Część DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 1 DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE

Transkrypt

1 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 1 1 DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 1.1. ZLEŻNOŚCI PODSTWOWE Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów sprężystych Rozważmy jednorodny, izotropowy, liniowo-sprężysty pręt pryzmatyczny poddany czystemu skręcaniu (rys Problem skręcania rozwiążemy w sposób wskazany w 1855 roku przez de Saint-Venanta. Przyjmujemy mianowicie, że przekroje pręta nie ulegają odkształceniom postaciowym, tzn. w procesie deformacji zachowują swój pierwotny kształt. Zgodnie z powyższą hipotezą kinematyczną dwa przekroje oddalone od siebie o x 1 obracają się względem siebie wokół podłużnej osi pręta o kąt skręcenia ψ. Uwzględnimy jednak możliwość deplanacji (spaczenia przekrojów, które przed odkształceniem były płaskie. Dopuszczamy więc możliwość wystąpienia przemieszczeń u 1 wzdłuż osi pręta x 1. Okazuje się, że przy powyższych założeniach uzyskuje się ścisłe rozwiązanie problemu skręcania na gruncie teorii sprężystości. Rys. 1.1 Zasadnicze rozważania przeprowadzimy w zapisie wskaźnikowym. Z podanych wyżej założeń kinematycznych dla bardzo małych wartości kąta skręcenia wynikają następujące związki: ( u1 = θ t x, x, u = ψ x = θ x1x, (1.1 u = ψ x = θ x1x. gdzie t(x, x jest tzw. funkcją deplanacji, kąt θ = dψ / dx1 i nazywa się jednostkowym kątem skręcenia. Ponieważ pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, więc podczas czystego skręcania ( = const jednostkowy kat skręcenia ma wartość stałą θ = ψ (/ l l, gdzie l jest długością pręta. Rozważany problem nosi nazwę skręcania swobodnego. Określenie to wiąże się z założeniem, że wszystkie przekroje pręta mają swobodę deplanacji. Dlatego rozwiązanie tak sformułowanego zagadnienia ma charakter przybliżony. W praktyce istnieje wiele takich przypadków, w których skręcanie swobodne nie występuje. amy tu na myśli np. pełne utwierdzenie pręta na podporze, gdzie przekrój musi

2 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO pozostać płaski, tzn. u 1 = 0. Podobna sytuacja występuje w środkowym przekroju pręta, który jest obciążony skupionym momentem skręcającym w połowie długości. W tych przypadkach powinno się stosować teorię skręcania nieswobodnego. W praktyce efekty skręcania nieswobodnego trzeba uwzględniać tylko w przekrojach cienkościennych. Problematykę tę omówimy w rozdziale 1. (por. również p Wzory (1.1 pozwalają obliczyć odkształcenia ze związków geometrycznych (por. wzór (.6: Stan odkształcenia obrazuje macierz: ε11 = ε = ε = ε = 0, 1 ε1 = θ ( t, x, 1 ε1 = θ ( t, + x. 0 e = ε1 ε1 Z kolei ze związków fizycznych (wzory (5.4 otrzymujemy naprężenia: (1. ε1 ε (1.a 0 0 a macierz naprężeń przyjmuje postać: σ11 = σ = σ = σ =0, σ1 = Gθ (, t x, σ1 = Gθ (, t x, 0 s = σ1 σ1 (1. σ1 σ (1.a 0 0 Wykorzystamy jeszcze równania różniczkowe równowagi naprężeń (wzór (1.9 dla pręta nieważkiego (G i = 0: σ11, 1 + σ1, + σ1, = 0, σ ji, j = 0: σ1, 1 + σ, + σ, = 0, σ1, 1 + σ, + σ, = 0, które po uwzględnieniu równań (1. prowadzą do zależności: σ1, + σ1, = 0, σ1, 1 = 0, (1.4 σ1, 1 = 0. Równania (1.4 i (1.4 są spełnione tożsamościowo. Pozostaje więc tylko równanie ( Po podstawieniu wzoru (1. do (1.4 1 otrzymujemy równanie różniczkowe Laplace'a na funkcję deplanacji: t, + t, = 0 lub t = 0, gdzie = + x x. Funkcja deplanacji t(x, x jest więc funkcją harmoniczną. (1.5

3 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO by wyznaczyć naprężenia, wygodnie jest wprowadzić pewną funkcję F(x, x, zwaną funkcją naprężeń. Jeżeli przyjmiemy, że σ1 = F,, (1.6 σ1 = F,. to funkcja naprężeń F(x, x spełnia tożsamościowo równanie równowagi ( Równanie problemu skręcania otrzymujemy na podstawie wzorów (1.6. Po zróżniczkowaniu równania (1.6 1 względem x, a równania (1.6 względem x mamy: σ1, = F, = Gθ ( t, 1, σ1, = F, = Gθ ( t, + 1. Jeśli funkcja deplanacji t(x, x jest ciągła wraz z drugimi pochodnymi, to t, = t, i po dodaniu stronami uzyskujemy poszukiwane równanie skręcania, wyrażone przez funkcję naprężeń: F = Gθ. (1.7 Jest to równanie różniczkowe Poissona. Należy jeszcze przeanalizować warunki brzegowe odpowiadające temu równaniu. Warunki te są określone przez warunki na powierzchniach bocznych ograniczających pręt (wzór (1.7b: ( pi n = σ jinj. ( n ( n ( n Pobocznica pręta jest wolna od naprężeń, więc p1 = p = p = 0. Zatem ( n p1 = σ11n1 + σ1n + σ1n = 0, ( n p = σ1n1 + σn + σn = 0, ( n p = σ1n1 + σn + σ n = 0. Ponieważ w pręcie pryzmatycznym n 1 = 0, a n = x/ c i n = x / c (por. rys. 1., pozostaje tylko pierwsze z równań: σ1n + σ1n = 0. (1.8 Rys. 1. Z zależności (1.8 wynika, że naprężenia σ 1 i σ 1 muszą przybierać takie wartości, by wypadkowe naprężenie τ 1 było styczne do konturu przekroju. Warto przypomnieć, że w identyczny sposób ustaliliśmy kierunek wypadkowego naprężenia t 1 = t x * w punktach konturu przekroju przy omawianiu działania siły poprzecznej (por. wzór (11.7. * t x t 1 = t xy + t xz.

4 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 4 Po wprowadzeniu funkcji naprężeń do warunku (1.8 mamy: F, n+ F, n= 0 lub F x x F x + = 0. c x c Lewa strona powyższego równania jest pochodną funkcji F = F[ x c x c ] (, ( względem zmiennej c, mierzonej wzdłuż linii tworzącej kontur przekroju: df F x F x = +. dc x c x c Warunek ten można zapisać krócej: df c = 0, dc gdzie F c oznacza wartości funkcji F na konturze przekroju pręta. Wynika stąd, że F c = const. Funkcja naprężeń musi na konturze przekroju przyjmować jednakową wartość. Najwygodniej jest przyjąć, że brzegowa wartość funkcji F c jest równa zeru: F c = 0. (1.9 Rys. 1. Warunek (1.9 jest poszukiwanym warunkiem brzegowym funkcji naprężeń, spełniającej równanie różniczkowe skręcania (1.7. Przebieg funkcji naprężeń obrazuje rys. 1.a. Na rysunku 1.b przedstawiono plan warstwicowy powierzchni F(x, x. Rozważmy jeszcze pewien punkt warstwicy F(x, x = const. Na krzywej tej przyrost funkcji F jest równy zeru, tzn. ale df F dc = x F x x 1 c + 1 x c = 0, 1 F F = σ, = σ, 1 1 x x

5 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 5 skąd σ 1 = dx σ1 dx. Z ostatniej zależności (por. rys. 1.c wynikają następujące wnioski: wektor naprężenia t 1 = σ 1 e + σ 1 e jest w każdym punkcie styczny do warstwicy F(x,x = const; warstwice funkcji F są więc trajektoriami naprężeń stycznych, wartość wypadkowego naprężenia stycznego obliczona z zależności ( F, ( F, τ = σ + σ = + pozwala traktować to naprężenie jako moduł gradientu funkcji naprężeń F, τ 1 = grad( F. Jeśli uda się nam wyznaczyć funkcję naprężeń, możemy obliczyć jednostkowy kąt skręcenia z definicji momentu skręcającego: ( σ σ (,, = 1 x 1 x d = F x F x d = = F, xdxdx F, xdxdx. Po wykonaniu całkowania przez części oraz uwzględnieniu, że F c = 0 otrzymujemy: = ( F x, x d. (1.10 oment skręcający równa się więc podwójnej objętości ograniczonej powierzchnią F(x, x oraz płaszczyzną przekroju. Jeżeli do rozwiązania stosujemy funkcję deplanacji t(x, x, a nie funkcję naprężeń F(x, x, to warunek brzegowy (1.8 po wykorzystaniu równań (1. prowadzi do zależności: ( t, x n + ( t, + x n = 0. (1.11 Funkcja t(x,x musi być tak obrana, by na konturze przekroju spełniała warunek (1.11. Drugi sposób rozwiązania problemu skręcania polega więc na wyznaczeniu funkcji deplanacji t(x, x, która spełnia równanie Laplace'a (1.5 i warunek brzegowy (1.11 w każdym punkcie konturu przekroju Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym Kontur przekroju pręta jest opisany równaniem: y z (a + 1= 0, a b gdzie a i b (a b są głównymi osiami sprzężonymi elipsy (por. rys Rys. 1.4

6 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 6 Zastosujemy funkcję naprężeń o następującej postaci: (b ( F y z m y z, = + 1, a b gdzie m jest pewną stałą. Z budowy wzoru (b wynika, że warunek brzegowy na konturze przekroju jest spełniony (F c = 0. Stałą m obliczymy przez podstawienie funkcji F(y, z do równania różniczkowego (1.7: 1 1 F = m + = Gθ, a b skąd ab m= Gθ a + b. Wobec tego ab y z (c F( y, z = Gθ + 1. a + b a b Na podstawie wzoru (1.10 otrzymujemy: = = 1 1 Fd Gθ ab d y d z d + a b = a b 1 1 ( d = Gθ ab J + z a b a b J y. Dla elipsy momenty bezwładności J y i J z oraz pole przekroju wynoszą: 1 1 Jy = πb a, Jz = πba, = πab, 4 4 co po podstawieniu do równania (d prowadzi do zależności: πa b (e = Gθ. a + b Gdy uwzględnimy wartość iloczynu Gθ obliczoną ze wzoru (e, to na podstawie wzoru (c otrzymamy ostateczną postać funkcji naprężeń F(y, z : y z (f F( y, z = +. ab 1 π a b Naprężenia styczne zmieniają się liniowo. Wynika to z zależności (1.6: F τ xy = = z, z πab (g F τ xz = = y ab y. π Dosyć istotne dla dalszych rozważań jest to, że moment skręcający przenoszony przez naprężenia τ xy jest równy /. Taką samą część momentu przenoszą oczywiście naprężenia τ xz. Wniosek ten wynika z następującego obliczenia: ( z ( xz xz yd y d z ab ab J 1 τ = τ = = =, π π (h ( y ( τxy = τxy zd= y ab zd 1 = J =. π πab

7 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 7 Warto również zwrócić uwagę, że pola każdego z wykresów naprężeń wypadkowych τ x są zawsze jednakowe a b τ = = =. x ab π πab πab Największe naprężenia występują więc w punktach konturu leżących najbliżej środka ciężkości przekroju (tzn. w punktach B i D na rys Ponieważ a b, więc (i τ x = =, max πab Ws gdzie Ws =πab / i oznacza tutaj tzw. wskaźnik wytrzymałości na skręcanie. by wyznaczyć przemieszczenia, trzeba określić funkcję deplanacji t(y, z. Funkcję tę najwygodniej obliczymy z jednego z równań (1.: τ t xy a b = + z = z+ z = z. y Gθ Gθπab a + b Po scałkowaniu tego równania otrzymamy: a b t( y, z = yz + C. a + b Stałą C wyznaczymy z uwzględnieniem wymagania, by punkty leżące na osi pręta nie doznawały przemieszczeń. Inaczej mówiąc przyjmujemy, że oś pręta nie wydłuża się i nie skraca. amy więc t(0,0 = 0, skąd C = 0. a b (j t( y, z= yz. a + b Z równania (e można obliczyć jednostkowy kąt skręcenia: (k θ =, G πa b ( a + b / a ze wzorów (1.1 współrzędne wektora przemieszczenia: u1 = u= θ t = yz, G a b ( a b π / (l u = v = θ x1x = xz, G πa b / ( a + b u = w= θ x1x = xy. G πa b / ( a + b Rys. 1.5

8 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 8 Warstwice funkcji u(y, z są hiperbolami. Na rysunku 1.5b warstwice oznaczone liniami ciągłymi odpowiadają wartościom dodatnim, natomiast linie przerywane ujemnym wartościom przemieszczeń u(y, z. Stosownie do wzoru (k jednostkowy kąt skręcenia można zapisać jeszcze inaczej: θ = GJ s, (1.1 gdzie GJ s jest sztywnością skręcania przekroju, a J s tzw. momentem bezwładności na skręcanie: 4 4 πab Js = = ; (1.1a a + b 4π J 40J b b przy czym J b = J y + J z i oznacza tu biegunowy moment bezwładności. De Saint--Venant doszedł do wniosku, że wzór (1.1a dla innych kształtów przekroju daje również bardzo dokładne wyniki. ożna więc przyjąć, że sztywność na skręcanie jest równa są sztywności na skręcanie prętów o przekroju eliptycznym o tej samej powierzchni i tym samym biegunowym momencie bezwładności J b. Sztywność na skręcanie jest więc odwrotnie proporcjonalna do biegunowego momentu bezwładności, a nie wprost proporcjonalna, jak przyjmowali poprzednicy de Saint-Venanta Skręcanie prętów o przekrojach kołowych i pierścieniowych Zwróćmy uwagę na to, że dla przekroju kołowego (a = b = r przemieszczenia u(y, z = 0. Oznacza to, że podczas skręcania przekrój kołowy nie ulega deplanacji. Wzory na naprężenia i kąt skręcania są następujące (rys. 1.6a: πr τx = ρ, τx =, Ws = J W b max, s 4 4 πr θ =, Js = = = Jb. GJ 4π J s Wzory (1.1 obowiązują również dla przekrojów pierścieniowych, przy czym: 4 4 ( b (1.1 π Js = Jb = R r oraz Ws = Js / R. (1.14 Dla przekrojów kołowych i pierścieniowych moment bezwładności na skręcanie J s jest liczbowo równy momentowi biegunowemu J b. Było to źródłem błędnego założenia w dawniej stosowanych teoriach skręcania. W przekrojach pierścieniowych podobnie jak w przekrojach kołowych nie występuje deplanacja przekroju. Rys. 1.6

9 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO Skręcanie pręta o przekroju w kształcie trójkąta równobocznego Ścisłe rozwiązania zamknięte można uzyskać jeszcze dla przypadku, gdy przekrój pręta pryzmatycznego jest trójkątem równobocznym. Funkcja naprężeń jest iloczynem równań opisujących boki trójkąta (rys. 1.7: (m F y z = m( x a( y z+ a( y+ z+ a (,. Rys. 1.7 W ten sposób podobnie jak dla przekroju eliptycznego funkcja naprężeń zgodnie z warunkiem brzegowym (1.9 przyjmuje wartości zerowe na konturze przekroju. Stałą m dobieramy tak, by było spełnione równanie skręcania (1.6: F a = 18 m y+, y F a = 18 m y. z Wobec tego F F F = + = 6am = Gθ, y z skąd G (n m = θ 18 a. Z zależności (1.10 otrzymujemy: = = ( ( + = = am 4 Fd m y a y a z d Gθ a, 5 5 więc (o θ = GJ s, gdzie 4 a Js =. (1.15 5

10 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 10 Naprężenia obliczymy z zależności (1.6: F Gθ τ xy = = 18m( y a z = + ( y a z, z a (p F a Gθ a τ xz = = m y + y z 9 = y + z. y a Po podstawieniu zależności (o naprężenia określają są wzory: ( y τ xy = a z = a z, ajs (q a a τ xz = y + y z = y + y z. a Js 5 ( a / 5 Wykresy naprężeń stycznych przedstawia rys. 1.7b. aksymalne naprężenia styczne występują w punktach leżących najbliżej środka ciężkości (punkty, B, C: a a (r τxmax = τxz, =, Ws =. 0 Ws 5 ( ( y 5 a / 5 Naprężenia w narożach są równe zeru. Pola wykresów wypadkowego naprężenia stycznego τ x, odniesionych do dowolnej linii wychodzącej ze środka ciężkości przekroju, są takie same. Dla przykładu wzdłuż linii z = 0 pole dodatnich naprężeń τ x = τ xz odłożone na odcinku O jest równe polu ujemnych naprężeń odłożonych na odcinku OD. Deplanację wyznacza się identycznie jak dla przekroju eliptycznego, a odpowiednie równanie funkcji t(y, z jest następujące: (s t y z a y z (, = z. Warstwice funkcji u(y, z = θ t(y, z podano na rys. 1.7a Obliczanie naprężeń i kąta skręcania dla prętów o dowolnym przekroju. Przekrój prostokątny Dla prętów o dowolnym przekroju rozwiązanie ścisłe uzyskuje się za pomocą szeregów Fouriera. Istnieją również przybliżone metody wyznaczania funkcji naprężeń lub funkcji deplanacji. Na uwagę zasługuje również metoda różnic skończonych omówiona w dodatku. Bardzo dobre rezultaty daje przybliżona teoria skręcania swobodnego zbudowana na podstawie teorii płyt grubych [1,6]. Poza tym informacji o charakterze rozkładu naprężeń dostarczają analogie błonowa i hydrodynamiczna. Omówimy je w p. 1.. Z punktu widzenia projektanta istotne jest wyznaczenie największego naprężenia stycznego τ x max oraz jednostkowego kąta skręcania. Ogólnie biorąc, wartości te oblicza się według wzorów: τ x max =, (1.16 Ws θ = GJ s. (1.17 Wskaźniki wytrzymałości na skręcanie W s oraz momenty bezwładności na skręcanie J s dla różnych przekrojów zawierają poradniki i tablice do projektowania konstrukcji. Warunek wytrzymałościowy polega na spełnieniu nierówności: σ = τ x max σ, red dop

11 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 11 skąd gdzie τx max τ dop, 1 dop = dop 06, dop, (1.18 τ σ σ przy czym σ dop oznacza naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu (ściskaniu, a τ dop dopuszczalne naprężenia przy ścinaniu. Warunek sztywnościowy polega na ograniczeniu maksymalnego całkowitego kąta skręcenia ψ : ψ = θ ( sds ψdop. (1.19 s W praktyce poza przekrojami kołowym i pierścieniowym najczęściej stosujemy prostokątny przekrój pręta, dla którego obowiązują następujące zależności przybliżone: (t 1 4 Js = b n ,,, 4 n 1+ n J h W s s =, przy czym n = > 1. 05, + n b b Rys. 1.8 Rozkłady naprężeń ilustruje rys. 1.8, a deformacje pręta skręcanego o przekroju prostokątnym rys Największe naprężenie styczne występuje na konturze przekroju w punkcie, usytuowanym najbliżej środka przekroju, tzn. w połowie dłuższego boku. Interesujące jest, że dla 1 h/ b< 1, 451 funkcja deplanacji t(y, z wykazuje cztery obszary wartości dodatnich i cztery obszary wartości ujemnych, natomiast dla h/ b> 1451, występują podobnie jak w elipsie po dwa takie obszary.

12 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 1 Rys Uwagi o skręcaniu nieswobodnym Jeżeli choć jeden przekrój pręta niekołowego pozostaje płaski, to stan naprężenia w pręcie skręcanym różni się od podanego w poprzednich punktach i odpowiada skręcaniu nieswobodnemu. Dla ilustracji omówimy przykład pręta prostokątnego, w którym z warunku symetrii przekrój x = 0 pozostaje płaski (rys Rys. 1.10

13 Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 1 by zapobiec deplanacji, w obrębie przekroju poprzecznego należy rozmieścić naprężenia normalne σ x. W obszarach, w których wystąpiłyby wypukłości, trzeba wprowadzić naprężenia ściskające, a w pozostałym obszarze naprężenia rozciągające. Bliższa analiza tego problemu prowadzi do wniosku, że macierz naprężeń ma wówczas postać: σx τxy τxz s = τyx 0 τyz, τzx τzy 0 czyli oprócz naprężeń normalnych σ x pojawiają się naprężenia styczne τ yz. Zaburzenia stanu naprężenia, gdy jeden przekrój pręta pozostaje płaski, są największe dla x = 0 i szybko zanikają w miarę wzrostu współrzędnej x. Sztywność takiego pręta na skręcanie jest większa niż podczas skręcania swobodnego. Wpływ skręcania nieswobodnego jest bardzo istotny w przekrojach cienkościennych. Problematyka ta jest przedmiotem punktu 1..