WYKŁAD 4 ZASADA ZMIENNOŚCI PĘDU I OGÓLNE RÓWNANIA ZNACZENIE ZASADY ZMIENNOŚCI KRĘTU. RUCHU PŁYNU. 1/11

Transkrypt

1 WYKŁAD 4 ZASADA ZMIENNOŚCI PĘDU I OGÓLNE RÓWNANIA RUCHU PŁYNU. ZNACZENIE ZASADY ZMIENNOŚCI KRĘTU. 1/11

2 RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU PŁYNU Wiemy uż, że Zasada Zmienności Pędu est szczególnym przypadkiem ogólne zasady zachowania/zmienności, w które h υ (vide Wykład nr 3). Ponieważ źródłem zmienności pędu w czasie ruchu są działaące na porcę płynu siły zewnętrzne, mamy następuącą równość d dv ( )( ) ds S V dt υ υ υn F F Podobnie ak w przypadku zasady zachowania masy, możemy weść z różniczkowaniem po czasie pod znak całki. PO podstawieniu wyrażeń całkowych na siły otrzymuemy równość postaci t ( υ) dv ( υ)( υn) ds σ ds f dv W dalsze części rozważań (Wykład nr 7) pokażemy, że wektor ednostkowe siły powierzchniowe (naprężeń) może być przedstawiony z postaci iloczynu σ Ξn. Ściśle wektor naprężeń σ otrzymywany w wyniku zadziałania tensorem naprężeń Ξ na ednostkowy wektor (wersor) n prostopadły do powierzchni brzegowe. 2/11

3 W przypadku naprostszego modelu płynu (płyn Eulera) wektor naprężeń ma tylko składową normalną. Oznacza to, że płyn Eulera est niezdolny do przenoszenia naprężeń stycznych (est nielepki). Wówczas, wyrażenie na wektor naprężeń przymue postać σpn Symbol p oznacza ciśnienie w płynie. Odpowiadaący temu modelowi tensor naprężeń ma wyątkowo prostą formę, a mianowicie Ξ p I, gdzie I to tensor ednostkowy. Naszym nabliższym celem est wyprowadzenie ogólnego równania różniczkowego ruchu płynu. Procedura prześcia od opisu całkowego do różniczkowego polega ak zwykle na sprowadzeniu wszystkich całek powierzchniowych do równoważnych całek obętościowych, a następie wykorzystaniu argumentów dowolności wyboru obszaru całkowania i ciągłości całkowanych wielkości. Odpowiednie operace są tym razem bardzie złożone. Zacznimy od przekształcenia całki powierzchniowe opisuące strumień pędu przez brzeg obszaru: ( υ)( υn) ds e n ds e ( ) dv ( υυ) dv i i i x i GGO ( υυ ) i 3/11

4 Otrzymaliśmy całkę obętościową z pola wektorowego, które est dywergencą pola tensorowego strumienia pędu Π υυ. Symbol oznacza tu mnożenie tensorowe pary wektorów, którego wynikiem est specalny tensor zwany diadą. Przekształcimy teraz całkę wyrażaąca siłę powierzchniową σds ΞndS e n ds e dv ΞdV i i i x i GGO Otrzymaliśmy całkę obętościową z dywergenci tensora naprężeń Ξ. W szczególności, w przypadku płynu idealnego (nielepkiego) wyrażenie na siłę powierzchniową przekształcane est następuąco σ ds ( pi) nds e p n ds e p dv pdv i i i i x GGO x Wstawienie obliczonych całek obętościowych do równości wyrażaące zasadę zmienności pędu dae (po zapisaniu w formie poedyncze całki) i p t ( υ) ( υυ Ξ) f dv 0 4/11

5 Z dowolności obszaru i ciągłości całkowanego wyrażenia wynika, że w każdym punkcie przepływu spełnione est równanie różniczkowe ( υ) ( υυ Ξ) f t Otrzymaliśmy różniczkowe r-nie ruchu płynu! Dla płynu idealnego Ξ p I i RRR przymue postać ( υ) ( υυ pi) f t Równanie ruchu można przedstawić w innych równoważnych formach (ta powyże to tzw. postać zachowawcza). Rozwiaąc składnik z dywergencą tensorową otrzymamy postać uznawaną za standardową. Oto odpowiedni rachunek ( υ) ( υυ) e ( ) ( ) t i t i x i i i t t i i x ( ) e υ[ ( υ) ] [ υ ( υ) υ ] a t 0!!!( rnie zach. masy) t a przyspieszenie! x i 5/11

6 Ogólne równanie ruchu płynu możemy teraz zapisać następuąco t υ υ υ a [ ( ) ] Ξ f W szczególności, standardowa postać równania ruchu dla płynu idealnego zwana równaniem Eulera to [ υ( υ) υ] p f t Forma kinematyczna (podzielona przez gęstość) t υ( υ) υ 1p f W dalsze części rozważań rozważymy również płyn lepki zwany też newtonowskim. 6/11

7 ZASADA ZMIENNOŚCI KRĘTU. SYMETRIA TENSORA NAPRĘŻEŃ. Kręt (moment pędu) płynu znaduącego się w dane chwili w obszarze (kontrolnym) wyraża się całką obętościową K xυdv Zgodnie z ogólną regułą, tempo zmian wielkości K opisane est następuącym wzorem dk i Zasada Zmienności Krętu przymue formę d dt dt produkca dk dt x υdv ( x υ)( υ n ) ds produkca d dt x υdv ( x υ)( υn) ds xξnds x f dv M S M V 7/11

8 Wykorzystuąc niezmienność obszaru w czasie, wprowadzimy różniczkowanie pod znak całki d dt xυdv x t ( υ) dv Dale, postąpimy standardowo przekształcaąc całki powierzchniowe i obętościowe. Zauważmy, że całka powierzchniowa po lewe stronie równości całkowe może być zapisana w postaci ( xυ)( υn) ds x[( υυ) n ] ds tensor Wobec tego, obie całki powierzchniowe są szczególnymi przypadkami całki postaci J xan ds, A tensor Transformaca powyższe całki do całki obętościowe stanowi dobrą okazę do przećwiczenia rachunku indeksowego. 8/11

9 J J e e ( x An) ds e x ( a n ) ds e ( x a ) dv i i i i i ik km m i ik xm km GGO ( An) k x km ei ik x a m kmdv ei ik x x dv e m i ik akdv x AdV ei m ( A) k a e ( a a ) dv e ( a a ) dv e ( a a ) dv dv x A i Zauważmy, że eśli tensor A est symetryczny (t. znikaą. A T A ), to trzy pierwsze składniki Tak właśnie est w przypadku pierwsze z naszych całek powierzchniowych, bowiem skąd a a, i, 1, 2, 3. i i A υυ a i i Zatem x( υυ) nds x( υυ ) dv 9/11

10 W drugie całce powierzchniowe mamy wprost A Ξ, a więc x ΞndS x Ξ dv e ( ) dv e ( ) dv e ( ) dv Podstawienie otrzymanych wyrażeń do całkowe równości wyrażaące ZZK dae równość postaci x[ ( υ) ( υυ Ξ) f ] dv e ( ) dv t e ( ) dv e ( ) dv Zgodnie z równaniem ruchu t ( υ) ( υυ Ξ) f 0 Ponieważ est dowolny, wnioskuemy, że, i t. w każdym punkcie przepływu tensor naprężeń est symetryczny, czyli T Ξ Ξ! 10/11

11 PODSUMUJMY ROZWAŻANIA Pokazaliśmy, że eżeli tensor naprężeń est symetryczny i spełnione est r-nie Zasady Zmienności Pędu, to Zasada Zmienności Pędu est automatycznie spełniona. Innymi słowy: eżeli model matematyczny płynu skonstruowany est w sposób gwarantuący symetrię tensora naprężeń to Zasada Zmienności Krętu nie est potrzebna do opisu ego ruchu, bowiem wynika ona z Zasady Zmienności Pędu. UWAGA: 1. Z powyższego nie wynika bynamnie, że ZZK est z mechanice płynów bezużyteczna. W istocie, ZZK stosowana est do np. do obliczania momentu działaącego na płyn poruszaący się ruchem obrotowym i znadue powszechne wykorzystanie w teorii maszyn wirnikowych (pompy, sprężarki, turbiny). 2. Istnieą modele płynu w których wyrażenie na kręt zawiera dodatkowy składnik opisuący tzw. kręt mikropolarny. Wówczas tensor naprężeń nie musi być symetryczny, a do pełnego opisu ruchu ośrodka mikropolarnego potrzebne są dodatkowe równania wyprowadzane z ZZK. 11/11