ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ

Transkrypt

1 ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ Wykład 9 Pamiętaj, że najmniejszy krok w stronę elu jest więej wart niż maraton dobryh hęi. H. J. Brown ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ Szzególna teoria względnośi (STW) została sformułowana przez Alberta Einsteina w 1905r. Późniejszą praą była w 1916r. ogólna teoria względnośi (OTW). Albert Einstein ( ) 1

2 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA Fizyka relatywistyzna jest związana z pomiarem miejsa i zasu zdarzeń w układah odniesienia, które poruszają się względem siebie. Teoria względnośi (TW) opisuje w jaki sposób zas, przestrzeń i zjawiska fizyzne zahowują się w różnyh układah odniesienia poruszająyh się ze stałą prędkośią względem siebie. Teoria jest nazwana szzególną, gdyż dotyzy tylko inerjalnyh układów odniesienia, w któryh spełnione są zasady dynamiki Newtona. Ogólna teoria względnośi (OTW) dotyzy układów poruszająyh się z przyspieszeniem i stanowi inne spojrzenie na grawitaję. Kluzowym założeniem teorii Einsteina jest niezależność prędkośi światła w próżni od układu odniesienia.

3 Transformaja Galileusza -przypomnienie Przyspieszenie układu S : a = 0 Y S S vt Y v x = x - vt y = y z = z t = t x x x = x = vt 3

4 x = x + vt y = y Transformaja odwrotna- przypomnienie z = z t = t Spełniony jest warunek x = x = vt Dodawanie prędkośi: u = u + v We wszystkih rozpatrywanyh przypadkah ruh w kierunku dodatnim osi X. 4

5 TEORIA ETERU W XIX wieku uważano, że fale elektromagnetyzne rozhodzą się w hipotetyznym ośrodku - zwanym eterem, wypełniająym ałą przestrzeń (ały kosmos) łąznie z iałami materialnymi. v eteru Sol Ziemia v eteru Jeżeli istnieje eter, to zy ma on określoną prędkość? 5

6 Jeżeli inny układ odniesienia poruszałby się względem eteru z prędkośią v,to mierzona w tym układzie prędkość światła, zgodnie z transformają Galileusza, powinna wynosić:, ' v ' v ' v a) -jeżeli kierunek ruhu światła i układu odniesienia jest taki sam b) -jeżeli kierunek ruhu światła i układu odniesienia jest przeiwny v eteru Czy istnieje eter? Sol Ziemia v eteru Ziemia porusza się w swoim obiegu wokół Słońa z prędkośią liniową (9,79 km/s ). v 30 km/s Założenie: Ziemia porusza się względem eteru, zatem zas potrzebny na przejśie światła pomiędzy dwoma punktami przy powierzhni Ziemi powinien zatem zależeć od kierunku ruhu światła. 6

7 9.. Doświadzenie Mihelsona Morley a ( 1881) Cel: Próba wykryia zależnośi prędkośi światła od ruhu układu odniesienia (Ziemia), poruszająego się względem eteru. 1) Jeżeli kierunek ruhu światła i układu odniesienia jest taki sam, to ' v L v z Mierzono zas przelotu PZ1P i PZP: P v z v z (tab.) (9.1) L1 1 (tab.) Rys. Shemat interferometrem Mihelsona (9.) gdzie: v z 1 oraz 1 (9.3) 7

8 Doświadzenie Mihelsona Morley a Bieg promienia oglądany przez nieruhomy eter: (9.4) (9.5) 8

9 Doświadzenie Mihelsona Morley a Przy założeniu istnienia eteru obraz interferenyjny w polu widzenia ulega zmianie przy obroie, ozekujemy: zmiany t zmiany fazy przesunięia prążków interferenyjnyh. Obraają ały układ o 90 stopni zwieriadła Z 1 i Z zmieniają się rolami, a różnia zasów jest równa: (9.6) Wnioski z doświadzenia: Brak zmian w obrazie interferenyjnym Prędkość światła nie dodała się do prędkośi Ziemi, zatem hipoteza o stajonarnym eterze jest błędna Prędkość światła jest stała i nie zależy od układu odniesienia W roku 1887 Albert Mihelson z pomoą Edwarda Morleya powtórzyli eksperyment, wynik również był negatywny. 9

10 9.3. POSTULATY EINSTEINA 1. Postulat względnośi Dla wszystkih obserwatorów w inerjalnyh układah odniesienia prawa fizyki są takie same. Żaden z układów nie jest wyróżniony.. Postulat stałej prędkośi światła We wszystkih inerjalnyh układah odniesienia i we wszystkih kierunkah światło w próżni rozhodzi się z tą samą prędkośią. Ad 1) Od zasów Galileusza wiedziano, że prawa mehaniki są takie same we wszystkih układah inerjalnyh. Einstein rozszerzył ten pogląd na obszar ałej fizyki, a w szzególnośi elektromagnetyzmu. Ad ) Drugi postulat oznaza, że hipotetyzny eter nie jest potrzebny do propagaji fal elektromagnetyznyh. prędkość światła ma taką samą, określoną wartość dla każdego obserwatora, niezależnie od prędkośi względnej źródła promieniowania elektromagnetyznego (źródła fali elektromagnetyznej, zyli światła). 10

11 Weryfikaja postulatu stałej prędkośi światła Zał. Jeżeli prędkość światła jest taka sama we wszystkih inerjalnyh układah odniesienia, to światło emitowane przez poruszająe się źródło powinno rozhodzić się z taką samą prędkośią, jak światło źródła spozywająego w laboratorium. Założenie potwierdzono eksperymentalnie. Rolę źródła światła spełniał obojętny pion π 0 Ulega ona rozpadowi na dwa fotony : Rys. źródło: W roku 1964 fizyy z Europejskiej Organizaji Badań Jądrowyh CERN (Conseil Europeen pour la Reherhe Nuleaire), przeprowadzili eksperyment. Wytworzyli wiązkę pionów poruszająyh się w układzie z laboratorium z v= 0, Następnie zmierzyli oni prędkość promieniowania emitowanego przez to poruszająe się źródło. Wnioski: Prędkość światła emitowanego przez piony jest taka sama, jak w przypadku π 0 spozywająyh względem laboratorium. Uwaga. Prędkość światła nie jest maksymalną prędkośią obserwowaną w przyrodzie (np. świeą ruhomym laserem na Księżyu, możemy spowodować, że plamka lasera będzie poruszać się szybiej od światła), ale żaden fizyzny układ odniesienia nie może jej przekrozyć. 11

12 Mehanika relatywistyzna Prędkość światła w ośrodku zależy od elektryznyh i magnetyznyh własnośi tego ośrodka. W przypadku próżni mamy zależność: 1 (9.7) 0 0 gdzie ε 0 - podatność elektryzna, μ 0 -podatność magnetyzna próżni. Na bazie postulatów, Einstein podał nowe wzory transformayjne, opisująe przejśie między układami nieruhomym O (x, y, z) i ruhomym O (x, y, z ) i vie versa. Wzory te noszą nazwę transformaji Lorentza, na pamiątkę holenderskiego fizyka i matematyka Hendrika Lorentza ( ), który wyprowadził je wześniej. 1

13 Równozesność zdarzeń A 0 B Punkt 0 leży w połowie odległośi między punktami A i B. Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna. Zdarzenia polegająe na tym, że do punktów A i B doiera światło jednoześnie są równozesne, ponieważ jest taka sama droga światła). 13

14 Względność jednozesnośi zdarzeń Dwóh obserwatorów stoperem ma zmierzyć długość interwalów zasowyh pomiędzy kolejnymi błyskami światła (lampy błyskowe) ze źródeł (rys.). Czy zas płynie inazej dla rożnyh obserwatorów? (a) (b) Dwa impulsy świetlne emitowane w tym samym zasie względem obserwatora B. Ze względu na ruh wagonu obserwatora A jako pierwszy obserwuje impuls wyemitowany przez prawą lampę, z zego wnioskuje, że emisja nie była jednozesna. Impulsy doierają równoześnie do obserwatora B. Względna prędkość między obserwatorami wpływa na postrzeganie dwóh zdarzeń zahodząyh w punktah oddalonyh od siebie jako jednozesnyh lub nie. 14

15 Mehanika relatywistyzna Rys. Zgodnie z wynikami doświadzeń i drugim postulatem STW światło opuszza reflektor z prędkośią i z taką samą prędkośią doiera do przehodnia. Źr.: Fizyka dla szkół wyższyh S. J. Ling, J. Sanny, W. Moebs 9.4. Transformaja Lorentza Transformaja Galileusza nie zgadza się w pełni z postulatami Einsteina Szukamy takiej transformaji współrzędnyh, żeby w obu układah współrzędnyh wiązka światła miała prędkość. Transformaja Galileusza, oparta na założeniah mehaniki klasyznej, musi być zastąpiona w teorii względnośi przez inną transformaję, którą nazywamy transformają Lorentza. 15

16 Mehanika relatywistyzna W hwili pozątkowej t = t 0 = 0 pozątki obu układów pokrywały się. Punkt x porusza się razem z układem (x, y, z ). Równania wiążąe zas i położenie zdarzeń widzianyh w układzie S, to Rys. Transformaja Lorentza wiąże zdarzenia w obu układah. Transformaja Lorentza : x' v t' x v 1 y y' z t z' v t' x' v 1 (9.9) 16

17 Mehanika relatywistyzna Odwrotna transformaja przedstawia współrzędne układu S w zmiennyh układu S. Zamieniają miejsami primowane i nieprimowane współrzędne, otrzymujemy: Transformaja odwrotna: (9.10) x' y' z' t' t y z x 1 v 1 vt v v x v ; 1 1 (9.11) Definija zynnika β i γ Lorentza: Prędkość światła nie zmienia się, jest inwariantna (niezależna) względem transformaji Lorentza. 17

18 Mehanika relatywistyzna Prawa i sformułowania dotyząe nowyh odkryć nie mogą być sprzezne z prawami fizyki klasyznej. ( Zasada korespondenji, Niels Bohr 193r.) Gdy prędkość v <<, wzory transformaji Lorentza przekształają się x x' vt' v ' ' x 1 ~ 1 t t v 1 x x' vt' w transformaje Galileusza. t t' Mehanika klasyzna okazuje się być graniznym, szzególnym przypadkiem mehaniki relatywistyznej. 18

19 Konsekwenje transformaji Lorentza Dlazego mierzony upływ zasu może być inny w rożnyh układah odniesienia? 9.5. DYLATACJA CZASU Rozważmy zagadnienie pomiaru zasu w obu układah. (a) Astronauta mierzy zas potrzebny światłu na przebyie odległośi D= L w jego układzie odniesienia. (b) Jaki jest zasu trwania tego zdarzenia dla obserwatora znajdująego się na powierzhni Ziemi? Rys. źr.: Fizyka dla szkół wyższyh S. J. Ling, J. Sanny, W. Moebs 19

20 9.5. DYLATACJA CZASU Konsekwenje transformaji Lorentza Zbadamy zagadnienie pomiaru zasu w obu układah. W hwili pozątkowej t = t 0 = 0 pozątki obu układów pokrywały się. Punkt Z (lustro) porusza się razem z układem (x, y, z ), prędkość v = onst.. Korzystają z transformaji (odwrotnej) Lorentza dla zasu możemy zapisać odstęp zasu t między zjawiskami dwóh zdarzeń, które zaszły w tym samym punkie układu S : t' 1 t v x v 1 1,t ' t v v 1 x t' ( t x) Mierzymy odstęp zasu t między zjawiskami, (np. na podstawie przebytej przez światło odległośi). FIZYKA Rys. 1. Definija - wykład układów 9 współrzędnyh 0

21 DYLATACJA CZASU W układzie współrzędnyh x y znajduje się pręt o długośi L, ustawiony wzdłuż osi y, na końu którego jest umoowane zwieriadło. W układzie x y ( własnym), światło przebywa drogę OZO w zasie: (9.18) Rys. 1. Definija układów współrzędnyh 1

22 Czas DYLATACJA CZASU przebiegu światła w układzie xy należy oblizyć: (9.19) (9.0) (9.1)

23 Dzielą zasy mierzone w obu układah: : (9.) stąd Zatem zas trwania zjawiska, zahodząego w pewnym punkie przestrzeni - mierzony w układzie odniesienia, względem którego ten punkt się porusza jest dłuższy niż zas trwania tego zjawiska w układzie odniesienia, w którym punkt spozywa. Zmiana zasu o zynnik ' ', gdzie 1 v 1 nazywana jest DYLATACJĄ (WYDŁUŻENIEM) CZASU. I jest to eha samego zasu, a nie spejalnej konstrukji zegara świetlnego. Również wszystkie proesy fizyzne (hemizne; i biologizne!) muszą być spowalniane w ruhu. (9.3) (9.4) 3

24 DYLATACJA CZASU Przykład 1 1. Cząstki elementarne zwane mionami (μ) powstają w wysokih partiah atmosfery na wysokośi 10 km., na skutek oddziaływania z promieniowaniem kosmiznym. Czas żyia mionów t 0 = x 10-6 s. Jaką drogę pokonają miony? Czy i jaka zęść dotrze do powierzhni Ziemi? a) Klasyzne rozwiązanie: Mion nie dotrze do powierzhni Ziemi. b) Relatywistyzne rozwiązanie: Nieh v = ; Czas żyia mionu należy oblizyć, korzystają ze wzoru: t (0.999) 45x10 s t t 0 1 v Droga jaką pokona mion wynosi: Mion z łatwośią doiera do powierzhni Ziemi. Druga odpowiedź jest prawdziwa: miony doierają do powierzhni Ziemi! 4

25 DYLATACJA CZASU Przykład. GPS. (Globalny System Pozyjonowania) uwzględnia grawitayjną dylataję zasu w proedurze preyzyjnego określania położenia. Inazej położenie byłoby wyznazone znaznie mniej dokładne. Miliony ludzi korzystająyh z GPS-ów wykorzystuje odziennie (i sprawdza zarazem ih poprawność) równania STW. Rys. Aktualnie aktywnyh jest 31 satelitów (stan na 5 maja 016) z 3 doelowyh. źródło: 5

26 Przykład - Paradoks bliźniąt Rys. Paradoks bliźniąt to eksperyment myślowy, którego sprzezność tkwi w rożnym tempie starzenia się rodzeństwa, z którego jedno odbywa podroż kosmizną z prędkośią zbliżoną do prędkośi światła. Źródło: Fizyka dla szkół wyższyh S. J. Ling, J. Sanny, W. Moebs W tej historii wnioski obu bliźniąt są sprzezne jeden wykluza drugi. Ta sprzezność ta jest wynikiem fałszywyh założeń. Astronautka przyspiesza, wyruszają w podroż, i zwalnia, zbliżają się do elu (analogiznie wraają). W takim przypadku statek kosmizny nie jest układem inerjalnym, do którego moglibyśmy bezpośrednio zastosować wzór na dylataję zasu. Sytuaja nie jest symetryzna i nie można powiedzieć, że astronauta obserwuje te same efekty, o jego bliźniak. 6

27 9.6. KONTRAKCJA DŁUGOŚCI Skróenie długośi (relatywistyzne) Przyjmijmy teraz, że w układzie X Y znajduje się nieruhomy pręt o długośi L, skierowany wzdłuż osi x, na końu którego jest umoowane zwieriadło (rys. (a)). W układzie tym długość pręta L można wyrazić wzorem: (9.6) gdzie τ - zas przebiegu impulsu świetlnego z punktu O do zwieriadła Z i z powrotem (do O ). 7

28 b) Skróenie długośi (relatywistyzne) W układzie nieprimowanym (rys (b)) dla ruhu światła w dodatnim kierunku osi x mamy zależność: (9.7) (9.8) Podobnie, dla ruhu światła odbitego od zwieriadła (rys. ()), otrzymujemy: ) (9.9) gdzie: τ - zas, w jakim impuls świetlny powróił do punktu O. Stąd: (9.30) Całkowity zas τ przebiegu impulsu świetlnego jest wię równy: (9.31) 8

29 Skróenie długośi (relatywistyzne) Długość pręta L w układzie nieprimowanym można wię wyrazić wzorem: (9.3) Dzielą stronami równanie (9.3) przez (9.6) znajdziemy: (9.33) Biorą pod uwagę dylataję zasu: (9.34) (9.35) Długość iała - mierzona w układzie odniesienia, względem którego iało się porusza - jest w kierunku ruhu mniejsza niż jego długość mierzona w układzie, w którym iało spozywa. Efekt ten nazywa się KONTRAKCJĄ (SKRÓCENIEM) LORENTZA. 9

30 Mehanika relatywistyzna 9.7. Czas i przestrzeń w mehanie relatywistyznej W mehanie relatywistyznej zas przestaje odróżniać się od współrzędnyh przestrzennyh. Czas pomnożony przez prędkość światła staje się dodatkową współrzędną. Przestrzeń zamienia się w zasoprzestrzeń 4 wymiarową (4D):. Weźmy dwa różne punkty w zasoprzestrzeni. Kwadrat odległośi dwóh punktów w zasoprzestrzeni jest niezmiennikiem przekształenia (transformaji) Lorentza. (9.36) ( s) ( t) ( x) ( y) ( z ) (9.37) Wielkość (ΔS ) nazywamy interwałem zasoprzestrzennym. 30

31 Współrzędne przestrzenne Czas i przestrzeń (mehanika relatywistyzna) x, y, z i współrzędna zasowa t wszystkih możliwyh zdarzeń rozpatrywanyh w określonym inerjalnym układzie odniesienia tworzą zterowymiarową przestrzeń zdarzeń o współrzędnyh t, x, y, z nazywamy ją zasoprzestrzenią lub przestrzenią Minkowskiego. Rzut (D), zterowymiarowej (4D) zasoprzestrzeni Minkowskiego (1908). Pionowa oś to oś zasu; pozioma współrzędną przestrzenną. Linia przerywano to linia świata obserwatora. Górna środkowa ćwiartka, to zbór przyszłyh możliwyh, widzialnyh zdarzeń dla obserwatora (przyszłość), dolna środkowa ćwiartka to zbiór przeszłyh zdarzeń (przeszłość), punkt przeięia oznaza teraźniejszość. Dwie środkowe ćwiartki oznazają obszary zasoprzestrzeni niedostępne dla obserwatora ( skońzone!). Punkty oznazają zdarzenia w zasoprzestrzeni. Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego. Stożek świetlny. 31

32 Czas i przestrzeń (mehanika relatywistyzna) Czasoprzestrzeń Równanie stożka świetlnego: (9.4) Zdarzenie (teraźniejszość) "gdzie indziej" Punkt O w zasoprzestrzeni nosi nazwę punktu świata, a zbiór punktów opisująyh przemieszzenia danego iała w zasie i przestrzeni tworzy linię świata. Stożek świetlny lub stożek Minkowskiego Stożek ten określa przeszłość i przyszłość zdarzenia O. Wszystkie zdarzenia z obszaru "gdzie indziej" ani nie mogły mieć wpływu na zdarzenie O w przeszłośi, ani nie mogą mieć w przyszłośi; nie pozostają z tym zdarzeniem w żadnym stosunku przyzynowym. 3

33 9.8. Relatywistyzne dodawanie prędkośi według Einsteina Załóżmy, że ząstka ma już pewną prędkość w układzie odniesienia XYZ. Jaką prędkość u x ' zmierzy obserwator w układzie X Y Z, jeżeli układy odniesienia poruszają się względem siebie ze stałą prędkośią v = onst. u x Z transformaji Lorentza : x' x vt oraz v ' t t x (9.43) Dla nieskońzenie małyh przyrostów x i t : Prędkość ząstki: v dt dx' dx vdt i ' dt dx u' dx dx' dx vdt dt v ux v dt' 1 1 dt u vdx dt x v dx v (9.44) x (9.45) gdzie: u x dx dt 33

34 Relatywistyzne dodawanie prędkośi wzór Einsteina: Ogólnie, ząstka poruszająa się wzdłuż osi X, w układzie X Y Z : u' u v 1 v u (9.46) Cząstka poruszająa się wzdłuż osi X, w układzie XYZ: u u' v 1 v u' (9.47) Korzystają z klasyznego podejśia, transformaji Galileusza, wówzas dąży do +, Dla v / 0 Otrzymamy odpowiednio: u' u v u u' v 34

35 Relatywistyzne dodawanie prędkośi- pozostałe składowe u y ' dy' dt' dy vdx ( dt ) u y 1 1 u v x u z ' u z 1 1 u v x Składowe u y i u z zależą od składowej równoległej do osi x. 35

36 Przykład 1 Nieh układ O porusza się z prędkośią v 1 =0.98 (skierowaną wzdłuż osi X układu), a w układzie O punkt x porusza się z prędkośią v =0.98. Wyznaz prędkość punktu x względem nieruhomego układu O. Rozwiązanie: Zgodnie z transformają prędkośi: Dla v 1 = v =, otrzymamy v =. 1 Składają prędkośi nigdy nie przekrozymy prędkośi światła. v v1 v v v v (0.98) 1 36

37 Mehanika relatywistyzna 9.9. Elementy dynamiki relatywistyznej Masa w mehanie relatywistyznej. Jak opisać zahowanie iała pod wpływem sił w sytuaji, gdy transformaja Lorentza, jest prawdziwa? W klasyznej dynamie (Newtona) przyjmuje się, że masa iała jest niezależna od jego prędkośi, tj. jest jednakowa we wszystkih układah odniesienia. Przypomnijmy postaie II zasady dynamiki Newtona: F ma F dp dt Einstein ( w 1905r) wniósł istotną poprawkę do założeń Newtona, stwierdzają, że w mehanie relatywistyznej masa iała zmienia się z jego prędkośią. Jej wartość w układzie, w którym iało ma prędkość wynosi: v d( mv) dt (9.48) Zależność masy od prędkośi (9.49) m 0 We wzorze tym ma stałą wartość i nazywa się masą spozynkową iała (mierzoną w układzie odniesienia, w którym iało spozywa), m- nazywamy relatywistyzną masą iała.. 37

38 Mehanika relatywistyzna m m 0 3 Zmiana masy przy małyh prędkośiah jest znikoma. Masa ząstki rośnie wraz z prędkośią od v~0,5 i zmierza do nieskońzonośi gdy V. 1 0,5 1 v m Rys. Zależność zynnika Lorentza od stosunku prędkośi v. Klasyzna definija pędu: Nowa definija pędu: która zapewni prawdziwość zasady zahowania pędu przy transformaji do dowolnego układu współrzędnyh, podana przez Einsteina. m 0 Zmiana masy z prędkośią została potwierdzona wieloma doświadzeniami przeprowadzonymi dla ząstek elementarnyh Pęd w mehanie relatywistyznej p mv, gdzie jest prędkośią iała. p mv m 0 v v 1 v (9.50) 38

39 Mehanika relatywistyzna Relatywistyzna zależność prędkośi iała od zasu działania stałej siły. Rozpatrzmy teraz ruh iała pod wpływem stałej siły F działająej równolegle do kierunku ruhu. Zależność prędkośi v iała od zasu t oblizamy na podstawie drugiej zasad dynamiki Newtona: d F m v 0 1 Po sałkowaniu zależnośi (7.48) otrzymamy: m v 1 v v dp dt Fdt F t C (9.51) (9.5) 0 (9.53) gdzie C-stała ałkowania. Zakładają, że dla t=0, v=0, otrzymamy C=0. Rozwiązują (na tabliy) równanie (7.49) względem v, otrzymamy zależność: Ft v( t) (9.54) F t m0 1 m 0 39

40 Mehanika relatywistyzna v( t) Ft m 0 v( t) Ft m0 1 F t m0 Rys. Zależność prędkośi iała od zasu działania stałej siły w mehanie klasyznej i relatywistyznej W przeiwieństwie do opisu klasyznego, z powyższej zależnośi wynika, że ząstki nie da się przyspieszać w nieskońzoność działają stałą siłą. 40

41 Mehanika relatywistyzna II zasada dynamiki w postai relatywistyznej (9.55) (9.54) (9.55) 41

42 Mehanika relatywistyzna Relatywistyzna energia kinetyzna (9.56) (9.57) (9.58) 4

43 Mehanika relatywistyzna (9.59) (9.60) Po sałkowaniu porządkujemy otrzymane wyrażenie. (9.61) 43

44 Mehanika relatywistyzna Uwzględniają granie ałkowania, otrzymujemy wzór na energię kinetyzną: (9.6) (9.63) E m Według Einsteina ten drugi złon: 0 0 ma sens energii spozynkowej iała wielkośi, której istnieniu zawdzięzamy m.in. bombę atomową... wzór Einsteina: lub wyraża równoważność masy i energii. 44

45 Przykład - Porównanie energii kinetyznyh Elektron porusza się z prędkośią v = 0,99. Obliz: a) energię kinetyzną elektronu w MeV. b) porównaj otrzymaną wartość z energią kinetyzną oblizoną w sposób klasyzny. Dane: u = 0,99, m e = 9, kg Szukane: a)e krel. =? b)e k =? m 0 Ekrel. m 0 m0 v 1 m E 7, , 1110 kg 310 4, J krel. Zamieniamy jednostki: s 45

46 Przykład - energia kinetyzna Ad. b) E k =? E k mu 0 m s , 1110 kg 0, MeV 13 1, 610 J E 4, J 0, 51MeV k Energie różnią się od siebie znaząo: E krel. E k 1, 4 To pokazuje, jak trudno jest przyspieszyć ząstkę do prędkośi bliskih. Im bardziej zbliżamy się do, tym więej energii musimy włożyć w zwiększenie prędkośi. Energia rzędu 3 MeV na elektron jest stosunkowo mała i może zostać osiągnięta w istniejąyh akeleratorah ząstek (w Wielkim Zderzazu Hadronów CERN, ząstki są rozpędzane do prędkośi v=99,7% a elem jest potwierdzenie teorii wielkiej unifikaji). 46

47 Mehanika relatywistyzna Przykład. Potwierdzenie słusznośi związku wyrażająego równoważność masy i energii. W wyniku zderzenia dwóh jąder złota energia kinetyzna jąder zamienia się w masy tysięy ząstek powstałyh w zderzeniu, zgodnie ze wzorem: 47

48 Mehanika relatywistyzna Czy dla małyh prędkośi wzór na energię kinetyzną przejdzie w klasyzne wyrażenie? (9.64) (9.65) (9.66) (9.67) Otrzymaliśmy wzór przybliżony na energię kinetyzną, który można stosować tylko dla małyh prędkośi (małyh w porównaniu z prędkośią światła; v<<). 48

49 Mehanika relatywistyzna ZWIĄZEK ENERGII, PĘDU I MASY (9.67) (9.68) (9.69) Związek energii ałkowitej, pędu i masy spozynkowej. Stąd: (9.70) Wzór ten przyjmuje szzególnie prostą postać dla ząstek o zerowej masie spozynkowej, m0 =0, które poruszają się w każdym układzie odniesienia z prędkośią światła (np. fotony, neutrina). Zahodzi wówzas związek: E=p. 49

50 Cząstki o zerowej masie spozynkowej Istnieją również ząstki, które nie mają masy spozynkowej! Należą do nih np. FOTONY kwanty promieniowania elektromagnetyznego. Teoria korpuskularna światła każe je traktować jak ząstki ze względu na to, że mają one pęd i energię, hoć nie mają masy masy spozynkowej! Korzystają ze wzoru: podstawiają m 0 E otrzymujemy: p p E 4 m związek między pędem i energią takiej bezmasowej ząstki. Korzystają ze związku: Mehanika relatywistyzna p u E m 0 (9.77) (9.78) (9.79) stwierdzimy, że prędkość ząstki o masie spozynkowej musi wynosić! 50

51 Ogólna teoria względnośi (OTW)- wzmianka Ogólna teoria względnośi (OTW) sformułowana przez Alberta Einsteina w 1915 roku, a opublikowanej w roku Główna teza OTW: siła grawitaji wynika z lokalnej geometrii zasoprzestrzeni i na odwrót grawitaja kształtuje zasoprzestrzeń. Podstawą tej teorii jest zasada równoważnośi (masa grawitayjna jest równoważna masie bezwładnej w tym sensie, że nie sposób doświadzalnie odróżnić jednej od drugiej). Jednym z wniosków tej teorii jest stwierdzenie, że obeność masy odkształa otazająą ją przestrzeń i wobe tego poruszająe się w takiej przestrzeni iała mają tory zakrzywiająe się ku masie, która to odkształenie spowodowała, o powoduje powstanie przyspieszeń ( normalne w ruhu krzywoliniowym) i jest obserwowane jako działanie sił grawitayjnyh! Inną konsekwenją tej teorii są np.: - powiększenie się długośi fali światła emitowanego przez źródło, mająe masę grawitayjne przesunięie ku zerwieni; - zakrzywianie się wiązki światła w pobliżu dużej masy. 51

52 Ogólna teoria względnośi Zgodnie z ogólną teorią względnośi masa powoduje odkształenie zasoprzestrzeni, a odkształona zasoprzestrzeń wyznaza ruh poruszająyh się w niej mas. W konsekwenji w pobliżu masywnyh obiektów przestrzeń się zakrzywia a zas płynie wolniej. Zaburzenie ruhu planet przez ugięie zasoprzestrzeni w pobliżu iał o dużej masie Ilustraja konepji o ugięiu zasoprzestrzeni w pobliżu iała o dużej masie zakrzywiająego zasoprzestrzeń. 5

53 Mehanika relatywistyzna materiały dodatkowe (dla hętnyh) Rys. Albert Einstein ( ), jako złowiek stuleia z okładki magazynu Time. 53

54 Warto przezytać 54

55 Dziękuję za uwagę! 55

56 Mehanika relatywistyzna materiały dodatkowe (dla hętnyh) Transformaja zasu - wyprowadzenie Skorzystamy z postulatu o równouprawnieniu obu układów odniesienia. Transformaja odwrotna do transformaji (9.10) powinna wię mieć postać (9.9): (9.80) (znak + odpowiada przeiwnemu kierunkowi ruhu układu nieprimowanego względem primowanego ). Podstawiają wyrażenie (9.10*) do wzoru (9.80) znajdujemy: skąd, wyznazamy zas t : (9.81) (9.8) 56

57 Mehanika relatywistyzna Czynnik występująy przy współrzędnej x można wyrazić jako: (9.83) Transformaję zasu określa wię wyrażenie: (9.84) Ostateznie wzory opisująe transformaji Lorentza: (9.85*) 57

58 Czas i przestrzeń (mehanika relatywistyzna) t dt dx Rys. przedstawia górną zęść zasoprzestrzeni, dla której zas jest dodatni, zyli od teraźniejszośi w przyszłość. Zaznazono zdarzenie teraźniejszośi i trzy zdarzenia w przyszłośi: a) wewnątrz stożka świetlnego, b) na zewnątrz stożka świetlnego oraz ) na stożku świetlnym. dt Kolorem zielonym zaznazono obszar na zewnątrz stożka światła. Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego, od teraźniejszośi do przyszłośi. dx x Wzór na interwał zasoprzestrzenny przybierze postać: (9.38) Kwadrat odległośi dwóh punktów w przestrzeni Euklidesowej jest równy (twierdzenie Pitagorasa): ( ds) ( dx) ( dy ) 58

59 Czas i przestrzeń (mehanika relatywistyzna) t dx Na rys. ukazano trzy możliwe wartośi interwału (współrzędne: t, x) : a) interwał typu zasowego, może istnieć związek przyzynowo skutkowy między zdarzeniami, zdarzenia leżą wewnątrz stożka świetlnego (rys. linia zerwona), rzezywisty; dt t x ( s) 0 (9.39) Rys. Czasoprzestrzeń Minkowskiego, od teraźniejszośi do przyszłośi. dx dt x b) interwał typu przestrzennego, nie ma związku przyzynowo skutkowego między zdarzeniami, zdarzenia wewnątrz i na zewnątrz stożka świetlnego (rys. linia niebieska), zespolony; t x ( s) 0 (9.40) ) interwał zerowy, zdarzenia mogą być połązone sygnałem świetlnym, zdarzenia na pobozniy stożka świetlnego (rys. linia żółta). t x ( s) 0 (9.41) 59