Wyrażanie niepewności pomiaru

Transkrypt

1 Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05

2 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway jest z epewoścą pomarową. Fakt te zwązay jest e tylko z edoskoałoścą dzałań człoweka, lecz także z edoskoałoścą wykoaa przyrządów pomarowych, przypadkowym staem mater w chwl dokoywaa pomaru, wpływem procesu pomarowego a welkość merzoą oraz przyblżoym charakterem model rzeczywstośc opsywaych w postac praw fzyk. Zasady oblczaa szacowaa epewośc pomarowych, a także ocey wyków pomarów zawarte są w orme opublkowaej w 995 roku przez Mędzyarodową Orgazację Normalzacyją (ISO). Wersja polska wydaa w roku 999 przez Główy Urząd Mar os azwę Wyrażae epewośc pomaru. Przewodk. Staow oa podstawę opracowaa strukcj określaa epewośc pomarów wykorzystywaej w Laboratorum Fzyk. Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

3 Najważejsze elemety obowązujących orm Rozróżee mędzy epewoścą pomarów a błędam w potoczym tego słowa zaczeu Przyjęce jedoltej termolog Kosekwete stosowae metod statystyczych Podzał składków epewośc a dwe kategore zależe od sposobów oblczaa ch wartośc (typ A typ B), a e od przyczy ch powstawaa Dokłady ops metod określaa epewośc pomarów Określee kowecj zapsu wyków epewośc pomarów Możlwość jedozaczej terpretacj wyków pomarów wykoywaych w różych mejscach w różym czase a całym śwece Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

4 Źródła epewośc Nepewośc zwązae z epełą defcją welkośc merzoej Nepewośc zwązae z wykoywaem pomarów: edoskoały układ pomaru welkośc merzoej ereprezetatywe pomary epeła zajomość oddzaływań otoczea a pomar błędy obserwatora w odczytywau wskazań przyrządów przyblżea założea upraszczające tkwące w metodze procedurze pomarowej zmay kolejych wyków pomarów welkośc merzoej w pozore detyczych warukach Nepewośc zwązae z przyrządam pomarowym: skończoa zdolość rozdzelcza przyrządów edokłade wartośc przypsae wzorcom materałom odesea Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

5 Rodzaje pomarów Pomar bezpośred welkość merzoą porówuje sę ze wzorcem lub pomar wykoyway jest przy użycu jedego przyrządu Sera pomarowa Błąd gruby Pomar pośred a podstawe pomarów bezpośredch jedej lub klku welkośc fzyczych oblcza sę welkość od ch zależą (a podstawe zaej zależośc fukcyjej) Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

6 Główe pojęca () Nepewość pomaru (ucertaty) parametr, zwązay z wykem pomaru, charakteryzujący rozrzut wartośc, które moża w uzasadoy sposób przypsać welkośc merzoej. epewość = wątplwość epewość + przymotk = mara loścowa tego pojęca Nepewość stadardowa (stadard ucertaty) u() epewość wyku pomaru wyrażoa w forme odchylea stadardowego (estymator waracj) (a przykład odchylee stadardowe średej). Zaps: u, u() lub u(azwa). u e jest fukcją, tylko lczbą! Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

7 Pomary bezpośrede Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

8 Główe pojęca () Oblczae epewośc stadardowej metoda typu A (type A evaluato of ucertaty) metoda oblczaa epewośc pomaru a drodze aalzy statystyczej ser wyków pomarów. Wyk pomaru: wartość średa Założea: prawdopodobeństwo występowaa wyków mejszych wększych od średej jedakowe m wększe odchylee od średej, tym mejsze prawdopodobeństwo wystąpea pomaru Efekt: Im wększa lczba pomarów, tym bardzej wykres rozrzutu pomarów podoby jest do rozkładu Gaussa (rozkład gęstośc prawdopodobeństwa). Przykłady: oblczae odchylea stadardowego średej dla ser ezależych obserwacj albo użyce ajmejszej sumy kwadratów w celu dopasowaa krzywej do daych oblczee parametrów krzywej oraz ch epewośc stadardowych. Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

9 Rozkład Gaussa Rozkład dla zmeej cągłej: ( ) ep ) μ wartość oczekwaa σ odchylee stadardowe ( ()d 3 3 ( ) d ( ) d ( ) d 0,683 0, 997 0, 954 Rozkład Gaussa dla skończoej lczby pomarów: za wartość oczekwaą przyjmujemy średą arytmetyczą, a za odchylee stadardowe - odchylee stadardowe wartośc średej. Nepewość stadardowa dla ser pomarowej oblczaa metodą typu A jest rówa odchyleu stadardowemu średej u( ) s ( ) ( ) Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

10 Główe pojęca (3) Oblczae epewośc stadardowej - metoda typu B (type B evaluato of ucertaty) metoda oblczaa epewośc pomaru sposobam ym ż aalza statystycza ser pomarowej, czyl a drodze ej ż metoda typu A. Oparta jest zwykle o aukowy osąd eksperymetatora borącego pod uwagę wszystke dostępe formacje (wedza o przyrządach, badaym materale, tp.) Założee: prawdopodobeństwo uzyskaa wyku meszczącego sę w przedzale wyzaczoym przez wyk epewość wzorcowaa jest stałe rozkład jedostajy Nepewość wzorcowaa (efekt dokładośc wzorcowaa ) Nepewość eksperymetatora (efekt dokładośc eksperymetatora e ) u( ) 3 ( ) 3 Prawo dodawaa epewośc u( ) s ( ) 3 ( ) 3 e Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

11 Rozkład jedostajy Gęstość prawdopodobeństwa w przedzale od a do b jest stała róża od zera, a poza m rówa zeru Fukcja rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa dla rozkładu jedostajego: () () 0 dla pozostalyc h Wartość oczekwaa: Waracja: a b b a () Nepewość stadardowa oblczaa metodą typu B jest rówa odchyleu stadardowemu a = - b = u( ) ( ) 3 3 Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

12 Oblczae epewośc stadardowej typu B () przykłady: przyrządy mechacze Ljka, śruba mkrometrycza, suwmarka Termometr, barometr aalogowy Dokładość wzorcowaa : połowa dzałk elemetarej Stoper Wszystke przyrządy aalogowe ebędące merkam u( ) 3 Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

13 Oblczae epewośc stadardowej typu B () przykłady: merk aalogowe Zakres pomarowy ajwększa wartość jaką może zmerzyć przyrząd pomarowy przy określoym ustaweu pokrętła (klawsza, przycsku, ) wyboru zakresu. Klasa przyrządu dokładość z jaką przyrząd pomarowy przekształca sygał pomarowy a wskazae odczytywae przez obserwatora. Klasa przyrządu jest podawaa przez produceta w procetach zakresu pomarowego. Nepewość wzorcowaa: klasa zakres 00 u( ) 3 Nepewość obserwatora: e zakres lczba dzalek e u( ) 3 Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

14 Oblczae epewośc stadardowej typu B (3) przykłady: merk cyfrowe Nepewość pomaru dla merków elektroczych (cyfrowych): welkość merzoa c z zakres pomarowy cz u( ) 3 c, c współczyk dla daego przyrządu (podawae a przyrządach lub a tablczce przy ćwczeu), p. c = 0,%, c = 0,0% Wybór fukcj Zakres pomarowy Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

15 Oblczae epewośc - pomary bezpośrede podsumowae Wykoać pomar welkośc szukaej (pomar pojedyczy lub sera pomarowa) Oblczyć epewość typu A Wyk pomaru średa arytmetycza Nepewość stadardowa odchylee stadardowe welkośc średej u( ) s ( ) ( ) Oblczyć epewość typu B Nepewość wzorcowaa ( Nepewość eksperymetatora e u( ) 3 ) 3 Składae epewośc u( ) s ( ) 3 ( ) 3 e Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

16 Pomary pośrede Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

17 Główe pojęca (4) Złożoa epewość stadardowa (combed stadard ucertaty) u c () epewość stadardowa wyku pomaru określaa, gdy wyk te jest otrzymyway ze zmerzoych bezpośredo ych welkośc, czyl w przypadku pomarów pośredch (epewość pomarów pośredch oblczaa z prawa przeoszea epewośc pomaru). Pomary o welkoścach wejścowych skorelowaych Pomary o welkoścach wejścowych eskorelowaych W laboratorum wszystke pomary są pomaram eskorelowaym Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

18 Oblczae epewośc - pomary pośrede podsumowae Wykoać pomary k welkośc merzoych bezpośredo (pojedycze lub sere) z f (,,..., k ) Wyzaczyć wartośc średe welkośc merzoych bezpośredo epewośc stadardowe (mogą być oblczae metodą typu A /lub typu B) patrz poprzed slajd,,..., k u( ), u( ),..., u( k ) Oblczyć wyk pomaru z f (,,..., k ) Oblczyć epewość złożoą (prawo propagacj epewośc) u c ( z) j k f ( j j ) u ( j ) Przykład: dla dwóch zmeych (często spotykay przypadek w laboratorum) u c ( z) f (, y) u ( ) f (, y) y u ( y) Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

19 Główe pojęca (5) Nepewość rozszerzoa (epaded ucertaty) U() lub U c () welkość określająca przedzał wokół wyku pomaru, od którego oczekuje sę, że obejmuje przeważającą część wyków (wartośc, które w uzasadoy sposób moża przypsać welkośc merzoej). Nepewość stadardowa u() wyzacza przedzał zalezea wartośc prawdzwej Nepewość typu A: prawdopodobeństwo 68% Nepewość typu B: prawdopodobeństwo 58% Cel wprowadzea epewośc rozszerzoej: Porówywae wyków uzyskaych w różych laboratorach Porówae z wartoścą tablcową lub teoretyczą Do celów komercyjych Do ustalaa orm przemysłowych, zdrowotych, bezpeczeństwa Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

20 Główe pojęca (6) Współczyk rozszerzea (coverage factor) k współczyk lczbowy, możk epewośc stadardowej, stosoway w celu uzyskaa epewośc rozszerzoej. k zawera sę w gracach od do 3. Dla wększośc zastosowań, w tym w praktyce laboratoryjej, zaleca sę przyjęce wartośc k =. Nepewość rozszerzoa U() wyzacza przedzał zalezea wartośc prawdzwej. Dla k = : Nepewość typu A: prawdopodobeństwo 95% Nepewość typu B: prawdopodobeństwo 00% (00% już dla k=,73!) U( ) k u( ) Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

21 Prawdłowy zaps wyków Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

22 Prawdłowy zaps wyków pomarów () Zasada zapsu z cyfram zaczącym ozacza to, że epewość ma cyfry zaczące Zaps wyku pomaru (wartośc ajbardzej prawdopodobej) z dokładoścą określoą przez prawdłowy zaps epewośc Zaokrąglae zgode z zasadam matematyk Nepewość stadardowa t =,364 s, u(t) = 0,03 s t =,364(3) s, zaps zalecay t =,364(0,03) s Nepewość rozszerzoa t =,364 s, U(t) = 0,046 s (k = ) = t = (,364±0,046) s. zaps zalecay opcjoale Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

23 Prawdłowy zaps wyków pomarów () przykłady Wyk pomarów oblczeń Prawdłowy zaps a = 3,735 m/s; u(a) = 0,4678 m/s a = 3,74 m/s; u(a) = 0,5 m/s a = 3,74(0,5) m/s a = 3,74(5) m/s b = 3785 m; u(b) = 330 m C = 0, F; u c (C) = 0, F T = 373,43 K; u(t) =,3456 K b = 3800 m; u(b) = 300 m b = 3800(300) m b = 3,8(,3) 0 3 m b = 3,8(,3) km C=0,00000 F; u c (C)=0, F C =,00(0,56) 0-6 F C =,00(56) 0-6 F C =,00(56) μf T = 373,4 K; u(t) =,3 K T = 373,4(,3) K U(T) = 4,7 K T = (373,4 ± 4,7) K Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

24 Metody weryfkacj hpotez Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

25 Weryfkacja hpotezy lowośc Wykres fukcj Metoda ajmejszych kwadratów Testy statystycze Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

26 Wykres fukcj Najprostsza, łatwa do zastosowaa metoda Poprowadzee teoretyczej fukcj a wykrese prezetującym wyk pomarów wraz z uwzględeem odcków epewośc. Poprowadzoa prosta powa przecąć odck epewośc co ajmej /3 puktów pomarowych. Jeśl e odrzucee hpotezy o lowośc Zasady tworzea wykresów patrz stroa teretowa laboratorum Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

27 Metoda ajmejszych kwadratów () Cel: weryfkacja, czy welkośc zmerzoe zależą od sebe w sposób opsay teoretycze Założee: każdą zależość fzyczą moża sprowadzć do zależośc lowej y = a + b Metoda: ajmejszych kwadratów zalezee prostej, dla której suma kwadratów odległośc puktów pomarowych od tej prostej jest ajmejsza, czyl mówąc potocze, zalezee prostej leżącej ajblżej puktów pomarowych Wyk oblczeń: a, b oraz epewość u(a) epewość u(b) (epewośc stadardowe oblczae metodą typu A wartośc a b) Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

28 Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Metoda ajmejszych kwadratów () ~ a y b y a ~ ~ ~ ~ d y a y ~ ~ ~ s s d s a b a y = a + b Dokłade wzory wykorzystywae przez wększość programów wykoujących dopasowae fukcj lowej do daego zboru puktów pomarowych

29 Metoda ajmejszych kwadratów (3) Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

30 Test () Zmea testowa Defcja Waga statystycza Przypadek dla fukcj lowej Pozom stotośc prawdopodobeństwo odrzucea założoej hpotezy Lczba z zakresu od do 0 Wybór zależy od obserwatora (zazwyczaj przyjmuje sę wartość 0,05) Zależość od lczby stop swobody (lczba pomarów mus lczba wyzaczaych parametrów) w ( y w ( y y( )) B( ) A) w [ u( y )] Wartość krytycza χ krytycza (odczytaa z tabel dla przyjętego pozomu stotośc stop swobody) Porówae wartośc krytyczej dośwadczalej χ χ krytycza - brak podstaw do odrzucea hpotezy χ > χ krytycza - odrzucć hpotezę o lowej zależośc Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska

31 Test () (w programe Org) Equato (rówae) fukcja, którą dopasowao do zboru daych. W przykładze jest to rówae lowe y = a + b*. Weght (waga) sposób oblczaa wag statystyczej pomaru. Istrumetal ozacza, że waga w oblczaa jest jako kwadrat odwrotośc epewośc pomaru y (welkość poberaa z kolumy epewośc welkośc Y). Resdual Sum of Squares jest to wartość fukcj χ (aby ta wartość została wyśwetloa w tabelce z wykam, koecze jest zazaczee opcj Resdual Sum of Square w Quattes to Compute>Ft statstcs w oke parametrów dopasowaa lowego (Ft Lear)). Adj. R-Square (ormoway współczyk determacj) mara dopasowaa modelu. Im blższy jedośc, tym dopasowae do modelu blższe. Value (wartość) Stadard Error (epewość stadardowa typu A) dla welkośc a b. Itercept (wyraz woly a) Slope (współczyk kerukowy b). Ops azwy parametrów zależą od wersj programu! Laboratorum Fzyk, Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska