Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność wzór Bayesa 1/33

2 2/33

3 Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności 3/33

4 Zdarzenia i ich prawdopodobieństwa Intuicyjnie, prawdopodobieństwo danego zdarzenia jest szansą, że to zdarzenie nastąpi Przykład. Rzut sprawiedliwą monetą. 50% szans na wypadnięcie zarówno orła, jak i reszki Pr(wypadnie orzeł)= 0.5 Czy to oznacza, że w 10 rzutach wypadnie 5 orłów i 5 reszek? Co w przypadku miliona rzutów? 4/33

5 Prawdopodobieństwo jako proporcja 5/33

6 Zdarzenia i przestrzeń zdarzeń Zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu nazywamy przestrzenią zadarzeń elementarnych Każdy zbiór wyników eksperymentu nazywamy zdarzeniem. Zatem zdarzenia są podzbiorami przestrzeni zdarzeń elementarnych 6/33

7 Przykład rzut kostką zbiór zdarzeń elementarnych:? przykładowe zdarzenia (słownie):? 7/33

8 Przykład rzut kostką zbiór zdarzeń elementarnych: {1, 2, 3, 4, 5, 6} przykładowe zdarzenia (słownie): wyrzucenie parzystej liczby oczek: {2, 4, 6} wyrzcuenie co najmniej 5 oczek: {5, 6} wyrzucenie jakiejś liczby oczek: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 8/33

9 Notacja Ω = zbiór zdarzeń elementarnych = zdarzenie puste P(A) = prawdopodobieństwo zdarzenia A A, B, C, będą oznaczać zdarzenia 9/33

10 Operacje na zbiorach 10/33

11 Zdarzenia w kontekście zbiorów Zdarzenia A i B są rozłączne, jeśli Zdarzenia A 1, A 2, A 3, są parami rozłączne, jeśli Zdarzenia A 1, A 2, A 3, są wyczerpujące, jeśli 11/33

12 Aksjomaty prawdopodobieństwa A = zdarzenie A i = zdarzenia parami rozłączne /33

13 Dlaczego P( )=0? 13/33

14 Dlaczego P( )=0? Skoro P jest nieujemne, to musi być 14/33

15 Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń 15/33

16 Dopełnienie zdarzeń 16/33

17 Niezależność zdarzeń Zdarzenia A 1,, A n są niezależne, jeśli zdarzenia z dowolnego podzbioru A 1,, A n występują niezależnie od siebie, to znaczy jeśli wystąpienie jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia innych 17/33

18 Własność niezależności Jeśli zdarzenia A 1,, A n są niezależne, to dopełnienia tych zdarzeń też są niezależne: dla dowolnej rodziny indeksów i j dla dowolnej rodziny indeksów i j 18/33

19 Przykład macierz dyskowa RAID Prawdopodobieństwo awarii dysku H = 1% Prawdopodobieństwo awarii dysku zapasowego = 2% Mamy dwa dyski zapasowe, B 1 i B 2. Tracimy informację, jeśli wszystkie 3 dyski ulegną awarii. Jakie jest prawdopodobieństwo zachowania informacji? 19/33

20 Przykład jakość oprogramowania Prawidłowe działanie systemu S zależy od poprawnego działania 3 niezależnych od siebie modułów M1, M2, M3. Prawdopodobieństwa ich awarii wynoszą odpowiednio 1, 2, 2%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że S zadziała? 20/33

21 Zdarzenia jednakowo prawdopodobne 21/33

22 Paradoks Rodzina ma 2 dzieci. Spotkałeś jednego z nich, ma na imię Jarosław. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko również jest chłopcem? 22/33

23 Paradoks Rodzina ma 2 dzieci. Spotkałeś jednego z nich, ma na imię Jarosław. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko również jest chłopcem? Po spotkaniu chłopca wiemy, że możliwe sytuacje to CC, CD oraz DC, zatem w 2 na trzech przypadkach Jarosław ma siostrę. Zatem prawdopodobieństwo, że drugie dziecko to chłopiec wynosi 1/3. 23/33

24 Kombinatoryka liczba możliwych wyborów k elementów z n elementowego zbioru losowanie obiekty ze zwracaniem bez zwracania rozróżnialne (kolejność ważna) wariacje z powtórzeniami wariacje bez powtórzeń nierozróżnialne (kolejność nieistotna) kombinacje k. z powtórzeniami 24/33

25 Prawdopodobieństwo warunkowe Warunkowe prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem B to prawdopodobieństwo, że A zajdzie wiedząc, że zaszło B. A B 25/33

26 Własność A C B Ω 26/33

27 Niezależność definicja używająca pr. warunkowego Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli zajście B nie wpływa na prawdopodobieństwo zajścia A: A B Ω 27/33

28 Przykład 90% lotów wylatuje na czas. 80% lotów przylatuje na czas. 75% lotów wylatuje i przylatuje na czas. a) samolot wyleciał o czasie. Jakie jest pr. przylotu na czas? b) samolot przyleciał o czasie. Jakie jest pr. wylotu o czasie? c) czy przylot i odlot o czasie są zdarzeniami niezależnymi? 28/33

29 Prawdopodobieństwo całkowite B 1 B 2 B n A Ω 29/33

30 Twierdzenie (wzór) Bayesa 30/33

31 Przykład Test na obecność HIV daje dobry wynik w 95% przypadków dla zainfekowanych pacjentów i w 99% dla zdrowych. Szacuje się, że w populacji Polaków 0.1% ludzi jest nosicielami HIV. Pacjent wykonał test na HIV i otrzymał wynik pozytywny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzeczywiście jest nosicielem? 31/33

32 Przykład Test na obecność HIV daje dobry wynik w 95% przypadków dla zainfekowanych pacjentów i w 99% dla zdrowych. Szacuje się, że w populacji Polaków 0.1% ludzi jest nosicielami HIV. Pacjent wykonał test na HIV i otrzymał wynik pozytywny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzeczywiście jest nosicielem? + zdarzenie: test dał wynik pozytywny zdarzenie: test dał wynik negatywny N zdarzenie polegające na tym, że pacjent jest nosicielem 32/33

33 KONIEC 33/33