Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017

2 Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z talii 54 kart (pełna talia z dwoma jokerami). Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że Alicja wylosowała króla? A Alicja wylosowała króla Rozwiązanie:

3 Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z talii 54 kart (pełna talia z dwoma jokerami). Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że Alicja wylosowała króla? Alicja poinformowała nas, że wylosowała pika ( ), ile wynosi teraz prawdopodobieństwo zdarzenia, że Alicja wylosowała króla? A Alicja wylosowała króla B Alicja wylosowała pika Rozwiązanie:

4 Morał1: przestrzeń warunkowa W przypadku prawdopodobieństwa klasycznego, dodatkowa informacja oznacza, że trzeba zmodyfikować przestrzeń zdarzeń elementarnych: (nowe Ω) = Ω B = B trzeba zmodyfikować zdarzenie sprzyjające: (nowe zdarzenie sprzyjające) = A B

5 Prawdopodobieństwo warunkowe Przykład 2 Alicja przychodzi do restauracji w losowym momencie między a Podobnie postępuje Bob. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Alicja przyszła przed 18.15? Rozwiązanie: A Alicja przyszła przed 18.15

6 Prawdopodobieństwo warunkowe Przykład 2 Alicja przychodzi do restauracji w losowym momencie między a Podobnie postępuje Bob. Wiadomo, że Bob przyszedł pierwszy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Alicja przyszła przed 18.15? Rozwiązanie: A Alicja przyszła przed B Bob przyszedł pierwszy

7 Morał2: przestrzeń warunkowa W przypadku prawdopodobieństwa geometrycznego, dodatkowa informacja oznacza, że trzeba zmodyfikować przestrzeń zdarzeń elementarnych: (nowe Ω) = Ω B = B trzeba zmodyfikować zdarzenie sprzyjające: (nowe zdarzenie sprzyjające) = A B

8 Definicja prawdopodobieństwa warunkowego Definicja A oraz B są zdarzeniami losowymi, zakładamy, że P(B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B nazywamy liczbę P(A B) P(A B) =. P(B)

9 Definicja prawdopodobieństwa warunkowego Definicja przypomnienie P(A B) = P(A B). P(B) Przykład 3 Rzucamy niestandardową kostką, w której 1, 2, 3 oczka wypadają z prawdopodobieństwem 1 12 i 4, 5, 6 oczek wypadają z prawdopodobieństwem 1 4. Opisz przestrzeń prob. (Ω, F, P) opisującą ten eksperyment.

10 Definicja prawdopodobieństwa warunkowego Definicja przypomnienie P(A B) = P(A B). P(B) Przykład 3 Rzucamy niestandardową kostką, w której 1, 2, 3 oczka wypadają z prawdopodobieństwem 1 12 i 4, 5, 6 oczek wypadają z prawdopodobieństwem 1 4. Opisz przestrzeń prob. (Ω, F, P) opisującą ten eksperyment. Wiemy, że wypadła liczba oczek co najwyżej 4. Ile wynosi wtedy prawdopodobieństwo wyrzucenia: liczby nieparzystej?

11 Definicja prawdopodobieństwa warunkowego Morał3 Prawdopodobieństwo warunkowe zadaje nowy sposób losowania! prawdopodobieństwo warunkowe zadaje nową funkcję prawdopodobieństwa (miarę probabilistyczną) P B na podzbiorach Ω B = B: P B (A) = P(A B) W związku z tym mamy nową (warunkową) przestrzeń probabilistyczną (B, F B, P B ), gdzie F B = {A : F F A = F B}

12 Wzór łańcuchowy Przykład 4 Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy kolejno bez zwracania 2 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wybrane kule są białe? Rozwiązanie 1: drzewkiem Rozwiązanie 2: C 1 pierwsza kula jest biała C 2 druga kula jest biała P (C 2 C 1 ) = P (C 1 C 2 ) P (C 1 )

13 Wzór łańcuchowy Twierdzenie (wzór łańcuchowy) Jeśli zdarzenia A 1,..., A n spełniają warunek P(A 1 A n 1 ) > 0, wówczas P(A 1 A n ) = Dowód: P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1 A n 1 )

14 Wzór łańcuchowy Twierdzenie (wzór łańcuchowy) Jeśli zdarzenia A 1,..., A n spełniają warunek P(A 1 A n 1 ) > 0, wówczas P(A 1 A n ) = Dowód: Przykład 5 P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1 A n 1 ) Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy kolejno bez zwracania 4 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane kule są białe? Rozwiązanie:

15 Prawdopodobieństwo całkowite Przykład 6 Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy losowo jedną kulę i nie oglądając wyrzucamy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wybrana kula jest biała? Rozwiązanie drzewkiem : Rozwiązanie formalne:

16 Definicja Rozbiciem przestrzeni Ω nazywamy rodzinę (B i ) n i=1 = {B 1, B 2,..., B n } zdarzeń, które są parami rozłączne i których suma jest całą przestrzenią Ω. Tzn. 1 B i B j =, dla i j; 2 Ω = B 1 B 2... B n.

17 Definicja Rozbiciem przestrzeni Ω nazywamy rodzinę (B i ) n i=1 = {B 1, B 2,..., B n } zdarzeń, które są parami rozłączne i których suma jest całą przestrzenią Ω. Tzn. 1 B i B j =, dla i j; 2 Ω = B 1 B 2... B n. Twierdzenie (Wzór na prawdopodobieństwo całkowite) Jeśli (B i ) n i=1 jest rozbiciem Ω na zdarzenia o dodatnich prawdopodobieństwach, wówczas dla dowolnego zdarzenia A. n P(A) = P(B i ) P(A B i ) i=1 Dowód:

18 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite przypomnienie Jeśli (B i ) n i=1 jest rozbiciem Ω na zdarzenia o dodatnich prawdopodobieństwach, wówczas dla dowolnego zdarzenia A Przykład 6 bis P(A) = n P(A B i ) P(B i ) i=1 Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy losowo dwie kule i wszystkie wylosowane białe wrzucamy z powrotem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzecia wybrana kula jest biała? Rozwiązanie:

19 Przykład 7 (Paradoks Monty ego Halla) W grze Idź na całość są trzy bramki. Za jedną kryje się samochód za dwiema pozostałymi koty (Zonki). W pierwszej turze grający wybiera jedną z bramek.

20 Przykład 7 (Paradoks Monty ego Halla) W grze Idź na całość są trzy bramki. Za jedną kryje się samochód za dwiema pozostałymi koty (Zonki). W pierwszej turze grający wybiera jedną z bramek. Następnie prowadzący odkrywa jedną z bramek, za którą kryje się kot. W tym momencie grający może zmienić bramkę. Czy mu się opłaca zamienić, czy zostać przy poprzedniej decyzji?

21 Przykład 7 (Paradoks Monty ego Halla) W grze Idź na całość są trzy bramki. Za jedną kryje się samochód za dwiema pozostałymi koty (Zonki). W pierwszej turze grający wybiera jedną z bramek. Następnie prowadzący odkrywa jedną z bramek, za którą kryje się kot. W tym momencie grający może zmienić bramkę. Czy mu się opłaca zamienić, czy zostać przy poprzedniej decyzji?

22 Przykład 8 Uczciwa sześcienna kostka ma następujące napisy na bokach: wygrana (na 2 bokach), przegrana (na 3 bokach) i graj dalej (na 1 boku). Rzucamy kostką aż do definitywnej przegranej lub wygranej. Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite wyznacz: szansę wygranej i szansę przegranej. Ile wynosi szansa na nieskończoną grę?

23 Przykład 9 Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy losowo jedną kulę i nie oglądając wyrzucamy. Tym razem wiemy, że druga wybrana kula jest biała. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pierwsza wylosowana kula była czarna? Rozwiązanie bez specjalistycznych wzorów:

24 Twierdzenie (wzór Bayesa) Jeśli (B i ) jest rozbiciem Ω na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie oraz P(A) > 0, to P(B j A) = P(B j) P(A B j ) P(A) = P(A B j) P(B j ) i P(B i) P(A B i ) Dowód.

25 Twierdzenie (wzór Bayesa) Jeśli (B i ) jest rozbiciem Ω na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie oraz P(A) > 0, to P(B j A) = P(B j) P(A B j ) P(A) = P(A B j) P(B j ) i P(B i) P(A B i ) Dowód. Przykład 9 bis Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy losowo dwie kule i wszytstkie białe wrzucamy z powrotem. Tym razem wiemy, że trzecia wybrana kula jest biała. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w pierwszym losowaniu wybralismy dwie czarne kule? Rozwiązanie korzystające ze wzoru Bayesa:

26 Przykład 10 Pewne małżeństwo zrobiło swojemu nienarodzonemu dziecku badanie prenatalne, które dało pozytywny wynik na obecność pewnej rzadkiej wady genetycznej (co osoba na nią cierpi). Wiadomo, że u chorych każdy wynik jest pozytywny a u zdrowych co 100 wynik daje fałszywy pozytywny wynik. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że ich dziecko jest chore. Czy przyszli rodzice mają popadać w histerię czy raczej poczekać spokojnie do narodzin?

27 Przykład 10 Pewne małżeństwo zrobiło swojemu nienarodzonemu dziecku badanie prenatalne, które dało pozytywny wynik na obecność pewnej rzadkiej wady genetycznej (co osoba na nią cierpi). Wiadomo, że u chorych każdy wynik jest pozytywny a u zdrowych co 100 wynik daje fałszywy pozytywny wynik. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że ich dziecko jest chore. Czy przyszli rodzice mają popadać w histerię czy raczej poczekać spokojnie do narodzin?

28 Przykład 11 Firma ubezpieczeniowa dzieli kierowców na trzy grupy: ostrożnych (10 % kierowców) przeciętnych (70%) i ryzykantów (20%). Z prowadzonych przez firmę statystyk wynika iż prawdopodobieństwo, że kierowca z danej grupy ma wypadek w okresie jednego roku wynosi: 0,1,0,2,0,9, odpowiednio w pierwszej, drugiej i trzeciej grupie. Franek w pierwszym roku ubezpieczenia spowodował wypadek, jakie jest prawdopodobieństwo, że należy do grupy ryzykantów?

29 Przykład 11 Firma ubezpieczeniowa dzieli kierowców na trzy grupy: ostrożnych (10 % kierowców) przeciętnych (70%) i ryzykantów (20%). Z prowadzonych przez firmę statystyk wynika iż prawdopodobieństwo, że kierowca z danej grupy ma wypadek w okresie jednego roku wynosi: 0,1,0,2,0,9, odpowiednio w pierwszej, drugiej i trzeciej grupie. Franek w pierwszym roku ubezpieczenia spowodował wypadek, jakie jest prawdopodobieństwo, że należy do grupy ryzykantów?

30 Przykład 12 W urnie znajdują się 3 monety jedna zwykła, jedna z orłami po obu stronach i jedna z reszkami po obu stronach. Magik wyjmuje losowo jedną monetę i kładzie ją na stole. Widoczny jest orzeł. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że po drugiej stronie też jest orzeł?

31 Przykład 12 W urnie znajdują się 3 monety jedna zwykła, jedna z orłami po obu stronach i jedna z reszkami po obu stronach. Magik wyjmuje losowo jedną monetę i kładzie ją na stole. Widoczny jest orzeł. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że po drugiej stronie też jest orzeł?