Zasada zachowania energii

Transkrypt

1 Zasada zachowania energii Fizyka I (B+C) Wykład XIV: Praca, siły zachowawcze i energia potencjalna Energia kinetyczna i zasada zachowania energii Zderzenia elastyczne

2 dr P F n Θ F F t Praca i energia Praca Siła F działa na punkt materialny P Praca jaka wykonuje siła przy przesunięciu P o d r dw = F d r = F cos θds = F t ds Siły prostopadłe do przesunięcia nie wykonuja pracy! siła Lorenza, siła Coriolisa, siły reakcji więzów... Praca siły F ( r) na drodze między A i B W AB = B A F ( r) d r A.F.Żarnecki Wykład XIV 1

3 Praca i energia Praca W ogólnym przypadku praca W AB jaka wykonujemy podczas ruchu punktu z A do B może zależeć od: przebytej drogi l np. praca sił tarcia będzie proporcjonalna do l toru ruchu np. jeśli siły oporu zależa od wyboru toru prędkości siły oporu w ośrodku zależa od prędkości czasu jeśli działajace siły zależa od czasu A.F.Żarnecki Wykład XIV

4 Praca i energia Energia potencjalna Siła F ( r) jest zachowawcza (konserwatywna), jeśli praca przez nia wykonana zależy tylko od położenia punktów poczatkowego (A) i końcowego (B) można ja wyrazić przez zmianę energii potencjalnej W AB = B A F ( r) d r = E p ( r A ) E p ( r B ) = E p Siła zachowawcza nie może zależeć od czasu ani od prędkości. Jeśli droga jest zamknięta to praca jest równa zeru A F ( r) d r = F ( r)d r = 0 A F A.F.Żarnecki Wykład XIV 3

5 Praca i energia Przykład: Ruch w jednorodnym polu grawitacyjnym. Siła ciężkości F = m g = m (0, g, 0) B A F ( r) d r = F B A d r = F ( r B r A ) = m g ( r A r B ) = m g (y A y B ) energia potencjalna dla jednorodnego pola grawitacyjnego E p ( r) = m g r = m g y Siłami zachowawczymi sa też wszystkie siły centralne, zależne tylko od odległości F = F (r) i r siła kulombowska, siła grawitacyjna, siły sprężystości... A.F.Żarnecki Wykład XIV 4

6 " # Praca i energia Gradient Gradient wskazuje kierunek w którym następuje największa zmiana wartości funkcji skalarnej f(x, y, z). Wartość gradientu odpowiada wartości pochodnej funkcji f(x, y, z) wzdłuż tego kierunku. grad f = f = i x f x + i y f y + i z f z = = i x x + i y y + i z z ( f x, f y, f ) z f = i n f n n f! A.F.Żarnecki Wykład XIV 5

7 1 + * & & 1 0 )' ( '( & )' ( ) ) / ( %$ Praca i energia Siła a energia potencjalna Praca wykonana przy infintezymalnym przesunięciu d r = (dx, dy, dz) dw = F ( r) d r = de p,.- = E p x dx E p y dy E p z dz Otrzymujemy: F = E p Znajomość potencjału siły zachowawczej jest rownoważna znajomości samej siły. Energia potencjalna jest określona z dokładnościa do stałej, istotne sa tylko jej zmiany. A.F.Żarnecki Wykład XIV 6

8 Praca i energia Energia kinetyczna Praca jaka wykonuje siła F przy przesunięciu P o ds dv dt ds = dv ds dt dw = F t ds = m a t ds = m dv dt ds = m ds dv = m v dv dt Praca siły F ( r) na drodze między A i B W AB = B A F t (s) ds = B A mv dv = mv B mv A = E B k EA k = E k Niezależnie od postaci siły F i drogi praca siły jest równa zmianie energii kinetycznej ciała E k = mv na ciało nie działaja inne siły, układ inercjalny A.F.Żarnecki Wykład XIV 7

9 Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Praca siły zachowawczej F ( r) pomiędzy A i B W AB = B F ( r) d r = E A p EB p Z drugiej strony, praca siły działajacej na ciało: A W AB = E B k EA k E B k EA k = E A p EB p E B k + EB p = E A k + EA p E = E p + E k = W ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana. A.F.Żarnecki Wykład XIV 8

10 98 : <; Zasada zachowania energii Wahadło Galileusza Wysokość na jaka wznosi się wahadło nie zmienia się przy zmianie długości nici: Koło Maxwella h E p + E k = E = E k = 0 m g h = E siły reakcji więzów nie wykonuja pracy Przemiana energii potencjalnej w energię kinetyczna ruchu obrotowego. A.F.Żarnecki Wykład XIV 9

11 Zasada zachowania energii Spadek swobodny g W jednorodnym polu g ciało spada swobodnie z wysokości h ( v(0) = 0). g Prędkość końcowa z zasady zachowania energii: h V E k = E p m v v = = m g h g h h V Taka sama prędkość uzyska wahadło puszczone z wysokości h A.F.Żarnecki Wykład XIV 10

12 Zderzenia Poprzednio rozpatrywaliśmy zderzenia ciał z punktu widzenia zasady zachowania pędu (i momentu pędu) zasada zachowania pędu jest zawsze bezwzględnie spełniona Czy zachowana jest energia kinetyczna? TAK - jeśli działajace siły maja charakter zachowawczy siły kulombowskie, siły spężystości E p = 0 E k = 0 NIE - jeśli mamy wkład sił niezachowawczych w wyniku zderzenia następuja trwałe zmiany (np. odkształcenia) w zderzajacych się ciałach A.F.Żarnecki Wykład XIV 11

13 Zderzenia Zderzenia sprężyste Przypadek jednowymiarowy: Z zasad zachowania: =.> =@?A CB p : m 1 V 1 + m V = m 1 V 1 M M 1 E : m 1 V 1 + m V = m 1 V 1 V =0 V 1 Przekształcamy: p : m V = m 1 (V 1 V 1 ) M M 1 E : m V = m 1 (V 1 V 1 ) = m 1 (V 1 V 1 )(V 1 + V 1 ) V = V 1 + V 1, albo V V 1 = V 1 V V 1 wartość bezwzględna prędkości względnej przed i po zderzeniu jest taka sama A.F.Żarnecki Wykład XIV 1

14 Zderzenia Zderzenia sprężyste Przekształcajac dalej otrzymujemy: m (V 1 + V 1 ) = m 1 (V 1 V 1 ) V 1 (m 1 + m ) = V 1 (m 1 m ) Ostatecznie: V 1 = m 1 m m 1 + m V 1 V = m 1 m 1 + m V 1 Przypadek szczególny: m 1 = m V 1 = V = 0 V = V 1 Zderzajace się ciała wymieniaja się prędkościami; rozwiazanie słuszne także w przypadku V 0 A.F.Żarnecki Wykład XIV 13

15 Zderzenia Zderzenia sprężyste m 1 > m Masa pocisku większa od masy tarczy : Przypadek graniczny: m 1 m V 1 = m 1 m m 1 + m V 1 = V 1 V = m 1 m 1 + m V 1 = V 1 Pocisk nie zauważa zderzenia Tarcza uzyskuje prędkość V 1 Otrzymujemy: V > V 1 > 0 Po zderzeniu oba ciała poruszaja się w ta sama stronę. A.F.Żarnecki Wykład XIV 14

16 Zderzenia Zderzenia sprężyste m 1 < m Masa pocisku mniejsza od masy tarczy : Otrzymujemy: Przypadek graniczny: m 1 m V 1 = V 1 V = 0 V 1 = m 1 m m 1 + m V 1 < 0 V = m 1 m 1 + m V 1 > 0 Prędkość pocisku zmienia znak pocisk odbija się od tarczy Sprężyste odbicie od nieruchomej ściany A.F.Żarnecki Wykład XIV 15

17 Zderzenia m 1 m Tarcza oddala się od pocisku ( ściana ) Tarcza przybliża się do pocisku ( ściana ) pocisk traci energię pocisk zyskuje energię Mikroskopowy obraz ochładzania (ogrzewania) się gazu przy rozprężaniu (sprężaniu) A.F.Żarnecki Wykład XIV 16

18 Zderzenia nie centralne Zderzenia Do tej pory rozpatrywaliśmy tzw. zderzenia centralne, dla których parametr zderzenia b = 0 pocisk trafia w sam środek tarczy W przypadku gdy b 0 zderzenie trzeba rozpatrywać w dwóch wymiarach: V =0 I D HJF F GHI K L HF G Θ b V Zasada zachowania pędu: D E p x : m V cos θ + m 1 V 1 cos θ 1 = m 1 V 1 V 1 Θ 1 p y : m V sin θ m 1 V 1 sin θ 1 = 0 y V 1 Dla zderzeń spężystych: x E k : m 1 V 1 + m V = m 1 V1 Znajomość m 1, m i V 1 (V = 0) nie wystarcza do wyznaczenia pełnej kinematyki zderzenia ( V 1, V, θ 1 i θ )! musimy ustalić b albo jeden z parametrów rozproszenia (np. kat θ 1 ). A.F.Żarnecki Wykład XIV 17

19 Zderzenia Zderzenia nie centralne Jeśli masy zderzajacych się sprężyscie ciał sa równe m 1 = m zagadnienie bardzo się upraszcza Z zasad zachowania: V 1 + V = V 1 Θ V V 1 Θ 1 V 1 + V = V 1 Θ 1 Θ wektory V 1, V 1 i V tworza trójkat prostokatny. V 1 θ 1 + θ = π A.F.Żarnecki Wykład XIV 18

20 Zderzenia m 1 = m Fotografia zderzajacych się kul: Zderzenie proton-proton w komorze pęcherzykowej: V 1 V 1 V niska energia padajacej wiazki dynamika nierelatywistyczna A.F.Żarnecki Wykład XIV 19

21 Zderzenia m 1 = m b=r Stan końcowy zależy od parametru zderzenia b b=r b=0 V V 1 b=0 b=r b = 0 zderzenie centralne V = V 1 V 1 = 0 b >= R brak zderzenia (kule mijaja się) V = 0 b=r V 1 = V 1 A.F.Żarnecki Wykład XIV 0