Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna

Transkrypt

1 Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz drian Gawor Zadanie.. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że przy rzucie trzema kostkami do gry wypadnie przynajmniej jedna jedynka pod warunkiem, że na każdej kostce wypadnie inna liczba oczek. rzestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutów kostką, przy czym każdy wynik jest równie prawdopodobny. Zdarzenie elementarne jest postaci ω x, y, z gdzie x,y,z mogą przyjmować wartości całkowite od do 6. 3 Zatem Ω 6 6 Ilość możliwych wyników rzutów trzema kostkami Wypadła przynajmniej jedna jedynka na każdej kostce wypadła inna liczba oczek 3*5*4 bo jedynka może być na jednej z trzech pozycji, a pozostałe dwie wartości by spełnić warunek różnowartościowości muszą wybrać z 5 a potem 4 pozostałych wartości 6 * 5 * 4 *5* 4 5** 4 5* 4 * 60 6 * 6 * ierwsza kostka ma do wyboru 6 wartości, druga już tylko 5..itd 6 *5* Szukamy > rzygotowali: Grzegorz Drzymała, Grzegorz Dziemidowicz, drian Gawor

2 Zadanie.. Wiadomo, że 64% bliźniąt to bliźnięta tej samej płci. Znaleźć prawdopodobieństwo, że drugie z bliźniąt jest chłopcem, pod warunkiem, że pierwsze jest chłopcem, przyjmując, że prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca wynosi 0,5. rzyjmijmy oznaczenia: c- chłopiec, d-dziewczynka np. cd oznacza zdarzenie pierwsze bliźnię chłopiec a drugie dziewczynka rzestrzeń zdarzeń elementarnych Ω cc ω, cd ω, dc ω, dd } { 3 ω4 rawdopodobieństwo i-tego zdarzenia ω i pi i,,3,4 Zdarzenie T{ ω,ω 4 } polegające na tym że bliźnięta są tej samej płci T0,64 p p 4 wiemy to z treści zadania Zdarzenie C { ω,ω } - pierwsze bliźnię to chłopiec C p p 0,5 Wiemy to z treści zadania Zdarzenie C { ω,ω3 } drugie bliźnie to chłopiec C p p 3 0,5 p p p 3 p 4 bo Ω { ω, ω, ω3ω4} Korzystamy z aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa Możemy napisać układ równań: p p 4 0,64 p p 0,5 p p 3 0,5 p p p 3 p 4 stąd p 0,36 - p 3 i dalej: p 0,36 - p 3 0,5 czyli p - p 3 0,5 a zatem p 0,66 podstawiając dostajemy w końcu: p 0,33 p 0,8 p 3 0,8 p 4 0,3 C C { ω } C C 0,33 Szukanym prawdopodobieństwem jest: C C C C /7 C rzygotowali: Grzegorz Drzymała, Grzegorz Dziemidowicz, drian Gawor

3 Zadanie.3. Mamy dwie urny z kulami. W pierwszej urnie są białe i 8 czarnych kul, w drugiej 6 białych i 4 czarne kule. Z losowo wybranej urny wyciągamy w sposób losowy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała? Skorzystamy z twierdzenia o prawdopodobieństwie zupełnym. 0,5 0,5 ierwsza urna Druga urna 0, 0,8 0,6 biała 0,4 czarna biała czarna wylosowano urnę pierwszą wylosowano urnę drugą Zdarzenia wykluczają się, a ich alternatywa jest zdarzeniem pewnym. onadto 0,5 wylosowano kule białą Możemy obliczyć iż: 0, 8 6 0, ,5*0, 0,5*0,6 0, 0,3 0,4 Zatem prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi 40% rzygotowali: Grzegorz Drzymała, Grzegorz Dziemidowicz, drian Gawor

4 Zadanie.4. twierdzenie ayesa Rozpatrzmy doświadczenie losowe z zadania 3 polegające na losowym wyborze urny, a z urny kuli. rzypuśćmy, że w wyniku takiego doświadczenia otrzymano kulę białą, ale nie wiemy, z której urny ta kula pochodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kula pochodzi z urny pierwszej? - pierwsza urna - druga urna wylosowano białą kulę Oczywiście 0,5 0, 8 6 0, Z twierdzenia o prawdopodobieństwie zupełnym: 0,5*0, 0,5*0,6 0, 0,3 0,4 z wzoru ayesa zachodzi: 5 0, 0,4 0, *0,5 Zadanie.5. Udowodnij, że jeżeli zdarzenia i są niezależne, to niezależna jest także para zdarzeń i. Założenie: i są niezależne pod warunkiem ze i są. Dowód: * * * rozkładamy na zbiory wykluczające się wiec: Dalej podstawiając : * * * odobnie jak z postępujemy z : znowu otrzymując zbiory wykluczające się odstawiając otrzymujemy: * * * rzygotowali: Grzegorz Drzymała, Grzegorz Dziemidowicz, drian Gawor

5 Zadanie.6. Weźmy pod uwagę rodziny posiadające dwoje dzieci. Czy zdarzenia: - w rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka i - w rodzinie są dzieci obu płci są niezależne? Ω { {chłopiec, dziewczynka}, {dziewczynka, chłopiec}, {chłopiec, chłopiec}, {dziewczynka, dziewczynka}} { {chłopiec, dziewczynka}, {dziewczynka, chłopiec},{chłopiec, chłopiec} } { {chłopiec, dziewczynka}, {dziewczynka, chłopiec}} { {chłopiec, dziewczynka}, {dziewczynka, chłopiec}} } 3/4 /4 /4 Z definicji, nie są niezależne, bo * /4 3/4 Wiemy że zdarzenia są niezależne, jeśli * Zadanie.7. Weźmy pod uwagę rodziny posiadające troje dzieci. Czy zdarzenia: - w rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka i - w rodzinie są dzieci obu płci są niezależne? Wprowadźmy oznaczenie: Dziewczynka, Chłopiec 0 Ω {0,0,0 ; 0,0,; 0,,0; 0,,;,0,0;,0,;,,0;,, } {0,0,0 ; 0,0,; 0,,0;,0,0; } { 0,0,; 0,,0; 0,,;,0,0;,0,;,,0; } { 0,0,; 0,,0;,0,0; } 4/8 6/8 3/8 Z definicji, są niezależne, bo * 3/8 4/8 * 6/8 Zadanie.8. Zadanie S. N. ernsteina. rzypuśćmy, że w urnie znajdują się 4 kule ponumerowane liczbami:,,,. Z urny wyciągamy w sposób losowy jedną kulę. Oznaczmy przez i i,,3 zdarzenie polegające na tym, że w numerze wyciągniętej kuli cyfra znajduje się na i -tym miejscu licząc od lewej strony. Wykazać, że zdarzenia,, 3 są parami niezależne, natomiast nie są niezależne łącznie. Ω {,,,} {,} {,} 3 {,}, {}, 3 {}, 3 {},, 3 φ, /, / 3, /, ¼, 3 ¼, 3 ¼ Widać, że parami są niezależne, natomiast,, 3, 0 więc nie są niezależne łącznie rzygotowali: Grzegorz Drzymała, Grzegorz Dziemidowicz, drian Gawor

6 Zadanie.9. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu orła co najmniej raz przy dwukrotnym rzucie monetą symetryczną? Zadanie rozwiązać wykorzystując schemat ernoulliego. ` - nie wyrzucimy orła ani razu, czyli wyrzucimy dwie reszki Sukces wypadnięcie reszki orażka wypadnięcie orła 0 ` 0,5 *0,5 0,5 Więc szukane prawdopodobieństwo 0,75 Zadanie.0. W urnie jest N kul, z czego b białych i c czarnych. Dokonujemy n -krotnego losowania kuli z urny zwracając każdą n wylosowaną kulę z powrotem do urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wylosowanych n kul k będzie k białych kul Sukces wylosowanie białej n n b k c * * nk k k N N Zadanie.. Wiadomo, że przy dziesięciokrotnym rzucie kostką wypadła co najmniej jedna jedynka. Obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe, że wypadły co najmniej dwie jedynki. - wypadła co najmniej jedynka - nie wypadła żadna jedynka - wypadły co najmniej jedynki - wypadła lub 0 jedynek Z - wypadły co najmniej jedynki pod warunkiem ze wypadła jedna * * , rzygotowali: Grzegorz Drzymała, Grzegorz Dziemidowicz, drian Gawor

7 * * 3* , Z 0, ,6 0, Zadanie.. rawdopodobieństwo wylęgnięcia się kurczaka z zapłodnionego jaja wynosi /. Z jaj, z których 4 są zapłodnione, a 8 nie zapłodnionych wybieramy losowo do inkubacji 3 jaja. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylęgnie się choćby jeden kurczak? J 8/ 4/ nie zap. zap. 7/ 4/ 8/ 3/ nie zap. zap. nie zap. zap. 6/0 4/0 7/0 3/0 7/0 3/0 8/0 /0 nie zap. zap. nie zap. zap. nie zap. zap. nie zap. zap. J - jajka wylosowania różnych kombinacji 3 jajek spośród 4 zapłodnionych i 8 nie zapłodnionych J - wylosowanie 3 nie zapłodnionych J - wylosowanie nie zapłodnionych i zapłodnionego J 3 - wylosowanie nie zapłodnionego i zapłodnionych J 4 - wylosowanie 3 zapłodnionych J * * 0, J * * * * * * J 3 * * * * * * J 4 * * 0,08 0 J J J 3 J 4 - dowód ze jest to prawdopodobieństwo całkowite rzygotowali: Grzegorz Drzymała, Grzegorz Dziemidowicz, drian Gawor

8 W - wykluje się co najmniej jeden z 3 nie zapłodnionych W - wykluje się co najmniej jeden z nie zapłodnionych i zapłodnionego W 3 - wykluje się co najmniej jeden z nie zapłodnionego i zapłodnionych W 4 - wykluje się co najmniej jeden z 3 zapłodnionych W - nie wykluje nic z nie zapłodnionych i zapłodnionego W 3 - nie wykluje nic z nie zapłodnionego i zapłodnionych W 4 - nie wykluje nic z 3 zapłodnionych W 0 0 W * * 0, W 3 * * , W 4 * * , W - W 0,97 W 3 - W 3 0,993 W 4 - W 4 0,9994 S - wyklucie się przynajmniej jednego pisklaka S J * W J * W J 3 * W 3 J 4 * W * 0, * 0,993 0,08 *0,9994 0,706 0,70 rzygotowali: Grzegorz Drzymała, Grzegorz Dziemidowicz, drian Gawor