2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.

Transkrypt

1 Literatura:. Jerzy Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania.. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.. J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych.. S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka. Elementy teorii i zadania. Symbol sumy. Symbolem sumy jest grecka litera sigma duża. n k f k k- wskaźnik sumowania n granica sumowania fk wyrażenie zawierające k rzykład: 00 k k Reguły:

2 zmiana symbolu wskaźnika nie zmienia treści, 00 i i 00 k k jeśli wyrażenie fk =c to każdy składnik sumy jest równy c 50 k a 50a czynnik niezależny od wskaźnika można wyłączyć przed znak np. sumy 50 l l 50 l l obie granice sumowania można podwyższyć o dowolna liczbę r zastępując fk przez fk-r 50 l 5 l l 5 l... 5

3 I. Elementy rachunku prawdopodobieństwa.. odstawowe pojęcia. -doświadczenie losowe np. rzut monetą, rzut kostką, obserwacja siły kiełkowania danej rośliny, -zdarzenie elementarne np. wyrzucenie orła, wyrzucenie oczek, liczba ziaren, które wykiełkowały, -przestrzeń zdarzeń elementarnych ozn. -zdarzenie losowe ozn.,, C,... np. wyrzucenie parzystej liczby oczek, wykiełkowanie 50% ziaren, Działania na zdarzeniach analogiczne do działań na zbiorach Suma Iloczyn Różnica - lub - rzykład: Rzucamy razy monetą. -wyrzucono razy orła, -wyrzucono co najmniej reszkę. ={O,O,R, O,R,O,R,O,O} ={O,O,R, O,R,O, R,O,O,R,R,O, O,R,R, R,O,R,R,R,R} Wówczas: ={O,O,R, O,R,O, R,O,O,

4 R,R,O, O,R,R, R,O,R, R,R,R}= = -=R,R,O, O,R,R, R,O,R, R,R,R} -=Ø Zdarzenie niemożliwe Ø Zdarzenie przeciwne: np. -w rzucie monetą zdarzenie wyrzucono orła jest przeciwne do zdarzenia wyrzucono reszkę -w rzucie kostką zdarzenie wyrzucono co najmniej oczka jest przeciwne do zdarzenia wyrzucono oczko Zdarzenia wykluczające się: 0 - w rzucie kostką zdarzenie: wyrzucono parzystą liczbę oczek i zdarzenie: wyrzucono lub 5 oczek wykluczają się. rawdopodobieństwo zdarzeń: Definicja: Niech dana będzie i rodzina zdarzeń S tej przestrzeni. rawdopodobieństwem zdarzenia S nazywamy funkcję :SR spełniającą aksjomaty: =; 0, S;

5 Jeżeli,,... parami się wykluczają, to...= Szczególne przypadki: -definicja klasyczna rzykład: Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy parzystą liczbę oczek? Rozwiązanie: = = -prawdopodobieństwo geometryczne m m rzykład. Jakie jest prawdopodobieństwo, że punkt rzucony w koło o promieniu R znajdzie się wewnątrz wpisanego w nie kwadratu? Rozwiązanie:

6 mω=π R m= = R Własności prawdopodobieństwa: to Gdy R

7 Schemat dwumianowy ernoulliego:. Wykonujemy n - krotnie to samo doświadczenie losowe.. Każde doświadczenie kończy się zajściem zdarzenia sukces lub zdarzenia porażka.. rawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo w każdej powtórce, ozn. =p podobnie jak =-p rawdopodobieństwo k sukcesów w schemacie ernoulliego: n k n k k p gdzie k=0,,...,n; p n k n k n! k! n k! n!... n silnia 0!=!= rzykład Rzucamy 5 razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy razy orła?

8 6 5 0! 5! 8!! 5! rzykład Na określonej trasie jeżdżą autobusy. rawdopodobieństwo awarii każdego z nich w określonym czasie wynosi 0,5. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w tym czasie zepsują się autobusy. 0, !!!