Prawdopodobieństwo. jest ilościową miarą niepewności

Transkrypt

1 Prawdopodobieństwo jest ilościową miarą niepewności

2 Eksperyment - zdarzenie elementarne Eksperymentem nazywamy proces, który prowadzi do jednego z możliwych wyników. Nazywamy je wynikami obserwacji, zdarzeniami elementarnymi lub wynikami pomiaru. Przestrzeń prób jest zbiorem wszystkich możliwych wyników eksperymentu. Jest ona zwana przestrzenią zdarzeń elementarnych. Zdarzeniami nazywamy podzbiory przestrzeni prób. Są to zbiory pewnych zdarzeń elementarnych. Mówimy, że zaszło dane zdarzenie, jeżeli zaszło zdarzenie elementarne będące elementem podzbioru odpowiadającego temu zdarzeniu.

3 A zdarzenie polegajπce na wyciπgniíciu Asa z talii kart przestrzeò prób zawiera wszystkie moøliwe wyniki wyciπgniícia któregokolwiek Asa Zdarzenie A: wyciągnięcie Asa The event A, an ace is drawn. A K Q A K Q A K Q A K Q Wyciągnięcie Asa pik The outcome ace of spades means oznacza, that event że zaszło A has occurred. zdarzenie A J J J J

4 Rzucamy dwiema kostkami Przestrzeń szdarzeń elementarnych: a) jeśli rozróżniamy kostki (36 zdarzeń elementarnych): Ω = {(1,1),(1,2),,(1,6),(2,1),(2,2),,(2,6),(3,1),,(6,6)} b) jeśli nie rozróżniamy kostek (21 zdarzeń elementarnych): Ω = {(1,1),(1,2),,(1,6),(2,2),(2,3),,(2,6),(3,3),,(6,6)}

5 Spóźnienie studenta na wykład trwający 45 minut (mierzone w minutach) Ω = {t: 0 t 45} 0 min 45 min 18 min 30 s

6 Spóźnienie dwóch studentów na wykład trwający 45 minut (mierzone w minutach) Ω = {(t1,t2): 0 t1 45, 0 t2 45} 45 min 45 min

7 Przy założeniu równej możliwości zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo zdarzenia A jest względną miarą A w stosunku do miary przestrzeni prób Ω. A miara A miara P (A) = A

8 Event Zdarzenie is not prawie very likely to occur. na pewno nie zajdzie Event is more likely not to occur than to occur. Zdarzenie raczej nie zajdzie niż zajdzie Event Zajście is i niezajście as likely możliwe to occur as not to occur. zdarzenia jest równie Event is more likely niż to nie occur zajdzie than not to occur. Zdarzenie raczej zajdzie Event is very likely to occur. Zdarzenie prawie na pewno zajdzie

9 Zdarzenie A: wyciągnięcie Asa The event A, an ace is drawn. A K Q A K Q A K Q A K Q Wyciągnięcie Asa pik The outcome ace of spades means oznacza, that event że zaszło A has occurred. zdarzenie A J J J J P (A) = 4 52

10 Spóźnienie dwóch studentów na wykład trwający 45 minut (mierzone w minutach) Ω = {(t1,t2): 0 t1 45, 0 t2 45} A - drugi student spóźni się więcej 45 min P(A) = A Ω = = min

11 Podstawowe własności prawdopodobieństwa 0 P(A) 1 P(A) = 1 P(A) gdzie A = Ω! A Ω A A P(A B) = P(A) + P(B) o ile A B = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ogólnie

12 Zdarzenie nazywamy niemożliwym P( ) = 0 Zdarzenie Ω nazywamy pewnym P(Ω) = 1 Zdarzenia A i B nazywamy wykluczającymi się, gdy P (A \ B) =0

13 Zdarzenia niezależne 1/2 Start 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 Ω

14 Zdarzenia niezależne P( ) = 1/2 1/2 = 1/4 A - wyrzucenie orła na jednozłotówce B - wyrzucenie reszki na dwuzłotówce A B - wyrzucenie orła na jednozłotówce i reszki na dwuzłotówce P(A B)=P(A) P(B)

15 Prawdopodobieństwo warunkowe 1/2 Start 1/2 Prawdopodobieństwo warunkowe 1/2 1/2 1/2 1/2

16 Prawdopodobieństwo warunkowe W tabeli podano liczbę rachunków za różne usługi medyczne zgłoszone pewnej firmie ubezpieczeniowej do refundacji w różnych rejonach kraju. Wschód Południe Środkowy Zachód Zachód Pobyt w szpitalu Wizyty lekarskie Usługi ambulatoryjne Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany rachunek pochodzi z Zachodu, jeśli wiadomo, że jest to rachunek za usługi ambulatoryjne?

17 Prawdopodobieństwo warunkowe (względne) W tabeli podano liczbę rachunków za różne usługi medyczne zgłoszone pewnej firmie ubezpieczeniowej do refundacji w różnych rejonach kraju. Pobyt w szpitalu Wizyty lekarskie Usługi ambulatoryjne Wschód Południe Środkowy Zachód Zachód Suma Suma Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany rachunek pochodzi z Zachodu, jeśli wiadomo, że jest to rachunek za usługi ambulatoryjne?

18 Zdarzenie Liczba zdarzeò elementarnych sprzyjajπcych zdarzeniu 1976 A - wybrano rachunek z Zachodu 402 B - wybrano rachunek ambulatoryjny 590 A \ B - wybrano rachunek z Zachodu 99 za us ugi ambulatoryjne Ponieważ szukamy prawdopodobieństwa wybrania rachunku z Zachodu, pod warunkiem, że wiemy, że jest to rachunek za usługi ambulatoryjne, to przestrzeń prób (czyli Ω) redukuje się do zbioru B. Zatem prawdopodobieństwo poszukiwanego zdarzenia wynosi 99/590. Zauważmy jednak, że prawdopodobieństwo to można wyznaczyć licząc iloraz P (A \ B) P (B) = =

19 A A B Ω B

20 A A B Ω B

21 A B Ω Miara A B względem Ω

22 Ω B Miara B względem Ω

23 A B B Miara A B względem B

24 Warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia A przy zajściu zdarzenia B: P (A B) = P (A \ B) P (B), oile P (B) 6= 0. P(A B) = P(B) P(A B)

25 Niezależność zdarzeń Warunki niezależności zdarzeń: P(A B) = P(A), P(B A) = P(B), P(A B) = P(A) P(B).

26 Prawdopodobieństwo całkowite Ω B 1 B 2 B 3 B 4 A B 1 A B 2 A B 3 A B 4 A P (A) =P (A \ B 1 )+P (A \ B 2 )+P (A \ B 3 )+...

27 Prawdopodobieństwo całkowite P (A) =P (A \ B 1 )+P (A \ B 2 )+P (A \ B 3 )+... = P (A B 1 )P (B 1 )+P (A B 2 )P (B 2 )+P (A B 3 )P (B 3 )+... H D C S A H A D A K Q J A K Q J A K Q J A K Q J X Event Zdarzenie A A: wyciągnięcie figury z talii kart A S A C P (A) = = 16 52

28 Schemat Bernoullego Przeprowadzamy n doświadczeń. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdym doświadczeniu jest stałe, równe p. Prawdopodobieństwo porażki w jednym doświadczeniu jest zatem równe q=1-p. Pytamy się o prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów na n przeprowadzonych doświadczeń.

29 Schemat Bernoullego Prawdopodobieństwo, że na n przeprowadzonych doświadczeń według schematu Bernoullego uzyska się k sukcesów w dowolnej kolejności, wyraża się wzorem n P n,k = k p k q n k. Przypomnijmy, że n k = n!, n!=1 2 3 n. k!(n k)!

30 Obliczyć prawdopodobieństwo, że na 7 rzutów kostką 3 razy wypadnie liczba oczek nie mniejsza od 4. n=7, k=3 Prawdopodobieństwo sukcesu, czyli zdarzenia polegającego na wyrzuceniu 4, 5 lub 6 oczek na kostce do gry wynosi p=3/6=1/2. P 7,3 = = 7! !4! = = = , 27