1. MACIERZE, WEKTORY. θ θ. Wybrane z wykładów

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. MACIERZE, WEKTORY. θ θ. Wybrane z wykładów"

Teresa Świderska
6 lat temu
Przeglądów:

1 MAEMAYKA SOSOWANA I MEODY NUMERYCZNE Wybrae z wykładów. MACIERZE, WEKORY Macerz symerycza A A A + A, A A macerze symerycze Macerz aysymerycza A -A A / (A+A ) + /(A-A ) symerycza aysymerycza częśc macerzy Macerz orogoala A A AA I czyl A A - Przykładem macerzy orogoale es macerz obrou cos( θ ) s( θ ) Q s( ) cos( ) θ θ Iloczy skalary dwóch wekorów a b a b cos (φ) a b a b + a b + a b a b b a Wekory orogoale: a b Rówoważe ozaczea loczyu skalarego: a b (.,.) (a, b) Iloczy wekorowy a b a b s (φ) a b - ( b a ) Wekory rówoległe: a b Obró wekora Zmaa współrzędych wekora przy obroce bazy, lub Q, gdze Q macerz obrou, Q Q -

2 Normy wekora N p orma Eukldesa ma p orma maksmum Normy macerzy N A ma a perwsza, lub N N a A Eukldesa, lub N A ma a średa warość N N N A a średa warość N N A ma a eskończoa, lub N A ma a średa warość N A ma a,, Przykład: A A A ( ) ma ma PODSAWY RACHUNKU ENSOROWEGO I ANALIZY PÓL.. Pole skalare wekorowe Polem skalarym azywamy fukcę, kóra każdemu pukow pewego obszaru przyporządkowue pewe skalar, aomas w polu wekorowym wekor. Gradeem pola skalarego f (, y,z ) es wekor ozaczay symbolem grad f: grad f ( f /, f / y, f / z) grad f f operaor Laplaca: f f

3 Dywergeca pola wekorowego Polem dywergec lub dywergecą pola wekorowego F azywamy pole skalare: dv F ( F / ) + ( F / ) + ( F / ) dv F F loczy skalary Roaca pola wekorowego. Roacą pola wekorowego F ( różczkowalego) ozaczaą ro F ( curl F) azywamy pole pseudowekorowe: k ro F F / / / F F F ω / ro v prędkość kąowa puku cała szywego es rówa połowe roac prędkośc lowe dv ro F curl grad f grad: skalar wekor (wekor esor) dv: wekor skalar (esor wekor) curl: wekor wekor u du /d wekor przemeszczeń; część symerycza esor odkszałcea (wekor esor) dv σ (σ, ) wekor rówań rówowag (esor wekor).. Podsawy rachuku esorowego esor rzędu : skalar esor rzędu : wekor (rzu a keruek), esor rzędu : macerz (dowolemu kerukow przyporządkowue wekor) esor rzędu odwzorowae lowe wekora w wekor. τ (α v + β v ) α τ (v ) + β τ (v ) α, β z R v, v z V Przykład: Rzuowae wekora a oś X Odwzorowae τ (v) p Reprezeaca macerzowa v p esor Kolumy współrzęde wekora a płaszczyzach układu Zmaa esora przy obroce bazy (zmaa układu współrzędych) QQ Q macerz obrou

4 rzy ezmek esora rzędu I r + yy + zz I /( r ( ) r () ) I de. OBLICZANIE WAROŚCI I WEKORÓW WŁASNYCH MACIERZY Defca A λ, A macerz, A ( A I) de λ rówae charakerysycze gdze λ, K, λ warośc włase,,, K wekory włase (p. keruk główe esora aprężea) Zbór warośc własych ozaczamy sp(a) azywamy wdmem (spekrum) macerzy A, a lczbę ma λ e promeem spekralym. - warośc wekory włase macerzy symerycze są rzeczywse; - warośc wekory włase macerzy symerycze dodao określoe są dodae λ λ λ de(a); λ + λk + λ r(a) - K - sp(a ) sp(a), - sp(s - AS) sp(a), B S - AS podobeńswo macerzy A B - eśl sp(a) { λ, K, λ }, o: ~ sp(a - ) { / λ, K, / λ } ~ sp(a k k k ) { λ, K, λ } ~ sp(a - di) { λ d, K, λ d }.. werdzee Gerszgora Sp(A) Ball(a, R ), lub > ( R ), λ ma ( a R ) λ m a m < +, R ma a k k k Przykład: A a a a R R R

5 λ m > m 6 5 λ ma + < ma Iloraz Raylegha A A λ Λ λm Λ λma dla dowolego Ω.. Meoda poęgowa (domuąca warość własa ma ( ma, m ) k + A... A k k Algorym. Przymuemy. Normalzaca k v k ( k k ). Krok meody poęgowe k+ Avk. Iloraz Raylegha vk Avk Λ k + v k Avk vk k+ v v. Esymaca błedu k k Λ Λ λ λ ) v v k + k ε k +, lub ε k + k + k Λk + <? k+ λ Λ k + 5. Przerwae oblczeń ε. eśl AK krok, eśl NIE krok 6 6. Wyk ma, ma k + Meoda odwroa zadue ameszą co do modułu warość własą A λ A A λa A, gdze A eosoblwa macerz λ.. Przesuęce wdma Jeśl A λ d dowoly skalar, o ( A di) ( λ d ), czyl warośc włase przesuęe macerzy będą przesuęym waroścam macerzy A Meoda poęgowa es zbeża zawsze do warośc włase abardze odległe od przesuęca. Meoda odwroa es zbeża zawsze do warośc włase ablższe przesuęcu.

6 . ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Meody służące do rozwązaa układu rówań AX B moża podzelć a: meody dokłade (bezpośrede) Gauss Jorda de A ( ) (, ) Cholesky A A A > (Choleskego-Baachewcza) meody eracye (przyblżoe) Jacob Gauss-Sedel specale froal soluo gradeów sprężoych.. Meoda elmac Gaussa (I) elmaca wprzód (doprowadzae do macerzy góro-rókąe) (II) podsawae wsecz (zadowae koleych ewadomych ) Przykład AMb IM [ ] [ ] (I) zamaa werszy, (II) /7; -/5; 8/5; -/7. Ogóly algorym A b a b,,,..., gdze a a L a a a a a L A L.. a a a L a

7 I Krok wprzód ( k ) ( k ) ( k ) k k a a m a ( k ) ( k ) ( k ) k k b b m b gdze ( k -) ak ( ) ( ) m k, a, ( k -) a b b a kk k,,..., -; k +,...,; k +,..., II Krok wsecz ( ) ( ) b a + a ( ),...,, Oblczae macerzy odwroych X A Sosuąc elmace Gaussa do układu AX I poszczególe kolumy I (macerz edoskowa) daą poszczególe kolumy X.. Meody eracye. Meoda es zbeża gdy macerz A es dodao określoa (waruek wysarczaący). gdy A es dagoale domuąca Algorymy Meoda Jacob ego Meoda Gaussa Sedela ( ) ( ) a + b a ( ) ( ) ( ) a a + b a +,,,..., Przykład Jacob Macerz A wekor sarowy umer erac błąd bezwzględy względy umer erac błąd bezwzględy względy umer erac Gauss-Sedel Wekor prawe sroy b wekor sarowy umer erac błąd bezwzględy względy umer erac błąd bezwzględy względy.75.7 umer erac

8 błąd bezwzględy względy umer erac błąd bezwzględy względy.9.9 umer erac błąd bezwzględy względy.55. umer erac 9 błąd bezwzględy względy.59 *.e-.85*.e- błąd bezwzględy względy umer erac błąd bezwzględy względy.8.5 umer erac błąd bezwzględy względy.787 *.e-.9*.e-.. Nadokreśloy układ rówań m m ( ) ( ) A b B A b A b Resduum -> m B ( ) A A b A A A b A b A A A b m m Przykład: A b y - - A A , A b y 6 9 7

9 5. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ I UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH 5.. Rówaa elowe Meoda erac prose werdzee zbeżośc f f L ( ) ( ) ( ) Meoda f ( ) Newoa, < < lm f ( ) Meoda seczych,, ; L [ a b] f f f Regula fals, f Bsekc f-, f - - ( - - ) f - f f ( ) f ( ) < ( + )/ - f ( ) f ( ) < 5.. Układy rówań elowych Meoda Newoa Raphsoa F F F y, J - Jakoba J F F y Układ rówań szybce sę oblcza bez odwracaa macerzy +, J F lm Przykład: ( ) ( ) f y f + y y J Jakoba y 6. BŁĄD I SABILNOŚĆ OBLICZEŃ Eapy modelowaa zwązae z błędam Obek rzeczywsy Model maemayczy Model umeryczy Oblczea

10 Klasyfkaca błędów Rozwązyway problem F b - orma;. Błąd bezwzględy (absoluy) ε ~ warość dokłada, % - warość przyblżoa. Błąd względy Zbeżość ~ δ δ lmδ. Błąd resdualy (resduum) R F( % ) b ; lub względy R F( % ) b / b ; Dobrze źle sformułowae zadae λma Uwarukowae, wskaźk uwarukowaa cod F λ Sablość brak sablośc m 7. INERPOLACJA I APROKSYMACJA Ierpolaca m ε a a Aproksymaca f ( ) g( ) aϕ ( ) + aϕ ( ) amϕ m( ) a ϕ P ( ) gdze: a a K a - ewadome współczyk aproksymac { } { ( ) ( )} ϕ ϕ K ϕ - fukce bazowe { () (m) } K - węzły aproksymac ε ( ) f ( ) P ( ) - błąd aproksymac

11 7.. Ierpolaca P ( ) f,,,... Ierpolaca Lagraga f( ) P ( ),,,, () L ()f P () L () bazowe welomay Lagrage ( - )( - ) L( - )( - ) L( - ) ( )( ) L( )( ) L( ) ( ) - + L ( ) ( ) f,,,, L ( ) f,,,, Dla welomay Lagraga ( )( ) ( )( ) ( - )( - ) ( )( - ) () L () - ( - )( - ) ( )( - ) () L () - ( - )( - ) ( )( - ) () L () - ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) P () f + f + f

12 7.. Ierpolaca Herme P ( ) f h ( ) + f g ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ( ) ( ) ( ) h L L g ( ) L ( ) 7.. Nalepsza aproksymaca f ( ) P ( ) a ϕ ε f P Poszukwae są współczyk a dla kórych m ε m f P Przykład Zaleźć alepszą lową aproksymacę dla fukc dae w posac zboru puków: {(, ), (, ), (, ), (, )} a sposób Nadokreśloy układ rówań macerz A A A A f wekor y [ ] A y [6 9] Rozwązuemy układ rówań (A A )* C A f C [-.5,.8] - współczyk aproksymac Rozwązae P()

13 sposób P( ) a + a ( ) I ε f - P( ) ( - a - a ) +( - a - a ) +( - a - a ) +( - a - a ) I [ -( - a - a ) - ( - a - a ) - a ( - a - a ) - a ( - a - a ) ] a I [ -( - a - a ) - ( - a - a ) - ( - a - a ) - ( - a - a ) ] a.5; a.8 a Rozwązae P()

Podobne dokumenty

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0