r. akad. 2012/2013 Atom wodoru wykład V-VI Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Atom wodoru Zakład Biofizyki 1

Transkrypt

1 r. akad. 01/013 wykład V-VI Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskic Atom wodoru Zakład Biofizyki 1

2 Model atomu Tompsona Model atomu typu ciastka z rodzynkami w 1903 J.J. Tompson zaproponował model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie naładowane elektrony znajdują się wewnątrz pewnego obszaru, w którym w sposób ciągły rozłożony jest ładunek dodatni w wyniku wzajemnego odpycania elektrony są jednorodnie rozmieszczone wewnątrz kuli utworzonej z ładunku dodatniego sumaryczny ładunek dodatni kuli równy jest sumarycznemu ładunkowi elektronów, tak więc atom jako całość jest obojętny elektrycznie. Zakład Biofizyki

3 Model atomu Ruterforda E. Ruterford ze współpracownikami przeprowadził doświadczenie, które umożliwiało określenie rozkładu dodatnic i ujemnyc ładunków we wnętrzu atomu w doświadczeniu użyto cząstek α; obserwowano zmianę kierunku ic lotu (rozproszenie) przy przecodzeniu przez cienka warstwę materii. Okazało się, że pewna liczba cząstek α rozpraszana jest pod bardzo dużymi kątami (prawie 180 ) Po przeanalizowaniu wyników Ruterford doszedł do wniosku, że tak silne odcylanie cząstek jest możliwe w przypadku, gdy wewnątrz atomu występuje silne pole elektryczne wytwarzane przez ładunek związany z dużą masą i skoncentrowany w bardzo małej objętości Ruterford w 1911 r. zaproponował jądrowy model atomu, który ma postać układu ładunków - w środku znajduje się ciężkie dodatnio naładowane jądro o ładunku Ze, a wokół jądra, w całej objętości zajmowanej przez atom, rozmieszczone jest Z elektronów. Prawie cała masa atomu skupiona jest w jądrze Zakład Biofizyki 3

4 Model Bora atomu wodoru model Bora atomu wodoru opisuje atom wodoru jako układ, w którym elektron krąży wokół jądra (protonu) po orbitac kołowyc, dozwolone są tylko te orbity, na któryc elektron ma moment pędu o wartości będącej wielokrotnością stałejħ: mr n v n = n Niels BOHR ( ), fizyk duński gdzie n jest liczbą naturalną określającą numer orbity. n można utożsamiać z główną liczbą kwantową. r n promień dozwolonej orbity kołowej v n prędkość elektronu na n-tej orbicie Zakład Biofizyki 4

5 Model Bora atomu wodoru R n = n k 0 Zme promień n-tej orbity v = k0 Ze n prędkość elektronu na n-tej orbicie E n = Z me 1 Z k = 0 13,6 n n ev Model Bora daje prawidłowe wartości energii i długości emitowanyc fal, jednak nic nie mówi o innyc liczbac kwantowyc, od któryc zależy stan elektronu Zakład Biofizyki 5

6 Trójwymiarowe równanie Scrödingera Atom wodoru jest trójwymiarowy dlatego należy rozważyć cząstkę znajdującą się w trójwymiarowym pudle potencjału Funkcja falowa takiej cząstki ma postać: Ψ = Asink Różniczkujemy dwukrotnie po x,y i z x sink Zakład Biofizyki 6 y sink Ψ = k x Asinkxx sink y y sinkzz x x W konsekwencji otrzymamy Ψ Ψ Ψ + + = k Ψ x y z z = k Ψ

7 Trójwymiarowe równanie Scrödingera Ψ Ψ Ψ + + = k Ψ x y z m = Korzystając z tego, że ( E U ) k 0 Otrzymujemy niezależne od czasu równanie Scrödingera w trzec wymiarac Ψ x + Ψ y + Ψ z = m (E U)Ψ Zakład Biofizyki 7

8 Trójwymiarowe równanie Scrödingera W przypadkac kiedy energia potencjalna zależy jedynie od odległości r = x + y + z wygodnie jest zapisać równanie Scrödingera we współrzędnyc kulistyc x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ 1 r ( r r Ψ ) + r r 1 Ψ (sinθ ) + sinθ θ θ r 1 sin Ψ θ Φ m ( E = U ) Ψ Zakład Biofizyki 8

9 Równanie Scrödingera dla atomu wodoru Równanie Scrödingera dla atomu wodoru otrzymuje się wstawiając U=-k 0 e /r ; Ψ/ θ =0 oraz Ψ/ φ=0 Jako rozwiązanie przyjmujemy Ψ = e r 1 r/a (e ) m 0 r/a (r ) = (E + )e r r r / a k e r Po zróżniczkowaniu 1 r r m ( ) = (E + r a a k0e r ) Zakład Biofizyki 9

10 Zakład Biofizyki 10 Równanie Scrödingera dla atomu wodoru r 1 e mk me r 1 a a 1 0 = Porównujemy współczynniki przy 1/r i wyrazy stałe 0 0 me k a e mk a = = 0 ma k E me a 1 = = 4 0 me k E = E=-13,6 ev jest to minimalna energia potrzebna do oderwania elektronu od atomu wodoru i jest nazywana energią wiązania

11 Równanie Scrödingera dla atomu wodoru R Ψ = k 0 me r a r a = (1 ) e = 5, m Ψ promień atomu wodoru Funkcje falowe odpowiadające kolejnym poziomom energetycznym mają postać: r 3a r 7a r 3a 3 = (1 + ) e Spełniają one równanie Scrödingera pod warunkiem, że E n = 1 1 E = E 1 E 3 = E n k 0 me 4 poziomy energetyczne atomu wodoru gdzie n, tzw. główna liczba kwantowa, jest dowolną liczbą całkowitą Zakład Biofizyki 11

12 Porównanie Modelu Bora i rozwiązania równania Scrödingera dla atomu wodoru R n = n k 0 Zme R = k 0 me = 5, m E n Z me 1 Z = k = 0 13,6 n n ev E n = 1 n k 0 me 4 Zakład Biofizyki 1

13 Zakład Biofizyki 13

14 Orbitalny moment pędu Paczka fal o liczbie falowej k porusza się po okręgu o promieniu R L z s = = Rp RΦ = R( k ) s długość łuku moment pędu paczki fal względem osi z Ψ e i(ks ωt) = e i(krφ ωt) Ponieważ Ψ(φ=0) oraz Ψ(φ=π) odnoszą się do tego samego punktu przestrzeni więc e ikr( 0 ) ikr( π ) iπkr = e 1 = e l kr = ml kr = m L z = m l gdzie m l jest liczbą całkowitą Zakład Biofizyki 14

15 Orbitalny moment pędu Liczba kwantowa l zwana orbitalną liczbą kwantową określa dozwolone wartości momentu pędu L l = l( l + 1 ), l = 0,1,,...,n 1 Liczba m, nazywana magnetyczną liczbą kwantową, określa z kolei dozwolone wartości rzutu wektora momentu pędu elektronu na kierunek osi z układu współrzędnyc. Są one równe wielokrotności stałej Plancka L, lm z = m m = l, l + 1,..., 1,0,1,...,l 1, l Zakład Biofizyki 15

16 Orbitalny moment pędu Moment pędu jest wielkością wektorową. W mecanice kwantowej możemy jednocześnie zmierzyć jego kwadrat długości L i jedną ze składowyc (rzut momentu pędu na wyróżnioną oś) L z. L = l(l + 1) L z = m Wektor orbitalnego momentu pędu jest opisywany przez podanie dwóc liczb kwantowyc l i m Zakład Biofizyki 16

17 Orbitalny moment pędu Wektor L l może być więc skierowany tylko pod określonymi kątami względem osi z. Zjawisko to nazywamy kwantowaniem przestrzennym kierunku momentu pędu elektronu. Ponieważ magnetyczna liczba kwantowa m może przybierać wszystkie całkowite wartości od l do l tj. l+1 różnyc wartości, wektor L l może być skierowany pod l+1 kątami względem os z, czyli dla elektronu, dla którego l=1, możliwe są trzy ustawienia wektora L l. Zakład Biofizyki 17

18 Emisja fotonu w teorii kwantowej istnieje prawdopodobieństwo tego, że elektron, znajdujący się w stanie energetycznym wyższym niż podstawowy, przejdzie do stanu podstawowego jednocześnie emitując foton zjawisko emisji fotonu nazywane jest emisją spontaniczną foton emitowany podczas przejścia z poziomu energetycznego Em na poziom En posiada energię f=em-en zaś częstotliwość takiego fotonu wynosi f=(em-en)/ Zakład Biofizyki 18

19 Emisja fotonu W atomie posiadającym cztery różne poziomy energetyczne jest możliwe sześć różnyc przejść z wyższyc poziomów na niższe. Emitowane przez taki atom promieniowanie powinno zawierać sześć częstotliwości. Normalnie atomy znajdują się w stanie podstawowym i nie emitują światła. Jeżeli jednak do atomu dostarczymy energii z zewnątrz np.: na skutek zderzenia z innym atomem lub na skutek absorpcji kwantu światła, to elektron ze stanu podstawowego przejdzie na wyższy poziom energetyczny atom zostanie wzbudzony. Zakład Biofizyki 19

20 Widmo wodoru Korzystając ze wzoru na poziomy energetyczne wodoru, można obliczyć całe widmo atomowe wodoru. E m 4 4 me 1 me 1 = ko E n = k0 m n E m oznacza poziomy wzbudzone E n oznacza poziomy niższe Częstotliwości linii widmowyc będą równe: f 4 = me 1 1 k0 3 4 π n m Zakład Biofizyki 0

21 Widmo wodoru Zakład Biofizyki 1

22 Zakład Biofizyki

23 Absorpcja fotonu światło o widmie ciągłym przecodząc przez cłodny gaz powoduje wzbudzanie atomów gazu, pocłaniane są te fotony, któryc energia dokładnie odpowiada różnicy pomiędzy poziomami energetycznymi światło po przejściu przez gaz jest pozbawione fotonów o energiac (E -E 1 ), (E 3 - E 1 ), (E 4 - E 1 ) itd. Proces wzbudzania atomów na wyższe poziomy energetyczne przez ic oświetlanie nosi nazwę pompowania optycznego Zakład Biofizyki 3

24 Emisja wymuszona Zjawisko polegające na przyspieszeniu przejść atomowyc wskutek oświetlenia wzbudzonyc atomów światłem nazywa się emisją wymuszoną Foton wysyłany podczas emisji wymuszonej będzie miał taką samą fazę oraz taki sam kierunek jak foton wymuszający. Zakład Biofizyki 4

25 Emisja wymuszona Jeśli atom znajduje się w stanie wzbudzonym E m to może emitować foton o energii (E m -E n ). Umieszczając taki atom w polu promieniowania zewnętrznego, które zawiera fotony o energii równej (E m -E n ), zwiększymy prawdopodobieństwo wypromieniowania fotonu przez ten atom. Zakład Biofizyki 5

26 Laser Zakład Biofizyki 6

27 Laser W laserze elowo-neonowym atomy neonu są wzbudzane na poziom E n w trakcie zderzeń ze wzbudzonymi atomami elu. Przejście na poziom E n zacodzi wskutek emisji wymuszonej. Następnie atomy neonu szybko przecodzą do stanu podstawowego oddając energię w zderzeniac ześcianami ośrodkami czynnymi w laserac mogą być gazy, ciała stałe i ciecze zakres promieniowania emitowanego przez lasery jest bardzo szeroki, od podczerwieni, przez obszar widzialny aż do nadfioletu Zakład Biofizyki 7

28 Zakład Biofizyki 8