Wstęp. Kurs w skrócie

Transkrypt

1 Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie o prawdopodobieństwie calkowitym Tw. Bayessa. Schematy losowe I ch modele Kurs w skrócie

2 Plan kursu RP I. Przypomnienie pojęć z RP Pojęcia pierwotne: Przestrzeń zdarzeń elementarnych., Zdarzenia losowe. Działania na zdarzeniach. Definicje i własności prawdopodobieństwa; klasyczne, geometryczne, częstościowe, aksjomaty. Kombinatoryka: Twierdzenie o mnożeniu. Wariacje: z powtórzeniami, bez powtórzeń. Kombinacje: z powtórzeniami, bez powtórzeń. Permutacje: z powtórzeniami, bez powtórzeń. Kolokwium I II. Prawdopodobieństwo warunkowe. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym, wzór Bayessa. Niezależność zdarzeń. III. Podstawowe schematy i ich modele probabilistyczne. Schemat Bernoulliego, Uogólniony schemat Bernoulliego, ( model wielomianowy). Schemat Poissona. Schemat Pascala. Model geometryczny. Model kombinatoryczny. Kolokwium II.

3 Literatura: A.D. Aczel; Statystyka w zarządzaniu; PWN, Warszawa 2011 T. Gersterkorn, T. Śródka, Kombinatoryka i Rachunek prawdopodobieństwa PWN 1997 W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, PWN 2012 Z. Hellwig, Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki atematycznej PWN 1995 J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla ( prawie) każdego Script; Warszawa 2006 S. Ostasiewicz, Z.Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka elementy teorii i zadania; Wydawnictwo AE; Wrocław 2006

4 Ocena: 80% kolokwium II 20% kolokwium I Dodatkowe punkty za opracowanie lub przedstawienie studium przypadku. Zaliczenie od 60% maksymalnej liczby punktów z kolokwiów. Praca domowa i obecność na zajęciach obowiązkowa.

5 Wprowadzenie do prawdopodobieństwa.. Dlaczego warto? az-zahr oznacza kość do gry, hazard- sredniowieczna gra w kości, A w naukach ekonomicznych, zarządzaniu? zachorowania kontrola jakości produktów...

6 Definicje Pojęcie pierwotne w rachunku prawdopodobieństwa to Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω. (PZE) Elementy przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω to zdarzenia elementarne ozn. przez ω, np. ω i..., ω ik. W praktyce przestrzeń zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich elementów, które są niepodzielnymi wynikami doświadczenia czy obserwacji. Przykład 1.1. Ze zbioru n elementów np. studentów n losujemy 1 element. Niech k oznacza numer tego elementu ( k=1,2,.. n). Przestrzeń zdarzeń elementarnych to Ω={ω 1,ω 2,...ω n }, przy czym ω κ oznacza wylosowanie k-tego studenta. Przykład 1.2. Z tego samego zbioru losujemy 2 elementy. Jak teraz wygląda PZE? Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω={(ω1,ω2), (ω1, ω3),...(ω1,ωn), (ω2, ω3),...( ω2,ωn),....(ωn 1,ωn)}. Składa się ona z : (n-1) + (n-2) = postaci (ω i, ω j ), gdzie: i,j = 1,2,... n. Jak wygląda PZE gdy losujemy 3 studentów? n(n +1) = 2 ( n 2)

7 Definicje Jeżeli Ω zawiera skończoną lub przeliczalną liczbę elementów ( inaczej co najwyżej przeliczalną liczbę elementów), to każdy podzbiór Ω nazywa się zdarzeniem losowym. Zdarzenie pewne - podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω zawierający wszystkie elementy tej przestrzeni. Zdarzenie niemożliwe - podzbiór pusty przestrzeni zdarzeń elementarnych. Zdarzenie losowe - A,B,C,... lub A 1,A 2,... podzbiory Ω. Sumą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A Β, zawierające wszystkie te zdarzenia elementarne, które należą do A lub B. Iloczynem zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A Β, zawierające wszystkie te zdarzenia elementarne, które należą do A i do B. Iloczyn zdarzeń oznacza, że zajdą one równocześnie. Różnicą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A Β, zawierające wszystkie te zdarzenia elementarne, które należą do A i nie należą do B. Zdarzeniem przeciwnym do A nazywamy zdarzenie A, zawierające wszystkie te zdarzenia elementarne, które nie należą do A, tzn. A = Ω -A. Zdarzenia wykluczające się A Β=

8 Pojęcia sumy i iloczynu zdarzeń można uogólnić na przypadek dowolnej skończonej lub przeliczalnej liczby zdarzeń losowych. A 1 A 2... A n = i=1 n A i A 1 A 2 A 3...= i=1 A i A 1 A 2... A n = i=1 n A A A A...= i i=1 A i

9 Przykład 1.3 Rzucamy jednokrotnie monetą. Określić zdarzenie, wynik zdarzenia, przestrzeń Ω, zdarzenia losowe. Zdarzenie polega na jednokrotnym rzucie monetą (k=1). Wynik zdarzenia O lub R (m=2) Przestrzeń Ω = {Ο,R} Zdarzenia losowe: zdarzenie niemożliwe, {Ο},{R} {O,R} zdarzenie pewne. I R DSM RP Przykład 1.4 Rzucamy dwa razy monetą. Określić zdarzenie, wynik zdarzenia, przestrzeń Ω, zdarzenia losowe. Stwierdzenie Gdy =n to liczba zdarzeń losowych wynosi. Ω 2 n.