51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

Transkrypt

1 Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia? rzewem stochastycznym nazywamy graf ilustrujący przebieg wieloetapowego zdarzenia losowego. Wierzchołkom drzewa stochastycznego przyporządkowane są wyniki poszczególnych etapów doświadczenia, a krawędziom - prawdopodobieństwa uzyskania tych wyników. Suma prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom wychodzącym z tego samego wierzchołka jest równa. Najprostszy przykład grafu dwuetapowego doświadczenia: B, B- dwa możliwe wyniki w pierwszym etapie mam doświadczenia, A, A- dwa możliwe wyniki w drugim etapie mam doświadczenia, p prawdopodobieństwo otrzymania wyniku B mam w pierwszym etapie, p prawdopodobieństwo otrzymania wyniku B mam w pierwszym etapie, q, q 3 - prawdopodobieństwo warunkowe mam otrzymania wyniku A w drugim etapie, q, q 4 - prawdopodobieństwo warunkowe mam mam otrzymania wyniku A w drugim etapie, p p q q3 q q4 Gałąź drzewa stochastycznego - ciąg krawędzi prowadzących od początku drzewa do jednego z ostatnich jego wierzchołków. Reguła iloczynów rawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez jedną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom, z których składa się rozważana gałąź. Reguła wynika ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu. Reguła sum rawdopodobieństwo danego zdarzenia opisanego przez kilka gałęzi jest równe sumie prawdopodobieństw otrzymanych regułą iloczynów dla tych gałęzi. Reguła wynika z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. II. Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i otwartych).

2 Matematyka lekcja 5 rzykład. Spośród jedenastu kobiet i dziewięciu mężczyzn losowo wybrano trzyosobową delegację. Sporządź drzewo tego doświadczenia losowego i oblicz prawdopodobieństwo: a. zdarzenia A, że w skład delegacji wejdzie co najmniej jeden mężczyzna, b. zdarzenia B, że w skład delegacji wejdzie co najmniej dwóch mężczyzn. Niech będzie: K- kobieta, M- mężczyzna. a. Zdarzeniu A nie sprzyja tylko wybranie wszystkich trzech kobiet (na naszym grafie gałąź K-K-K), czyli 0 9 A Korzystając z własności prawdopodobieństwa (wzory maturalne) obliczamy: 65 A A b. Zdarzenie B ilustrują następujące gałęzie grafu: K-M-M, M-K-M, M-M-K, M-M-M. Zgodnie z regułą iloczynów i regułą sum wyliczamy B Odpowiedź: rawdopodobieństwo zdarzenia A, że w skład delegacji wejdzie co najmniej 65 jeden mężczyzna wynosi, zaś prawdopodobieństwo zdarzenia B, że w skład 76 delegacji wejdzie co najmniej dwóch mężczyzn wynosi. 9

3 Matematyka lekcja 5 rzykład. Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Sporządź drzewo tego doświadczenia losowego i oblicz prawdopodobieństwo: a. zdarzenia A polegającego na otrzymaniu dwa razy orła, b. zdarzenia B polegającego na otrzymaniu trzy razy orła lub trzy razy reszki, c. zdarzenia C polegającego na otrzymaniu co najmniej dwa razy reszki, d. zdarzenia polegającego na otrzymaniu co najmniej raz reszki. Niech będzie: O orzeł R - reszka a. Zdarzenie A ilustrują na grafie ramiona: O-O-R, O-R-O, R-O-O. Zatem: 3 A b. Zdarzenie B ilustrują na grafie ramiona: O-O-O i R-R-R. Zatem: 4 B c. Zdarzenie C ilustrują na grafie ramiona: O-R-R, R-O-R, R-R-O, R-R-R. Zatem: 4 C d. Zdarzenie ilustrują na grafie wszystkie ramiona oprócz O-O-O. rościej jest obliczyć prawdopodobieństwo dopełnienia zdarzenia A (właśnie tej pokazanej gałęzią O-O-O). Zatem:, a więc 7 Odpowiedź: rawdopodobieństwo zdarzenia A - polegającego na otrzymaniu dwa razy orła - wynosi 3, zdarzenia B - polegającego na otrzymaniu trzy razy orła lub trzy razy reszki - wynosi 4, zdarzenia C - polegającego na otrzymaniu co najmniej dwa razy reszki - wynosi, zaś zdarzenia - polegającego na otrzymaniu co najmniej raz reszki - wynosi 7.

4 Matematyka lekcja 5 rzykład 3. Na rysunku przedstawiono plan sieci dróg. Rowerzysta z miejsca A do miejsca B dojedzie, gdy na każdym rozwidleniu dróg wybierze jedną z nich z tym samym prawdopodobieństwem. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia, że do miejsca B dojedzie nie błądząc, jest równe: A., B. 4, C. 5,. 6. Narysowany plan dróg łatwo przekształcić na drzewo stochastyczne z wierzchołkiem A, gdzie nieoznaczone dotychczas punkty oznaczymy przez X lub Y. Na pierwszym rozwidleniu są dwie drogi, więc prawdopodobieństwa ich wyboru wynoszą po. Na drugim rozwidleniu są trzy drogi, więc prawdopodobieństwa ich wyboru wynoszą po 3. rawdopodobieństwo zdarzenia, że rowerzysta do miejsca B dojedzie nie błądząc wynosi B. 3 6 Czyli prawidłowa odpowiedź to. rzykład 4. Rzucamy dwa razy czterościenną kostką do gry, która ma na każdej ściance cyfrę odpowiednio,, 3, 4. rawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia, że liczba jest sumą oczek na obu kostkach, jest równe: 5 A., B., C., rzy dwukrotnym rzucie czterościenną kostką do gry można otrzymać różnych wyników (par cyfr, w których pierwsza cyfra jest liczbą wyrzuconych oczek na pierwszej kostce, a druga na drugiej). Jest tylko jedna para liczb: 4,4, która spełnia warunek liczba jest sumą oczek na obu kostkach. Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia A wynosi (zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa) A. Natomiast prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia, że liczba jest sumą oczek na obu kostkach to 6 5 A A 6 6 Czyli prawidłowa odpowiedź to.

5 Matematyka lekcja 5 ZAANIA O ROZWIĄZANIA Zadanie. ( pkt) rawdopodobieństwo, że w trzykrotnym rzucie symetryczną monetą otrzymamy jednego orła i dwie reszki, jest równe: A. 4 3, B. 0,5, C. 0,375,. 3. Zadanie. ( pkt) Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. rawdopodobieństwo, że za każdym razem wypadła liczba oczek podzielna przez 3, wynosi: A., B. 3, C. 4,. 6. Zadanie 3. (3 pkt) W pudełku znajduje się kul białych i kul czerwonych. Losujemy trzy kule. Sporządź drzewo tego doświadczenia losowego i oblicz prawdopodobieństwo: a. zdarzenia A, że wylosowano dwie kule czerwone, b. zdarzenia B, że wylosowano co najmniej dwie kule czerwone, c. zdarzenia C, że wylosowano co najmniej jedną kulę czerwoną.