P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.
|
|
- Fabian Tomaszewski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy, że wypadł orzeł, to... Musimy zmienić zbiór zdarzeń elementarnych. Nowa Ω {OO, OR}. P (A pod warunkiem zdarzenia B) 1 Jak to obliczyliśmy? Gdy wiemy, że zdarzyło się B, to Ω Ω 1 B {OO, OR}. Prawdopodobieństwa obu zdarzeń są jednakowe, więc P (OO) 1. Inaczej: P (A B) P (A B) 1/4 1/ 1. Taki sam wzór można stosować ogólnie, jeśli tylko > 0. Definicja prawdopodobieństwa warunkowego Niech > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem B nazywamy liczbę P (A B) P (A B). Zadanie Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne. Spośród rodzin z dwójką dzieci losujemy jedną rodzinę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosujemy rodzinę z dwoma chłopcami, jeżeli wiemy, że a) starsze dziecko jest chłopcem, b) w tej rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec, ż) jedno z dzieci ma na drugie imię Maria? Spróbujmy odgadnąć odpowiedzi! Ω {cc, cd, dc, dd} a) z założenia starsze dziecko jest chłopcem, więc B {cc, cd} P (A B) P ({cc} {cc, cd}) P ({cc} {cc, cd}) P ({cc, cd}) P ({cc}) P ({cc, cd}) 1/4 1/ 1. b) Tutaj B {cc, cd, dc}, więc 1
2 P ({cc} {cc, cd, dc}) P ({cc} {cc, cd, dc}) P ({cc}) P ({cc, cd, dc}) 1 3. To chyba mało intuicyjna odpowiedź? Ostrzeżenie: intuicja może mylić! Gdy P (A) > 0 i > 0, to zachodzi równoważność: P (A B) > P (A) P (B A) >. : każda ze stron jest równoważna nierówności P (A B) > P (A). Zatem: zajście A zwiększa szanse B zajście B zwiększa szanse A. Czyżby zdarzenia A i B przyciągały się wzajemnie? Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu Danych jest n zdarzeń: A 1, A,..., A n. Jeżeli P (A 1 A... A n 1 ) > 0, to P (A 1 A... A n ) P (A 1 ) P (A A 1 ) P (A 3 A 1 A ) P (A 4 A 1 A A 3 )... P (A n A 1... A n 1 ). Skoro P (A 1 A... A n 1 ) > 0, to wszystkie prawdopodobieństwa warunkowe są dobrze określone. Prawa strona wzoru P (A 1 ) P (A A 1 ) P (A 1 ) P (A 3 A A 1 ) P (A 1 A )... P (A n A n 1... A 1 ) P (A n 1... A 1 ) P (A n A n 1... A 1 ) Lewa strona wzoru. Metoda drzew Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu to teoretyczna podstawa metody drzew. Prawdopodobieństwo przypisywane każdej gałęzi to iloczyn prawdopodobieństw kolejnych kawałków tej gałęzi. Czy to sprawiedliwy egzamin? Na egzamin, do którego ma przystąpić 10 studentów, wykładowca przygotował (i ogłosił publicznie) 10 zagadnień. Egzamin polega na wylosowaniu jednego zestawu spośród tych dziesięciu i odpowiedzi. Zestawy już wylosowane odrzuca się. Jacek zdążył przygotować tylko spośród tych zagadnień. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Jacek zda ten egzamin, jeśli będzie zdawał jako: a) pierwszy? b) drugi? c) trzeci?
3 d) dziesiąty? a) Gdy Jacek wejdzie pierwszy, to oczywiscie P (zda) b) Gdy wejdzie drugi, to musimy uwzględnić, jaki zestaw wylosowała pierwsza osoba. Jeśli taki, który był dobry dla Jacka, to szanse Jacka spadły z 1 do 4 9. Jeśli taki, który był zły dla Jacka, to szanse Jacka wzrosły z 1 do 9. Rysujemy drzewo i obliczamy:... Odpowiedź a) 1, b) 1, c) 1, d) 1. Ten sposób egzaminowania jest sprawiedliwy! Czy ostatnia osoba też dostaje swój zestaw losowo? Rozbicie zbioru Ω Rozbiciem zbioru Ω nazywamy taką rodzinę zdarzeń B 1, B,..., B n, która spełnia dwa warunki: B 1 B... B n Ω, B i B j, gdy i j. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Niech B 1, B,..., B n będzie rozbiciem zbioru Ω na zbiory o dodatnim prawdopodobieństwie. Wówczas dla dowolnego zdarzenia A zachodzi równość: P (A) P (A B 1 ) P (B 1 ) + P (A B ) P (B ) P (A B n ) P (B n ). Na mocy założeń o B 1, B,..., B n mamy ( ( n )) ( n ) P (A) P (A Ω) P A B i P (A B i ) i1 i1 n n P (A B i ) P (A B i ) P (B i ). i1 i1 Zadanie Mamy dwie urny: w U 1 jest 1 kula biała i 3 czarne, w U jest kul białych i czarne. Za pomocą monety losujemy urnę i wyciągamy z niej jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała. 3
4 Obliczamy prawdopodobieństwa warunkowe: P (B U 1 ) 1 4, P (B U ) 7, P (B U 1 ) P (U 1 ) + P (B U ) P (U ) Prawdopodobieństwo przyczyny Przypuśćmy, że znamy skutek (np. wypadek drogowy), a chcemy ustalić przyczynę. To może być nadmierna prędkość. albo nietrzeźwość kierowcy, albo awaria samochodu (hamulce itp). Zadanie o daltonistach Na kobiet, a na mężczyzn to daltoniści. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mężczyzn wybrano losowo jedną osobę. Okazało się, że ta osoba nie rozróżnia kolorów. Oblicz prawdopodobieństwo, że to jest mężczyzna. Wprowadzamy oznaczenia: K - wylosowanie kobiety, M - wylosowanie mężczyzny, K M Ω, K M. D - wylosowana osoba nie rozróżnia kolorów Z danych zadania: P (D K) , P (D M), P (K) P (M) 1. Zastosujmy definicję prawdopodobieństwa warunkowego i wzór na prawdopodobieństwo całkowite: P (M D) P (M D) P (D) P (D M) P (M) P (D M) P (M) + P (D K) P (K) Wzór Bayesa na prawdopodobieństwo przyczyny 00. Niech B 1, B,..., B n będzie rozbiciem Ω na zbiory o dodatnim prawdopodobieństwie. Niech A będzie zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie. Wówczas dla każdego k 1,..., n 4
5 P (B k A) P (A B k ) P (B k ) P (A B 1 ) P (B 1 ) + P (A B ) P (B ) P (A B n ) P (B n ). Dokładnie tak, jak dla dwóch zdarzeń w zadaniu o daltonistach liczymy: Lewa strona P (B k A) P (B k A) P (A) P (A B k) P (B k ) P (A)... Prawa strona. Czy ten test jest dobry? Pewien gen obecny jest u jednej osoby na 0. Opracowano test do badania jego obecności. Test jednak czasami myli się: wykrywa rzeczywistą obecność genu w przypadkach na, a w przypadku braku genu stwierdza jego obecność w 3 przypadkach na. Wylosowano jedną osobę i test stwierdził u niej obecność tego genu. Oblicz prawdopodobieństwo, że tak jest naprawdę, tzn. wylosowana osoba ma ten gen. Jakiej rady można udzielić wynalazcy tego testu? Niech + oznacza, ze wylosowana osoba ma ten gen, a, że go nie ma. Jest to typowa sytuacja podpadająca pod wzór Bayesa: Ω + oraz +. Niech W oznacza, że test wykrył gen. Z danych zadania P (+) , P ( ) 0. P (W +) 3, P (W ). Musimy obliczyć: P (+ W )? Stosujemy wzór Bayesa Dokładnie tak, jak w zadaniu o daltonistach: P (+ W ) P (+ W ) P (W ) P (W +) P (+) P (W +) P (+) + P (W ) P ( ) 0, Jak poprawić test? Nie zmienimy 1 0 oraz Poprawienie wykrywalności z nawet do przypadków niewiele poprawia. Trzeba zmniejszyć liczbę 3 na przykład na 3 0. Wtedy mielibyśmy +3 99,9 0, 46.
P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna
Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoDODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b
DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa dla informatyków
Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoWykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład : Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grządziel 3 maja 203 Doświadczenie losowe Doświadczenie nazywamy losowym, jeśli: może być powtarzane (w zasadzie) w tych samych warunkach;
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowo04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,
04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B > 0, nazywamy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółowoObliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.
Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowo+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x
Prawdopodobieństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźnie i wypełnia wnętrze kwadratu [0 x 1; 0 y 1]. Znajdź p-stwo, że dowolny
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoDOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE
. 4. DOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE Drzewem stochastycznym nazywamy graf ilustrujący przebieg wieloetapowego doświadczenia losowego. Wierzchołkom drzewa stochastycznego przyporządkowane są wyniki poszczególnych
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoZadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.
Zestaw 1. Zadanie. 1. Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy A.Einstein Czy zdarzenia polegające na wyciągnięciu z talii liczącej 52 karty dowolnej karty pik (zdarzenie A) i wyciągnięciu asa (zdarzenie B)
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoZadania Arkusz 12. Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa 1. Z urny, w której znajdują się trzy kule: białą, czarna i niebieska, wybieramy na chybił trafił jedną kulę. Zapisz zbiór zdarzeń elementarnych Ω tego doświadczenia i określ
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń
Prawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń Zadanie 1 Po potasowaniu sześciu kart: asa, dwójki, trójki, czwórki, piątki i szóstki wyłożono na stół w rzędzie
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoBiologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki
Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Pochodne funkcji i jej zastosowania 1. Oblicz pochodną funkcji f, gdy: a) f(x) = 3x 8 + 2 x + 3 7, b) f(x) = x 11 6x 5 + 2 x + 3 x, c)
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoKlasyfikacja metodą Bayesa
Klasyfikacja metodą Bayesa Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski warunkowe i bezwarunkowe 1. Klasyfikacja Bayesowska jest klasyfikacją statystyczną. Pozwala przewidzieć prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoRachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowo= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski
Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Rachunek Prawdopodobieństwa Brian Wynne podał następującą typologię zagrożeń znanych i niewiadomych: 1. ryzyko to wiadome nam przyszłe zagrożenia,
Bardziej szczegółowo1.1 Rachunek prawdopodobieństwa
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Rachunek prawdopodobieństwa.................. 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Podstawy.............................. 2 2 Miara prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie) (1) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8? (2) Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć
Bardziej szczegółowo3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba
3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z 12.03.2007 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa W poniższym zadaniu wykorzystać następujące własności: P (A B = P (A + P (B P (A B, P (A \ B = P (A P (A B. 1. Przy podanych prawdopodobieństwach obliczyć prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoSkrypt 30. Prawdopodobieństwo
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.
Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowoW takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowo12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania
2. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania Zad.2.. Oblicz ile moŝna utworzyć z cyfr 0,, 2, liczb: a) dwucyfrowych, których cyfry mogą się powtarzać; b) trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach;
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoWybrane treści z rachunku prawdopodobieństwa w kontekście medycznym. M.Zalewska
Wybrane treści z rachunku prawdopodobieństwa w kontekście medycznym M.Zalewska Podstawowe pojęcia Doświadczenie losowe obserwacja zjawiska, którego przebiegu nie umiemy w pełni przewidzieć. Możemy oceniać
Bardziej szczegółowoW grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.
W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność
Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność przypomnienie pojęć ĆWICZENIA Piotr Ciskowski zdarzenie losowe ćwiczenie 1. zbiory Stanisz zilustruj następujące pojęcia: o A B o A B o A
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowo), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0
Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE TWIERDZENIE O PRAWDOPODOBIEŃSTWIE CAŁKOWITYM Autor: Edward Stachowski Materiały
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoProbabilistyka przykłady
Probabilistyka przykłady Przestrzeń zdarzeń Zapisać przestrzeń zdarzeń dla: 1.liczby wygranych gier w serii liczącej trzy gry 2.liczby wizyt u lekarza w ciągu roku 3.ilości czasu (w minutach) od wezwania
Bardziej szczegółowoLista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoPodstawy Teorii Prawdopodobieństwa
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowo