Wykład FIZYKA II. 10. Szczególna teoria względności. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Transkrypt

1 Wykład FIZYK II 10. Szzególna teoria względnośi Dr hab. inż. Władysław rtur Woźniak Instytut Fizyki Politehniki Wroławskiej

2 MECHNIK RELTYWISTYCZN Mehanika newtonowska (nazywana też mehaniką klasyzną) dobrze opisywała rzezywistość dla prędkośi niewielkih w porównaniu z prędkośią światła. W przypadku ruhu z prędkośiami porównywalnymi z prędkośią światła poprawną jest natomiast mehanika relatywistyzna, zwana też szzególną teorią względnośi. Mehanika newtonowska jest tylko przybliżeniem mehaniki relatywistyznej - tym lepszym, im mniejsze są prędkośi iał, któryh ruh rozpatruje.

3 TEORI WZGLĘDNOŚCI Teoria względnośi zajmuje się pomiarami zdarzeń: ustalenia gdzie i kiedy one zahodzą; ponadto zajmuje się transformajami wyników pomiarów tyh wielkośi między poruszająymi się względem siebie układami odniesienia. Szzególna teoria względnośi dotyzy tylko inerjalnyh układów odniesienia. Głównymi postulatami teorii względnośi (stworzonej przez Einsteina) są obserwowalne fakty: 1) Dla wszystkih obserwatorów w inerjalnyh układah odniesienia prawa fizyki są takie same. ) Prędkość światła jest taka sama dla dowolnego obserwatora, również poruszająego się względem źródła, emitująego to światło. W próżni: 8,99810 m/ s

4 TEORI ETERU Teorie XIX-wiezne zakładały, że światło rozhodzi się w jakimś hipotetyznym ośrodku, zwanym eterem. W tym przypadku tylko w układzie, który by spozywał względem eteru, byłaby spełniona równość: v światla Dla obserwatora, poruszająego się względem eteru z prędkośią, zmierzona prędkość światła byłaby sumą tyh prędkośi: v. Eter miał być ośrodkiem fizyznym, ale nie posiadająym masy! v Ziemia porusza się w swoim obiegu wokół Słońa z prędkośią liniową około 30 km/s a wię muszą być w iągu roku momenty, gdy poruszałaby się ona względem eteru o tę prędkość w jedną lub drugą stronę -> powinno się zmierzyć prędkość światła różną o 60km/s!

5 DOŚWIDCZENIE MICHELSON I MORLEY Próba zmierzenia zmian w prędkośi światła, gdy Ziemia porusza się względem eteru:

6 DOŚWIDCZENIE MICHELSON I MORLEY Gdy eter porusza się równolegle do kierunku obserwaji (kierunku biegu światła): Czas przebiegu impulsu świetlnego tam i z powrotem między źródłem światła i zwieriadłem: t D v D v D 1 v 1

7 DOŚWIDCZENIE MICHELSON I MORLEY Gdy eter porusza się prostopadle do kierunku obserwaji (kierunku biegu światła): Czas przebiegu impulsu: t D 1 v 1

8 DOŚWIDCZENIE MICHELSON I MORLEY Różnia zasu dla przebiegu prostopadłego i równoległego: Dla: D 1m i t t t 3,3 10 t v 30km/ Dv 3 mamy: 17 (ok.: ) s s 1 40 Mihelson i Morley: rak zmian w obrazie interferenyjnym! Wniosek: Prędkość światła nie dodała się do prędkośi Ziemi.

9 DOŚWIDCZENIE MICHELSON I MORLEY Próby wyjaśnienia wyników doświadzenia Mihelsona i Morleya: - eter przypadkowo porusza się względem układu słoneznego z prędkośią równa prędkośi Ziemi podzas obiegu Słońa -> doświadzenie powtórzono pół roku później, z podobnym rezultatem; - Ziemia poiąga za sobą lokalny obszar eteru -> gwiazdy musiałyby zmieniać swoje położenia w iągu roku -> przezą temu obserwaje astronomizne; - zmiana praw elektryznośi taka, aby światło było zawsze emitowane z prędkośią względem źródła fal EM -> przezą temu obserwaje astronomizne gwiazd podwójnyh. Wniosek: prędkość światła jest taka sama względem źródła i zwieriadeł interferometru -> jest stała.

10 DYLTCJ CZSU Skonstruujmy zegar świetlny:

11 DYLTCJ CZSU Dla obserwatora nieruhomego droga, którą impuls świetlny przebywa w zegarze jest dłuższa: a stąd: T gdzie: T 1 v 1 vt Dla nieruhomego obserwatora zas ten jest dłuższy niż zas między tyknięiami zegara spozywająego, nazywanego zasem własnym układu zasem między zdarzeniami, które obserwator widzi w tym samym punkie przestrzeni.

12 DYLTCJ CZSU Ta zmiana zasu o zynnik nazywana jest dylatają zasu. Jest to eha samego zasu, a nie spejalnej konstrukji zegara świetlnego. Tak wię również wszystkie proesy fizyzne (i hemizne; i biologizne!) muszą być spowalniane w ruhu. Przykład: Czas połowiznego rozpadu próbki promieniotwórzej musi podlegać 8 spowolnieniu. (piony o ). t1 1,8 10 Zegar Mössbauera (1960): Fotony z rozpadu promieniotwórzego izotopu żelaza w krysztale żelaza dokładnośi mierzenia zasu rzędu s. Przesunięie zasu ujawnia się jako wzrost lizby tempa zlizania fotonów. s

13 TRNSFORMCJE LORENTZ Wyobraźmy sobie dwa układy współrzędnyh, poruszająe się względem siebie z prędkośią v : y Układ XY Układ primowany y v v x x W mehanie klasyznej byłoby: x x vt y y z z t t Szukamy takiej transformaji współrzędnyh, żeby w obu układah współrzędnyh wiązka światła miała prędkość, zyli: jeśli: to również: x t x t

14 TRNSFORMCJE LORENTZ Otrzymamy ostateznie transformaje, które spełniają nasze postulaty, w postai: x x vt v t t Są to tzw. transformaje Lorentza. Podobnie wyglądają transformaje przeiwne: x x vt t t v x x 1 v 1 W teorii względnośi zas bywa nazywany zwartym wymiarem widać, że wielkośi x i t mogą zostać ze sobą przemieszane zależnie od prędkośi obserwatora. Matematyznie wielkośi te zahowują się w ten sam sposób!

15 DYLTCJ DŁUGOŚCI Wyobraźmy sobie teraz pręt o długośi, spozywająy w układzie primowanym, poruszająym się względem układu XY z prędkośią. Zmierzymy długość tego pręta w układzie XY. v y y x 1 x x 1 L x x x x L 1 x1 vt1 x x x vt a stąd: x1 Pomiar powinien być dokonany w tym samym zasie ( albo: x x L L x x1 1 1 L L 1 v L x x vt t 1 t t 1 ), wię: 1

16 JEDNOCZESNOŚĆ W opisanym eksperymenie skróeniu uległ pręt poruszająy się (podobnie dla dylataji zasu: zmienił się zas trwania zjawiska) ale przeież ruh ze stałą prędkośią nie wyróżnia w żaden sposób żadnego układu jako bezwzględnego, a w obu obserwatorzy zauważą skróenie pręta! Przyzyną fizyzną tego, że pręt wydaje się krótszy dla obu obserwatorów jest fakt, że zdarzenia jednozesne dla jednego obserwatora nie są jednozesne dla drugiego (w opisanym przykładzie założyliśmy, że położenie obu końów zostało zmierzone równoześnie!). Jeżeli wię dwa zdarzenia zahodzą w obrębie zasu krótszym niż potrzebuje światło, aby przebie między nimi, kolejność zajśia obu wydarzeń jest nieokreślona zależy od prędkośi obserwatora! Można sprawić, przez wybór odpowiednio poruszająego się obserwatora, że zdarzenia rzekomo późniejsze będą poprzedzały te przeszłe!

17 DYLTCJ DŁUGOŚCI Dr hab. inż. Władysław rtur Woźniak

18 INTERWŁ CZSOPRZESTRZENNY Zdefiniujmy interwał zasoprzestrzenny S 1 jako: S 1 t1 l1 gdzie: l x y z1 jest klasyzną odległośią między dwoma punktami. Interwał zasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformaji Lorentza: S S 1 1 (w mehanie klasyznej: zarówno zas między zdarzeniami jak i odległość przestrzenna są zahowane niezależnie!).

19 INTERWŁ CZSOPRZESTRZENNY Interwał zasoprzestrzenny, którego kwadrat jest większy od zera: S1 t1 l1 0 nazywamy interwałem typu zasowego. Jeżeli dwa zdarzenia są oddzielone tym interwałem, to zawsze jedno z nih poprzedza drugie (zahowana jest kolejność ih zahodzenia w zasie), niezależnie od wyboru układu współrzędnyh. Dla takiego interwału nie istnieje układ inerjalny, w którym zdarzenia mogłyby zajść w tym samym zasie, ale istnieje układ, w którym zdarzenia zajdą w tym samym miejsu. Interwał zasoprzestrzenny, którego kwadrat jest mniejszy od zera: S t l nazywamy interwałem typu przestrzennego. Jeżeli dwa zdarzenia są oddzielone tym interwałem, to nie istnieje taki układ inerjalny, w którym zdarzenia mogłyby zajść w tym samym miejsu, ale istnieje układ, w którym zdarzenia te zajdą w tym samym zasie.

20 CZSOPRZESTRZEŃ Współrzędne przestrzenne x y, z i współrzędna zasowa wszystkih możliwyh zdarzeń rozpatrywanyh w określonym inerjalnym układzie odniesienia tworzą zterowymiarową przestrzeń zdarzeń o współrzędnyh t, x, y, z. Inazej nazywamy ją zasoprzestrzenią lub przestrzenią Minkowskiego., t Czasoprzestrzeń traktuje się jako zterowymiarową przestrzeń pseudoeuklidesową odległość między punktami w tej przestrzeni może być zarówno lizbą rzezywistą jak, i urojoną! x=-t absolutna przyszłość t x=t x absolutne oddalenie absolutna przeszłość

21 PRDOKS LIŹNIĄT Zgodnie z oblizona dylatają zasu dla obiektów poruszająyh się z prędkośią przyświetlną, zegary i wszystkie proesy fizyzne (żyie!) na statku kosmiznym, poruszająym się z prędkośią v, spowolnione są razy. v 1 Można by wyjaśnić ten fakt tym, że obserwator leąy rakietą widzi skróoną odległość do przebyia, wię zajmuje mu to mniej zasu, niż wyhodziłoby to z oblizeń obserwatora stajonarnego. Paradoksalnie jednak obserwator w rakieie mógłby powiedzieć, ze to Ziemia oddala się od niego z dużą prędkośią, wię on zaobserwuje zegary ziemskie hodząe wolniej! Wyjaśnienie paradoksu leży w fakie, że zagadnienie nie ma pełnej symetrii : poruszająy się rakietą kosmonauta zmienia układ odniesienia podzas powrotu na Ziemię! Obserwaje weryfikująe paradoks bliźniąt : ogrzany zegar Mössbauera; zegar podróżująy na pokładzie samolotu dookoła świata.

22 PRĘDKOŚĆ RELTYWISTYCZN Dodawanie prędkośi według Einsteina: Transformaje Lorentza: x x vt v t t x Różnizkują wyrażenia na te współrzędne zasoprzestrzeni: dx dx vdt i dzielą je przez siebie, otrzymamy: gdzie: u x dx u x dt v dt dt dx dt dx dt dx vdt u v x x ux v dx 1 v Jest to wzór Einsteina na dodawanie prędkośi. u x Dla mamy: bez względu na! v u

23 PĘD RELTYWISTYCZNY Klasyzna definija pędu: p mu Taka definija pędu, w połązeniu z transformają Einsteina dla prędkośi nie zapewni nam jednak spełnienia zasady zahowania pędu! ( u jest prędkośią ząstki). Nowa definija pędu (która zapewni prawdziwość zasady zahowania pędu przy transformaji do dowolnego układu współrzędnyh) podana przez Einsteina: p m uu u 1 u 1 (uwaga! Podobieństwo oznazeń, ale TO zależy od prędkośi ząstki, a nie od prędkośi v poruszania się układu współrzędnyh!). u u

24 PĘD RELTYWISTYCZNY Dla tak zdefiniowanego pędu, możemy podać również zasady transformaji przy zmianie układu współrzędnyh: gdzie: p x E px E E p Wielkośi i transformują się podobnie jak para: i! E m u i E m u p x E x t p x Wielkość oznaza składową pędu w kierunku prędkośi transformująej z jednego układu współrzędnyh do drugiego. Einstein utożsamił wielkość E z energią ząstki zakładają, że wielkośi pędu i energii powinny się zahowywać względem siebie jak położenie i zas. x

25 ENERGI RELTYWISTYCZN Podana definija pędu w przypadku prędkośi dużo mniejszyh od prędkośi światła przehodzi w definiję klasyzną: Dr hab. inż. Władysław rtur Woźniak x x x mu u u m p v Energia zdefiniowana przez Einsteina też powinna ule takiej transformaji, a wię: u m u m E v 1 1 Dla małyh prędkośi możemy jeszze skorzystać z rozwinięia w szereg wyrażenia na energię. Otrzymamy wtedy: 1 mu m u m E

26 ENERGI RELTYWISTYCZN Przypomnijmy wzór na rozwinięie nowej definiji energii: E mu m Drugi złon jest klasyzną energią kinetyzną energią ząstki swobodnej o prędkośi u. Pierwszy złon jest natomiast pewną stałą, którą według praw mehaniki klasyznej można dodać jako dowolną wartość do ałkowitej energii iała (por. pojęie energii potenjalnej!). Według Einsteina ten pierwszy złon: E m 0 ma sens energii spozynkowej iała wielkośi, której istnieniu zawdzięzamy m.in. bombę atomową...

27 MS RELTYWISTYCZN Można sformułować definiję pędu relatywistyznego ząstki na sposób klasyzny jako: p muu jeśli wprowadzimy pojęie masy relatywistyznej: gdzie m jest masą spozynkową ząstki. m u m 1 u Masa relatywistyzna to inazej energia relatywistyzna podzielona przez stałą - masa relatywistyzna układu odosobnionego jest zahowana, podzas gdy masa spozynkowa, zawarta w indywidualnyh ząstkah, może się zmieniać (zasada zahowania energii).

28 RÓWNOWŻNOŚĆ MSY I ENERGII Według przewidywań Einsteina, spozywająa masa olbrzymią ilość energii: E0 m m zawiera Nawet zmniejszenie masy spozynkowej ząstki (np. w wyniku rozpadu promieniotwórzego tzw. defekt masy) o niewielką ilość mspowodowałoby wyzwolenie potężnej energii. Przykład: Energia 1g węgla: a) spalonego klasyznie w elektroiepłowni: 3 10 kg7000al4,18 J al,9 10 J 4 E spalania b) uzyskana z wyzwolenia z masy spozynkowej: 3 8 kg m s J E0 10

29 RELTYWISTYCZN ENERGI KINETYCZN Definija energii kinetyznej: zęść energii ałkowitej ząstki, wynikająa z ruhu ząstki (a wię związana z jego prędkośią) definija prawdziwa zarówno w mehanie klasyznej, jak i relatywistyznej. W mehanie relatywistyznej możemy wię oblizyć energię kinetyzną jako różnię między energią ałkowitą a energią spozynkową: E k E m m u Dla małyh prędkośi wykorzystujemy rozwinięie dwumianu: lim 0 n 1 1 n o daje nam ostateznie znane wyrażenie: Ek 1 mu

30 ZWIĄZKI MIĘDZY ENERGIĄ PĘDEM Korzystają z wprowadzonyh definiji relatywistyznego pędu i energii (dla przypomnienia): p 1 1 u u E m1 u m1 możemy znaleźć związki między pędem i energią w ujęiu relatywistyznym: a) dzielą stronami: p u E b) rugują z obu równań prędkość ząstki : u E p 4 m Taka postać równań na pęd i energię implikuje jeszze jeden ważny fakt, podstawowy dla mehaniki relatywistyznej: żadna ząstka materialna (m>0) nie może osiągnąć prędkośi światła, gdyż wtedy jej pęd i energia wzrosłyby do nieskońzonośi.

31 CZĄSTKI O ZEROWEJ MSIE SPOCZYNKOWEJ Istnieją również ząstki, które nie mają masy spozynkowej! Należą do nih np. fotony kwanty promieniowania elektromagnetyznego. Teoria korpuskularna światła każe je traktować jak ząstki ze względu na to, że mają one pęd i energię, hoć nie mają masy właśnie masy spozynkowej! Korzystają ze związku: E i podstawiają m=0 otrzymamy: p p E 4 m zyli związek między pędem i energią takiej bezmasowej ząstki, analogizny do postulowanego przez de roglie a!. Korzystają z kolei ze związku: p E u stwierdzimy, że prędkość ząstki o masie spozynkowej równej 0 musi wynosić!

32 SIŁ RELTYWISTYCZN Wygodnie jest również w mehanie relatywistyznej zdefiniować siłę tak, żeby III zasada dynamiki Newtona była słuszna dla dwóh oddziaływująyh ząstek. Z kolei ze względu na zasadę zahowania pędu, pozostawimy definiję siły jako: F Przy takiej definiji jednak wartość i kierunek siły będą zależeć od prędkośi poruszająego się obserwatora! Efekty, potwierdzająe takie podejśie, zostały zaobserwowane w elektrodynamie pokazano, że np. stajonarne pole elektryzne jest widziane przez poruszająego się obserwatora jako pole magnetyzne o indukji równej: E dp dt v E ( w układzie CGS) Fizyznie pola i dla poruszająyh się obserwatorów przehodzą wzajemnie jedno w drugie, a wię powinno się o nih myśleć jako o jednym polu elektromagnetyznym w elektrodynamie współzesnej zwykło się nawet traktować pole magnetyzne jako relatywistyzną manifestaję pola elektryznego! E

33 OGÓLN TEORI WZGLĘDNOŚCI Podany dotąd przepis na mehanikę relatywistyzną nazywamy szzególną teorią względnośi. Została ona ałkowiie opraowana przez Einsteina w 1905 r. Ogólna teoria względnośi była opraowana później, pozynają od 1911 r., przez Einsteina. Jest ona nowozesną, relatywistyzną teorią grawitaji. Podstawą tej teorii jest zasada równoważnośi (masa grawitayjna jest równoważna masie bezwładnej w tym sensie, że nie sposób doświadzalnie odróżnić jednej od drugiej). Jednym z wniosków tej teorii jest stwierdzenie, że obeność masy odkształa otazająą ją przestrzeń i wobe tego poruszająe się w takiej przestrzeni iała mają tory zakrzywiająe się ku masie, która to odkształenie spowodowała, o powoduje powstanie przyspieszeń ( normalne w ruhu krzywoliniowym) i jest obserwowane jako działanie sił grawitayjnyh! Inną konsekwenją tej teorii są np.: powiększenie się długośi fali światła emitowanego przez źródło, mająe masę grawitayjne przesunięie ku zerwieni; zakrzywianie się wiązki światła w pobliżu dużej masy.