WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
|
|
- Julian Mazurkiewicz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24
2 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na ćwiczenia 2 Egzamin: (zakres materiału z wykładu + ćw.) 5 zadań, każde po 6 pkt. dodatkowo za aktywność na ćwiczeniach można uzyskać max 5 punktów Ocena z egzaminu - skala w tabeli punkty < 16 [16, 18] (18, 21] (21, 24] (24, 27] > 27 ocena ndst dst dst+ db db+ bdb Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 2 / 24
3 Literatura 1 J. Kłopotowski, Rachunek prawdopodobieństwa, SGH 2 J. Kłopotowski, M. Wrzosek, Zadania z Rachunku prawdopodobieństwa, SGH 3 J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla prawie każdego, Script 4 J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script 5 W. Krysicki i in. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom I, PWN 6 A. Boratyńska, Zadania z rachunku prawdopodobieństwa, 7 S. Jaworski, W. Zieliński, Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, zbior.pdf Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 3 / 24
4 Tematyka zajęć Definicja i własności prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, warunkowe, niezależność zdarzeń Zmienna losowa, rozkład zmiennej losowej skokowej i ciągłej, funkcje zmiennej losowej, podstawowe rozkłady Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej: momenty, kwantyle, funkcja tworząca momenty Zmienna losowa dwuwymiarowa skokowa, sumy zmiennych losowych Rodzaje zbieżności ciągu zmiennych losowych Twierdzenia graniczne Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 4 / 24
5 Przestrzeń zdarzeń elementarnych Doświadczenie losowe - obserwacja zjawiska, którego przebiegu nie umiemy w pełni przewidzieć, możemy ocenić z jakim prawdopodobieństwem wystąpią rozmaite wyniki Zbiór wszystkich możliwych wyników to przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω, jej elementy to zdarzenia elementarne ω Zdarzeniami losowymi nazywamy wyróżnione podzbiory zbioru Ω Jeśli Ω jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, to możemy przyjąć, że każdy podzbiór zbioru jest zdarzeniem losowym. W ogólnym przypadku o zdarzeniach losowych zakładamy, że należą do rodziny F (zwanej σ-ciałem lub σ-algebrą) spełniającej warunki: Ω F i F Jeśli A F to A = Ω A F Jeśli A n F dla n = 1, 2,..., to A 1 A 2 A 3 F Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 5 / 24
6 Operacje logiczne na zdarzeniach Ω - zdarzenie pewne, - zdarzenie niemożliwe A B - suma zdarzeń, zaszło A lub B A B - iloczyn zdarzeń, zaszło A i B A B - zaszło A i nie zaszło B A = Ω A - nie zaszło A A B - A pociąga B ω A - zdarzenie elementarne ω sprzyja zdarzeniu A A B = - A i B wykluczają się Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 6 / 24
7 PRZYKŁAD Rzut kostką Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Zdarzenia: A = {2, 4, 6} - wypadła parzysta liczba oczek B = {4, 5, 6} - wypadła liczba oczek większa od 3 Wyznacz: A B =? A B =? A B =? B A =? A =? Intuicyjny sens pojęcia prawdopodobieństwa wiąże się z możliwością wielokrotnego powtarzania tego samego doświadczenia losowego. Gdy mówimy, że prawdopodobieństwo otrzymania szóstki w rzucie kością jest równe 1/6 to wyrażamy przekonanie, że w około 1/6 spośród wielu rzutów pojawi się szóstka. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 7 / 24
8 Definicja prawdopodobieństwa (Kołmogorow 1933) Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, a F rodziną zdarzeń losowych. Prawdopodobieństwem lub rozkładem prawdopodobieństwa nazywamy funkcje P : F R spełniającą warunki: 1 P(A) 0 dla każdego A F; 2 P(Ω) = 1; 3 jeśli zdarzenia losowe A n F, gdzie n = 1, 2,..., są parami rozłączne, to P(A 1 A 2... ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... zbiór Ω wyposażony w rozkład prawdopodobieństwa P nazywamy przestrzenią probabilistyczną. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 8 / 24
9 PRZYKŁADY przestrzeni probabilistycznych Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n }, F jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru Ω, to funkcja P : F R określona wzorem P(A) = A Ω, gdzie A oznacza moc zbioru A, jest prawdopodobieństwem. PRZYKŁAD. Dwukrotny rzut monetą Rzut kostką Ω = {(O, O); (R, O); (O, R); (R, R)}, P({ω}) = 1 4 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P({2, 4, 6}) = 1 2 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 9 / 24
10 PRZYKŁADY przestrzeni probabilistycznych cd. Zdarzenia nie muszą być jednakowo prawdopodobne Towarzystwo ubezpieczeniowe wypłaca z pewnej polisy 7 kategorii odszkodowań: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Prawdopodobieństwo, że klient otrzyma wypłatę 1 jest równe 1 3, pozostałe wypłaty mają jednakowe szanse. Wtedy Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} P({1}) = 1 3 P({i}) = 1 9, i = 2,..., 7 Oczekiwanie na pierwszego orła Rzucamy moneta do chwili uzyskania pierwszego orła. Wtedy Ω = {O, RO, RRO, RRRO,... } ω O RO RRO RRRO P({ω}) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 10 / 24
11 PRZYKŁADY przestrzeni probabilistycznych cd. Prawdopodobieństwo geometryczne Niech Ω będzie podzbiorem przestrzeni R n o o skończonej dodatniej mierze (odpowiednio np.: długości, polu powierzchni, objętości), prawdopodobienstwo zdarzenia losowego A określamy jako P(A) = A Ω, gdzie A oznacza miarę zbioru A. PRZYKŁAD. 1 Rzucamy do tarczy w kształcie koła o promieniu 1. Trafienie w każdy punkt koła jest jednakowo prawdopodobne. Jaka jest szansa, że trafimy w koło o promieniu 1/2 zawarte w tarczy. P(A) = π (1/2)2 π 1 2 = 1/4 2 (Losowe rendez-vous) Dwóch studentów (Pani i Pan) umawia się pod gmachem G SGH między 12 a 13. Ustalili, że każdy czeka 15 min. i odchodzi. Przychodzą losowo ale tylko między 12 i 13. Oblicz prawdopodobieństwo, że się spotkają. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 11 / 24
12 Twierdzenie. Podstawowe własności prawdopodobieństwa 1 P( ) = 0 2 P(A ) = 1 P(A) 3 P(A) 1 4 Jeśli A B, to P(B A) = P(B) P(A) 5 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 6 Jeżeli A 1 A 2 A 3... jest wstępującym ciągiem zdarzeń losowych, to P( + n=1 A n) = lim n + P(A n ) 7 Jeżeli A 1 A 2 A 3... jest zstępującym ciągiem zdarzeń losowych, to P( + n=1 A n) = lim n + P(A n ) 8 (Wzór włączeń i wyłączeń) P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i) i<j n P(A i A j )+ i P(A 1<i 2<i 3 n i 1 A i2 A i3 )... ( 1) n+1 P( n i=1 A i) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 12 / 24
13 Prawdopodobieństwo warunkowe Definicja Niech P(B) > 0. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B jest równe P(A B) = P(A B) P(B) PRZYKŁAD 1 Losujemy rodzinę spośród rodzin z dwójką dzieci, przy czym pary (c, c), (c, d), (d, c), (d, d) sa jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybierzemy rodzinę z dwoma chłopcami jeśli wiemy, że a) starsze jest chłopcem b) jest co najmniej 1 chłopiec. 2 (Losowe rendez-vous cd.) Oblicz prawdopodobieństwo, ze Pan czeka na Panią jeśli wiadomo, że Pani przyjdzie po 12:30. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 13 / 24
14 Wzór łańcuchowy Twierdzenie Jeśli P(A 1 A 2 A 3 A n ) > 0, to P(A 1 A 2 A 3 A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )... P(A n A 1 A 2 A n 1 ) PRZYKŁAD (Niemiro (1999)) Prawdopodobieństwo, że pojadę do Australii oceniam na 0,5. Jeśli będę w Australii, to z prawdopodobieństwem 0,001 mogę zostać zaatakowany przez rekina. Jeśli zaatakuje mnie rekin, to mnie zje z prawdopodobieństwem 0,8. Jaka jest szansa, że w Australii zje mnie rekin? Odp. 0, 5 0, 001 0, 8 = 0, 0004 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 14 / 24
15 Przykład (Drzewka) Z urny, w której jest 10 kul białych i 20 czarnych losujemy kolejno 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, ze otrzymamy układ: biała, czarna, biała. Mamy A 1 zdarzenie, że wylosujemy kulę białą w I losowaniu A 2 zdarzenie, że wylosujemy kulę czarną w II losowaniu A 3 zdarzenie, że wylosujemy kulę białą w III losowaniu P(A 1 ) = Interesuje nas P(A 2 A 1 ) = P(A 3 A 2 A 1 ) = 9 28 P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) = Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 15 / 24
16 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Niech zdarzenia H 1, H 2,..., H k,... spełniają warunki: i j H i H j = H 1 H 2 H k = Ω i P(H i ) > 0. Wtedy dla dowolnego zdarzenia A P(A) = i P(A H i )P(H i ) Dowód. ( ) P(A) = P (A H i ) = i P(A H i ) = i P(A H i )P(H i ) i Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 16 / 24
17 PRZYKŁAD W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy kulę i nie oglądając jej odkładamy na bok. Następnie losujemy drugą kulę. Jaka jest szansa, że druga kula jest biała? Ω = B 1 C 1, gdzie B 1 zdarzenie, że w I losowaniu kula biała, C 1 zdarzenie, że w I losowaniu kula czarna. P(B 1 ) = b b+c, P(C 1) = c b+c B 2 zdarzenie, że w II losowaniu kula biała P(B 2 B 1 ) = b 1 b+c 1, P(B 2 C 1 ) = b b+c 1 P(B 2 ) = P(B 2 B 1 )P(B 1 ) + P(B 2 C 1 )P(C 1 ) = b 1 b + c 1 b b + c + b b + c 1 c b + c = b b + c Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 17 / 24
18 Wzór Bayesa Prz założeniach wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, jeśli ponadto P(A) > 0, to P(H k A) = P(A H k)p(h k ) i P(A H i)p(h i ) Dowód. Korzystając z prawdopodobieństwa warunkowego i wzoru na prawdopodobieństwo całkowite P(H k A) = P(A H k) P(A) = P(A H k)p(h k ) i P(A H i)p(h i ). Typowe zastosowanie wzoru Bayesa jest wtedy, gdy zajście lub niezajście zdarzenia A jest widoczne, podczas gdy zdarzenia H i mają wpływ na zdarzenia A, ale same są trudne lub niemożliwe do zaobserwowania. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 18 / 24
19 PRZYKŁAD (fabryki) Mamy trzy fabryki produkujące ten sam produkt. Pierwsza wypuszcza 100p 1 % wadliwych towarów, druga 100p 2 % a trzecia 100p 3 %. W partii jest n 1, n 2, n 3 sztuk towaru odpowiednio z fabryk I, II i III. Wybieramy losowo jedną sztukę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy sztuke wadliwą? n P(W F i ) = p i oraz P(F i ) = i n 1 +n 2 +n 3, zatem p 1 n 1 p 2 n 2 p 3 n 3 P(W ) = + + n 1 + n 2 + n 3 n 1 + n 2 + n 3 n 1 + n 2 + n 3 Przypuśćmy, że wybrana sztuka okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej fabryki? P(F 1 W ) = P(W F 1)P(F 1 ) P(W ) = p 1 n 1 p 1 n 1 + p 2 n 2 + p 3 n 3 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 19 / 24
20 PRZYKŁAD (test na rzadką chorobę) (Jakubowski, Sztencel) Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest 1 osoba na 1000 daje tzw. fałszywą pozytywną odpowiedź u 5% zdrowych, u chorych daje zawsze pozytywną odpowiedź. Jaka jest szansa, że u losowo wybranej osoby test da odpowiedź pozytywną? D zdarzenie, że test da odpowiedź pozytywną P(CH) = 0, 001 i P(Z) = 0, 999 P(D CH) = 1 i P(D Z) = 0, 05 P(D) = 1 0, , 05 0, 999 = 0, Jaka jest szansa, że osoba u której test dał odpowiedź pozytywną jest faktycznie chora? P(CH D) = 1 0, 001 = 0, , , 05 0, 999 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 20 / 24
21 Nieależność zdarzeń Definicja Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli P(A B) = P(A)P(B) Twierdzenie Jeżeli P(B) > 0, to zdarzenia A i B są niezależne P(A B) = P(A) Informacja o zajściu zdarzenia B nie wpływa na ocenę szansy zajścia zdarzenia A Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 21 / 24
22 PRZYKŁADY 1 Losowe rendez-vous A zdarzenie Pan przyszedł przed momentem h, A = {(x, y) : y < h} B zdarzenie Pani przyszła po momencie g, B = {(x, y) : x > g} 2 Dwa rzuty monetą A orzeł w pierwszym rzucie; B orzeł w drugim rzucie 3 Losowanie karty z talii 52 kart A wylosowanie pika B wylosowanie asa. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 22 / 24
23 Niezależność n zdarzeń Definicja Zdarzenia A 1, A 2,... A n są niezależne i<j P(A i A j ) = (A i )P(A j ) i<j<k P(A i A j A k ) = (A i )P(A j )P(A k ) P (A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )P(A 2 )... P(A n ) PRZYKŁAD. Dwa rzuty symetryczną monetą. A = {(O, R); (O, O)}, B = {(R, O); (O, O)}, C = {(O, R); (R, O)} Zdarzenia A, B, C są parami niezależne, ale nie są niezależne, ponieważ P(A B) = P(A C) = P(B C) = 1 4 ale P(A B C) = 0 P(A)P(B)P(C) = 1 8 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 23 / 24
24 Twierdzenie Jeżeli A 1, A 2,... A n są niezależne, to niezależne są zdarzenia B 1, B 2,... B n, gdzie B i = A i lub B i = A i Jeżeli A, B, C sa niezależne to A, B C są niezależne oraz A, B C są niezależne Twierdzenie Jeżeli A 1, A 2,... są niezależne, to P(A 1 A 2... ) = 1 (1 P(A 1 ))(1 P(A 2 ))... Dowód. + P( = 1 P i=1 (( + ) ) A i ) = 1 P A i ( + i=1 A i ) = 1 i=1 + i=1 (1 P(A i )) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 24 / 24
Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 3.10.2017 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s.?? strona z materiałami
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowo1.1 Rachunek prawdopodobieństwa
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Rachunek prawdopodobieństwa.................. 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Podstawy.............................. 2 2 Miara prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 2.10.2018 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s. B006 strona z materiałami
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoP (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.
Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoMETODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Bardziej szczegółowoDODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b
DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoZdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowoZadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.
Zestaw 1. Zadanie. 1. Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy A.Einstein Czy zdarzenia polegające na wyciągnięciu z talii liczącej 52 karty dowolnej karty pik (zdarzenie A) i wyciągnięciu asa (zdarzenie B)
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoRachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoWybrane treści z rachunku prawdopodobieństwa w kontekście medycznym. M.Zalewska
Wybrane treści z rachunku prawdopodobieństwa w kontekście medycznym M.Zalewska Podstawowe pojęcia Doświadczenie losowe obserwacja zjawiska, którego przebiegu nie umiemy w pełni przewidzieć. Możemy oceniać
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Rachunek Prawdopodobieństwa Brian Wynne podał następującą typologię zagrożeń znanych i niewiadomych: 1. ryzyko to wiadome nam przyszłe zagrożenia,
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,
04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B > 0, nazywamy
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoLista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
Bardziej szczegółowoWykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład : Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grządziel 3 maja 203 Doświadczenie losowe Doświadczenie nazywamy losowym, jeśli: może być powtarzane (w zasadzie) w tych samych warunkach;
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoPodstawy Teorii Prawdopodobieństwa
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Przestrzeń probabilistyczna
9 października 2018 Zasady zaliczenia przedmiotu: Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. Zdanie egzaminu ustnego z treści wykładu. Literatura J. Jakubowski i R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.
Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,
Bardziej szczegółowoProbabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska
Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń
Prawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń Zadanie 1 Po potasowaniu sześciu kart: asa, dwójki, trójki, czwórki, piątki i szóstki wyłożono na stół w rzędzie
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa dla informatyków
Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowo+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x
Prawdopodobieństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźnie i wypełnia wnętrze kwadratu [0 x 1; 0 y 1]. Znajdź p-stwo, że dowolny
Bardziej szczegółowoALGEBRA ZDARZEŃ. PRZYKŁAD Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 } A = {ω 1, ω 2} DEFINICJA Mówimy, Ŝe zdarzenie elementarne w sprzyja zdarzeniu A (A Ω), jeŝeli ω A
ALGEBRA ZDARZEŃ Podobnie jak inne działy matematyki np. geometria, rachunek prawdopodobieństwa wychodzi z pewnych pojęć pierwotnych. Pojęciem pierwotnym rachunku prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne,
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. Forma prowadzenia zajęć. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów K1A_W02
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20182019 4. Forma
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowo2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.
Literatura:. Jerzy Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania.. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.. J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna
Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 2 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność
Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność przypomnienie pojęć ĆWICZENIA Piotr Ciskowski zdarzenie losowe ćwiczenie 1. zbiory Stanisz zilustruj następujące pojęcia: o A B o A B o A
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20152016 4. Forma
Bardziej szczegółowo