Funkcje i tabele. Paweł Bednarz 29 marca Funkcje Funckja liniowa Własności funkcji liniowej Funkcja kwadratowa...

Transkrypt

1 Funkcje i tabele Paweł Bednarz 29 marca 2015 Spis treści 1 Funkcje Funckja liniowa Własności funkcji liniowej Funkcja kwadratowa Tabele Tabelka Tabelka Tabelka Tabelka Tabelka Tabelka Układy równań i macierze 5 1

2 1 Funkcje 1.1 Funckja liniowa Definicja 1. Funkcją liniową nazywamy odwzorowanie f : R R wyrażone wzorem f(x) = ax + b, gdzie a, b R Własności funkcji liniowej Informacje zawarte w tej podsekcji pochodzą z [1]. Jeśli f jest niezdegenerowana, tzn. a 0, to jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla a > 0 i malejąca dla a < 0, ponadto różnowartościowa i na, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna, a stąd odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). W przeciwnym przypadku jest ona ograniczona, okresowa i parzysta jako funkcja stała, stąd też monotoniczna: nierosnąca ani niemalejąca; nie jest również różnowartościowa ani na, czyli wzajemnie jednoznaczna, a tym bardziej odwracalna. Funkcja jest nieparzysta, gdy b = 0 wynika stąd, że jedyną funkcją jednocześnie parzystą i nieparzystą jest funkcja stała x = 0. Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest zawsze ciągła i różniczkowalna (a nawet gładka), przy czym pierwsza pochodna jest stale równa a, a kolejne są tożsamościowo równe zeru. 1.2 Funkcja kwadratowa Definicja 2. Funkcją kwadratową nazywamy odwzorowanie f : R R wyrażone wzorem f(x) = ax 2 + bx + c, gdzie a R \ {0}, b, c R. Definicja 3. Wyróżnikiem funkcji kwadratowej nazywamy wyrażenie = b 2 4ac. Twierdzenie 1. Zachodzą następujące kryteria dotyczące miejsc zerowych funkcji kwadratowej: 1. Jeżeli > 0, to istnieją dwa miejsca zerowe funkcji kwadratowej, które oblicza się według następujących wzorów: x 1 = b 2a x 2 = b + 2a 2. Jeżeli = 0, to istnieje jedno miejsce zerowe funkcji kwadratowej, które wyraża wzór: (1) (2) x 0 = b 2a (3) 2

3 3. Jeżeli < 0 to funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych rzeczywistych. Zauważmy, że wzór na x 0 (wzór (3)) wynika bezpośrednio ze wzorów na x 1 (wzór (1)), x 2 (wzór (2)) (przy = 0). Rozważmy teraz kilka przykładów dotyczących wyznaczania miejsc zerowych pewnych funkcji kwadratowych. Zadanie 1. Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji: 1. f(x) = x 2 + 6x 5, 2. f(x) = x 2 + 4x + 4, 3. f(x) = x 2 x + 1. Rozwiązania

4 2 Tabele 2.1 Tabelka Tabelka 2 lewa środek prawa Tabelka Tabelka 4 Imię Kolokwium 1 Kolokwium 2 Bogdan Stanisław To jest za długi tekst i będzie on wystawał za marginesy. Komenda p{5cm} A to jest kolumna 2. To jest za długi tekst i będzie on wystawał za marginesy. Komenda p{5cm} A to jest kolumna Tabelka Tabelka 6 Kolokwium Student 1 2 Średnia Krzysztof Karolina Przyłapani na ściąganiu 0 Łączenie wierszy uzyskujemy poleceniem 1 \multirow{ile wierszy}{szerokość}{tekst} Nie należy ono do standardowego oteczenia tabular, lecz do pakietu multirow, który musimy dołączyć. 1 Kod źródłowy LATEXa możemy wpisać pomiędzy otoczenie \begin{verbatim} a \end{verbatim} 4

5 Zwierzęta hodowane w bloku Rasowe Psy 20 Koty 14 Nierasowe Psy 10 Koty 25 Uzywajac multirow, trzeba pamietac o tym, ze w wierszach na które ma sie rozciagac nasza komórka, musimy wstawic puste kolumny. Specyfikacja szerokosci kolumny nie jest konieczna zamiast niej mozna wstawic symbol * który pozwala L A TEXowi dopasowac szerokosc kolumny automatycznie. 3 Układy równań i macierze Definicja 4. Układem n równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układ równań postaci a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 gdzie:. a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n a 11, a 12,..., a nn - nazywamy współczynnikami układu równań, b 1, b 2,..., b n - nazywamy wyrazami wolnymi, x 1, x 2,..., x m - nazywamy niewiadomymi. Definicja 5. Jeśli wszystkie wyrazy wolne są równe zero to układ taki nazywamy układem jednorodnym. Jeśli przynajmniej jeden wyraz wolny jest rożny od zera to układ taki nazywamy układem niejednorodnym. Wprowadźmy oznaczenia a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = macierz współczynników układu. a n1 a n2... a nn x 1 x 2 X = - kolumna niewiadomych. x n b 1 b 2 B =. b n - kolumna wyrazów wolnych 5

6 Przy powyższych oznaczeniach układ równań z definicji 4 można zapisać w postaci A X = B. Jest to tzw postać macierzowa. Definicja 6. Układ równań liniowych nazywamy układem Cramera (lub układem kramerowskim) jeśli macierz współczynników tego układu jest odwracalna 2. Literatura [1] 2 Macierz odwracalna to macierz, której wyznacznik jest różny od zera 6