Algebra liniowa. dla studentów informatyki. Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Płocku
|
|
- Dagmara Kot
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algebra liniowa z geometria analityczna dla studentów informatyki Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Płocku Aktualizacja: 15 stycznia 2012
2 Spis treści Spis treści 2 1 Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe określenia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Własności wyznaczników Macierz odwrotna Układy równań Podstawowe określenia Układy Cramera Rzad macierzy Rozwiazywanie dowolnych układów równań liniowych Liczby zespolone Podstawowe definicje i własności Postać algebraiczna i sprzężenie liczby zespolonej Moduł i argument liczby zespolonej Postać trygonometryczna liczba zespolonej Pierwiastkowanie liczb zespolonych Przestrzenie liniowe. Przekształcenia liniowe Podstawowe definicje Liniowa niezależność. Baza i wymiar przestrzeni liniowej Przekształcenia liniowe. Obraz i jadro przekształcenia liniowego Macierz przekształcenia liniowego Działania na przekształceniach liniowych
3 5 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Wektory Równania płaszczyzny Równania prostej Wzajemne położenie punktów, prostych i płaszczyzn Dodatek 54 Indeks 55
4
5 Rozdział 1 Macierze i wyznaczniki 1.1 Macierze podstawowe określenia Definicja 1.1. Macierza (rzeczywista) wymiaru m n, gdzie m, n N, nazywamy prostokatn a tablicę złożona z m n liczb rzeczywistych ustawionych w m wierszach i n kolumnach. a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Macierze będziemy oznaczali wielkimi literami alfabetu np. A, B, C, X itd. Element macierzy stojacy w i tym wierszu oraz w j tej kolumnie oznaczamy przez a ij. Macierz A można zapisywać w postaci [ a ij ]m n lub [ a ij ], gdy znany jest jej wymiar. Macierze A i B sa równe, gdy maja takie same wymiary i gdy a ij {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}. Przykład A = macierz wymiaru 2 2, [ ] 2. B = macierz wymiaru 1 4, = b ij, dla i 1
6 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 2 3. C = macierz wymiaru 4 3. Mamy tu: c 12 = 3, c 23 = 5. Definicja Macierz wymiaru m n, w której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierza zerowa wymiaru m n i oznaczamy 0 m n lub 0, gdy znamy jej wymiar = Macierz, w której liczba wierszy jest taka sama jak liczba kolumn (m = n) nazywamy macierza kwadratowa. Liczbę kolumn (wierszy) nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy, które maja taki sam numer wiersza i kolumny (a 11, a 22,... a nn ) tworza główna przekatn a macierzy a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a n1 a n2... a nn 3. Macierz kwadratowa stopnia n 2, w której wszystkie elementy leżace nad główna przekatn a sa równe 0, nazywamy macierza trójkatn a dolna a a 21 a A = a n1 a n2... a nn Analogicznie określamy macierz trójkatn a górna a 11 a a 1n 0 a a 2n A = a nn.
7 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 3 4. Macierz kwadratowa stopnia n, w której wszystkie wyrazy nie stojace na głównej przekatnej sa równe 0, nazywamy macierza diagonalna a a A = a nn Macierz diagonalna stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej przekatnej sa równe 1 nazywamy macierza jednostkowa i oznaczamy I n lub I, gdy znamy jej wymiar I = Załóżmy, że mamy m n różnych macierzy A ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Ustawmy te macierze w m wierszach i n kolumnach. Otrzymana w ten sposób macierz A nazywamy macierza blokowa A 11 A A 1n A 21 A A 2n A = A m1 A m2... A mn Oczywiście macierze A i1, A i2,..., A in stojace w i tym wierszu musza mieć te same liczby wierszy. Podobnie macierze A 1j, A 2j,..., A mj stojace w j tej kolumnie musza mieć te same liczby kolumn. Przykład Macierze zerowe 2. Macierze kwadratowe ,,
8 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 4 3. Macierze trójkatne górna i dolna , Macierz diagonalna Macierz jednostkowa Macierz blokowa A = Działania na macierzach Definicja 1.3. Niech A = [ ] a ij m n, B = [ ] b ij m n. Suma [różnic a] macierzy A i B nazywamy macierz C = [ c ij, której elementy określone s ]m n a wzorami c ij = a ij ± b ij, dla i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}. Piszemy wtedy C = A ± B. Zatem, c 11 c c 1n c 21 c c 2n = a 11 ± b 11 a 12 ± b a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 22 ± b a 2n ± b 2n c m1 c m2... c mn a m1 ± b m1 a m2 ± b m2... a mn ± b mn
9 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 5 Uwaga 1.1. Z definicji wynika, że dodawać i odejmować możemy od siebie tylko macierze tych samych wymiarów Przykład 1.3. Niech A = Wówczas A + B =, B = = Definicja 1.4. Niech A = [ a ij, α niech będzie dowoln ]m n a liczba rzeczywist a. Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz B = [ b ij której elementy ]m n określone sa następujaco: b ij = α a ij, dla i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}. Piszemy wtedy B = α A.. Zatem b 11 b b 1n b 21 b b 2n = α a 11 α a α a 1n α a 21 α a α a 2n b m1 b m2... b mn α a m1 α a m2... α a mn Przykład 1.4. Niech Wówczas 3 A = A = = ( 2) 3 1 = Przykład 1.5. Niech A = , B =
10 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 6 Obliczymy Mamy 3 A 4 B. 3 A 4 B = = = Przejdziemy teraz do najtrudniejszego działania mnożenia macierzy. Definicja 1.5. Niech A = [ ] a ij m n, B = [ ] b ij. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [ c ij, której elementy określone s n k ]m k a wzorami c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj dla i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., k}. Piszemy wtedy C = A B. Uwaga 1.2. Z definicji wynika, że iloczyn A B jest wykonalny, gdy liczba kolumn macierzy A jest taka sama jak liczba wierszy macierzy B. Otrzymana macierz ma tyle wierszy, ile miała macierz A i tyle kolumn, ile miała macierz B. Mnożenie macierzy polega zatem na mnożeniu kolejnych wierszy pierwszej macierzy przez kolejne kolumny drugiej macierzy (przez mnożenie rozumiemy tu znany ze szkoły średniej iloczyn skalarny). Przykład 1.6. Niech A = , B = Wówczas AB = ( 2) ( 2) 1 = Uwaga 1.3. Mnożenie macierzy nie jest na ogół przemienne. Twierdzenie 1.1. Mamy następujace własności działań na macierzach:
11 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 7 1. Jeśli macierz A ma wymiar m n oraz macierze B i C wymiar n k, to A (B + C) = AB + AC. 2. Jeśli macierze A i B maja wymiar m n oraz macierz C wymiar n k, to (A + B) C = AC + BC. 3. Jeśli macierz A ma wymiar m n, macierz B wymiar n k oraz α jest liczba rzeczywista, to A (αb) = (αa) B = α (AB). 4. Jeśli macierz A ma wymiar m n, macierz B wymiar n k oraz macierz C wymiar k l, to 5. Jeśli macierz A ma wymiar m n, to (AB) C = A (BC). AI n = I m A = A. Definicja 1.6. Niech A = [ a ij ]m n. Macierza transponowan a do macierzy A nazywamy macierz B = [ b ij ]n m określona wzorem b ij = a ji, dla i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}. Piszemy wtedy B = A T. Uwaga 1.4. Transponowanie macierzy polega więc na zamianie wierszy z kolumnami. Przykład 1.7. Niech Wówczas A = A T =
12 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 8 Twierdzenie 1.2. Mamy następujace własności transponowania macierzy 1. Jeśli macierze A i B maja wymiar m n, to (A + B) T = A T + B T. 2. Jeśli macierz A ma wymiar m n oraz α R, to ( A T) T = A oraz (αa) T = αa T 3. Jeśli macierz A ma wymiar m n,, macierz B wymiar n k, to (AB) T = B T A T 1.3 Wyznacznik macierzy Definicja 1.7. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy liczbę det A, określona w sposób następujacy: 1. jeśli macierz A ma stopień n = 1 (A = [a 11 ]), to 2. jeśli A ma stopień n 2, to det A = a 11, det A = ( 1) 1+1 a 11 det A 11 + ( 1) 1+2 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n, gdzie A ij oznacza macierz stopnia n 1, powstała z macierzy A przez skreślenie i tego wiersza i j tej kolumny. Uwaga 1.5. Określamy stopień wyznacznika z macierzy jako stopień tej macierzy. Jeśli a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =, a n1 a n2... a nn to wyznacznik det A oznaczamy również jako a 11 a a 1n a 21 a a 2n det a n1 a n2... a nn
13 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 9 albo a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn. Uwaga 1.6. Dla macierzy stopnia n = 2 wyznacznik liczymy w następujacy sposób det a b = ad cb. c d Uwaga 1.7. Dla macierzy stopnia n = 3 wyznacznik liczymy stosujac tzw. metodę Sarrusa a b c a b c det d e f = d e f g h i g h i a d g b e h = aei + b f g + cdh ceg a f h bdi. Definicja 1.8. Niech A = [ ] a ij będzie macierza kwadratowa stopnia n 2. Wówczas dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A nazywamy liczbę D ij = ( 1) i+j det A ij, gdzie A ij oznacza macierz stopnia n 1, powstała z macierzy A przez skreślenie i tego wiersza i j tej kolumny. Przykład 1.8. Niech Wówczas A = D 13 = ( 1) = 1 0 = 0, D 23 = ( 1) = 1 ( 8) = Twierdzenie 1.3. Niech A = [ ] a ij będzie macierza kwadratowa stopnia n 2. Ustalmy liczby naturalne i, j {1, 2,..., n}. Wtedy wyznacznik macierz A możemy obliczyć z następujacych wzorów det A = a i1 D i1 + a i2 D i a in D in, (1.1)
14 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 10 det A = a 1j D 1j + a 2j D 2j a nj D nj. (1.2) Uwaga 1.8. Wzór (1.1) mówi, że wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów wyrazów i tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a względem i tego wiersza. Wzór (1.2) mówi, że wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów wyrazów j tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a względem j tej kolumny. Przykład 1.9. Niech A = obliczymy det A rozwinięciem Laplace a względem 2 ego wiersza, a następnie względem 3 ej kolumny. det A = 4 ( 1) ( 1) ( 1) =, = 4 ( 1) + 2 ( 2) + ( 3) ( 8) = 24. W drugim przypadku mamy: det A = 1 ( 1) ( 1) ( 1) = = ( 3) ( 8) + 0 = Własności wyznaczników W rozdziale tym przedstawimy podstawowe własności wyznaczników, które będa bardzo pomocne przy ich obliczaniu. Twierdzenie 1.4. Wyznacznik macierzy trójkatnej górnej lub dolnej równy jest iloczynowi wyrazów na głównej przekatnej. a a 21 a = a a a nn, a n1 a n2... a nn
15 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 11 a 11 a a 1n 0 a a 2n a nn = a 11 a a nn. Twierdzenie 1.5. Mamy następujace własności wyznaczników 1. Wyznacznik macierzy kwadratowej majacej kolumnę albo wiersz złożone z samych zer jest równy zero. 2. Wyznacznik macierzy majacej dwie identyczne kolumny albo dwa identyczne wiersze jest równy zero. 3. Wyznacznik macierzy danej i transponowanej sa równe. 4. Jeśli w macierzy kwadratowej przestawimy między soba dwie kolumny albo dwa wiersze, to wyznacznik zmieni znak na przeciwny. 5. Jeśli wszystkie wyrazy kolumny lub wiersza w danej macierzy kwadratowej maja wspólnych czynnik, to czynniki ten możemy wyłaczyć przed znak wyznacznika a 11 c a a 1n a 11 a a 1n a 21 c a a 2n a 21 a a 2n det. = c det......,..... a n1 c a n2... a nn a n1 a n2... a nn a 11 a a 1n a 11 a a 1n c a 21 c a c a 2n a 21 a a 2n det. = c det a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn 6. Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny [wiersza] dodamy odpowiadajace im wyrazy innej kolumny [wiersza] pomnożone przez dowolna liczbę. Korzystajac z powyższych własności można tak poprzekształcać macierz kwadratowa, aby otrzymać macierz trójkatn a, której wyznacznik jest bardzo łatwo policzyć korzystajac z Twierdzenia 1.4. Aby doprowadzić dana macierz do postaci trójkatnej wygodnie jest zastosować poniższy algorytm pochodzacy od C. F. Gaussa.
16 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 12 Algorytm Gaussa Niech dana będzie macierz kwadratowa (niezerowa) A = [ a ij ]n n. 1. Dzielimy pierwsza kolumnę macierzy przez wyraz a 11, tak aby pierwszy wyraz nowej macierzy był równy 1 (gdy a 11 = 0, przestawiamy wiersze albo kolumny macierzy A tak, aby po przestawieniu wyraz nowy wyraz a 11 był różny od zera oczywiście należy pamiętać o zmianie znaku wyznacznika): a 11 a a 1n 1 a a 1n a 21 a a a 21 2n det. k = k 1 a a 11 = a 11 det 11 a a 2n a a n1 a n2... a n1 nn a 11 a n2... a nn 2. Od każdego z wierszy (z wyjatkiem pierwszego) odejmujemy pierwszy wiersz pomnożony przez pierwszy wyraz danego wiersza: 1 a a 1n a 21 a a 11 det 11 a a 2n a n1 a 11 a n2... a nn w 2 = w 2 w 1 a21 a 11. w n = w n w 1 an1 a 11 1 a a 1n 0 a a 2n = a 11 det a n2... a nn Otrzymamy wtedy macierz, w której pierwsza kolumna składa się z pierwszego wyrazu równego 1 i samych zer. 3. Kontynuujemy nasze postępowanie dzielac drugi wiersz przez a 22 i zeruj ac kolejne (leżace poniżej) wyrazy drugiej kolumny, itd. = Uwaga 1.9. Aby ułatwić wykonywane działania można zamieniać ze soba komuny lub wiersze między soba pamiętajac oczywiście o ewentualnej zmianie znaku wyznacznika. Jest to w szczególności konieczne, gdy wyraz a 11 = 0. Uwaga Często zamiast dzielić wiersz, aby otrzymać wyraz 1 od kolejnych wierszy odejmuje się pierwszy wiersz mnożony przez takie współczynniki, aby wyzerować kolejne wyrazy poszczególnych kolumn.
17 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 13 Przykład Obliczyć stosujac algorytm Gaussa: det w = w w 1 w = w = = w w 3 = w w 2 = = Macierz odwrotna Definicja 1.9. Niech A będzie macierza kwadratowa stopnia n. Macierza odwrotna do macierzy A nazywamy macierz A 1, która spełnia warunek AA 1 = A 1 A = I n, gdzie I n jest macierza jednostkowa stopnia n. Przykład Niech wówczas A = A 1 = , Rzeczywiście oraz AA 1 = A 1 A = = = Uwaga Jeśli macierz A posiada macierz odwrotna, to nazywamy ja odwracalna.
18 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 14 Definicja Macierz kwadratowa A nazywamy osobliwa, gdy det A = 0. W przeciwnym razie macierz A nazywamy nieosobliwa. Twierdzenie 1.6. Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa: det A = 0. Ponadto, jeśli macierz A = [ a ij ] stopnia n jest nieosobliwa, to D 11 D D 1n A 1 = 1 D 21 D D 2n det A D n1 D n2... D nn gdzie D ij oznaczaja algebraiczne dopełnienia elementów a ij macierzy A. Twierdzenie 1.7. Niech macierze A i B będa macierzami odwracalnym tego samego stopnia oraz niech α = 0. Wówczas macierze A 1, A T, AB, αa oraz A n (n N) sa odwracalne, ponadto: 1. det ( A 1) = (det A) 1 2. ( A 1) 1 = A 3. ( A T ) 1 = ( A 1 ) T 4. (AB) 1 = B 1 A 1 5. (αa) 1 = 1 α A 1 6. (A n ) 1 = ( A 1) n Przykład Wyznaczyć macierz odwrotna do macierzy A = T, Obliczmy wyznacznik det A det A = = = = 1. Obliczmy następnie dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów. D 11 = ( 1) = 1, D 12 = ( 1) = 38,
19 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI 15 Zatem A 1 = D 13 = ( 1) = 27, D 21 = ( 1) = 1, D 22 = ( 1) = 41, D 23 = ( 1) = 29, D 31 = ( 1) = 1, D 32 = ( 1) = 34, D 33 = ( 1) = 24. T = = Podamy jeszcze jeden sposób znajdowania macierzy odwrotnej. W metodzie tej nie korzystamy z wyznaczników. Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej. Niech A będzie macierza nieosobliwa. Aby znaleźć macierz A 1 postępujemy w następujacy sposób: 1. Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkowa tego samego stopnia a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn
20 ROZDZIAŁ 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI Działajac na wierszach tak przekształcamy otrzymana macierz blokowa [A I] aby uzyskać macierz [I B] przy czym możemy: przestawiać między soba dowolne wiersze, dowolny wiersz mnożyć przez stała różna od zera, do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy innych wierszy pomnożonych prze dowolne liczby. 3. Otrzymana w wyniku tych operacji macierz B jest macierza odwrotna do macierzy A. Ćwiczenie 1.1. Znaleźć macierz odwrotna do macierzy A = korzystajac z bezwyznacznikowego algorytmu.
21 Rozdział 2 Układy równań 2.1 Podstawowe określenia Definicja 2.1. Układem m równań z n niewiadomymi x 1, x 2,..., x n, gdzie m, n N, nazywamy układ równań postaci a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m gdzie a ij, b i R dla i {1, 2,..., m} oraz j {1, 2,..., n}., (2.1) Rozwiazaniem układu (2.1) nazywamy ciag liczb (x 1, x 2,..., x n ) spełniajacych ten układ. Układ, który nie ma rozwiazania nazywamy sprzecznym. Uwaga 2.1. Układ (2.1) możemy zapisać w postaci macierzowej gdzie a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =, X = a m1 a m2... a mn AX = B, (2.2) x 1 x 2. x n, B = Macierz A nazywa się macierza główna układu, macierz X kolumna niewiadomych, macierz A B macierza dołaczon a układu, zaś macierz B kolumna wyrazów wolnych. b 1 b 2. b m. 17
22 ROZDZIAŁ 2. UKŁADY RÓWNAŃ 18 Ćwiczenie 2.1. Podany układ zapisz w postaci macierzowej x y = 0 y + z = 2 z = 5 Definicja 2.2. Układ, w którym B = 0, czyli układ postaci AX = 0 nazywamy jednorodnym. W przeciwnym wypadku (gdy B nie jest kolumna zerowa) układ nazywamy niejednorodnym. Uwaga 2.2. Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie zerowe: X = Układy Cramera Definicja 2.3. Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych w którym macierz A jest macierza kwadratowa nieosobliwa. AX = B, (2.3) Twierdzenie 2.1 (Cramera). Układ Cramera (2.3) ma dokładnie jedno rozwiazanie wyrażajace się wzorem det A 1 X = 1 det A 2, det A. det A n gdzie n oznacza stopień macierzy A, natomiast A j, j {1, 2,..., n} oznacza macierz A, w której j ta kolumnę zastapion a kolumna wyrazów wolnych B. Mamy zatem x 1 = det A 1 det A, x 2 = det A 2 det A,..., x n = det A n det A. Ćwiczenie 2.2. Korzystajac ze wzorów Cramera znaleźć rozwiazanie układu x y z = 1 3x + 4y 2z = 1 3x 2y 2z = 1.
23 ROZDZIAŁ 2. UKŁADY RÓWNAŃ 19 Poniższe twierdzenie podaje inna metodę rozwiazywania układu Cramera Twierdzenie 2.2. Rozwiazanie układu Cramera (2.3) jest określone wzorem X = A 1 B. Ćwiczenie 2.3. Rozwiaż przy pomocy metody macierzy odwrotnej układ z poprzedniego ćwiczenia. 2.3 Rzad macierzy W dalszych rozważaniach dotyczacych metod rozwiazywania dowolnych układów równań potrzebne nam będzie pojęcie rzędu macierzy Definicja 2.4. Rzędem macierzy A nazywamy maksymalny stopień niezerowego wyznacznika powstałego z macierzy A przez skreślenie pewnej liczby kolumn i wierszy. Dla macierzy zerowej przyjmujemy rzad równy 1. Rzad macierzy A oznaczamy symbolem rz A. Przy obliczaniu rzędu macierzy pomocne jest następujace Twierdzenie Jeśli dowolne dwa wiersze albo dwie kolumny zamienimy ze soba miejscami, to rzad macierzy nie ulegnie zmianie. 2. Jeśli kolumnę albo wiersz danej macierzy pomnożymy lub podzielimy przez pewna liczbę różna od zera, to rzad macierzy nie ulegnie zmianie. 3. Jeśli do dowolnego wiersza [dowolnej kolumny] dodamy sumę innych wierszy [kolumn] pomnożonych przez pewne liczby, to rzad macierzy nie ulegnie zmianie. Przykład 2.1. Znaleźć rzad macierzy A =
24 ROZDZIAŁ 2. UKŁADY RÓWNAŃ 20 Obliczamy kolejno = 0, = 0, = Postępujac tak dalej stwierdzamy, że wszystkie podwyznaczniki stopnia 3 sa zerowe, zatem rz A 2. Sprawdźmy, czy istnieje niezerowy podwyznacznik stopnia 2. Mamy 1 1 = 4 = 0, 3 1 zatem rz A = 2. Metoda znajdowania rzędu macierzy w oparciu o wyznaczniki jest dość kłopotliwa. Znacznie skuteczniejsze okazuje się być postępowanie, w którym za pomoca działań opisanych w poprzednim twierdzeniu (najlepiej wykonywanych w oparciu o algorytm Gaussa) doprowadzamy macierz A do następujacej postaci a 1r+1... a 1n a 2r+1... a 2n a rr+1... a 4n Wówczas rz A = r. Metoda ta nazywana jest metoda przekształceń elementarnych, zaś powyższa postać macierzy postacia bazowa. Uwaga 2.3. Czasami wygodniej jest doprowadzać macierz do tzw. rozproszonej postaci bazowej. Jest to taka postać macierzy, która możemy doprowadzić do postaci bazowej jedynie przestawiajac wiersze lub kolumny.
25 ROZDZIAŁ 2. UKŁADY RÓWNAŃ 21 Przykład 2.2. Metoda przekształceń elementarnych zbadać rzad macierzy A = Mamy rz w 2 = w 2 3w 1 w 3 = w 3 + w 1 = rz = rz w 3 = w 3 + w 2 w 1 = w w 2 w 2 = 1 4 w = rz = Rozwiazywanie dowolnych układów równań liniowych Twierdzenie 2.4 (Kroneckera-Capellego). Układ AX = B posiada rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy Przy czym rz A = rz [A B] = r. jeśli r = n (rzad macierzy A jest równy ilości niewiadomych), to układ posiada dokładnie jedno rozwiazanie, jeśli r < n (rzad macierzy A jest mniejszy ilości niewiadomych), to układ posiada nieskończenie wiele rozwiazań zależnych od n r parametrów. Uwaga 2.4. Jeśli układ jest jednorodny, to możemy nie sprawdzać warunku rz A = rz [A B], jest on bowiem spełniony w sposób oczywisty.
26 ROZDZIAŁ 2. UKŁADY RÓWNAŃ 22 Definicja 2.5. Załóżmy, że układ AX = B posiada nieskończenie wiele rozwiazań zależnych od n r parametrów t 1, t 2,..., t n r. Załóżmy dalej, że zbiór rozwiazań układu został zapisany w ten sposób, że dla niewiadomych x i1, x i2,..., x in r mamy, że x i1 = t 1, x i2 = t 2,..., x in r = t n r. Wtedy rozwiazaniem bazowym układu AX = B nazywamy rozwiazanie, dla którego t 1 = t 2 =... = t n r = 0. Twierdzenie 2.5. Liczba rozwiazań bazowych układu AX = B z n niewiadomymi, w którym rz A = rz [A B] = r wynosi co najwyżej ( ) n = r n! (n r)!r!. Ćwiczenie 2.4. Rozwiazać układ 4x y = 7 3x + y = 14 2x + 3y = 0. Ćwiczenie 2.5. Rozwiazać układ 5x + 3y z = 3 2x + y z = 1 3x 2y + 2z = 4 x y + 2z = 2. Ćwiczenie 2.6. Rozwiazać układ 3u + x + y + 2z = 2 u + x + 2y + z = 1 6u + 2x + 2y + 4z = 4 3u + 3x + 6y + 3z = 3.
27 Rozdział 3 Liczby zespolone 3.1 Podstawowe definicje i własności Definicja 3.1. Liczba zespolona nazywamy parę liczb rzeczywistych (x, y). Liczby zespolone oznaczamy zwykle przez z, u, w, itd. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy symbolem C, mamy zatem C = {z = (x, y) : x, y R}. Uwaga 3.1. Liczbę zespolona z = (x, y) interpretujemy geometrycznie na płaszczyźnie R 2 jako punkt o współrzędnych (x, y) albo jako wektor zaczepiony o poczatku w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie (x, y). Płaszczyznę R 2 nazywa się wtedy zwykle płaszczyzna zespolona. Definicja 3.2. Niech z = (x, y), z 1 = (x 1, y 1 ), z 2 = (x 2, y 2 ) będa liczbami zespolonymi. 1. Mówimy, że liczby z 1 i z 2 sa równe (z 1 = z 2 ) wtedy i tylko wtedy gdy x 1 = x 2 oraz y 1 = y Zerem zespolonym nazywamy liczbę 0 określona następujaca: 0 := (0, 0). 3. Jedynka zespolona nazywamy liczbę zespolona 1 określona następujaco: 1 := (1, 0). 4. Suma liczb zespolonych z 1 i z 2 nazywamy liczbę zespolona z 1 + z 2 określona następujaco: z 1 + z 2 := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). 23
28 ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE Liczba przeciwna do liczby z nazywamy liczbę z określona następujaco: z := ( x, y). 6. Iloczynem liczb zespolonych z 1 i z 2 nazywamy liczbę zespolona z 1 z 2 określona następujaco: z 1 z 2 := (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). 7. Jeśli z = 0, to odwrotnościa liczby z nazywamy liczbę z 1 (stosujemy też oznaczenie 1 z ) określona następujaco: ( x z 1 := x 2 + y 2, y ) x 2 + y 2. Iloczyn z... z n czynników oznaczamy tradycyjnie przez z n. Własność 3.1. Niech z 1, z 2, z 3 C. 1. Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne: z 1 + z 2 = z 2 + z Dodawanie liczb zespolonych jest łaczne: (z 1 + z 2 ) + z 2 = z 1 + (z 2 + z 3 ). 3. Dla każdej liczby zespolonej z spełniona jest równość z + 0 = z. 4. Dla każdej liczby zespolonej z istnieje liczba przeciwna z oraz zachodzi równość: z + ( z) = Mnożenie liczb zespolonych jest przemienne: z 1 z 2 = z 2 z Mnożenie liczb zespolonych jest łaczne: (z 1 z 2 ) z 2 = z 1 (z 2 z 3 ).
29 ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE Dla każdej liczby zespolonej z zachodzi równość: z 1 = z. 8. Dla każdej liczby zespolonej z = 0 istnieje liczba odwrotna 1 z oraz zachodzi równość: z 1 z = Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3. Definicja 3.3. Niech z 1, z 2 C. oraz zachodzi równość: 1. Różnica liczb zespolonych z 1 i z 2 nazywamy liczbę z 1 z 2 określona następujaco: z 1 z 2 := z 1 + ( z 2 ). 2. Jeśli z 2 = 0, to ilorazem liczb zespolonych z 1 i z 2 nazywamy liczbę z 1 z 2 określona następujaco: ( ) z 1 1 := z 1. z 2 z Postać algebraiczna i sprzężenie liczby zespolonej. Uwaga 3.2. Każda liczba zespolona z posiadajaca część urojona równa zero, tzn. liczba postaci z = (x, 0) może być traktowana jako liczba rzeczywista x. Będziemy więc pisać, że (x, 0) = x. W szczególności dla liczb (x, 0), (y, 0) i z 1 = (x 1, y 1 ) mamy, że (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) = x + y, (x, 0) (y, 0) = (x y 0 0, x y) = (x y, 0) = x y, (x, 0) (x 1, y 1 ) = (x x 1 0 y 1, x y x 1 ) = (x x 1, x y 1 ) = x (x 1, y 1 ). Definicja 3.4. Liczbę zespolona (0, 1) nazywamy jednostka urojona i oznaczamy przez i. Mamy zatem: i := (0, 1).
30 ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE 26 Własność 3.2. Każda liczbę zespolona z = (x, y) można przedstawić w postaci z = x + i y. Definicja 3.5. Postać z = x + i y liczby zespolonej z = (x, y) nazywamy postacia algebraiczna. Wtedy liczbę x nazywamy częścia rzeczywista liczby z i oznaczamy Re z, zaś liczbę y nazywamy częścia urojona liczby z i oznaczamy Im z. Zatem każda liczbę zespolona z można przedstawić w postaci algebraicznej jako z = Re z + i Im z. Własność 3.3. Dwie liczby zespolone z 1, z 2 sa równe wtedy i tylko wtedy, gdy Re z 1 = Re z 2, Im z 1 = Im z 2. Definicja 3.6. Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + i y (x, y R) nazywamy liczbę zespolona z określona jako Własność 3.4. Niech z, z 1, z 2 C. Wtedy: z := x i y. 1. z 1 + z 2 = z 1 + z z 1 z 2 = z 1 z z 1 z 2 = z 1 z ( z1 z 2 ) = z 1 z 2, z 2 = z + z = 2 Re z. 6. z z = 2i Im z. 7. ( z) = z. 8. Im ( z) = Im z. 3.3 Moduł i argument liczby zespolonej. Definicja 3.7. Modułem liczby zespolonej z = x + i y (x, y R) nazywamy liczbę rzeczywista z określona jako: z := x 2 + y 2. Moduł liczby zespolonej z = (x, y) interpretujemy geometrycznie na płaszczyźnie zespolonej jako odległość punktu o współrzędnych (x, y) od poczatku układu współrzędnych. Własność 3.5. Niech z, z 1, z 2 C. Wtedy: 1. z = z = z. 2. z z = z z 1 z 2 = z 1 z z 1 z 2 = z 1 z 2, z 2 = z 1 + z 2 z 1 + z z 1 z 2 z 1 z Re z z, Im z z. 8. Re (z 1 z 2 ) z 1 z 2.
31 ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE 27 Definicja 3.8. Argumentem liczby zespolonej z = 0 nazywamy każda liczbę φ R spełniajac a układ równań cos φ = Re z z, sin φ = Im z z. Dodatkowo przyjmujemy, że argumentem liczby 0 jest 0. Argumentem głównym liczby zespolonej z nazywamy ten spośród jej argumentów, który jest w przedziale 0, 2π). Argument główny liczby z oznaczamy symbolem arg z. Uwaga 3.3. Jeśli rozważymy interpretację geometryczna liczby zespolonej z na płaszczyźnie, to argumentem głównym tej liczby jest miara kata dodatnio skierowanego jaki tworzy wektor z z dodatnia półosia rzeczywista ox. Własność 3.6. Niech z = 0 będzie dowolna liczba zespolona. Wtedy: 1. arg ( z) = 2π arg z. arg z + π gdy 0 arg z < π 2. arg ( z) = arg z π gdy π arg z < 2π. ( ) 3. arg 1z = 2π arg z. 3.4 Postać trygonometryczna liczba zespolonej. Własność 3.7. Każda liczbę zespolona z można zapisać jako z = r (cos φ + i sin φ), (3.1) gdzie r 0 oraz φ R. Liczba r jest wtedy modułem liczby z, zaś φ jej argumentem. Zatem z = z (cos (arg z) + i sin (arg z)). Definicja 3.9. Postać (3.1) liczby zespolonej z nazywamy postacia trygonometryczna. Własność 3.8. Niech z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) będa liczbami zespolonymi (w postaci trygonometrycznej). Wówczas z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (φ 1 + φ 2 ) + i sin (φ 1 + φ 2 )), z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (φ 1 φ 2 ) + i sin (φ 1 φ 2 )) o ile z 2 = 0
32 ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE 28 Własność 3.9. Niech z = r (cos φ + i sin φ) będzie dowolna liczba zespolona w postaci trygonometrycznej. Wówczas: 1. z = r (cos ( φ) + i sin ( φ)) z = 1 r (cos ( φ) + i sin ( φ)), o ile z = z = r (cos (φ + π) + i sin (φ + π)). 4. z k = r k (cos (kφ) + i sin (kφ)) (wzór de Moivre a). Własność Niech z, z 1, z 2 C oraz niech n N. Wówczas: 1. arg (z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 + 2kπ, dla k = 0 lub k = arg (z n ) n arg z + 2kπ, dla pewnego k Z. 3. arg ( z1 z 2 ) = arg z 1 arg z 2 + 2kπ, dla k = 0 lub k = 1, o ile z 2 = 0. Uwaga 3.4. Liczbę k dobieramy (w zależności od z, z 1, z 2 oraz n) w ten sposób, aby otrzymany argument był z przedziału 0, 2π). 3.5 Pierwiastkowanie liczb zespolonych. Definicja Pierwiastkiem stopnia n N liczby zespolonej z nazywamy taka liczbę zespolona w, że w n = z. Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby z oznaczamy przez n z. Przykład 3.1. Poniżej prezentujemy wartości zespolonych pierwiastków z pewnych liczb zespolonych. Dla porównania w prawej kolumnie podane sa wartości pierwiastków rzeczywistych tych liczb: w R w C 4 = 2 4 = { 2, 2} 4 1 = nie istnieje 4 1 = {1, i, 1, i} 1 = {i, i}
33 ROZDZIAŁ 3. LICZBY ZESPOLONE 29 Własność Każda liczba zespolona z = z (cos φ + i sin φ) (w postaci trygonometrycznej) ma dokładnie n pierwiastków n tego stopnia. Zbiór tych pierwiastków ma postać n z = {w0, w 1,..., w n 1 }, gdzie ( w k = z n cos φ + 2kπ n + i sin φ + 2kπ ), k = 0, 1,..., n 1 n
34 Rozdział 4 Przestrzenie liniowe. Przekształcenia liniowe 4.1 Podstawowe definicje Definicja 4.1. Przestrzenia liniowa nazywamy zbiór V, taki że dla dowolnych elementów u, v V określona jest suma u + v V oraz dla dowolnej liczby α R i dowolnego elementu u V określony jest iloczyn αu V spełniajace warunki (L1) u + v = v + u dla u, v V (przemienność dodawania), (L2) (u + v) + w = u + (v + w) dla u, v, w V (łaczność dodawania), (L3) istnieje element θ V taki, że u + θ = u dla u V (istnienie elementu neutralnego), (L4) dla każdego u V istnieje element u V taki, że u + ( u) = θ (istnienie element przeciwnego), (L5) 1u = u oraz α (βu) = (αβ) u dla u V i α, β R, (L6) (α + β) u = αu + βu oraz α (u + v) = αu + βv dla α, β R oraz u, v V. Elementy zbioru V nazywamy wektorami. Element neutralny θ V nazywamy wektorem zerowym. Definicja 4.2. Różnica wektorów u, v V nazywamy wektor u v := u + ( v). 30
35 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 31 Przykład 4.1. Zbiór V = R n wektorów v = [v 1, v 2,..., v n ] dla n N z działaniami określonymi w naturalny sposób tj. u + v := [u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ], αu := [αu 1, αu 2,..., αu n ], dla u = [u 1, u 2,..., u n ] R n, v = [v 1, v 2,..., v n ] R n oraz α R jest przestrzenia liniowa zwana przestrzenia euklidesowa. Przykład 4.2. Zbiór V wszystkich funkcji f : R R z działaniami określonymi jako: 1. ( f + g) (x) := f (x) + g (x), dla x R oraz f, g V 2. (α f ) (x) := α f (x), dla x R oraz f V (sa to tzw. działania określone w sposób naturalny) jest przestrzenia liniowa. Wektorem zerowym jest funkcja θ (x) = 0 dla x R (tożsamościowo równa zero). Uwaga 4.1. Z definicji wynika, że każda przestrzeń liniowa V musi zawierać co najmniej jeden element: wektor zerowy θ. Zauważmy, że zbiór V = {θ} jest przestrzenia liniowa. Taka przestrzeń nazywamy przestrzenia zerowa. Własność 4.1. Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas 1. 0u = θ dla u V 2. αθ = θ dla α V 3. jeśli αu = θ, to α = 0 lub u = θ dla u V oraz α R 4. jeśli αu = βu, to α = β dla α, β R oraz u V 5. ( α) u = (αu) = α ( u) dla α R oraz u V 6. jeśli αu = αv, to u = v dla α R, α = 0 oraz u, v V 7. (α β) u = αu βu dla α, β R oraz u V. W dalszych rozważaniach, jeśli nie będzie powiedziane inaczej, V oznacza zawsze przestrzeń liniowa. Definicja 4.3. Niepusty zbiór W V nazywamy podprzestrzenia liniowa przestrzeni V jeśli spełnione sa warunki
36 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE u + v W dla u, v W 2. αu W dla α R oraz v W. Własność 4.2. Niepusty zbiór W V jest podprzestrzenia przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek dla α, β R oraz u, v W. αu + βv W Przykład 4.3. Niech V = R 3. Wówczas zbiór W := {[u 1, u 2, 0] : u 1, u 2 R} jest podprzestrzenia przestrzeni R 3. Geometrycznie zbiór W jest płaszczyzna w przestrzeni R 3. Przykład 4.4. Jeżeli V jest przestrzenia liniowa, to zbiór {θ} złożony z wektora zerowego jest zawsze podprzestrzenia liniowa przestrzeni V. 4.2 Liniowa niezależność. Baza i wymiar przestrzeni liniowej Definicja 4.4. Mówimy, że wektory v 1, v 2,..., v m V (m N) sa liniowo niezależne, gdy dla dowolnych liczb α 1, α 2,..., α m spełniony jest warunek α 1 v 1 + α 2 v α m v m = θ α 1 = α 2 =... = α m = 0. W przeciwnym razie wektory v 1, v 2,..., v n nazywamy liniowo zależnymi. Własność 4.3. Wektory v 1, v 2,..., v n V sa liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja liczby α 1, α 2,..., α m nie wszystkie równe zero takie, że α 1 v 1 + α 2 v α m v m = θ. Mamy następujac a macierzowa charakteryzację liniowej niezależności
37 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 33 Twierdzenie 4.1. Niech V = R n. Niech v 1 = [ v 1 1, v2 1,..., vn 1],..., vm = [ v 1 m, v 2 m,..., v n m]. Wtedy wektory sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy v 1 1 v 2 1 v1 n rz = m. v 1 m v 2 m v n m Przykład 4.5. Niech [1, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0], [5, 3, 2] R 3. Wtedy bo rz = 3, = 1, więc wektory [1, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0] sa liniowo niezależne. Natomiast wektory [1, 0, 1], [1, 1, 0], [5, 3, 2] sa liniowo zależne, gdyż rz = 2, bo oraz Zauważmy też, że = = 1. 2 [1, 0, 1] + 3 [1, 1, 0] 1 [5, 3, 2] = 0 lub, co na jedno wychodzi [5, 3, 2] = 2 [1, 0, 1] + 3 [1, 1, 0].
38 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 34 Definicja 4.5. Kombinacja liniowa wektorów v 1, v 2,..., v m V o współczynnikach α 1, α 2,..., α m R nazywamy wektor v V taki, że v = α 1 v 1 + α 2 v α m v m = m α i v i. i=1 Własność 4.4. Wektory v 1, v 2,..., v m V sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: jeżeli wektor zerowy jest kombinacja liniowa tych wektorów, to wszystkie współczynniki tej kombinacji sa zerami. Wektory v 1, v 2,..., v m V sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wektor zerowy daje się przedstawić jako kombinacja liniowa tych wektorów o co najmniej jednym współczynniki niezerowym lub, co na jedno wychodzi pewien wektor v i jest kombinacja liniowa pozostałych wektorów. Uwaga 4.2. Mówiac o liniowej niezależności lub zależności wektorów v 1, v 2,..., v m V będziemy używali określenia układ {v 1, v 2,..., v m } wektorów v 1, v 2,..., v m. Uogólniajac pojęcie liniowej niezależności skończonego układu wektorów {v 1, v 2,..., v m } określamy również liniowa niezależność zbioru A V (być może zawierajacego nieskończona liczbę elementów). Definicja 4.6. Mówimy, że zbiór A V jest liniowo niezależny, jeśli dla każdego skończonego układu wektorów {v 1, v 2,..., v m } A, m N układ ten jest układem wektorów liniowo niezależnych. W przeciwnym razie, zbiór A nazywamy zbiorem liniowo zależnym. Definicja 4.7. Niech v 1, v 2,..., v m V. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v 1, v 2,..., v m nazywamy otoczka liniowa wektorów v 1, v 2,..., v m i oznaczamy przez lin {v 1, v 2,..., v m }. Mamy więc lin {v 1, v 2,..., v m } := {v = α 1 v 1 + α 2 v α m v m : α 1, α 2,..., α m R}. Podobnie definiujemy otoczkę liniowa zbioru A V : lin A := m N {v = α 1 v 1 + α 2 v α m v m : v i V, α i R, 1 i m} Własność 4.5. Otoczka liniowa lin A, gdzie A V jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni V; dokładniej jest najmniejsza podprzestrzenia liniowa zawierajac a zbiór A.
39 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 35 Ze względu na ostatnia własność otoczka liniowa wektorów v 1, v 2,..., v m (zbioru A) jest nazywana również podprzestrzenia rozpięta na wektorach v 1, v 2,..., v m (na układzie wektorów, na zbiorze A) albo generowana przez wektory v 1, v 2,..., v m (układ wektorów, zbiór A)). Definicja 4.8. Baza przestrzeni liniowej V nazywamy taki zbiór B V, że 1. jest on liniowo niezależny, 2. generuje cała przestrzeń V, tzn. lin B = V. Mamy Twierdzenie 4.2. Dla dowolnej niezerowej przestrzeni liniowej V istnieje baza tej przestrzeni. Przykład 4.6. Niech V = R 3. Układy sa bazami przestrzeni R 3. Rzeczywiście B 1 = {[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]}, B 2 = {[1, 2, 3], [2, 0, 1], [3, 2, 1]} 1 0 Sa liniowo niezależne, bo = 1, = Generuja cała przestrzeń, bo dowolny wektor [v 1, v 2, v 3 ] R 3 jest kombinacja liniowa układu B 1, co wynika bezpośrednio z zapisu [v 1, v 2, v 3 ] = v 1 [1, 0, 0] + v 2 [0, 1, 0] + v 3 [0, 0, 1]. Również dla dowolnego wektora [v 1, v 2, v 3 ] R 3 istnieja współczynniki α 1, α 2, α 3 R takie, że [v 1, v 2, v 3 ] = α 1 [1, 2, 3] + α 2 [2, 0, 1] + α 3 [3, 2, 1],
40 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 36 o czym łatwo przekonać się zapisujac ostatnia równość jako układ równań z niewiadomymi α 1, α 2, α α 1 α 2 α 3 = v 1 v 2 v 3 i stwierdzajac, że jest to układ Cramera. Przykład 4.7. Niech V = R n, gdzie n N. Rozważmy układ E = {e 1, e 2,..., e n } wektorów postaci e 1 = [1, 0, 0,..., 0] e 2 = [0, 1, 0,..., 0]... e n = [0, 0, 0,..., 1] Argumentujac jak w poprzednim przykładzie widzimy, że układ E jest baza przestrzeni R n. Definicja 4.9. Niech V = R n, gdzie n N. Układ E określony w poprzednim przykładzie nazywamy baza kanoniczna albo baza standardowa przestrzeni liniowej R n. Jak widać z przytoczonych przykładów dana przestrzeń liniowa może mieć różne bazy. Baza przestrzeni liniowej nie musi być zbiorem skończonym. Zachodzi jednak Twierdzenie 4.3. Jeżeli V posiada bazę złożona z n wektorów, to każda inna baza też składa się z n wektorów. Jeżeli przestrzeń V posiada bazę nieskończona, to każda inna baza tej przestrzenie też jest nieskończona. Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Jeżeli istnieje baza B = {b 1, b 2,..., b n } przestrzeni V złożona ze skończonej liczby n N wektorów, to wymiarem przestrzeni V nazywamy liczbę dim V := n, i mówimy, że przestrzeń jest n wymiarowa. Jeżeli baza przestrzeni V jest zbiorem nieskończonym, to mówimy, że przestrzeń V jest nieskończenie wymiarowa oraz piszemy dim V =.
41 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 37 Jeżeli V = {θ} (V jest przestrzenia zerowa), to przyjmujemy dim V := 0, i mówimy, że przestrzeń zerowa jest zerowymiarowa. Przykład 4.8. Przestrzeń R n ma wymiar n. Przykład 4.9. Przestrzeń V wszystkich funkcji f : R R z działaniami określonymi w sposób naturalny jest przestrzenia nieskończenie wymiarowa. 4.3 Przekształcenia liniowe. Obraz i jadro przekształcenia liniowego Definicja Przekształceniem liniowym przestrzeni liniowej V w przestrzeń liniowa W nazywamy funkcję L : V W spełniajac a warunki (PL1) L (u + v) = L (u) + L (v) dla u, v V, (PL2) L (αu) = αl (u) dla u V oraz α R. Własność 4.6. Przekształcenie L : V W jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy dla u, v V oraz α, β R. L (αu + βv) = αl (u) + βl (v) Własność 4.7. Jeżeli L : V W jest przekształceniem liniowym, to L (θ) = θ. Przykład Niech V = R 2, W = R 2. Wówczas przekształcenie liniowe L : V W przekształca płaszczyznę na płaszczyznę. Przykładami przekształceń liniowych sa znane ze geometrii przekształcenia: 1. symetria względem poczatku układu współrzędnych określona wzorem L ([x, y]) = [ x, y], 2. symetria względem prostej x = 0 określona wzorem L ([x, y]) = [ x.y],
42 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE symetria względem prostej y = 0 określona wzorem L ([x, y]) = [x, y], 4. obrót dookoła poczatku układu współrzędnych, 5. rzuty prostokatne (na proste przechodzace przez poczatek układu współrzędnych), 6. jednokładności (o środku w poczatku układu współrzędnych). Definicja Obrazem przekształcenia liniowego L : V W nazywamy zbiór Im L := {w W : L (u) = w dla pewengo u V}. Definicja Jadrem przekształcenia liniowego L : V W nazywamy zbiór ker L := {u V : L (u) = θ}. Własność 4.8. Obraz przekształcenia liniowego L : V W jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni W. Jadro przekształcenia liniowego L : V W jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni V. 4.4 Macierz przekształcenia liniowego Własność 4.9. Niech V = R 2, W = R 2. Wówczas L : R 2 R 2 jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja liczby a 1, a 2, b 1, b 2 R takie, że dla [x 1, x 2 ] R 2 L ([x 1, x 2 ]) = [a 1 x 1 + a 2 x 2, b 1 x 1 + b 2 x 2 ] Własność Niech V = R 3, W = R 3. Wówczas L : R 3 R 3 jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja liczby a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3, c 1.c 2, c 3 R takie, że L ([x 1, x 2, x 3 ]) = [a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3, b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3, c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 ] dla [x 1, x 2, x 3 ] R 3. Powyższe własności możemy sformułować następujaco
43 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE L : R 2 R 2 jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz a 1 a 2 b 1 b 2 taka, że L ([x 1, x 2 ]) = a 1 a 2 b 1 b 2 x 1 x 2 2. L : R 3 R 3 jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz taka, że L ([x 1, x 2, x 3 ]) = Powyższe spostrzeżenia uogólnia a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Twierdzenie 4.4. Przekształcenie L : R n R m jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna macierz A = [ a ij ]1 i m,1 j n Rm n taka, że L(v) = Av T dla v R n tzn. dla [x 1, x 2,..., x n ] R n. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n L ([x 1, x 2,..., x n ]) = a m1 a m2 a mn Definicja Jeżeli L : R n R m jest przekształceniem liniowym, to macierz A = [ ] aij Rm n spełniajaca warunek L(v) = Av T dla v R n nazywa się 1 i m,1 j n macierza przekształcenia liniowego. Własność k ta kolumny macierzy A = [ a ij ]1 i m,1 j n Rm n przekształcenia L : R n R m liniowego jest wektorem L (e k ), gdzie e k jest k tym wektorem bazy kanonicznej (na k tej współrzędnej mamy liczbę 1 na pozostałych 0). x 1 x 2 x 3. x 1 x 2 x n
44 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 40 Przykład Niech L : R 3 R 2 będzie przekształceniem liniowym postaci Wówczas L [(x, y, z]) = [x 3y + 3z, 2x + 6y 4z]. L ([1, 0, 0]) = [1, 2]), L ([0, 1, 0] = [ 3, 6]), L ([0, 0, 1] = [3, 4]). Zatem macierz tego przekształcenia jest postaci A = Dla przykładu L ([1, 2, 3]) = [16, 26], L ([0, 1, 3]) = [ 12, 18], co możemy otrzymać również jako L ([1, 2, 3]) = L ([0, 1, 3]) = = = Uwaga 4.3 (Interpretacja geometryczna wyznacznika macierzy przekształcenia). 18,. 1. Niech L : R 2 R 2 będzie przekształceniem liniowym o macierzy A, D zbiorem na płaszczyźnie R 2, L (D) obrazem zbioru D w przekształceniu L. Wówczas, pola powierzchni D i L (D) zbioru D i obrazu L (D) spełniaja zależność L (D) = det A D. 2. Niech L : R 3 R 3 będzie przekształceniem liniowym o macierzy A, D zbiorem w przestrzeni R 3, L (D) obrazem zbioru D w przekształceniu L. Wówczas, objętości D i L (D) zbioru D i obrazu L (D) spełniaja zależność L (D) = det A D.
45 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE Działania na przekształceniach liniowych Działania na przekształceniach liniowych określamy tak jak dla zwykłych funkcji. Mamy jednak Twierdzenie 4.5. Suma, iloczyn przez liczbę, złożenie i odwrotność (o ile istnieje) przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym. Nie każde przekształcenie liniowe posiada przekształcenia odwrotne warunek istnienia tego przekształcenia w przypadku, gdy dziedzina i przeciwdziedzina sa takie same określa Twierdzenie 4.6. Niech L : R n R n będzie przekształceniem liniowym, A jego macierza, wówczas następujace warunki sa równoważne 1. przekształcenie L jest odwracalne, 2. przekształcenie L jest różnowartościowe, 3. ker L = {θ}, 4. rz A = n, 5. det A = 0. Zwiazek pomiędzy macierzami przekształceń oraz macierzami sumy, iloczynu przez liczbę złożenia i odwrotności ustala następujace Twierdzenie Jeżeli A 1, A 2 oznaczaja macierze przekształceń liniowych L 1 : R n R m oraz L 2 : R n R m (odpowiednio), to macierz A 1 + A 2 jest macierza przekształcenia liniowego L 1 + L 2 : R n R m (sumy przekształceń L 1 i L 2 ). 2. Jeżeli A jest macierza przekształcenia liniowego L : R n R m, α R jest ustalona liczba, to macierz αa 1 jest macierza przekształcenia liniowego αl 1 : R n R m, (iloczynu przekształcenia L 1 przez liczbę α). 3. Jeżeli A 1, A 2 oznaczaja macierze przekształceń liniowych L 1 : R n R m oraz L 2 : R m R k (odpowiednio), to macierz A 2 A 1 jest macierza przekształcenia liniowego L 2 L 1 : R n R k (złożenia przekształceń L 1 i L 2 ).
46 ROZDZIAŁ 4. PRZESTRZENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE Jeżeli A jest macierza przekształcenia liniowego L : R n R m, odwracalnego, to A 1 jest macierza przekształcenia liniowego L 1 : R m R n
47 Rozdział 5 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykładzie tym większy nacisk został położony raczej na intuicyjne rozumienie definiowanych pojęć, niż ścisłe ich zdefiniowanie. Dlatego niniejszy wykład nie posiada, przynajmniej na poczatku, charakteru formalnego wykładu matematycznego. Zakładamy, że Czytelnik zna, a przynajmniej rozumie intuicyjnie, takie pojęcia geometryczne jak: punkt, odcinek, wektor, prosta i płaszczyzna w trójwymiarowej przestrzeni. 5.1 Wektory Definicja 5.1. Przestrzenia euklidesowa R 3 nazywamy zbiór wszystkich uporzadko- wanych trójek (x, y, z) liczb rzeczywistych R 3 := {(x, y, z) : x, y, z R}. Tradycyjnie elementy przestrzeni euklidesowej R 3 moga być interpretowane jako trzy rodzaje obiektów: Punkty. Do oznaczania punktów używamy wielkich liter alfabetu: A, B, C, P, Q. Zapis A = (x, y, z) oznacza, że punkt A ma współrzędne x, y, z. Wektory zaczepione. Jeśli dane sa punkty A = (x a, y a, z a ) oraz B = (x b, y b, z b ), to wektor AB jest wektorem zaczepionym w punkcie A (tzn. o poczatku w punkcie A) i o końcu w punkcie B. Współrzędne wektora AB liczymy według wzoru AB := [x b x a, y b y a, z b z a ]. 43
48 ROZDZIAŁ 5. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ W PRZESTRZENI 44 Wektorem zaczepionym jest więc uporzadkowana para punktów, z których jeden jest poczatkiem, a drugi końcem tego wektora. Należy jeszcze zwrócić uwagę, że dowolny wektor postaci AA, czyli o poczatku i końcu w tym samym punkcie nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy 0. Oczywiście 0 := [0, 0, 0]. Wektory swobodne. Ich określenie podamy nieco później. Definicja 5.2. Niech dane będa dwa punkty A = (x a, y a, z a ) oraz B = (x b, y b, z b ). Długościa wektora AB nazywamy długość odcinka AB. Długość wektora AB oznaczamy symbolem AB. Mamy więc, że AB := (x b x a ) 2 + (y b y a ) 2 + (z b z a ) 2. Definicja 5.3. Mówimy, że dwa wektory niezerowe AB i PQ maja ten sam kierunek jeśli proste AB i PQ sa równoległe. Zwrotem wektora AB nazywamy ten z dwu zwrotów prostej AB w którym punkt A poprzedza punkt B. Uwaga 5.1. Można pokazać, że relacja R posiadania tej samej długości zwrotu i kierunku określona w przestrzeni euklidesowej R 3 interpretowanej jako zbiór wektorów zaczepionych jest relacja równoważności. Możemy teraz podać ścisłe określenie wektora swobodnego. Definicja 5.4. Wektorem swobodnym, dokładniej wektorem swobodnym wyznaczonym przez pewien wektor zaczepiony AB, nazywamy klasę abstrakcji relacji R wyznaczona przez wektor AB. Uwaga 5.2. W dalszej części tego rozdziału będziemy mówić jedynie o wektorach swobodnych, pamiętajac, że możemy w każdej chwili utożsamiać dowolny wektor swobodny z konkretnym, dowolnie wybranym reprezentantem klasy abstrakcji R (czyli wektorem zaczepionym). Z wielu powodów najwygodniej jest wybierać reprezentanta będacego wektorem zaczepionym w punkcie (0, 0, 0), czyli utożsamiać wektor swobodny z wektorem zaczepionym w zerze. Przestrzeń euklidesowa R 3 z elementami interpretowanymi jako wektory swobodne jest oczywiście przestrzenia liniowa. Wobec tego wektory swobodne sa jej elementami
49 ROZDZIAŁ 5. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ W PRZESTRZENI 45 i zachodza dla nich wszystkie własności omówione w wykładzie dotyczacym przestrzeni liniowych. Powyższa uwaga dodatkowo wyjaśnia dlaczego elementy przestrzeni liniowej (niekoniecznie euklidesowej) nazywaliśmy wektorami. Wektory swobodne oznaczamy symbolami a, u, v itd. Definicja 5.5. Mówimy, że punkty A, B, C sa współliniowe, gdy istnieje prosta k, że A, B, C k. Mówimy, że punkty K, L, M, N sa współpłaszczyznowe, jeśli istnieje płaszczyzna π, że K, L, M, N π. Definicja 5.6. Mówimy, że wektory niezerowe u, v sa równoległe, co zapisujemy u v, gdy maja te same kierunki. Przyjmujemy dodatkowo, że wektor zerowy jest równoległy do każdego innego wektora. Wniosek 5.1. Niech dane będa wektory u i v. Wówczas u v wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja takie liczby rzeczywiste α, β, że α u + β v = 0 czyli, gdy wektory u i v sa liniowo niezależne. Własność 5.1. Długość wektora u = [x, y, z] wynosi u = x 2 + y 2 + z 2. Twierdzenie 5.1 (Własności długości wektorów). Niech dane będa wektory u, v oraz liczba α. Wtedy: 1. u 0 oraz u = 0 u = 0, 2. α u = α u, 3. u + v u + v, 4. u v u v. Definicja 5.7. Układem współrzędnych nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinajace się w jednym punkcie O = (0, 0, 0), które sa wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami układu. W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy, Oz wyróżniamy dwie jego orientacje: układ prawoskrętny (rys. 5.1) i układ lewoskrętny (rys. 5.2).
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Bardziej szczegółowoWyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoWykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria
Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoWyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowo1 Działania na macierzach
1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoALGEBRA Tematyka LITERATURA
ALGEBRA Tematyka Podstawowe pojęcia algebry: działania, własności działań. Struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe. Ciała liczbowe: ciało liczb wymiernych, ciało liczb rzeczywistych,
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowo