Potencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie

Transkrypt

1 Potencjalne pole elektrostatyczne Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03pdf do kursu dostępnego na stronie Przypomnienie W kursie Fizyki I była mowa o polu grawitacyjnym Ziemi, które jest polem zachowawczym Przypomnijmy sobie podstawowe właściwości takiego pola Siła oddziaływania grawitacyjnego z jakim Ziemia przyciąga masę m odległą od jej środka o r wynosi gdzie użyty wersor ma kierunek i zwrot od śr doga Ziemi do punktu, w którym znajduje się masa m Natężenie tego pola jest równe, Rozpatrzmy ciało o masie m poruszające się pod wpływem siły grawitacyjnej; patrz rysunek 1

2 Praca siły grawitacji przy przemieszczeniu ciała o masie m od punktu A do B jest równa z czego wynika, że nie zależy ona od przebytej drogi Przy powierzchni Ziemi natężenie pola g jest praktycznie stałe, więc w tym przypadku, znów potwierdza niezależnośd pracy od drogi, co jeśli Przypomnijmy, że dana siła F jest zachowawcza (konserwatywna, potencjalna), 2

3 Spełnienie tego warunku umożliwia wprowadzenie koncepcji energii potencjalnej U, która różnica U z definicji jest równa W polu grawitacyjnym W=W g, co pozwala wywnioskowad, że gdzie U 0 jest energia potencjalną w punkcie odniesienia Oprócz energii potencjalnej posługiwaliśmy się również pojęciem potencjału pola grawitacyjnego, co fizycznie określa ujemną wartośd pracy wykonanej na jednostkowej masie przez siłę grawitacji przy przeniesieniu ciała od A do B Będziemy podobnie postępowali z polem elektrostatycznym Siła Coulomba zależy od odległości tak jak siła grawitacyjna, więc jest zachowawcza Pozwala to zdefiniowad różnicę potencjałów V między dwoma punktami A i B pola elektrostatycznego w sposób następujący,, 3

4 gdzie q 0 jest dodatnim ładunkiem próbnym Różnica potencjałów V reprezentuje ilośd pracy wykonanej (przez siłę Coulomba) na jednostkę ładunku próbnego przy przemieszczeniu ładunku próbnego q 0 od A do B Pozwala to nam zapisad związek pomiędzy różnicą potencjałów V i różnicą energii potencjalnej U w postaci Jednostką potencjału w SI jest wolt; 1 wolt = 1 dżul / 1 coulomb = J/C W elektrostatyce częściej stosowaną jednostka jest jeden elektronowolt Potencjał elektryczny jednorodnego pola elektrostatycznego Rozważymy ładunek +q poruszający się w kierunku elektrycznego pola jednorodnego E = E 0 ( j); patrz rysunek 4

5 Ponieważ droga jest równoległa do E, to różnica potencjałów między A i B jest dana wzorem Oznacza to, że potencjał w punkcie B jest niższy niż w A Tak jest rzeczywiście, bo linie sił pola elektrostatycznego zawsze mają zwrot od miejsc z potencjałem wyższym do miejsc z potencjałem niższym Zmiana energii potencjalnej jest równa Ze względu na to, że q 0 > 0, to U < 0 Wniosek: energia potencjalna ładunku dodatniego maleje, gdy porusza się on wzdłuż linii sił pola elektrycznego Co się zmieni, gdy ładunek na drodze od A do B nie będzie poruszał się wzdłuż linii pola (patrz rysunek)? W tym przypadku różnica potencjałów wynosi 5

6 Odnotujmy, że zmiana potencjału na drodze A C B jest równa podanemu wyżej wyrażeniu, ponieważ na odcinku C B zmiana potencjału jest równa zeru Potencjał elektryczny ładunku punktowego Wyznaczymy teraz różnicę potencjałów miedzy dwoma punktami w polu elektrycznym ładunku punktowego +Q Natężenie takiego pola gdzie wersor jest skierowany od źródła do punktu pola (patrz rysunek), Szukana wartośd różnicy potencjałów, po uwzględnieniu równości pozwala policzyd, Ponownie widzimy, że różnica potencjałów V nie zależy od drogi, ale zależy od punktów początkowych i koocowych Natomiast wartośd potencjału w danym punkcie pola P zależy od punktu odniesienia 6

7 Zazwyczaj wybieramy punkt odniesienia w nieskooczoności Wtedy potencjał V P w punkcie P wynosi Przy takiej definicji otrzymujemy dla punktu odległego od Q o r Jeśli mamy do czynienia z układem punktowych ładunków, to korzystając ponownie z zasady superpozycji, otrzymujemy wartośd potencjału pola pochodzącego od wszystkich ładunków Zauważmy, że potencjał V(r) jest sumą algebraiczną skalarów (liczb) 7

8 W poniższej tabeli zestawiono podstawowe charakterystyki pola grawitacyjnego i elektrycznego Energia potencjalna układu ładunków elektrycznych Jeśli układ ładunków jest tworzony przez czynniki zewnętrzne, to zmiana energii potencjalnej układu Wyznaczymy energię układu ładunków krok po kroku 8

9 Obliczmy najpierw pracę W 2 siły zewnętrznej nad przeniesieniem ładunku q 2 z nieskooczoności do punktu P odległego od q 1 o r 12 (patrz rysunek) Praca ta jest równa Ale więc Praca siły zewnętrznej jest dodatnia, jeśli oba ładunki są dodatnie Jest ujemna w przeciwnym przypadku Dodajmy trzeci ładunek do naszego dwuładunkowego układu (patrz rysunek) Praca jaką teraz musi wykonad siła zewnętrzna jest równa I całkowita energia potencjalna zgromadzona w układzie 3 ładunków jest dana wzorem 9

10 Uogólniając otrzymany wynik energia potencjalna układu N ładunków jest dana formułą Ciągłe rozkłady ładunku elektrycznego Jak wyznaczamy potencjał pola, którego źródłem są ciągłe rozkłady ładunku elektrycznego? Potencjał w punkcie P liczymy sumując potencjały pochodzące od ładunków dq będących częściami ciągłego rozkładu ładunku Z rysunku wnosimy, że wkład do potencjału w punkcie P pochodzący od ładunku dq jest równy a całkowity (sumaryczny) potencjał wynosi 10

11 Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego za pomocą potencjału pola elektrycznego Ze związku wynika równośd Przypomnijmy, że i 11

12 Dlatego Wprowadźmy operator gradientu, wtedy możemy napisad i ostatecznie Tak więc znając potencjał, licząc jego gradient, wyznaczyd możemy wektor natężenia pola elektrycznego 12

13 Krzywe i powierzchnie ekwipotencjalne W przypadku dwuwymiarowym krzywa, na której potencjał V(x,y) jest stały nosi nazwę krzywej ekwipotencjalnej Ilustruje to poniższy rysunek W przypadku trójwymiarowym stałośd V(x,y,z) wyznacza płaszczyzny ekwipotencjalne Ważna właściwośd: Ze względu na związek wektor E jest zawsze prostopadły do krzywych i powierzchni ekwipotencjalnych Uzasadnienie w przypadku dwuwymiarowym: mała zmiana V(x,y) jest równa Policzymy teraz tę zmianę odpowiadającą zmianie wektora przesunięcia 13,

14 co prowadzi do wyrażenie Jeśli teraz przesuwamy się po krzywej ekwipotencjalnej (ds jest elementem krzywej ekwipotencjalnej), to gradient potencjału jest równy zeru, co oznacza z drugiej strony (równości), że wektor E jest prostopadły do ds oraz jest prostopadły do tej krzywej w każdym punkcie Przykłady krzywych ekwipotencjalnych Pole jednorodne; krzywe ekwipotencjalne są prostymi; na rys linie przerywane Pole ładunku punktowego; krzywe ekwipotencjalne są współśrodkowymi okręgami 14

15 Krzywe ekwipotencjalne dipola elektrycznego; pokazano krzywe w jednej płaszczyźnie Przykłady 1 Wyznaczyd potencjał pola elektrycznego, którego źródłem jest pręt o dł L jednorodnie naładowanego o gęstości liniowej Potencjał wyznaczyd na symetralnej pręta (patrz rysunek) 15

16 Postępujemy bardzo podobnie, jak w przypadku wyznaczania natężenia pola elektrycznego Wkład dv do potencjału w punkcie P elementu pręta dx jest dany wzorem Przyjmujemy, że w nieskooczoności potencjał jest równy zeru i liczymy całkę Zastosowano formułę 16

17 Na kolejnym rysunku przedstawiono zależnośd V(y)/V 0 od y/l, gdzie V= /4 0 W granicznym przypadku, gdy otrzymujemy Możemy teraz obliczyd natężenie pola elektrycznego którego wartośd wyznaczyliśmy wcześniej innym rachunkiem, 17

18 2 Potencjał pola elektrycznego jednorodnie naładowanego pierścienia Postaramy się znaleźd potencjał w punktach osi OZ Wkład małego fragmentu pierścienia do potencjału wynosi i całkowity potencjał W granicy mamy 18

19 Możemy również policzyd natężenie pola elektrycznego (wyznaczonego także wcześniej innym rachunkiem) 3 Potencjał pola jednorodnie naładowanego dysku Elementarny wkład do potencjału wnoszony cienkim pierścieniem jest równy 19

20 a wysumowanie po całym dysku W granicznym przypadku mamy i potencjał upraszcza się znacznie Wykres zależności potencjału od z/r przedstawia poniższy rysunek 20

21 Wartośd potencjału w środku dysku (z=0) wynosi gdzie, Ile wynosi praca potrzebna na przeniesienie ładunku q z nieskooczoności do środka dysku? Natężenie pola elektrycznego jest dane wzorem co dla prowadzi do wyrażenia, Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego za pomocą potencjału Niechaj zależnośd potencjału od położenia będzie znana; np Jak wyznaczamy współrzędne wektora E? Oto odpowiedź: 21

22 Zestawienie wyników 22

23 Podsumowanie (w j ang) 23

24 Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03pdf do kursu dostępnego na stronie 24