpeczeowej według modelu probtowego zmee bare Rzeczywste Przewdywae rafość Iloraz trafeń (I) Y= rafość łącza 76.48% Y= rafość Y= % rafość Y= % Źródło: oblczea włase.

8 282 Moka Jezorska-Pąpka Zarówo w modelu logtowym probtowym zak stojące przy zmeych są take same. Ozacza to, że jeżel samochód ma do 3 lat, to prawdopodobeństwo spowodowaa szkody takm samochodem, w porówau do samochodów starszych, jest wyższe. Model probtowy okazał sę lepszy ż model logtowy w sese trafośc progoz, jedak żade z tych model e był testoway a próbe odłożoej. Nske wartośc współczyków determacj okazały sę stote. 4. Podsumowae Modele dwumaowe mogą być przydatym arzędzem do opsu ryku ubezpeczeń, gdze kluczowe zaczee odgrywa zajomość prawdopodobeństwa spowodowaa szkody. Asymetra formacj a tym ryku polega a tym, ze ubezpeczoy za swoją skłoość do spowodowaa szkody, a ubezpeczycel tej skłoośc e za. Oszacowae a podstawe modelu dwumaowego prawdopodobeństwa mogą posłużyć ubezpeczylow do wyzaczea odpowedej cey za polsę OC, adekwatej do oszacowaego prawdopodobeństwa szkody lub zakwalfkowaa daej jedostk do odpowedej klasy. Rozmar asymetr formacj lepej zmerzyć a podstawe pols autocasco, gdze jest dokłade określoa maksymala suma ubezpeczea oraz udzały włase w szkodze. Dae take pozwolłyby róweż a zbadae, czy a tym ryku występuje pokusa adużyca. Lteratura Goldberger, A.S. (1972), eora ekoometr, PWE, Warszawa. Gruszczyńsk, M. (2000), Dobór zmeych objaśających do modelu logtowego, Przegląd Statystyczy. XLVII, Gruszczyńsk, M. (2001), Modele progozy zmeych jakoścowych w fasach bakowośc, Wydawctwo SGH, Warszawa. Maddala, G.S., Nelso, F.D, (1974), Aalyss of Qualtatve Varables, Workg Paper, Nr 70, Natoal Bureau of Ecoomc Research, Cambrdge. Wśewsk, J.W. (1986), Ekoometrycze badae zjawsk jakoścowych. Studum metodologcze, Uwersytet Mkołaja Koperka, oruń.