Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Transkrypt

1 Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017

2 Rachunek Prawdopodobieństwa

3 Brian Wynne podał następującą typologię zagrożeń znanych i niewiadomych: 1. ryzyko to wiadome nam przyszłe zagrożenia, których prawdopodobieństwo może zostać oszacowane statystycznie, 2. niepewność to zagrożenia związane ze znanymi niewiadomymi czyli potencjalne zagrożenia, których prawdopodobieństwa nie da się ustalić, 3. ignorancja - niewiedza to przypadki zagrożeń, które są nieznane i i niewiadome (np. konsekwencje działania freonów na warstwę ozonową w atmosferze ziemskiej), 4. nieokreśloność to nierozpoznawalne niewiadome czyli zagrożenia w danym momencie nierozpoznane i niemożliwe do przewidzenia, ponieważ o ich istnieniu nie świadczy żadna znana nam w danej chwili prawidłowość.

4 Nieokreśloność Niewiedza Ryzyko Wiedza Czas Schemat ewolucji przeciętnego poziomu wiedzy, ryzyka i niepewności w funkcji czasu

5 Od zarania dziejów człowiek pozyskuje informacje, które obecnie określamy jako wiedzę. Temu procesowi towarzyszy istnienie obszaru nieokreśloności. Pomiędzy obszarem wiedzy a obszarem nieokreśloności pojawia się stopniowo w miarę rozwoju człowieka i upływu czasu, obszar niepewności. Gdy ukształtowały się odpowiednie umiejętności u człowieka (np. umiejętność szacowania prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia), wyłonił się również obszar ryzyka w dzisiejszym rozumieniu tego słowa. W miarę upływu czasu obszarowi wiedzy towarzyszył będzie coraz większy obszar ryzyka i jeszcze większy obszar niepewności. Jednak obszar nieokreśloności będzie stale największym spośród wyodrębnionych obszarów.

6 Czym jest prawdopodobieństwo? Potocznie, prawdopodobieństwo rozumie się jako szansę wystąpienia zdarzenia, które nie jest z góry przesądzone. Powszechnie wiadomo, że prawdopodobieństwo wyraża się liczbowo, przyjmując wartości z przedziału [0,1]. Na przykład, prawdopodobieństwo zdarzenia równe 0,25 oznacza, że interesujące nas zdarzenie w normalnych warunkach zachodzi w 25% przypadków. Jeśli na przykład mówimy, że prawdopodobieństwo spóźnienia pociągu wynosi 0,25, to po pierwsze, wynika z tego, że w danym przypadku nie wiadomo, czy pociąg się spóźni, czy nie (spóźnienie jest zdarzeniem losowym), a po drugie, że pociąg ten spóźnia się przeciętnie raz na cztery razy. Mimo, iż prawdopodobieństwo zdarzenia jest intuicyjnie łatwo zrozumiałe, to trudno je ściśle zdefiniować, na co wskazuje historia rozwoju rachunku prawdopodobieństwa.

7 0 1 0,25 0,5 0,75 Zdarzenie Zdarzenie Zajście i Zdarzenie Zdarzenie prawie na raczej nie niezajście raczej prawie na pewno nie zajdzie, niż zdarzenia zajdzie, niż pewno zajdzie zajdzie jest równie nie zajdzie zajdzie możliwe

8 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych Podstawą rozważań nad prawdopodobieństwem są powtarzalne doświadczenia (eksperymenty), których wyniku nie da się przewidzieć. Są to tak zwane doświadczenia losowe. Na przykład: oczekiwanie na autobus, który może przyjechać o czasie, spóźnić się lub w ogóle nie przyjechać z powodu awarii, zakup akcji i obserwacja ich notowań, rozgrywki piłki nożnej, obserwacja dystansu jaki samochód przejedzie na 1 litrze paliwa, itp. Każdy pojedynczy wynik doświadczenia losowego nazywamy zdarzeniem elementarnym i oznaczamy symbolem w i.

9 * = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

10 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego (eksperymentu) oznaczamy symbolem *, nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i w przypadku skończonej liczby zdarzeń elementarnych zapisujemy w postaci * = {w 1, w 2,, w N }, gdzie N jest liczbą wszystkich zdarzeń elementarnych. Przykładowo, zdarzeniami elementarnymi w doświadczeniu polegającym na rzucie monetą są: R - wyrzucenie reszki, O - wyrzucenie orła. Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest następująca * = {R, O}, przy czym kolejność poszczególnych zdarzeń nie ma znaczenia.

11 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w doświadczeniu polegającym na rzucie kością do gry można zapisać następująco: * = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 }, gdzie w i - zdarzenie elementarne: wyrzucenie oczek w liczbie i. Określenie zbioru zdarzeń elementarnych wiąże się ściśle z charakterem eksperymentu losowego. Na przykład, w doświadczeniu polegającym na dwukrotnym rzucie monetą zdarzenia elementarne są zdefiniowane jako możliwe pary wyników uzyskanych w dwóch kolejnych rzutach monetą. Zbiór zdarzeń elementarnych jest tu więc 4- elementowy: * = {RR, RO, OR, OO}.

12 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych Niekiedy mamy do czynienia z doświadczeniami, w których przestrzeń zdarzeń elementarnych jest nieskończona. Za przykład może służyć doświadczenie polegające na rzucaniu monetą do momentu, kiedy wyrzucona zostanie reszka. Przestrzeń zdarzeń elementarnych w tym przypadku jest postaci * = {w 1, w 2,, w n, }, gdzie w n - pojawienie się reszki w n-tym rzucie monetą. W tym doświadczeniu przestrzeń zdarzeń elementarnych jest nieskończona ale przeliczalna, tzn. wszystkie elementy tej przestrzeni można ustawić w nieskończony ciąg. Istnieją doświadczenia losowe o nieprzeliczalnej przestrzeni zdarzeń elementarnych.

13 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozważmy doświadczenie losowe polegające na obserwacji czasu oczekiwania na metro. Jeśli przyjąć, że metro kursuje, co 5 minut, to czas oczekiwania, mierzony w minutach, może być każdą liczbą rzeczywistą z przedziału [0, 5]. Przestrzeń zdarzeń elementarnych w tym przypadku składa się ze wszystkich punktów przedziału [0, 5] * = [0, 5]. Dowodzi się, że każdy przedział jest zbiorem nieprzeliczalnym. Mamy więc przykład przestrzeni zdarzeń, która jest nieskończona i nieprzeliczalna.

14 Zdarzenia elementarne, Przestrzeń zdarzeń elementarnych W doświadczeniu polegającym na strzelaniu do okrągłej tarczy przestrzeń zdarzeń elementarnych może stanowić zbiór wszystkich punktów tej tarczy, czyli koło o pewnym promieniu r * = {(x, y): x 2 + y 2 < r 2 }.

15 Zdarzenia losowe Wykonując doświadczenie możemy interesować się zdarzeniem, które realizuje się przy różnych zdarzeniach elementarnych. Zdarzenie takie nazywamy zdarzeniem losowym i oznaczamy, podobnie jak zbiory, dowolną dużą literą łacińską A, B, C itp. Na przykład rozpatrując doświadczenie polegające na rzucie kostką do gry może nas interesować zdarzenie: wypada parzysta liczba oczek. Zachodzi ono wówczas, gdy wyrzucimy 2, 4 lub 6 oczek. Oznaczając to zdarzenie losowe literą A, mamy A = {2, 4, 6}. Mówimy, że zaszło dane zdarzenie losowe, gdy w wyniku doświadczenia zaszło któreś ze zdarzeń elementarnych, z których składa się dane zdarzenie losowe.

16 Zdarzenia losowe W doświadczeniu polegającym na obserwacji czasu oczekiwania na metro zdarzenie B: czas oczekiwania dłuższy od 2 minut jest zdarzeniem losowym, który reprezentuje odcinek (2, 5], czyli B = (2, 5]. * B 0 2 5

17 Zdarzenia losowe Dla zdefiniowania prawdopodobieństwa ważne jest określenie rodziny wszystkich możliwych zdarzeń losowych związanych z danym doświadczeniem losowym. Tworzą go poszczególne zdarzenia elementarne, wszystkie możliwe zdarzenia losowe złożone ze zdarzeń elementarnych oraz zdarzenie niemożliwe (zbiór pusty) i zdarzenie pewne * (przestrzeń wszystkich zdarzeń elementarnych). Na tej rodzinie, czyli zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru * definiowane jest prawdopodobieństwo oraz wszelkie działania na prawdopodobieństwie.

18 Algebra zdarzeń losowych Sumą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A B, które zachodzi wtedy, gdy zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A i B. Różnicą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A / B, które zachodzi wtedy, gdy zachodzi zdarzenie zdarzenie A, ale jednocześnie nie występuje zdarzenie B. Iloczynem zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie A B, które zachodzi wtedy, gdy zachodzą jednocześnie zdarzenia A i B. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie Ā, które realizuje się zawsze, gdy nie zachodzi zdarzenie A. Możemy je otrzymać jako Ā = * / A.

19 A B A A B Ā = * / A A / B *

20 Algebra zdarzeń losowych Mówimy, że zdarzenia A i B wykluczają się wzajemnie, gdy A B =, czyli wtedy, gdy odpowiadające im zbiory zdarzeń elementarnych nie mają wspólnych elementów, czego konsekwencją jest to, że zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie. Mówimy, że zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B (zdarzenia A implikuje zdarzenie B), gdy A B. Mówimy, że parami wykluczające się zdarzenia A 1,, A n tworzą zupełny układ zdarzeń, gdy A 1 A n = *.

21 Uwaga Okazuje się, że w przypadku nieprzeliczalnych przestrzeni * nie możemy uznać wszystkich podzbiorów za zdarzenia elementarne. Wiąże się to z problemem istnienia zbiorów niemierzalnych na prostej rzeczywistej. W takich przypadkach tworzymy mniejszą rodzinę podzbiorów przestrzeni *, którą oznaczamy przez B i nazywamy rodziną (ciałem) zbiorów borelowskich. Rodzina ta spełnia warunki:, * B, Jeśli A 1, A 2, B, to A 1 A 2 B, Jeśli A 1, A 2, B, to A 1 A 2 B, A / B B dla dowolnych A, B B,

22 Teoretyczna definicja prawdopodobieństwa Niech * = {w 1, w 2,, w N } będzie przestrzenią wszystkich zdarzeń elementarnych pewnego doświadczenia losowego. Każdemu zdarzeniu elementarnemu {w i } przyporządkowujemy nieujemną liczbę rzeczywistą p i zwaną prawdopodobieństwem tego zdarzenia i oznaczamy ją P({w i }) = p i. Prawdopodobieństwo dowolnych zdarzeń losowych definiujemy tak, by spełnione były warunki: 0 p i 1 dla każdego i = 1, 2,, N, p 1 + p p N = 1, P( ) = 0 oraz dla dowolnego zdarzenia losowego A P(A) = P({ω i }) = p i. ω i A ω i A

23 Własności prawdopodobieństwa 1. Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 2. Prawdopodobieństwo dwóch wykluczających się zdarzeń: P(A B) = P(A) + P(B). 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: P(A) = 1 P(A).

24 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Niech * = {w 1, w 2,, w N } będzie przestrzenią wszystkich zdarzeń elementarnych pewnego doświadczenia losowego. Zakładamy, że wszystkie zdarzenia mają jednakową szansę realizacji. Wtedy przyjmujemy p i = 1/N dla każdego i = 1, 2,, N. Zgodnie z definicją klasyczną, prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest określone wzorem: P(A) = k N, gdzie k jest liczbą zdarzeń elementarnych, które sprzyjają zdarzeniu A.

25 Problem Kawalera de Méré. Doświadczenie polega na rzucie trzema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia kostek o sumie oczek równej 11? Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia kostek z sumą oczek 12? (Antoine Gombaud, Chevalier de Méré).

26 Model I Uważamy kostki za nierozróżnialne W tym modelu przestrzeń zdarzeń elementarnych * składa się z 56 zdarzeń elementarnych * = {(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3),, (2,1,2), (2,1,3),, (6,6,6)}. Są to 3-elementowe kombinacje z powtórzeniami zbioru 6- elementowego. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu na trzech kostkach sumy oczek równej 11, a B - zdarzenie polegające na wyrzuceniu na trzech kostkach sumy oczek równej 12. Wypiszmy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom A i B w tym modelu.

27 W tym modelu liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest równa 6 i liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu B jest również równa 6, gdyż: Suma oczek równa Suma oczek równa Zatem w tym modelu prawdopodobieństwa P(A) i P(B) są równe i wynoszą: P(A) = P(B) = 6 56.

28 Model II Uważamy kostki za rozróżnialne W tym modelu przestrzeń zdarzeń elementarnych * składa się z 216 zdarzeń elementarnych * = {(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3),, (6,6,6)}. Są to 3-elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 6- elementowego. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu na trzech kostkach sumy oczek równej 11, a B - zdarzenie polegające na wyrzuceniu na trzech kostkach sumy oczek równej 12.

29 Sumę oczek równą 11 daje 27 trójek: (6,4,1) (6,1,4) (1,6,4) (1,4,6) (4,6,1) (4,1,6) (6,3,2) (6,2,3) (3,6,2) (3,2,6) (2,3,6) (2,6,3) (5,5,1) (5,1,5) (1,5,5) (5,4,2) (5,2,4) (4,2,5) (4,5,2) (2,5,4) (2,4,5) (5,3,3) (3,5,3) (3,3,5) (4,4,3) (4,3,4) (3,4,4) Sumę oczek równą 12 daje 25 trójek: (6,5,1) (6,1,5) (1,6,5) (1,5,6) (5,6,1) (5,1,6) (6,4,2) (6,2,4) (4,6,2) (4,2,6) (2,4,6) (2,6,4) (6,3,3) (3,6,3) (3,3,6) (5,5,2) (5,2,5) (2,5,5) (5,4,3) (5,3,4) (4,3,5) (4,5,3) (3,4,5) (3,5,4) (4,4,4) Zatem w tym modelu prawdopodobieństwa P(A) i P(B) wynoszą: P(A) = P(B) =

30 Który model jest poprawny? Na to pytanie może odpowiedzieć tylko praktyka. Można sprawdzić, że w długiej serii rzutów częstość rozpatrywanych zdarzeń A i B odpowiada modelowi II. Dlatego model I odrzucamy jako nieodpowiedni dla doświadczenia. Z problemu kawalera de Méré wynika, że o tym czy dany model odpowiada rzeczywistemu doświadczeniu losowemu decyduje konfrontacja modelu z rzeczywistością.

31 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Rozszerzenie definicji klasycznej na przypadek nieskończonych i nieprzeliczalnych przestrzeni zdarzeń elementarnych. W tym przypadku przyjmuje się, że przestrzeń * jest podzbiorem przestrzeni R n, gdzie n = 1,2, Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A zawierzającego się w * jest określone wzorem: P(A) = A Ω, gdzie A jest miarą zbioru A, * - miarą zbioru *.

32 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa W doświadczeniu polegającym na obserwacji czasu oczekiwania na metro przestrzeń zdarzeń elementarnych była odcinkiem * = [0, 5]. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia B: czas oczekiwania dłuższy od 2 minut, czyli zdarzenia B = (2, 5]. Miarą w tej przestrzeni jest długość odcinka, * = 5-0 = 5, B = 5-2 = 3. Zatem: P(B) = B Ω = 3 5. * B 0 2 5

33 Geometryczna definicja prawdopodobieństwa W doświadczeniu polegającym na strzelaniu karabinem do tarczy z odległości 300 metrów. Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest kołem * = {(x,y): x 2 + y 2 0,5 2 }. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia C: trafienie za min. 5 punkt., czyli zdarzenia C = {(x,y): x 2 + y 2 0,3 2 }. Miarą w tej przestrzeni jest pole koła, więc * = π 0,5 2 = 0,25π oraz C = π 0,3 2 = 0,09π. Zatem: P(C) = C Ω = 0,9π 0,25π = 9 25 = 0,36.

34 Empiryczna definicja prawdopodobieństwa Ograniczeniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa jest przyjęcie założenia o równości szans wystąpienia wszystkich zdarzeń elementarnych w i. Warunek ten może nie być spełniony nawet przy prostych doświadczeniach jak rzut monetą lub kością do gry, gdy używamy produktów niesymetrycznych, źle wyważonych. Wówczas pomocne może okazać się podejście empiryczne zwane też statystycznym. Opiera się ono na stwierdzeniu, że częstość realizacji zdarzeń losowych stabilizuje się wokół pewnej liczby przy zwiększaniu liczby doświadczeń: G. L. Buffon ( ) rzucał monetą 4040 razy obserwując orła z częstością 0,50693; K. Pearson ( ) rzucał razy uzyskując częstość orła 0,5005.

35 Empiryczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli n jest liczbą przeprowadzonych doświadczeń losowych, a m n (A) - liczbę doświadczeń zakończonych wystąpieniem zdarzenia A, to według empirycznej definicji prawdopodobieństwem zdarzenia A jest granica: m P(A) = lim n (A). n n Prawdopodobieństwem jest więc granica, do jakiej zmierza częstość zdarzenia, gdy liczba wykonywanych doświadczeń zmierza do nieskończoności. W praktyce zadowalamy się empiryczną oceną prawdopodobieństwa dla skończonej liczby doświadczeń.

36 Prawdopodobieństwo warunkowe Wyobraźmy sobie sytuację, gdy podczas pewnego eksperymentu dostępna jest dodatkowa informacja, która pozwala poprawić wartość prawdopodobieństwa (bezwarunkowego) interesującego nas zdarzenia, np. wybrana, spośród 1000, osoba jest paląca (zdarzenie A). Liczba osób palących Liczba osób niepalących Razem Prawdopodobieństwo trafienia na osobę palącą wynosi: P(A) = = 0,3.

37 Prawdopodobieństwo warunkowe Załóżmy, że otrzymaliśmy dodatkową informację: wybraną osobą jest kobieta (zaszło zdarzenie B). Ile w tej sytuacji wynosi prawdopodobieństwo, że jest to osoba paląca? Liczba osób palących Liczba osób niepalących Razem Kobiety Mężczyźni Razem To warunkowe prawdopodobieństwo oznaczamy P(A B). W naszym przykładzie wynosi ono: P(A B) = = 0,25.

38 Prawdopodobieństwo warunkowe gdzie Ale zauważmy, że P(A B) = = = P(A B), = P(B)., Liczba osób palących Liczba osób niepalących Razem Kobiety Mężczyźni Razem

39 Prawdopodobieństwo warunkowe Oznacza to, że prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A, gdy zaszło zdarzenie B jest określone wzorem P(A B) = P(A B) P(B), dla P(B) 0. Prawdopodobieństwo P(A B) nie jest określone dla P(B) = 0. Zdarzenie B jest wtedy niemożliwe. Analogicznie, możemy zdefiniować P(B A) = P(A B) P(A), dla P(A) 0.

40 Prawdopodobieństwo warunkowe Liczba osób palących Liczba osób niepalących Razem Kobiety Mężczyźni Razem P(B A) = P(A B) P(A) = = 1 3 = 0,3(3).

41 Prawdopodobieństwo warunkowe Przykład zastosowania prawdopodobieństwa warunkowego, przy wyznaczaniu szans trafienia na mordercę z siwymi albo kasztanowymi włosami w trakcie badań detektywistycznych. wcześniejsze Po zbadaniu broni Po zbadaniu włosów

42 Prawdopodobieństwo warunkowe Wzory na prawdopodobieństwo warunkowe dostarczają następujących formuł pozwalających obliczyć prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń: P(A B) = P(B) P(A B) = P(A) P(B A). Liczba osób palących Liczba osób niepalących Razem Kobiety Mężczyźni Razem P(A B) = P(B) P(A B) = = 1 10.

43 Niezależność zdarzeń Losujemy jedną kulę z urny: zdarzenie A polega na wyborze kuli białej, zdarzenie B polega na wyborze 3 1 kuli o numerze nieparzystym. 4 2 P(A) = 2 4, P(A B) =

44 Niezależność zdarzeń Losujemy jedną kulę z urny: zdarzenie A polega na wyborze kuli białej, zdarzenie B polega na wyborze 3 1 kuli o numerze nieparzystym. 4 2 P(A) = 2 4, P(A B) = 1 2 P(A) = P(A B)

45 Niezależność zdarzeń Zdarzenie A pojawia się tak samo często wśród wszystkich powtórzeń doświadczenia, jak wśród tych, które kończą się wynikiem B. O tego typu zdarzeniach A i B mówi się, że są od siebie niezależne. P(A) = P(A B)

46 Niezależność zdarzeń Jeśli dla zdarzeń losowych A i B, określonych w tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych * zachodzi P(A) = P(A B), to mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne. Na podstawie wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe dostajemy wtedy równości: P(A B) = P(A) P(B), P(B) = P(B A). Zatem zdarzenia A i B są niezależne jeśli zachodzi choć jedna z powyższych równości.

47 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Przypuśćmy, że zajście zdarzenia A jest uwarunkowane zajściem jednego spośród n wzajemnie wykluczających się zdarzeń B i (i = 1, 2,, n), wyczerpujących całą przestrzeń *, tzn. Wówczas Ω = B 1 B n, P(B i ) 0. P(A) = P(B 1 ) P(A B 1 ) + + P(B n ) P(A B n ). Prawdopodobieństwa P(B i ) noszą nazwę prawdopodobieństw a priori (przed wystąpieniem zdarzenia A) i odgrywają ważną rolę w zagadnieniach podejmowania decyzji.

48 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite * B 1 A P(A B 1 ) B 3 B 2 P(A B 3 ) P(A B 2 ) P(A) = P(B 1 ) P(A B 1 ) + P(B 2 ) P(A B 2 ) + P(B 3 ) P(A B 3 )

49 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite A - zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej w doświadczeniu, w którym losujemy najpierw urnę (czarną albo czerwoną), a potem kulę z wybranej urny. B 1 - wylosowanie urny czarnej, B 2 - wylosowanie urny czerwonej. P(B 1 ) = 2 5, P(B 2 ) = 3 5.

50 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Wylosowanie urny P(B 1 ) = 2 5 P(B 2 ) = 3 5 B 1 B 2 Wylosowanie kuli P(A B 1 ) = 2 3 P(A B 1 ) = 1 3 P(A B 2 ) = 2 5 P(A B 2 ) = 3 5 A A A A

51 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Wylosowanie urny P(B 1 ) = 2 5 P(B 2 ) = 3 5 B 1 B 2 Wylosowanie kuli P(A B 1 ) = 2 3 P(A B 1 ) = 1 3 P(A B 2 ) = 2 5 P(A B 2 ) = 3 5 A A A A P(A) = P(B 1 ) P(A B 1 ) + P(B 2 ) P(A B 2 ) = = = 0,51

52 Wzór Bayesa Załóżmy, że zdarzenie A się zrealizowało. Odpowiedź na pytanie: jakie będzie teraz prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń B i? daje wzór Bayesa (wzór na prawdopodobieństwo a posteriori, po wystąpieniu zdarzenia A): P(B i A) = P(B i ) P(A B i ) P(A) = P(B i ) P(A B i ) P(B 1 ) P(A B 1 ) + + P(B n ) P(A B n ). Załóżmy, że w przykładzie z urnami wylosowaliśmy kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z urny czarnej? Na to pytanie odpowiada wzór Bayesa: P(B 1 A) = P(B 1 ) P(A B 1 ) P(A) = = = 0,53

53 Wzór Bayesa Niekiedy zdarzenia B 1, B 2, B n nazywamy przyczynami, zaś zdarzenie A - skutkiem. Wówczas wzór Bayesa można odczytać w następujący sposób: Jeśli skutek A zrealizował się w rezultacie zajścia jednej z przyczyn B 1,, B n, to prawdopodobieństwo P(B i A) tego, że B i było przyczyną zajścia skutku A wyraża się wzorem: P(B i A) = P(B i ) P(A B i ) P(A) = P(B i ) P(A B i ) P(B 1 ) P(A B 1 ) + + P(B n ) P(A B n ).

54 Schemat Bernoulliego Rozpatrzmy n niezależnych doświadczeń losowych (albo - inaczej mówiąc - n niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia), z których każde kończy się tym jednym z dwóch wyników: sukcesem i porażką. Tego rodzaju schemat doświadczeń nazywamy schematem Bernoulliego. Prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo w każdym doświadczeniu i oznaczamy je symbolem p. Prawdopodobieństwo porażki oznaczamy symbolem q. Oczywiście między p i q zachodzi związek p+q = 1. Niech A n,k oznacza zdarzenie polegające na tym, że w n doświadczeniach schematu Bernoulliego otrzymamy dokładnie k sukcesów i n - k porażek.

55 Schemat Bernoulliego Prawdopodobieństwo zdarzenia A n,k opisuje wzór: P(A n, k ) = n k pk q n k, q = 1 p (k = 0,1,2,,n), gdzie n k = n! k! (n k)!, n!= 1 2 3!n.

56 Schemat Bernoulliego Przykład. Prawdopodobieństwo, że klient wchodzący do banku będzie się starał o kredyt wynosi 0,2. Do banku weszło pięciu klientów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie dwóch z nich weźmie kredyt? Jest to schemat Bernoulliego z n = 5, k = 2, p = 0,2 oraz q = 1 - p = 0,8. kredytu? P(A 5, 2 ) = 5 2 0,22 0,8 5 2 = 5! 0,04 0,512 = 0,21. 2! 3! Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden z nich nie weźmie P(A 5, 0 ) = 5 0 0,20 0,8 5 0 = 0,33.

57 Schemat Bernoulliego Jeśli prawdopodobieństwo sukcesu p jest małe i liczba prób n jest duża, to można stosować wzór przybliżony: P(A n, k ) = n k pk q n k npk k! e np. Wzór przybliżony można stosować, gdy: p < 0,2, n > 20.