4.STAN ODKSZTAŁCENIA

Transkrypt

1 4.STAN ODKSZTAŁCENIA STAN ODKSZTAŁCENIA 4.1 Stan odkształcenia Rozważmy ciało w przestrzeni X 3 x 3 B 1 Bo u 0 x X Po b x 2 0 x 1 X 2 X 1 Rys. 4.1 Ciało B o est ciałem w konfiguraci początkowe którego położenie est określone w nieruchomym układzie Lagrange ' a. Rozważamy punkt P o o współrzędnych X 1 X 2 X 3. Współrzędne te są zwane współrzędnymi Lagrange ' a lub współrzędnymi materialnymi (określaą położenie materii).pod wpływem czynników zewnętrznych ciało przemieściło się i doznało odkształcenia. Ciało B 1 est ciałem odkształconym znaduącym się w konfiguraci aktualne. Punkt P o przemieścił się do położenia P 1 dla określenia którego wprowadzamy nowy układ współrzędnych x 1 x 2 x 3 zwany układem Eulera.Wektor u= x X zwany est wektorem przemieszczenia.w opisie Lagrange'a badamy ak zmienia sie położenie danego punktu. Funkca opisuąca punkt materialny est zależna od położenia i czasu i ma postać: Je pochodna cząstkowa est równa pochodne materialne: t (4.1) t = d d t (4.2) W opisie Eulera nie zamuemy się obserwacą punktu materialnego tylko opisem punktu w przestrzeni i badamy który z punktów przymue takie położenie. Funkca opisuąca położenie ma postać :

2 4.STAN ODKSZTAŁCENIA 2 t (4.3) a e pochodna: t = t t (4.4) Relace miedzy układem Lagrange ' a i Eulera opisue prawo transformaci: x i X (4.5) = (4.6) Gdzie i Lagrange ' a est cosinusem kąta kierunkowego miedzy prostymi określaącymi układ Eulera i 4.2.Miara deformaci A dl B Rys.5.2. A dl B Miarą deformaci est różnica pomiędzy odległością końcową a odległością początkowa: dl 2 dl 2 (4.7) przy czym: dl 2 = =dx i dx i (4.8) = x l d x l (4.9) d L 2 = d x i x d x (4.10) d L 2 = x d x i d x (4.11)

3 4.STAN ODKSZTAŁCENIA 3 gdzie x = X k i X k =C i (4.12) C i est to tensor deformaci Cauchego zwany również lewym tensorem deformaci Cauchego- Greena natomiast: dl 2 dl 2 =dx i dx i =dx k dx l kl (4.13) dx k (4.14) dx l dx l (4.15) d X l =G kl d X l (4.16) G kl est to tensor deformaci Greena zwany również prawym tensorem deformaci Cauchego- Greena. Po podstawieniu otrzymuemy: dl 2 dl 2 d X l dx l kl= x i kl dx l (4.17) dl 2 dl 2 =2 E kl dx l (4.18) E kl = 1 2 kl (4.19) E kl est to tensor odkształceń skończonych Lagrange ' a lub też tensor odkształceń Greena. dl 2 dl 2 =2 e i dx i dx (4.20) e i = 1 2 i x (4.21) e i est to tensor odkształceń skończonych Eulera zwany też tensorem odkształceń skończonych Almansiego.

4 4.STAN ODKSZTAŁCENIA Wektor przemieszczenia X 3 x 3 x k X k X 2 x 2 X 1 x 1 Rys.4.3. Oba przedstawione układy pokrywaą się cosinusy kierunkowe zeruą się a wiec nie wykożystuemy prawa transformaci. Wektor przemieszczenia ma następuącą postać: U u i = U u 1 u 2 u 3 (4.22) Określa sie go w następuący sposób: u k =x k X k (4.23) x k = X k U (4.24) ki (4.25) x k (4.26) E i = 1 2 E i = 1 2[ ki k i] = 1 2[ i (4.27) u u i ] (4.28)

5 4.STAN ODKSZTAŁCENIA 5 bowiem W podobny sposób wyprowadzamy postać tensora Almansiego: ki k = i (4.29) k = u (4.30) ki = u i (4.31) e i = 1 2 i x (4.32) e i = 1 2[ u i x u i x ] (4.33) przy czym x 0 (4.34) Jeżeli przemieszczenia są małe to zanika różnica miedzy X i i x i a zatem: Otrzymuemy tensor małych odkształceń Cauchego: (4.35) i = 1 2 u i u x x (4.36) i