Mechanika relatywistyczna

Transkrypt

1 Mehanika relatywistyzna

2 Konepja eteru Eter kosmizny miał być speyfiznym ośrodkiem, wypełniająym ałą przestrzeń, który miał być nośnikiem fal świetlnyh (później w ogóle pola elektromagnetyznego). W XIX w. nikt już nie wierzył, że Ziemia jest jakimś szzególnie wyróżnionym układem odniesienia, wię uważano, że powinna ona poruszać się względem eteru Z tego powodu prędkość światła powinna zależeć od kierunku jego rozhodzenia się (np. być mniejsza, gdy mierzy się ją w kierunku zgodnym z ruhem Ziemi względem eteru, a większa gdy zmierzy się ją w kierunku przeiwnym)

3 Doświadzenie Mihelsona-Morleya Doświadzenie miało na elu bezpośrednie sprawdzenie ruhu źródła światła na prędkość światła, a pośrednio sprawdzenie, zy istnieje eter kosmizny. W elu wykonania doświadzenia został wykorzystany interferometr Mihelsona Interferometr Mihelsona służy do preyzyjnego pomiaru długośi fal świetlnyh. Jego zasada działania opiera się na interferenji światła.

4

5 Załóżmy, że wiązki światła rozhodzą się w tym samym ośrodku o współzynniku załamania n oraz, że droga geometryzna l przebyta przez wiązkę nr jest większa od drogi geometryznej l, przebytej przez wiązkę nr. Prążki interferenyjne powstaną w tyh miejsah, w któryh ( l l ) mλ n Ponieważ długość fali zależy od jej prędkośi (λ/f, gdzie prędkość fali, zaś f jej zęstotliwość), położenie prążków interferenyjnyh powinno zmienić się po obroie interferometru o 90 stopni. Efektu tego jednak nie zaobserwowano, o świadzy o tym, że prędkość rozhodzenia się światła na Ziemi nie zależy od kierunku jego rozhodzenia się.

6 Postulaty Einsteina Wszystkie tożsame zjawiska fizyzne przebiegają, przy identyznyh warunkah pozątkowyh, jednakowo we wszystkih inerjalnyh układah odniesienia. Innymi słowy: wśród inerjalnyh układów odniesienia nie ma żadnego układu uprzywilejowanego. Prędkość światła w próżni jest jednakowa we wszystkih kierunkah i w dowolnym obszarze danego inerjalnego układu odniesienia i jednakowa dla wszystkih inerjalnyh układah odniesienia. Oznaza to brak jakihkolwiek wyróżnionyh kierunków i obszarów przestrzeni ze względu na prędkość rozhodzenia się światła.

7 Transformaja Lorentza jako konsekwenja postulatów Einsteina To, o zahodzi w danym punkie w danym momenie zasu będziemy nazywać zdarzeniem. Rozpatrzmy dwa inerjalne układy odniesienia: spozywająy U i poruszająy się względem niego ze stałą prędkośią wzdłuż osi OX układ U.

8 Przyjęte założenie nt. kierunku ruhu układu U względem układu U nie jest istotnym ogranizeniem. Jeżeli oba układy mają być inerjalne, to ih względny ruh musi być ruhem jednostajnym, a dowolny kierunek ruhu można sprowadzić do ruhu wzdłuż osi OX poprzez odpowiedni obrót układu współrzędnyh. Celem naszej analizy będzie znalezienie równań pozwalająyh znaleźć współrzędne (x,y,z,t ) w układzie U na podstawie współrzędnyh (x,y,z,t) tego samego zdarzenia w układzie U. Poszukiwane równania powinny być zgodne z postulatami Einsteina. Z postulatów Einsteina wynika, że przestrzeń i zas w dowolnyh inerjalnyh układah odniesienia muszą być jednorodne.

9 Konsekwenją powyższyh dwóh faktów jest to, że związki między współrzędnymi zdarzenia w dwóh różnyh układah odniesienia muszą być liniowe: yay, zbz Ponieważ żaden kierunek nie może być wyróżniony,musi zahodzić AB. Pozostaje znaleźć wartość A. Weźmy linijkę o jednostkowej długośi i umieśćmy ją na osi OY układu U tak, by jeden z jej końów znajdował się w pozątku układu współrzędnyh. Ze względu na równoprawność układów inerjalnyh, w hwili tt 0 obserwatorzy w układzie U i U powinni zmierzyć tą samą długość linijki, a wię A.

10 Dla osi współrzędnyh x i x sytuaja jest nieo bardziej skomplikowana, ale związki między współrzędnymi zdarzenia w dwóh różnyh układah odniesienia muszą być liniowe: x A0 A x A t () i odwrotnie: x A 0 Ax At () gdzie wszystkie współzynniki A ij są stałymi.

11 Jeżeli dodatkowo założymy, że w hwili t0, t 0 pozątki układów pokrywają się, otrzymujemy A 0 0 A 0 0 Współrzędna x punktu O w hwili t wynosi t, wię z () mamy 0 A t A t Czyli A /A -

12 Oznazają A przez Γ równanie () możemy zapisać w postai: x Γ ( x t ) (3) Na podstawie analogiznyh rozważań mamy ( x t ) x Γ (4) Łatwo się przekonać, że ΓΓ. Weźmy wzorze o długośi równej l 0 w układzie własnym. Umieśćmy go na osi x w układzie U w taki sposób, by jeden z jego końów leżał w pozątku układu współrzędnyh. Współrzędne jego końów będą równe x 0, x l 0.

13 W hwili tt 0 (układy U i U są tożsame geometryznie), zgodnie z (4) x 0, x l 0 /Γ, zyli l x -x l 0 /Γ Weźmy ten sam wzorze i umieśćmy go w układzie U. Podobne rozważania prowadzą do równania lx -x l 0 /Γ Ponieważ oba układy są równouprawnione, to mamy Γ Γ.

14 Wyznazmy wartość stałej Γ. Załóżmy, że w hwili zasu tt 0 ze wspólnego pozątku układu współrzędnyh został wysłany sygnał świetlny. Nieh zdarzenie polega na dotariu tego sygnału w określonej hwili (t w układzie U i t w układzie U ) do określonego punktu (x w układzie U i x w układzie U ). Ozywiśie xt x t Podstawiają x i x do (3) i (4) otrzymujemy t Γt(-) tγt ()

15 Mnożą te równania stronami i upraszzają przez tt otrzymujemy: Γ zyli ostateznie x x t (5) x x t (6)

16 Znajdźmy wyrażenia na t i t Z (5) i (6) mamy i dalej: x t x x x t x x t x x t x t

17 I ostateznie: t Analogizne rahunki prowadzą do równania t t t x x Zauważmy, że dla << równania (5), (6), (7), (8) przybierają postać znaną z mehaniki klasyznej. (7) (8)

18 Dylataja zasu Przypuśćmy, że w układzie U znajduje się zegar odmierzająy zas między dwoma zdarzeniami w punkie (x,y,z ). Różnia zasu między tymi zdarzeniami w układzie U wynosi: t t -t. Z równania (7) wynika, że obserwator w układzie U zmierzy zas między tymi zdarzeniami równy t x t x t t t t

19 Jak widać, t> t. Wynika z tego, że poruszająy się zegar opóźnia się w stosunku do zegara spozywająego. Efekt ten nazywamy dylatają zasu.

20 Skróenie Lorentza Nieh w układzie U znajduje się pręt o długośi l 0, leżąy na osi OX układu. Nieh jego końe znajdują się w punktah x i x. Z równania (5) mamy zyli 0 l t x t x x x l l 0 l

21 Zmierzona długość pręta będzie największa w układzie, w którym ten pręt spozywa. W każdym innym układzie zmierzona długość pręta będzie mniejsza. Efekt ten nazywa się skróeniem Lorentza.

22 Paradoks bliźniąt Wyobraźmy sobie następująe doświadzenie: Nieh będzie dwóh brai-bliźniaków. Jednego z nih wysyłamy w daleką podróż kosmizną w bardzo szybkiej rakieie, leąej po linii prostej ze stałą prędkośią bliską prędkośi światła. W związku z efektem dylataji zasu, biologizny zegar brata-bliźniaka, który poleiał w podróż powinien opóźniać się w porównaniu z biologiznym zegarem brata-bliźniaka, który pozostał na Ziemi. Z tego powodu po powroie z podróży, wiek biologizny podróżująego brata-bliźniaka powinien być mniejszy od wieku biologiznego brata, który pozostał na Ziemi. Ale

23 Z punktu widzenia brata-bliźniaka, który poleiał w kosmos, to Ziemia wraz z jego bratem-bliźniakiem porusza się względem rakiety z dużą prędkośią bliską prędkośi światła. W związku z tym, według podróżująego w rakieie brata-bliźniaka, po powroie na Ziemię, to brat, który pozostał będzie młodszy od tego, który poleiał w podróż. Nie można a priori odrzuić żadnej z obu argumentaji, bo oba układy są równouprawnione, bo oba są układami inerjalnymi. Zgodnie z postulatami Einsteina, wyniki eksperymentu powinny być takie same (opinie brai-bliźniaków na temat ih wieku powinny być zgodne). Wygląda na to, że mamy paradoks, zyli teoria nie daje spójnyh wyników, zyli jest niewiele warta?

24 Tylko jak to zrobić, żeby brat-bliźniak poruszająy się w rakieie ze stałą prędkośią po linii prostej wróił do tego samego punktu, z którego wyleiał?

25 Fakty i mity, zyli o kształie poruszająyh się szybko brył Wyobraźmy sobie świeąy szkielet sześianu poruszająy się jak na rysunku z dużą prędkośią

26 Wyobraźmy sobie, że dysponujemy aparatem fotografiznym z bardzo szybką migawką umożliwiająym wykonanie nieporuszonej fotografii tego sześianu Fotografię wykonujemy od dołu, tzn. z takiej pozyji, że płaszzyzna, w której leży śiana o krawędziah oznazonyh literami a i b jest prostopadła do kierunku obserwaji. Co zobazymy na fotografii? Krawędź b i krawędzie równoległe do niej zahowają swoje rozmiary. Krawędź a i krawędzie równoległe ulegną skróeniu lorentzowskiemu i na fotografii będzie miała długość a a 0

27 Krawędź i krawędzie równoległe do niej również będą widozne na fotografii, gdyż na fotografii zostanie zarejestrowane światło, które dotrze do materiału światłozułego w tej samej hwili. Światło pohodząe od krawędzi należąyh do górnej śiany sześianu ma do przebyia drogę dłuższą o odinek, wię aby dotrzeć w tym samym zasie, o światło pohodząe od krawędzi dolnej śiany sześianu musiało zostać wysłane wześniej o zas t/ 0, gdzie 0 oznaza tu prędkość światła. Z tego powodu na fotografii krawędź i krawędzie do niej równoległe na fotografii będą miały długość t/ 0

28 Zauważmy, że a wię możemy zapisać gdzie ϕ jest pewnym kątem 0 0 ϕ ϕ sin os 0 0

29 Sfotografowany sześian będzie nadal wyglądał jak sześian, tylko obróony o pewien kąt! Analogiznie będą wyglądać fotografie innyh brył. Ciekawostką jest to, że Albert Einstein tuż po stworzeniu STW uważał inazej, tzn. że fotografia będzie przedstawiała zdeformowaną bryłę i dopiero później zmienił zdanie.

30 Reguła dodawania prędkośi Rozważmy ruh punktu materialnego względem układów U i U Składowe wektora prędkośi wzdłuż osi wynoszą - w układzie U: dx dy x, y, z dt dt dz dt - w układzie U : dx dy x, y, z dt dt dz dt

31 Z transformaji Lorentza mamy: Dzielą stronami trzy pierwsze równania przez zwarte otrzymujemy:,,, dx dt dt dz dz dy dy dt dx dx,, z z z y y y x x x

32 Efekt Dopplera Nieh względem spozywająego układu K porusza się wzdłuż osi OX z prędkośią V układ K. Załóżmy, że w pozątku układu K znajduje się źródło impulsów wysyłająyh impulsy z okresem T. Załóżmy ponadto, że w hwili, gdy pozątki układów pokrywały się, źródło wysłało pierwszy impuls.

33 Według obserwatora znajdująego się w układzie K i jego zegara, obserwator w układzie K zarejestruje pierwszy impuls w hwili t 0, następny zaś w hwili Według obserwatora w układzie K odstęp zasu między dotariem -go i -go impulsu do obserwatora w znajdująego się w punkie O wynosi ( ) V V T V V T V VT T t t V T V V T t t T

34 Ze względu na dylataję zasu, odstęp pomiędzy oboma impulsami zaobserwowany przez obserwatora w O wyniesie Przehodzą do zęstotliwośi (f/t, f /T ) otrzymujemy V V T V V T T V V f f

35 W przypadku obserwatora zbliżająego się do źródła (rysunek), analogizne rozważania prowadzą do równania f f V V

36 Poprzezny efekt Dopplera Istnieje przypadek, gdy w ujęiu klasyznym efekt Dopplera nie powinien wystąpić. Dzieje się tak, gdy prędkość ruhu jest prostopadła do kierunku obserwaji (rysunek). W takiej sytuaji odległość między obserwatorem i źródłem hwilowo się nie zmienia. Jednakże ze względu na zjawisko dylataji zasu występuje efekt Dopplera.

37 Częstotliwośi emitowana przez źródło i odbierana przez obserwatora są związane równaniem: f f V Taki efekt, przewidywany jedynie przez STW został zmierzony doświadzalnie w roku 938.

38 Energia i pęd Energia ząstki o masie m 0 wynosi E m 0 Pęd ząstki o masie m 0 i prędkośi wynosi p m 0

39 Zauważmy, że zahodzi: Często parę nazywa się wektorem zteropędu m m m m p E p E,