Badania Operacyjne (dualnośc w programowaniu liniowym)

Transkrypt

1 Badaa Operacye (dualośc w programowau lowym) Zadae programowaa lowego (PL) w postac stadardowe a maksmum () c x = max, podczas gdy spełoe są erówośc () ax = b ( m ), x 0 ( ) Zadae programowaa lowego (PL) w postac stadardowe a mmum () c x = m, podczas gdy spełoe są erówośc (4) ax = b ( m ), x 0 ( ) Zmeym decyzyym są tu zmeex 0 ( ), zaś pozostałe lczby traktuemy ako parametry modelu, czyl zmee egzogecze W przypadku zadaa PL a maksmum ()-() adamy m teraz astępuące ekoomcze terpretace: c = cea edostk produktu falego; x = lośc sztuk wyprodukowaych sprzedaych produktów falych; a = lośc edostek czyka produkc potrzebych do wyprodukowaa edostk produktu falego Wyaśmy że czykam produkc mogą byc p roboczogodzy, elaa, weła, materał a podszewkę (w zakładach kraweckch szyących gartury) tp A zatem () podae wzór a przychód ze sprzedaży wszystkch produktów falych (garturów, suk, płaszczy, tp) O czym w takm raze mówą erówośc występuące w ()? Weźmy pod uwagę perwszą z tych erówośc: a x + a x + a x + + a x = lośc czyka produkc (p roboczogodz) potrzebych do uszyca x garturów, x suk, x płaszczy, tp Łącze ta lośc

2 składka : (roboczogodz) mus być ż dostępa w te frme lośc roboczogo- dz, czyl b gdyż b = zapasy w magazye -go czyka produkc (roboczogodz) Aalogcze, b = zapasy w magazye -go czyka produkc (elay); b = zapasy w magazye -go czyka produkc (weły); b = zapasy w magazye 4-go czyka produkc (materał a podszewkę); td 4 Łatwo teraz wdac że druge rówae w (), czyl a x + ax + ax + + a x ozacza lość czyka produkc (elay) potrzebego do uszyca x garturów, x suk, x płaszczy, tp Łącze ta lość składka (elay) mus być ż dostępa w te frme lość elay, czyl b Aalogcza uwaga odos sę do -go 4-go czyka produkc, tz weły oraz materału a podszewkę Wosek Zadae PL a maxmum ozacza maksymalzacę przychodów ze sprzedaży przy produkc którą frma est w stae wykoac przy wykorzystau edye dostępych w e magazyach zapasów wszystkch czyków produkc Przykład Rozważmy y przykład zagadea PL a maxmum odoszący sę do pewe frmy ABC: (5a) (5b) x + 4x max gdy x 0, x 0 oraz x 4x x + x + 9x + 5x Jak wdac, cea sprzedaży produktu falego wyos zł, zaś produktu falego rówa est 4zł Do ch produkc potrzebe są czyk produkc: I, II, III Zapasy czyka produkc I wyoszą 44 edostek, zapasy czyka II 54 edostek, zaś zapasy czyka III edostek Do wytworzea edostk produktu falego

3 potrzeba edostk czyka produkc I, zaś do wytworzea edostk produktu falego potrzeba edostek czyka produkc I Zatem dla wytworzea całe produkc ( x sztuk produktu falego oraz x produktu falego ) potrzeba x + x edostek czyka produkc I przy czym lczba ta me może przekroczyc zapasu tego czyka w magazye W aalogczy sposób terpretuemy -ą -ą erówośc w (5b) Zalezee optymalych wartośc dla zmeych decyzyych x oraz x to zadae dla zarządu frmy ABC Powstae aturale pytae: Jake zadae PL powa rozwązać frma DEF, będąca kokuretem frmy ABC, która chce kupc/przeąc ABC? Badaa Operacye, ako dyscypla wedzy, udzelaa astepuące odpowedz a to pytae Frma DEF powa zaoferowac take cey y, y, y za edostkę czyka produkc I, II, III tak aby z ede stroy mmalzować oferowaą ceę za wszystke czyk produkc (włączaąc roboczogodzy), czyl (6) 44y + 54y + y m, y 0, y 0, y 0 oraz aby z druge stroy zachęcac właśccel ABC do sprzedaży ch frmy W ak sposób może to zrobc? Wystarczy że DEF pokaże że płac wystarczaąco dużo, a węc p tyle że oferowaa przez ą cea za wszystke czyk produkc borące udzał w wytworzeu dowolego produktu falego (łącze z roboczogodzam) est wększa bądź rówa cee aka uzyskue ABC za te produkt Matematycze to umuąc, ozacza to że spełoe są poższe erówośc (7) y y + 4y + 9y + y + 5y 4 Rzeczywśce, zgode z (5), aby wytworzyc produkt faly, którego cea sprzedaży wyos zł, potrzeba wystarcza użyc edostk -go czyka produkc, 4 edostk -go czyka produkc oraz -a edostkę -go czyka produkc Speł-, ee erówośc (7) ozacza że frma DEF oferue take peądze za czyk

4 4 produkc które pokrywaą całkowte koszty wytworzea każdego z dwóch (w tym przypadku) produktów falych W te sposób, eako mmochodem, sformułowalśmy zadae duale (6)-(7), oza- czae dale przez (ZD), do zadaa perwotego (5a)-(5b), ozaczaego w dalsze częśc przez (ZP) Czym sę róż (ZD) od (ZP)?, albo w czym te zadaa są do sebe podobe? Otóż, (ZP) które rozważalśmy moża zapsac bardzo krótko w postac macerzowowektorowe (8) a, x max gdy Ax b, 44 x gdze a = (,4); x = ; A = x 4 9 ; b = 54, 5 zaś (ZD) zdefowae wzoram (6)-(7) zapsuemy rówe prosto: (9) b, y m gdy A T y a, gdze b = (44,54,); y T 4 y = y ; A = ; a = y Teraz podamy trochę teor Nech dae będze zadae programowaa lowego ZP: c, x max gdy Ax b Twerdzee Jeżel x est rozwązaem dopuszczalym dla ZP to zaczy Ax b, zaś yest rozwązaem dopuszczalym dla ZD, to zaczy A T y c, to c, x b, y, to zaczy oferowaa cea zakupu frmy ABC (wszystkch e czyków produkc) rówa est bądź wększa od przychodu ze sprzedaży frmy ABC, czyl od c, x

5 5 Twerdzee Jeśl steą rozwązaa dopuszczale x = ( x, x,, x ) dla ZP oraz y = ( y, y, y ) dla ZD, take że c, x = b, y, to x oraz y są opty- male m Wosek Załóżmy że cała produkca est sprzedawaa, zatem produkcyość możemy merzyć welkoścą sprzedaży W take sytuac krańcowa produkcyość edostk -ego środka (czyka) produkc rówa est y, gdze m Ozacza to że eśl zarząd frmy ABC chce zać krańcową produkcyość we włase frme, powe postawć sę w położee zarządu frmy DEF rozwązać ZD które a perwszy rzut oka ma ewele lub c wspólego z frmą ABC! Dowód Wemy ż c, x = b, y, tz (0) c, x = m cx = c x + cx + cx = by + by + bmy m = by = b, y = = Aby oblczyć krańcową produkcyość edostk -ego czyka produkc, zwęk- szmy lość zasobów -ego czyka produkc z b do b + Wówczas wartość prawe stroy rówośc (0) zwększy sę o y gdyż ( b + ) y by = y, zaś lewa stroa merząca optymalą welkość sprzedaży mus a mocy twerdzea zwekszyć sę o tyle samo! Ozacza to że krańcowa sprzedawalość, a węc krańcowa produkcyość (z uwag a to że cała produkca est sprzedawaa) rówa est zmae po prawe stroe rówośc (0), czyl ak pokazalśmy lczbe y Wosek Jeśl krańcowa produkcyość -ego środka produkc est wększa ż > p ego cea zakupu ( y = cea zakupu -ego czyka produkc), to opłaca sę zwększyć zasoby tego czyka o tyle aż astap zrówae krańcowe produkcyośc z ceą zakupu Wosek dotyczy mędzy ym roboczogodz, a węc lośc robotków w zakładze produkcyym Scśle mówąc, eśl robotk wytwarza węce sprzedae

6 6 produkc (w cągu p da ż wyos ego dówka), to frma powa zatrudć węce robotków gdyz a każde take dówce frma zaraba ekstra peądze O przecwe sytuac gdy krańcowa produkcyość est mesza ż cea zakupu środka produkc mów koley wosek Wosek 4 Jeśl krańcowa produkcyość -ego środka produkc est mesza ż < p ego cea zakupu ( y = cea zakupu -ego czyka produkc), to frme opłaca sę sprzedać pewą lość -ego środka produkc aż astap zrówae krańcowe produkcyośc z ceą zakupu Gdy czykem produkc są roboczogodzy, warto w take sytuac zwolć część pracowków Przykład (rozwązae zadue sę w dołączoym plku Excelowskm) (ZP) x + x + 6x max gdy 5 x 6x + x + 8x + 7x + x 4 (ZD) x 0 ; x 0 ; x 0 y + 4y+ m gdy y y 7y + 6y + 8y + y y 0 ; y 0 Koleym tematem do omówea a wykładze z Badań Operacyych będze Zasada Programowaa Dyamczego Bellmaa

7 7