Elementy kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa.
|
|
- Andrzej Wróbel
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Elementy kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. dr Anna Piekarska-Stachowiak Katedra Biofizyki i Morfogenezy Roślin
2 Kombinatoryka Dział matematyki zajmujący się znajdowaniem liczebności pewnych zbiorów skończonych, związanych z porządkowaniem i losowaniem. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacji i innym działom matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej. Kombinatoryka posługuje się terminologią nie występującą w innych działach matematyki, stąd pozorna jej odrębność.
3 Permutacje Permutacją zbioru skończonego nazywamy każde ustawienie wszystkich jego elementów w dowolnej kolejności. Dwie permutacje uważamy za różne, gdy przynajmniej dwa elementy występują w nich na różnych miejscach. Przykład 1 Mamy tkaniny w trzech kolorach: żółtym, czerwonym i zielonym. Ile różnych trójkolorowych flag można uszyć z tych trzech kolorów? Możliwe ułożenie kolorów na flagach: Odpowiedź: Z trzech kolorów tkanin możliwe jest uszycie sześciu różnych trójkolorowych flag
4 Na ile sposobów możemy uporządkować zbiór złożony z n elementów? Jako pierwszy możemy wziąć dowolny element z naszego zbioru, zatem mamy n możliwości. Po wybraniu pierwszego elementu pozostaje nam n-1 elementów zbioru, zatem mamy n-1 możliwości wzięcia drugiego elementu. Dwa pierwsze elementy możemy wybrać na n(n-1) sposobów. Kolejny element możemy wziąć na n-2 sposoby, zatem trzy elementy możemy wybrać na n(n-1)(n-2) sposobów. Kontynuując powyższe postępowanie aż do ostatniego elementu otrzymamy wzór na liczbę permutacji zbioru n-elementowego n(n-1)(n-2)(n-3) 3 2 1=n! Symbol n! Wprowadzono do matematyki w 1808 roku. 0!=1 1!=1 2!=2 3!=6 4!=24 5!=120 6!=720 7!= !=40 320
5 Przykład 2 Na ile sposobów można ustawić w kolejce trójkę dziewcząt i dwójkę chłopców? Rozwiązanie: Wszystkich ustawień jest (3+2)!=5!=120. Przykład 3 Na ile sposobów można ustawić w kolejce trójkę dziewcząt i dwójkę chłopców przy założeniu, że dziewczęta mają stać przed chłopcami? Rozwiązanie: Dziewczęta możemy ustawić na 3!, a chłopców na 2! sposobów. Zatem razem można ich ustawić na 3! 2! =2 6=12 sposobów Niech A,B,C oznaczają dziewczęta, K,L chłopców. Mamy zatem następujące możliwości ustawienia: ABC KL, ACB KL, BAC KL, BCA KL, CAB KL, CBA KL ABC LK, ACB LK, BAC LK, BCA LK, CAB LK, CBA LK,
6 Przykład 4 Na ile sposobów spośród dziewięciu słów wybrać sześć, gdy kolejność tych słów jest istotna? Rozwiązanie: Na pierwszym miejscu możemy umieścić dowolne z 9 słów, na drugim - dowolne z pozostałych 8,..., na szóstym jedno z 4 wcześniej niewykorzystanych. Zatem na mocy reguły mnożenia rozpatrywany dwuwiersz można uzupełnić sześć spośród dziewięciu słów na : 9*8*7*6*5*4=60480 sposoby.
7 Wariacje bez powtórzeń Jeżeli kolejność w jakiej dokonujemy wyboru jest istotna, a każdy element może być wybrany tylko raz, to spośród danych n różnych elementów, k elementów można wybrać na: n*(n-1)*(n-2)*...*(n-(k-1)) sposobów.przy n=k wzór ten przyjmuje postać: n*(n-1)*(n-2)*...*2*1=n! Wariacją bez powtórzeń k-elementową ze zbioru n-elementowego (k n) nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych elementów tego zbioru. Liczba wariacji bez powtórzeń k-elementowych ze zbioru n- n! elementowego wyraża się wzorem: V k n = (n - k)!
8 Wariacje z powtórzeniami Jeśli kolejność w jakiej dokonujemy wyboru jest istotna, a każdy element może być wybierany wielokrotnie, to spośród danych n różnych elementów, k elementów można wybrać na n*n*n*n*...*n=n k sposobów. Wariacją z powtórzeniami k-elementową ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych lub takich samych elementów tego zbioru. Liczba wariacji z powtórzeniami k-elementowych ze zbioru n- elementowego wyraża się wzorem: W k n = n k
9 Przykład 5 Ile jest a) wszystkich liczb czterocyfrowych, b) liczb czterocyfrowych, w których wszystkie cyfry są różne? Rozwiązanie: a) Na pierwszym miejscu może być dowolna cyfra oprócz 0 (mamy 9 możliwości), na pozostałych trzech miejscach może być dowolna cyfra (10 możliwości). Wszystkich liczb czterocyfrowych mamy: 9*10*10*10=9000. b) Na pierwszym miejscu może być dowolna cyfra oprócz 0 (9 możliwości), na drugim miejscu dowolna oprócz tej, która jest na miejscu pierwszym (9 możliwości), na trzecim miejscu - dowolna oprócz dwu pierwszych (8 możliwości), na czwartym miejscu dowolna oprócz trzech pierwszych (7 możliwości). Wszystkich liczb czterocyfrowych, w których wszystkie cyfry są różne jest: 9*9*8*7=4536.
10 Kombinacje Kombinacją k elementów spośród n elementów tworzących pewien zbiór nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru. Dwie kombinacje uważamy za różne, gdy jakiś element występuje w jednej z tych kombinacji, a nie występuje w drugiej. Przykład 6 Wypisz wszystkie kombinacje k elementów spośród A,B,C,D, dla k=0,1,2,3,4. k=0 k=1 A B C D k=2 AB AC AD BC BD CD k=3 ABC ABD ACD BCD k=4 ABCD
11 Symbol Newtona nazywany też współczynnikiem dwumianowym, (czytamy n nad k, n po k lub k z n) jest to funkcja dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, zdefiniowana jako n k = n! k! n k! = n (n 1) (n k + 1) 1 2 k Własności symbolu Newtona n 0 = n n = 1 n 1 = n n 1 = n n k = n n k Liczba kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego wyraża się wzorem C k n= n k
12 Trójkąt Pascala
13 Trójkąt Pascala
14 Probabilistyka Probabilistyka (rachunek prawdopodobieństwa) dział matematyki zajmujący się badaniem zjawisk losowych i praw rządzącymi tymi zjawiskami. Rachunek prawdopodobieństwa zaczął się kształtować w XVI wieku gdy zaczęto zauważać pewne prawidłowości w grach hazardowych. Pierwszy dostrzegł je i próbował opisać matematyk włoski Geronimo Cardano ( ). Poważniejszy rozwój rachunku prawdopodobieństwa nastąpił w wieku XVII dzięki pracom P. de Fermat'a i B. Pascal'a (matematycy francuscy)
15 Probabilistyka Za twórcę rachunku prawdopodobieństwa jako działu matematyki uważamy szwajcarskiego matematyka Jakuba Bernoullie'go, który opracował te zagadnienia w wieku XVII. Duży wkład i szybki rozwój tej nauki nastąpił w XIX wieku dzięki pracom Gaussa, Laplace'a, Czybyszewa. Pełnego opracowania i sformalizowania doczekał się rachunek prawdopodobieństwa dopiero w wieku XX dzięki pracom A. Kołogomorowa, matematyka rosyjskiego. Rachunek prawdopodobieństwa stał się podstawą nowoczesnej fizyki - fizyki kwantowej opisującej zachowanie się mikrocząstek. Fizycy kwantowi wykazali, że w świecie mikrocząstek obowiązują prawa probabilistyczne czyli oparte na rachunku prawdopodobieństwa.
16 Pojęcia podstawowe Doświadczenie losowe doświadczenie, które jest powtarzalne ( może być przeprowadzone wielokrotnie w tych samych warunkach) i którego wyniku nie można jednoznacznie przewidzieć. Częstość zdarzenia A- liczba pojawień zdarzenia A podzielona przez liczbę obserwowanych doświadczeń. Doświadczenia losowe charakteryzują się tym, że w długiej serii powtórzeń danego doświadczenia częstości poszczególnych wyników stabilizują się wokół pewnych liczb, które zazwyczaj są przyjmowane jako prawdopodobieństwa tych wyników. Z każdym doświadczeniem losowym związany jest zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia. Zbiór ten oznaczany jest grecką literą i nazywany jest przestrzenią wyników lub przestrzenią zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego.
17 Zdarzenia losowe Załóżmy, że dana jest skończona przestrzeń wyników ={ 1, 2,..., n } pewnego doświadczenia losowego. Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni Jeśli A, to zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A = \A. Zdarzeniem pewnym nazywamy zbiór, zdarzeniem niemożliwym nazywamy pusty podzbiór zbioru, czyli. O takich dwóch zdarzeniach A i B, dla których A B= mówimy, że są to zdarzenia rozłączne. Jeśli A jest zdarzeniem losowym, to o każdym zdarzeniu elementarnym i (i=1,2,...,n) należącym do A mówimy, że sprzyja zdarzeniu A.
18 Przykład 7 Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie dwiema różnymi monetami. Wyznacz przestrzeń wyników tego doświadczenia. Podaj przykłady trzech różnych zdarzeń związanych z tym doświadczeniem. Rozwiązanie: ={(o,r), (o,o), (r,r), (r,o)}, zatem jest zbiorem czteroelementowym Przykładowe zdarzenia: A- wypadł co najmniej jeden orzeł; B- wypadły dwie reszki; C- na każdej monecie wypadło co innego A={(o,o), (o,r), (r,o)} B={(r,r)} C={(o,r), (r,o)}
19 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Niech Ω będzie daną skończoną przestrzenią zdarzeń elementarnych. Jeżeli każdemu zdarzeniu A Ω jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że: P(A) 0, P(Ω) = 1, B Ω i A B = Ø P(A B) = P(A) + P(B) to mówimy, że na zdarzeniach zbioru Ω określone zostało prawdopodobieństwo, a liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeżeli przestrzeń jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (możliwe), natomiast A jest dowolnym zdarzeniem w tej przestrzeni, to P A = A Ω A liczba elementów zbioru A Ω liczba elementów zbioru Ω
20 Własności prawdopodobieństwa P(Ø) = 0, P(Ω) = 1, P(A') = 1 - P(A), P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B), A B P(A) P(B). Jeżeli zdarzenia A 1, A 2,..., A n wykluczają się parami, to P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A n ) Jeżeli A B, to P(B\A)=P(B)-P(A) oraz P(A) P(B)
21 Przykład 8 Oblicz prawdopodobieństwo, że przy trzykrotnym rzucie symetryczną kostką trzy razy pod rząd wypadnie parzysta liczba oczek. Rozwiązanie: = {(x,y,z): x,y,z {1,2,3,4,5,6}}. Ω = 6 3 = 216 A={(x,y,z): x,y,z {2,4,6}} A = 3 3 = 27 Zatem P A = A Ω = = 1 8
22 Przykład 9 Nocą turysta widzi, że taksówka uderza w zaparkowany samochód i ucieka z miejsca zdarzenia. Na komisariacie informuje, że taksówka była niebieska. W mieście są dwa przedsiębiorstwa taksówkowe: niebieskie i zielone. Podejrzanym staje się przedsiębiorstwo niebieskie, jednak policjanci chcą być pewni i następnego wieczoru poddają świadka testowi w podobnych warunkach. Świadek potrafi rozróżnić niebieski samochód od zielonego z 80% pewnością. 80% pewności wystarczyło sędziemu do ogłoszenia wyroku- Przedsiębiorstwo niebieskich musi pokryć koszty naprawy szkody.
23 Przykład 9 c.d. Czy zapadł sprawiedliwy wyrok? W mieście jest 25 taksówek zielonych i 5 niebieskich. Uwzględniając te liczby oraz skuteczność świadka mamy: Taksówka niebieska Taksówka zielona Świadek rozpoznał niebieski kolor Świadek rozpoznał zielony kolor Ze wszystkich 30 taksówek świadek 9 rozpoznał jako niebieskie, oznacza to, że zeznania świadka są bezwartościowe i bez innych poszlak należy postępowanie umorzyć.
24 Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B)>0 nazywamy liczbę: P A B = P(A B) P(B) Przykład 10 W pewnej szkole zauważono, że 25% uczniów uzyskuje dobre wyniki z matematyki, 60% - z języka polskiego, a 20% jednocześnie z obu tych przedmiotów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń jest dobry z języka polskiego przy założeniu, że jest dobry z matematyki? Rozwiązanie: P polski matematyka = = 0.8
25 Prawdopodobieństwo całkowite Jeżeli zdarzenia B 1,B 2,...,B n są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór: P(A)=P(A B 1 ) P(B 1 )+P(A B 2 ) P(B 2 )+...+P(A B n ) P(B n ). Zdarzenia B 1,B 2,...,B n nazywamy zupełnym układem zdarzeń. Przykład 11 W pewnym domu są dwa mieszkania: jedno na parterze i jedno na piętrze. W domu tym są dwa piony wodne; jeden doprowadza wodę do łazienek, drugi do obu kuchni. Pion łazienkowy zużywa 0.7 wody z czego 0.4 trafia na parter, a 0.6 na piętro. Przez pion kuchenny przepływa pozostałe 0.3 z czego parter zużywa 0.8, a piętro 0.2. Jaka część wody doprowadzanej do tego domu zużywają mieszkańcy parteru? Rozwiązanie: P Ł = P Ł 0 P 0 + P Ł 1 P 1 = = = 0.52
26 Drzewa stochastyczne p 1 p 2 krawędzie drzewa A A możliwe wyniki I etap doświadczenia q 1 q 2 q 3 q 4 B B B B możliwe wyniki II etap doświadczenia gałąź drzewa p 1 prawdopodobieństwo zdarzenia A, p 2 prawdopodobieństwo zdarzenia A p 1 +p 2 =1 q 1, q 3 prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B w II etapie q 2, q 4 prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B w II etapie q 1 +q 2 =1 q 3 +q 4 =1
27 Przykład 11 W pewnym domu są dwa mieszkania: jedno na parterze i jedno na piętrze. W domu tym są dwa piony wodne; jeden doprowadza wodę do łazienek, drugi do obu kuchni. Pion łazienkowy zużywa 0.7 wody z czego 0.4 trafia na parter, a 0.6 na piętro. Przez pion kuchenny przepływa pozostałe 0.3 z czego parter zużywa 0.8, a piętro 0.2. Jaka część wody doprowadzanej do tego domu zużywają mieszkańcy parteru? A A B B B B p = = = 0.52
28 Prawdopodobieństwo przyczyny wzór Bayesa Jeżeli zdarzenia B 1, B 2,..., B n tworzą zupełny układ zdarzeń, to dla dowolnego zdarzenia A o prawdopodobieństwie dodatnim: P B 1 A = P A B 1 P(B 1 ) P A B 1 P B 1 + P A B 2 P B P A B n P(B n ) Przykład 12 Pewna choroba występuje u 0.1% ogółu ludzi. Przygotowano test do jej wykrycia. Daje on wynik pozytywny w 99% chorych i 5% osób zdrowych. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba mająca dodatni odczyt jest naprawdę chora. Rozwiązanie: + - osoba ma odczyt pozytywny, - odczyt negatywny Z osoba jest zdrowa, C- osoba jest chora P C + = P + C P(C) P + C P C + P + Z P(Z) = = =
29 Zdarzenia A, B nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy gdy spełniają warunek: P A B = P A P B. Zdarzenia A i B są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi jeden z dwu przypadków: a) P(A B)=P(A), gdy P(B)>0 lub b) P(B)=0. Przykład 13 Dwu strzelców trafia w cel, pierwszy z prawdopodobieństwem 0.8, drugi 0.7. Oddają po jednym strzale. Zakładając, ze trafienia są niezależne, oblicz prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jeden z nich trafi. Rozwiązanie: A- trafi pierwszy strzelec, B- trafi drugi strzelec Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo sumy P(A B)=P(A)+P(B)- P(A B), Stąd mamy P(A B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)= =0.94
30 Schemat Bernoulliego Próbą Bernoulliego nazywamy doświadczenie, w którym otrzymujemy jeden z dwóch możliwych wyników. Jeden z wyników nazywamy sukcesem, drugi porażką. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, prawdopodobieństwo porażki wynosi q=1-p. Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń prób Bernoulliego. Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w n próbach obliczamy ze wzoru: P X = k = n k pk q n k
31 Przykład 14 W długotrwałym badaniu stwierdzono, że pewien lek miał skuteczność w 30%. Lekarz zaaplikował ten lek pięciu pacjentom. Jakie jest prawdopodobieństwo, że lek ten będzie skutecznym środkiem dla trzech pacjentów? Rozwiązanie: Sukces wyleczenie pacjenta p=0.3, q=1-0.3=0.7 Liczba powtórzeń: 5 pacjentów P X = 3 = == = = ! 5 3! 3! = = 2 6
32 Przykład 15 W doniczkę wysiano pięć losowo wybranych nasion o sile kiełkowania 80%. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) nie wykiełkuje żadne z nasion; b) wykiełkuje tylko jedno nasiono; c) wykiełkują tylko dwa nasiona d) wykiełkują tylko trzy nasiona; e) wykiełkują tylko cztery nasiona; f) wykiełkują wszystkie nasiona; g) przedstawić graficzną prezentację tego rozkładu Rozwiązanie: Sukces- wykiełkowanie rośliny p=0.8 a) P(X=0)= b) P(X=1)= c) P(X=2)= d) P(X=3)= e) P(X=4)= f) P(X=5)=
33 Dziękuję za uwagę
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoWybrane treści z rachunku prawdopodobieństwa w kontekście medycznym. M.Zalewska
Wybrane treści z rachunku prawdopodobieństwa w kontekście medycznym M.Zalewska Podstawowe pojęcia Doświadczenie losowe obserwacja zjawiska, którego przebiegu nie umiemy w pełni przewidzieć. Możemy oceniać
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoDODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b
DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoProbabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska
Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 2 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowo= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski
Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowo( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).
KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowoELEMENTY KOMBINATORYKI
ELEMENTY KOMBINATORYKI Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zjawisko. Powstała dzięki grom hazardowym a dopiero później rozwinęła się w gałąź
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowo(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008
STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoStatystyka z elementami rachunku prawdopodobieństwa
Statystyka z elementami rachunku prawdopodobieństwa dr hab. Tomasz Górecki tomasz.gorecki@amu.edu.pl Zakład Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Rachunek prawdopodobieństwa. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka Spis treści Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Liczba wyników doświadczenia losowego. Reguła mnożenia i reguła dodawania
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym
Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Problem przydziału prac
KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa dla informatyków
Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe
Bardziej szczegółowoLista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowo2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.
Literatura:. Jerzy Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania.. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.. J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoJak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?
Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy
Bardziej szczegółowoWymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 3
Wymagania egzaminacyjne z matematyki. lasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. y są ze sobą ściśle powiązane ( + P + R + D + W), stanowiąc ocenę szkolną, i tak: ocenę dopuszczającą (2) otrzymuje uczeń, który spełnił
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoRachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technikum ekonomiczne. Kształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym
Plan wynikowy lasa III Technikum ekonomiczne. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do kombinatoryki
Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoPo co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji
ODSTWY STTYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. opulacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne 6.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Bardziej szczegółowoPodstawy Teorii Prawdopodobieństwa
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoĆw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6
Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoObliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.
Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoProbabilistyka przykłady
Probabilistyka przykłady Przestrzeń zdarzeń Zapisać przestrzeń zdarzeń dla: 1.liczby wygranych gier w serii liczącej trzy gry 2.liczby wizyt u lekarza w ciągu roku 3.ilości czasu (w minutach) od wezwania
Bardziej szczegółowoZdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA nr 1 - KOMBINATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak
ĆWCZENA nr 1 - KOMBNATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak. Reguła mnożenia Jeżeli pewien wybór zależy od skończenie wielu decyzji, przy czym podejmując pierwszą mamy k 1 możliwości
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoUczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów
Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Statystyka Pierwotnie oznaczała stan rzeczy (od status) i do XVIII wieku używana dla określenia zbioru wiadomości o państwie Statystyka
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Rachunek Prawdopodobieństwa Brian Wynne podał następującą typologię zagrożeń znanych i niewiadomych: 1. ryzyko to wiadome nam przyszłe zagrożenia,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Plan wykładów Data WYKŁDY 1.X rachunek prawdopodobieństwa; 8.X zmienna losowa jednowymiarowa, funkcja rozkładu, dystrybuanta 15.X
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 2.10.2018 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s. B006 strona z materiałami
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe
Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 3
Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń
Prawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń Zadanie 1 Po potasowaniu sześciu kart: asa, dwójki, trójki, czwórki, piątki i szóstki wyłożono na stół w rzędzie
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowo