Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
|
|
- Jan Borkowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017
2 Rachunek Prawdopodobieństwa
3 Brian Wynne podał następującą typologię zagrożeń znanych i niewiadomych: 1. ryzyko to wiadome nam przyszłe zagrożenia, których prawdopodobieństwo może zostać oszacowane statystycznie, 2. niepewność to zagrożenia związane ze znanymi niewiadomymi czyli potencjalne zagrożenia, których prawdopodobieństwa nie da się ustalić, 3. ignorancja - niewiedza to przypadki zagrożeń, które są nieznane i i niewiadome (np. konsekwencje działania freonów na warstwę ozonową w atmosferze ziemskiej), 4. nieokreśloność to nierozpoznawalne niewiadome czyli zagrożenia w danym momencie nierozpoznane i niemożliwe do przewidzenia, ponieważ o ich istnieniu nie świadczy żadna znana nam w danej chwili prawidłowość.
4 Nieokreśloność Niewiedza Ryzyko Wiedza Czas Schemat ewolucji przeciętnego poziomu wiedzy, ryzyka i niepewności w funkcji czasu
5 Od zarania dziejów człowiek pozyskuje informacje, które obecnie określamy jako wiedzę. Temu procesowi towarzyszy istnienie obszaru nieokreśloności. Pomiędzy obszarem wiedzy a obszarem nieokreśloności pojawia się stopniowo w miarę rozwoju człowieka i upływu czasu, obszar niepewności. Gdy ukształtowały się odpowiednie umiejętności u człowieka (np. umiejętność szacowania prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia), wyłonił się również obszar ryzyka w dzisiejszym rozumieniu tego słowa. W miarę upływu czasu obszarowi wiedzy towarzyszył będzie coraz większy obszar ryzyka i jeszcze większy obszar niepewności. Jednak obszar nieokreśloności będzie stale największym spośród wyodrębnionych obszarów.
6 Czym jest prawdopodobieństwo? Potocznie, prawdopodobieństwo rozumie się jako szansę wystąpienia zdarzenia, które nie jest z góry przesądzone. Powszechnie wiadomo, że prawdopodobieństwo wyraża się liczbowo, przyjmując wartości z przedziału [0,1]. Na przykład, prawdopodobieństwo zdarzenia równe 0,25 oznacza, że interesujące nas zdarzenie w normalnych warunkach zachodzi w 25% przypadków. Jeśli na przykład mówimy, że prawdopodobieństwo spóźnienia pociągu wynosi 0,25, to po pierwsze, wynika z tego, że w danym przypadku nie wiadomo, czy pociąg się spóźni, czy nie (spóźnienie jest zdarzeniem losowym), a po drugie, że pociąg ten spóźnia się przeciętnie raz na cztery razy. Mimo, iż prawdopodobieństwo zdarzenia jest intuicyjnie łatwo zrozumiałe, to trudno je ściśle zdefiniować, na co wskazuje historia rozwoju rachunku prawdopodobieństwa.
7 0 1 0,25 0,5 0,75 Zdarzenie Zdarzenie Zajście i Zdarzenie Zdarzenie prawie na raczej nie niezajście raczej prawie na pewno nie zajdzie, niż zdarzenia zajdzie, niż pewno zajdzie zajdzie jest równie nie zajdzie zajdzie możliwe
8 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych Podstawą rozważań nad prawdopodobieństwem są powtarzalne doświadczenia (eksperymenty), których wyniku nie da się przewidzieć. Są to tak zwane doświadczenia losowe. Na przykład: oczekiwanie na autobus, który może przyjechać o czasie, spóźnić się lub w ogóle nie przyjechać z powodu awarii, zakup akcji i obserwacja ich notowań, rozgrywki piłki nożnej, obserwacja dystansu jaki samochód przejedzie na 1 litrze paliwa, itp. Każdy pojedynczy wynik doświadczenia losowego nazywamy zdarzeniem elementarnym i oznaczamy symbolem w i.
9 * = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
10 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego (eksperymentu) oznaczamy symbolem *, nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i w przypadku skończonej liczby zdarzeń elementarnych zapisujemy w postaci * = {w 1, w 2,, w N }, gdzie N jest liczbą wszystkich zdarzeń elementarnych. Przykładowo, zdarzeniami elementarnymi w doświadczeniu polegającym na rzucie monetą są: R - wyrzucenie reszki, O - wyrzucenie orła. Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest następująca * = {R, O}, przy czym kolejność poszczególnych zdarzeń nie ma znaczenia.
11 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w doświadczeniu polegającym na rzucie kością do gry można zapisać następująco: * = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 }, gdzie w i - zdarzenie elementarne: wyrzucenie oczek w liczbie i. Określenie zbioru zdarzeń elementarnych wiąże się ściśle z charakterem eksperymentu losowego. Na przykład, w doświadczeniu polegającym na dwukrotnym rzucie monetą zdarzenia elementarne są zdefiniowane jako możliwe pary wyników uzyskanych w dwóch kolejnych rzutach monetą. Zbiór zdarzeń elementarnych jest tu więc 4- elementowy: * = {RR, RO, OR, OO}.
12 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych Niekiedy mamy do czynienia z doświadczeniami, w których przestrzeń zdarzeń elementarnych jest nieskończona. Za przykład może służyć doświadczenie polegające na rzucaniu monetą do momentu, kiedy wyrzucona zostanie reszka. Przestrzeń zdarzeń elementarnych w tym przypadku jest postaci * = {w 1, w 2,, w n, }, gdzie w n - pojawienie się reszki w n-tym rzucie monetą. W tym doświadczeniu przestrzeń zdarzeń elementarnych jest nieskończona ale przeliczalna, tzn. wszystkie elementy tej przestrzeni można ustawić w nieskończony ciąg. Istnieją doświadczenia losowe o nieprzeliczalnej przestrzeni zdarzeń elementarnych.
13 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozważmy doświadczenie losowe polegające na obserwacji czasu oczekiwania na metro. Jeśli przyjąć, że metro kursuje, co 5 minut, to czas oczekiwania, mierzony w minutach, może być każdą liczbą rzeczywistą z przedziału [0, 5]. Przestrzeń zdarzeń elementarnych w tym przypadku składa się ze wszystkich punktów przedziału [0, 5] * = [0, 5]. Dowodzi się, że każdy przedział jest zbiorem nieprzeliczalnym. Mamy więc przykład przestrzeni zdarzeń, która jest nieskończona i nieprzeliczalna.
14 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych W doświadczeniu polegającym na strzelaniu do okrągłej tarczy przestrzeń zdarzeń elementarnych może stanowić zbiór wszystkich punktów tej tarczy, czyli koło o pewnym promieniu r * = {(x, y): x 2 + y 2 < r 2 }.
15 Zdarzenia losowe Wykonując doświadczenie możemy interesować się zdarzeniem, które realizuje się przy różnych zdarzeniach elementarnych. Zdarzenie takie nazywamy zdarzeniem losowym i oznaczamy, podobnie jak zbiory, dowolną dużą literą łacińską A, B, C itp. Na przykład rozpatrując doświadczenie polegające na rzucie kostką do gry może nas interesować zdarzenie: wypada parzysta liczba oczek. Zachodzi ono wówczas, gdy wyrzucimy 2, 4 lub 6 oczek. Oznaczając to zdarzenie losowe literą A, mamy A = {2, 4, 6}. Mówimy, że zaszło dane zdarzenie losowe, gdy w wyniku doświadczenia zaszło któreś ze zdarzeń elementarnych, z których składa się dane zdarzenie losowe.
16 Zdarzenia losowe W doświadczeniu polegającym na obserwacji czasu oczekiwania na metro zdarzenie B: czas oczekiwania dłuższy od 2 minut jest zdarzeniem losowym, który reprezentuje odcinek (2, 5], czyli B = (2, 5]. * B 0 2 5
17 Zdarzenia losowe Dla zdefiniowania prawdopodobieństwa ważne jest określenie rodziny wszystkich możliwych zdarzeń losowych związanych z danym doświadczeniem losowym. Tworzą go poszczególne zdarzenia elementarne, wszystkie możliwe zdarzenia losowe złożone ze zdarzeń elementarnych oraz zdarzenie niemożliwe (zbiór pusty) i zdarzenie pewne * (przestrzeń wszystkich zdarzeń elementarnych). Na tej rodzinie, czyli zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru * definiowane jest prawdopodobieństwo oraz wszelkie działania na prawdopodobieństwie.
18 Algebra zdarzeń losowych Sumą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A B, które zachodzi wtedy, gdy zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A i B. Różnicą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A / B, które zachodzi wtedy, gdy zachodzi zdarzenie zdarzenie A, ale jednocześnie nie występuje zdarzenie B. Iloczynem zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A B, które zachodzi wtedy, gdy zachodzą jednocześnie zdarzenia A i B. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie Ā, które realizuje się zawsze, gdy nie zachodzi zdarzenie A. Możemy je otrzymać jako Ā = * / A.
19 A B A A B Ā = * / A A / B *
20 Algebra zdarzeń losowych Mówimy, że zdarzenia A i B wykluczają się wzajemnie, gdy A B =, czyli wtedy, gdy odpowiadające im zbiory zdarzeń elementarnych nie mają wspólnych elementów, czego konsekwencją jest to, że zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie. Mówimy, że zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B (zdarzenia A implikuje zdarzenie B), gdy A B. Mówimy, że parami wykluczające się zdarzenia A 1,, A n tworzą zupełny układ zdarzeń, gdy A 1 A n = *.
21 Uwaga Okazuje się, że w przypadku nieprzeliczalnych przestrzeni * nie możemy uznać wszystkich podzbiorów za zdarzenia elementarne. Wiąże się to z problemem istnienia zbiorów niemierzalnych na prostej rzeczywistej. W takich przypadkach tworzymy mniejszą rodzinę podzbiorów przestrzeni *, którą oznaczamy przez B i nazywamy rodziną (ciałem) zbiorów borelowskich. Rodzina ta spełnia warunki:, * B, Jeśli A 1, A 2, B, to A 1 A 2 B, Jeśli A 1, A 2, B, to A 1 A 2 B, A / B B dla dowolnych A, B B,
22 Teoretyczna definicja prawdopodobieństwa Niech * = {w 1, w 2,, w N } będzie przestrzenią wszystkich zdarzeń elementarnych pewnego doświadczenia losowego. Każdemu zdarzeniu elementarnemu {w i } przyporządkowujemy nieujemną liczbę rzeczywistą p i zwaną prawdopodobieństwem tego zdarzenia i oznaczamy ją P({w i }) = p i. Prawdopodobieństwo dowolnych zdarzeń losowych definiujemy tak, by spełnione były warunki: 0 p i 1 dla każdego i = 1, 2,, N, p 1 + p p N = 1, P( ) = 0 oraz dla dowolnego zdarzenia losowego A P(A) = P({ω i }) = p i. ω i A ω i A
23 Własności prawdopodobieństwa 1. Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 2. Prawdopodobieństwo dwóch wykluczających się zdarzeń: P(A B) = P(A) + P(B). 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: P(A) = 1 P(A).
24 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Niech * = {w 1, w 2,, w N } będzie przestrzenią wszystkich zdarzeń elementarnych pewnego doświadczenia losowego. Zakładamy, że wszystkie zdarzenia mają jednakową szansę realizacji. Wtedy przyjmujemy p i = 1/N dla każdego i = 1, 2,, N. Zgodnie z definicją klasyczną, prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest określone wzorem: P(A) = k N, gdzie k jest liczbą zdarzeń elementarnych, które sprzyjają zdarzeniu A.
25 Problem Kawalera de Méré. Doświadczenie polega na rzucie trzema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia kostek o sumie oczek równej 11? Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia kostek z sumą oczek 12? (Antoine Gombaud, Chevalier de Méré).
26 Model I Uważamy kostki za nierozróżnialne W tym modelu przestrzeń zdarzeń elementarnych * składa się z 56 zdarzeń elementarnych * = {(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3),, (2,1,2), (2,1,3),, (6,6,6)}. Są to 3-elementowe kombinacje z powtórzeniami zbioru 6- elementowego. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu na trzech kostkach sumy oczek równej 11, a B - zdarzenie polegające na wyrzuceniu na trzech kostkach sumy oczek równej 12. Wypiszmy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom A i B w tym modelu.
27 W tym modelu liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest równa 6 i liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu B jest również równa 6, gdyż: Suma oczek równa Suma oczek równa Zatem w tym modelu prawdopodobieństwa P(A) i P(B) są równe i wynoszą: P(A) = P(B) = 6 56.
28 Model II Uważamy kostki za rozróżnialne W tym modelu przestrzeń zdarzeń elementarnych * składa się z 216 zdarzeń elementarnych * = {(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3),, (6,6,6)}. Są to 3-elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 6- elementowego. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu na trzech kostkach sumy oczek równej 11, a B - zdarzenie polegające na wyrzuceniu na trzech kostkach sumy oczek równej 12.
29 Sumę oczek równą 11 daje 27 trójek: (6,4,1) (6,1,4) (1,6,4) (1,4,6) (4,6,1) (4,1,6) (6,3,2) (6,2,3) (3,6,2) (3,2,6) (2,3,6) (2,6,3) (5,5,1) (5,1,5) (1,5,5) (5,4,2) (5,2,4) (4,2,5) (4,5,2) (2,5,4) (2,4,5) (5,3,3) (3,5,3) (3,3,5) (4,4,3) (4,3,4) (3,4,4) Sumę oczek równą 12 daje 25 trójek: (6,5,1) (6,1,5) (1,6,5) (1,5,6) (5,6,1) (5,1,6) (6,4,2) (6,2,4) (4,6,2) (4,2,6) (2,4,6) (2,6,4) (6,3,3) (3,6,3) (3,3,6) (5,5,2) (5,2,5) (2,5,5) (5,4,3) (5,3,4) (4,3,5) (4,5,3) (3,4,5) (3,5,4) (4,4,4) Zatem w tym modelu prawdopodobieństwa P(A) i P(B) wynoszą: P(A) = P(B) =
30 Który model jest poprawny? Na to pytanie może odpowiedzieć tylko praktyka. Można sprawdzić, że w długiej serii rzutów częstość rozpatrywanych zdarzeń A i B odpowiada modelowi II. Dlatego model I odrzucamy jako nieodpowiedni dla doświadczenia. Z problemu kawalera de Méré wynika, że o tym czy dany model odpowiada rzeczywistemu doświadczeniu losowemu decyduje konfrontacja modelu z rzeczywistością.
31 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Rozszerzenie definicji klasycznej na przypadek nieskończonych i nieprzeliczalnych przestrzeni zdarzeń elementarnych. W tym przypadku przyjmuje się, że przestrzeń * jest podzbiorem przestrzeni R n, gdzie n = 1,2, Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A zawierzającego się w * jest określone wzorem: P(A) = A Ω, gdzie A jest miarą zbioru A, * - miarą zbioru *.
32 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa W doświadczeniu polegającym na obserwacji czasu oczekiwania na metro przestrzeń zdarzeń elementarnych była odcinkiem * = [0, 5]. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia B: czas oczekiwania dłuższy od 2 minut, czyli zdarzenia B = (2, 5]. Miarą w tej przestrzeni jest długość odcinka, * = 5-0 = 5, B = 5-2 = 3. Zatem: P(B) = B Ω = 3 5. * B 0 2 5
33 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa W doświadczeniu polegającym na strzelaniu karabinem do tarczy z odległości 300 metrów. Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest kołem * = {(x,y): x 2 + y 2 0,5 2 }. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia C: trafienie za min. 5 punkt., czyli zdarzenia C = {(x,y): x 2 + y 2 0,3 2 }. Miarą w tej przestrzeni jest pole koła, więc * = π 0,5 2 = 0,25π oraz C = π 0,3 2 = 0,09π. Zatem: P(C) = C Ω = 0,9π 0,25π = 9 25 = 0,36.
34 Empiryczna definicja prawdopodobieństwa Ograniczeniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa jest przyjęcie założenia o równości szans wystąpienia wszystkich zdarzeń elementarnych w i. Warunek ten może nie być spełniony nawet przy prostych doświadczeniach jak rzut monetą lub kością do gry, gdy używamy produktów niesymetrycznych, źle wyważonych. Wówczas pomocne może okazać się podejście empiryczne zwane też statystycznym. Opiera się ono na stwierdzeniu, że częstość realizacji zdarzeń losowych stabilizuje się wokół pewnej liczby przy zwiększaniu liczby doświadczeń: G. L. Buffon ( ) rzucał monetą 4040 razy obserwując orła z częstością 0,50693; K. Pearson ( ) rzucał razy uzyskując częstość orła 0,5005.
35 Empiryczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli n jest liczbą przeprowadzonych doświadczeń losowych, a m n (A) - liczbę doświadczeń zakończonych wystąpieniem zdarzenia A, to według empirycznej definicji prawdopodobieństwem zdarzenia A jest granica: m P(A) = lim n (A). n n Prawdopodobieństwem jest więc granica, do jakiej zmierza częstość zdarzenia, gdy liczba wykonywanych doświadczeń zmierza do nieskończoności. W praktyce zadowalamy się empiryczną oceną prawdopodobieństwa dla skończonej liczby doświadczeń.
36 Prawdopodobieństwo warunkowe Wyobraźmy sobie sytuację, gdy podczas pewnego eksperymentu dostępna jest dodatkowa informacja, która pozwala poprawić wartość prawdopodobieństwa (bezwarunkowego) interesującego nas zdarzenia, np. wybrana, spośród 1000, osoba jest paląca (zdarzenie A). Liczba osób palących Liczba osób niepalących Razem Prawdopodobieństwo trafienia na osobę palącą wynosi: P(A) = = 0,3.
37 Prawdopodobieństwo warunkowe Załóżmy, że otrzymaliśmy dodatkową informację: wybraną osobą jest kobieta (zaszło zdarzenie B). Ile w tej sytuacji wynosi prawdopodobieństwo, że jest to osoba paląca? Liczba osób palących Liczba osób niepalących Razem Kobiety Mężczyźni Razem To warunkowe prawdopodobieństwo oznaczamy P(A B). W naszym przykładzie wynosi ono: P(A B) = = 0,25.
38 Prawdopodobieństwo warunkowe gdzie Ale zauważmy, że P(A B) = = = P(A B), = P(B)., Liczba osób palących Liczba osób niepalących Razem Kobiety Mężczyźni Razem
39 Prawdopodobieństwo warunkowe Oznacza to, że prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A, gdy zaszło zdarzenie B jest określone wzorem P(A B) = P(A B) P(B), dla P(B) 0. Prawdopodobieństwo P(A B) nie jest określone dla P(B) = 0. Zdarzenie B jest wtedy niemożliwe. Analogicznie, możemy zdefiniować P(B A) = P(A B) P(A), dla P(A) 0.
40 Prawdopodobieństwo warunkowe Liczba osób palących Liczba osób niepalących Razem Kobiety Mężczyźni Razem P(B A) = P(A B) P(A) = = 1 3 = 0,3(3).
41 Prawdopodobieństwo warunkowe Przykład zastosowania prawdopodobieństwa warunkowego, przy wyznaczaniu szans trafienia na mordercę z siwymi albo kasztanowymi włosami w trakcie badań detektywistycznych. wcześniejsze Po zbadaniu broni Po zbadaniu włosów
42 Prawdopodobieństwo warunkowe Wzory na prawdopodobieństwo warunkowe dostarczają następujących formuł pozwalających obliczyć prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń: P(A B) = P(B) P(A B) = P(A) P(B A). Liczba osób palących Liczba osób niepalących Razem Kobiety Mężczyźni Razem P(A B) = P(B) P(A B) = = 1 10.
43 Niezależność zdarzeń Losujemy jedną kulę z urny: zdarzenie A polega na wyborze kuli białej, zdarzenie B polega na wyborze 3 1 kuli o numerze nieparzystym. 4 2 P(A) = 2 4, P(A B) =
44 Niezależność zdarzeń Losujemy jedną kulę z urny: zdarzenie A polega na wyborze kuli białej, zdarzenie B polega na wyborze 3 1 kuli o numerze nieparzystym. 4 2 P(A) = 2 4, P(A B) = 1 2 P(A) = P(A B)
45 Niezależność zdarzeń Zdarzenie A pojawia się tak samo często wśród wszystkich powtórzeń doświadczenia, jak wśród tych, które kończą się wynikiem B. O tego typu zdarzeniach A i B mówi się, że są od siebie niezależne. P(A) = P(A B)
46 Niezależność zdarzeń Jeśli dla zdarzeń losowych A i B, określonych w tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych * zachodzi P(A) = P(A B), to mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne. Na podstawie wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe dostajemy wtedy równości: P(A B) = P(A) P(B), P(B) = P(B A). Zatem zdarzenia A i B są niezależne jeśli zachodzi choć jedna z powyższych równości.
47 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Przypuśćmy, że zajście zdarzenia A jest uwarunkowane zajściem jednego spośród n wzajemnie wykluczających się zdarzeń B i (i = 1, 2,, n), wyczerpujących całą przestrzeń *, tzn. Wówczas Ω = B 1 B n, P(B i ) 0. P(A) = P(B 1 ) P(A B 1 ) + + P(B n ) P(A B n ). Prawdopodobieństwa P(B i ) noszą nazwę prawdopodobieństw a priori (przed wystąpieniem zdarzenia A) i odgrywają ważną rolę w zagadnieniach podejmowania decyzji.
48 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite * B 1 A P(A B 1 ) B 3 B 2 P(A B 3 ) P(A B 2 ) P(A) = P(B 1 ) P(A B 1 ) + P(B 2 ) P(A B 2 ) + P(B 3 ) P(A B 3 )
49 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite A - zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej w doświadczeniu, w którym losujemy najpierw urnę (czarną albo czerwoną), a potem kulę z wybranej urny. B 1 - wylosowanie urny czarnej, B 2 - wylosowanie urny czerwonej. P(B 1 ) = 2 5, P(B 2 ) = 3 5.
50 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Wylosowanie urny P(B 1 ) = 2 5 P(B 2 ) = 3 5 B 1 B 2 Wylosowanie kuli P(A B 1 ) = 2 3 P(A B 1 ) = 1 3 P(A B 2 ) = 2 5 P(A B 2 ) = 3 5 A A A A
51 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Wylosowanie urny P(B 1 ) = 2 5 P(B 2 ) = 3 5 B 1 B 2 Wylosowanie kuli P(A B 1 ) = 2 3 P(A B 1 ) = 1 3 P(A B 2 ) = 2 5 P(A B 2 ) = 3 5 A A A A P(A) = P(B 1 ) P(A B 1 ) + P(B 2 ) P(A B 2 ) = = = 0,51
52 Wzór Bayesa Załóżmy, że zdarzenie A się zrealizowało. Odpowiedź na pytanie: jakie będzie teraz prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń B i? daje wzór Bayesa (wzór na prawdopodobieństwo a posteriori, po wystąpieniu zdarzenia A): P(B i A) = P(B i ) P(A B i ) P(A) = P(B i ) P(A B i ) P(B 1 ) P(A B 1 ) + + P(B n ) P(A B n ). Załóżmy, że w przykładzie z urnami wylosowaliśmy kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z urny czarnej? Na to pytanie odpowiada wzór Bayesa: P(B 1 A) = P(B 1 ) P(A B 1 ) P(A) = = = 0,53
53 Wzór Bayesa Niekiedy zdarzenia B 1, B 2, B n nazywamy przyczynami, zaś zdarzenie A - skutkiem. Wówczas wzór Bayesa można odczytać w następujący sposób: Jeśli skutek A zrealizował się w rezultacie zajścia jednej z przyczyn B 1,, B n, to prawdopodobieństwo P(B i A) tego, że B i było przyczyną zajścia skutku A wyraża się wzorem: P(B i A) = P(B i ) P(A B i ) P(A) = P(B i ) P(A B i ) P(B 1 ) P(A B 1 ) + + P(B n ) P(A B n ).
54 Schemat Bernoulliego Rozpatrzmy n niezależnych doświadczeń losowych (albo - inaczej mówiąc - n niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia), z których każde kończy się tym jednym z dwóch wyników: sukcesem i porażką. Tego rodzaju schemat doświadczeń nazywamy schematem Bernoulliego. Prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo w każdym doświadczeniu i oznaczamy je symbolem p. Prawdopodobieństwo porażki oznaczamy symbolem q. Oczywiście między p i q zachodzi związek p+q = 1. Niech A n,k oznacza zdarzenie polegające na tym, że w n doświadczeniach schematu Bernoulliego otrzymamy dokładnie k sukcesów i n - k porażek.
55 Schemat Bernoulliego Prawdopodobieństwo zdarzenia A n,k opisuje wzór: P(A n, k ) = n k pk q n k, q = 1 p (k = 0,1,2,,n), gdzie n k = n! k! (n k)!, n!= 1 2 3!n.
56 Schemat Bernoulliego Przykład. Prawdopodobieństwo, że klient wchodzący do banku będzie się starał o kredyt wynosi 0,2. Do banku weszło pięciu klientów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie dwóch z nich weźmie kredyt? Jest to schemat Bernoulliego z n = 5, k = 2, p = 0,2 oraz q = 1 - p = 0,8. kredytu? P(A 5, 2 ) = 5 2 0,22 0,8 5 2 = 5! 0,04 0,512 = 0,21. 2! 3! Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden z nich nie weźmie P(A 5, 0 ) = 5 0 0,20 0,8 5 0 = 0,33.
57 Schemat Bernoulliego Jeśli prawdopodobieństwo sukcesu p jest małe i liczba prób n jest duża, to można stosować wzór przybliżony: P(A n, k ) = n k pk q n k npk k! e np. Wzór przybliżony można stosować, gdy: p < 0,2, n > 20.
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowoProbabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska
Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoP (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.
Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy,
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoZdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa dla informatyków
Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. jest ilościową miarą niepewności
Prawdopodobieństwo jest ilościową miarą niepewności Eksperyment - zdarzenie elementarne Eksperymentem nazywamy proces, który prowadzi do jednego z możliwych wyników. Nazywamy je wynikami obserwacji, zdarzeniami
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoWykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład : Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grządziel 3 maja 203 Doświadczenie losowe Doświadczenie nazywamy losowym, jeśli: może być powtarzane (w zasadzie) w tych samych warunkach;
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowo2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.
Literatura:. Jerzy Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania.. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.. J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoMETODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowo= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski
Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoRachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 2 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowo3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba
3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z 12.03.2007 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółowo+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x
Prawdopodobieństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźnie i wypełnia wnętrze kwadratu [0 x 1; 0 y 1]. Znajdź p-stwo, że dowolny
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna
Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoSpis treści. Definicje prawdopodobieństwa. Częstościowa definicja prawdopodobieństwa. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Definicje prawdopodobieństwa 1.1 Częstościowa definicja prawdopodobieństwa 1.1.1 Przykład 1.1.2 Rozwiązanie: 1.1.3 Inne rozwiązanie: 1.1.4 Jeszcze inne
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowoDeska Galtona. Adam Osękowski. Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski
a schemat Bernoulliego Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski XV Festiwal Nauki, 21 września 2011r. a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p)
Bardziej szczegółowoJak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?
Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoPodstawy Teorii Prawdopodobieństwa
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
Bardziej szczegółowoPo co nam statystyka matematyczna? Żeby na podstawie próby wnioskować o całej populacji
ODSTWY STTYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. opulacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne 6.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Plan wykładów Data WYKŁDY 1.X rachunek prawdopodobieństwa; 8.X zmienna losowa jednowymiarowa, funkcja rozkładu, dystrybuanta 15.X
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowo