GAL, konspekt wyk ladów: Tensory
|
|
- Teresa Adamczyk
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 GAL, konspekt wyk ladów: Tensory Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. [Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Iloczyn tensorowy 1.1 Zewne trzna suma prosta S = V W (zbiór równy produktowi kartezjańskiemu z dzia laniami po wspó lrze dnych) może być zdefiniowana przez diagram (przypomnienie) S i V i W V! φ W φ V U φ W 1.2 [Kos roz.6 5 Tw.3] Dla przestrzeni liniowych V i W rozważamy wszystkie odwzorowania 2- liniowe φ : V W U. Istnieje przestrzeń T wraz z odwzotowaniem 2-liniowym τ : V W T o tej w lasności, że każde przekszta lcenie φ faktoryzuje sie jednoznacznie przez τ τ T V W φ! φ U 1.3 Przestrzeń V wraz z odwzorowaniem τ : V W T jest jedyna z dok ladnościa do izomorfizmu. Oznaczana przez V W. Ma w lasność: dla każdej przestrzeni wektorowej U mamy L 2-liniowe (V W, U) = L(V W, U). 1.4 Konstrukcja efektywna V W za pomoca baz w V i W. Wymiar dim(v W ) = dim(v ) dim(w ). 1.5 Inna konstukcja: Definiujemy (ogromna ) przestrzeń o bazie e v,w indeksowana parami (v, w) V W. Jej elementami sa formalne kombinacje n a vi,w i e vi,w i, gdzie a vi,w i K. Dzielimy te przestrzeń przez podprzestrzeń rozpie ta przez a e v,w e av,w dla a K a e v,w e v,aw dla a K e v1,w + e v2,w e v1 +v 2,w dla v 1, v 2 V, w W i=1 e v,w1 + e v,w2 e v,w1 +w 2 dla v V, w 1, w 2 W 1
2 Elementami przestrzeni ilorazowej V W sa kombinacje liniowe n v i w i := i=1 n [e vi,w i ] i=1 gdzie v i V, w i W. Wyrażenia te przekszta lcamy wed lug regu l: (a v) w = v (a w) = a(v w) dla a K (v 1 + v 2 ) w = v 1 w + v 2 w oraz v (w 1 + w 2 ) = v w 1 + v w Ćw Odwzorowanie τ : V W V W ma w lasność τ(v, w) = τ(av, a 1 w) dla a 0, τ(v, 0) = 0 = τ(0, w). Po pozieleniu przez relacje wynikaja ce z powyższych równości relacje, przekszta lcenie W V/ W jest różnowartościowe. 1.7 Elementy τ(v, w) = v w sa nazywane tensorami prostymi. Tensory proste rozpinaja V W. 1.8 Niech dim V = dim W = 2. Tensorów prostych w V W w bazie α 1 β 1, α 1 β 2, α 2 β 1, α 2 β 2 sk lada sie z czwórek postaci (a 1 b 1, a 1 b 2, a 2 b 1, a 2 b 2 ). Te lelemnty leża na kwadryce zadaniej równaniem x 1 x 4 x 2 x 3 = 0. Gdy V i W maja wie kszy wymiar, jedno równanie nie wystarzy. Udowodnić, że zbiór tensorów prostych można opisać uk ladem równań kwadratowych. 1.9 Ćwiczenie: Jeśli wektory v 1, v 2,..., v k sa liniowo niezależne, oraz v i w i = 0 to w 1 = w 2 = = w k Macierz zamiany bazy w V przy zamianach baz w V i W jeśli {α k, {α i = k ak i α k bazy V, {β l, {β j = l bl j β l bazy W, to α i β j = k,l ak i bl j α k β l, w konwencji Einsteina α i β j = a k i bl j α k β l Jeśli T = i,j T i,j α i β j = i,j T i,j α i β j, to T i,j = k,l T k,l a i k bj l. 2
3 1.12 W dalszej cze ści przez przekszta lcenie, izomorfizm, itp. naturalny rozumiemy niezależny od wyboru bazy. Pe lne znaczenie s lowa naturalny można wyrazić używaja c poje ć kategorii (patrz naturalna transformacja funktorów) Dla przestrzeni liniowych V, W, Z mamy naste puja ce naturalne izomorfizmy {0 V {0, K V V, V W W V, (V W ) Z V (W Z), (V W ) Z (V Z) (V Z). (W ostatnim wzorze nie ma konieczności pisania nawiasów po prawej stronie. Piszemy V Z V Z). 2 Tensory c.d 2.1 Dla przestrzeni liniowych W, Z zbiór przekszta lceń liniowych L(W, Z) ma strukture przestrzeni liniowej. W lasność iloczynu tensorowego: istnieje naturalne przekszta lcenie, L(V, L(W, Z)) L(V W, Z), które jest izomorfizmem. Jest ono zadane tak: dane α : V L(W, Z), definiujemy przekszta lcenie 2-liniowe β : V W Z, β(v, w) := α(v)(w). Teraz β zadaje β : V W Z. 2.2 Istnieje naturalne przekszta lcenie V W L(V, W ), które jest izomorfizmem, jeśli dim V <. Jeśli dim V =, to obraz sk lada sie z endomorfizmów, których obraz jest skńczonego wymiaru. 2.3 Jeśli dim V < i dim W < to V W (V W ). Dow. przekszta lcenie z V W wystarczy zadać na V W : V W (V W ) = L(V W, K) = L 2-liniowe (V W, K). Wystarczy na tensorach prostych f g ( ) (v, w) f(v)g(w). 2.4 Operacja kompleksyfikacji przestrzeni wektorowej nad R: V C := C R V oznacza iloczyn tensorowy C (jako przestrzeni liniowej nad R) z V. V C = {1 v + i w v, w V. Takie tensory można mnożyć przez liczby zespolone. 2.5 Mamy (V C ) R V V dla przestrzeni rzeczywistej V. 3
4 2.6 Gdy V jest przestrzenia zespolona, to (V R ) C V V, gdzie V jako zbiór jest równe V, ale ma zmienione mnożenie przez skalary zespolone: z v := zv. (Ćwiczenie.) Klasyczne tensory typu (p, q) 2.7 Tensory typu p-kowariantne q-kontrawariantne to funkcje p + q-liniowe V V {{ V V V {{ V K p q czyli elementy ( V V V {{ p ) V V {{ V q W skrócie T q p(v ) = (V ) p V q. 2.8 Tensor typu (1,0) funkcjona l (0,1) wektor (1,1) endomorfizm (2,0) forma 2-liniowa (2,1) np mnożenie w algebrze (0,0) skalar V V {{ V V V {{ V p q 2.9 Dana baza {α k przestrzeni V. Niech {α k baza sprze żona przestrzeni V, oraz dany tensor T typu (p, q). Jego wspó lrzednymi w bazie α i 1... α ip α j1... α jq 2.10 Regu ly transformacji: jeśli α i = k ak i α k niech α j = l bj l α l. T j 1,...,j q i 1,...,i p = T (α i1... α ip α j 1... α jq ). sa liczby (Macierz (b i k ) = (ak i ) 1, nie trzeba transponować, bo transpozycja jest zawarta w notacji.) T j 1,...,j q i 1,...,i p = b i 1 i1... b i p i p T j 1,...,j q i a j 1 i,j 1,...,i p j... a j q 1 j. q 2.11 Co to za tensor T j i = δ j i? 2.12 Który z naste puja cych tensorów jest tensorem prostym? a) T i,j = i + j, b) T i,j = i j 2.13 Mnożenie tensorów: S typu (p, q), T typu (p, q ), to S T typu (p + p, q + q ). 4
5 2.14 Zwe żenie tensorów (kontrakcja) ślad tr : End(V ) = V V K zadany przez przekszta lcenie 2-liniowe V V K, (f, v) f(v). We wspó lrze dnych i,j T j i αi α j i T i i K dla wybranych indeksów r q, s p tr r s : T q p(v ) T q 1 p 1 (V ) tr r s(t ) j 1, r...j q i 1, s...,i p = i T j 1, r i...j q i 1, s i...,i p Tensor metryczny to tensor typu (2,0), czyli forma 2-liniowa, która jest iloczynem skalarnym G = g i,j e i e j, zadaje izomorfizm V V, v = i xi e i i,j g i,jx i e j = tr1 1 (g v) ogólniej tesor metryczny pozwala opuszczać wskaźniki T q p(v ) T q 1 p+1 T tr r 1(G T ) operacja podnoszenia wskaźników jest zadana przez zwe żanie z tensorem typu (0,2), T tr 1 s(g 1 T ) gdzie G 1 = i,j gi,j e i e j spe lnia tr 1 1 (G 1 G) = i,j δj i ei e j (macierzowo [g i,j ] = [g i,j ] 1 ). 3 Algebra tensorowa 3.1 Graficzna reprezentacja tensorów: graphical notation 3.2 Przez T(V ) oznaczamy algebre tensorowa T(V ) = T q (V ) = V q = K V V 2 V 3... q=0 q=0 3.3 W lasność uniwersalna: Dla dowolnej algebry A z 1 nad cia lem K L(V, A) = Mor algebry z 1 (T (V ), A). Algebra symetryczna 3.4 Definiujemy algebre symetryczna S(V ) jako przestrzeń ilorazowa T(V )/. Dzielimy przez podprzestrzeń rozpie ta przez (v 1 v i v i+1 v q ) (v 1 v i+1 v i v q ). 3.5 Jeśli ustalić baze V i nazwać ja x 1, x 2,..., x n, to S(V ) K[x 1, x 2,..., x n ] (pierścień wielomianów). Jeśli V = W, K = to S(V ) utożsamiamy z funkcjami wielomianowymi na W. 5
6 3.6 Mamy rzutowanie T(V ) S(V ). Jeśli chrakterystyka cia la jes równa zero, to w T(V ) mamy podalgebre (też be dzie oznaczana przez S(V )), która rzutuje sie izomorficznie na S(V ). Sk lada sie ona z tensorów symetrycznych: Grupa permutacji Σ q dzia la na T q (V ) = V q permutuja c wspó lrze dne. Tensor T jest symetryczny jeśli dla każdej permutacji σ(t ) = T, tzn we wspó lrze dnych T i 1,i 2,...,i q = T i σ(1),i σ(2),...,i σ(q) 3.7 Symetryzacja : zak ladamy, że char(k) = 0 i uśredniamy po permutacjach σ Σ q sym : V q S q (V ), sym(t ) = 1 q! σ σ(t ), Mamy sym sym = sym, zatem sym jest rzutowaniem na przestrzeń tensorów symetrycznych. 3.8 Niech e 1, e 2,... e n baza V, wtedy tensory e I = sym(e i1 e i2 e iq ) dla I = {i 1 i 2 i q sa baza S q (V ). 3.9 Ćwiczenie; obliczyć dim Sq (R n ) Gdy char K q przekszta lcenie {tensoy symetryczne S q (V ) nie jest izomorfizmem, np dla q = 2, char K = 2 element przestrzeni ilorazowej [v w] nie jest obrazem tensora symetrycznego W lasność uniwersalna: A algebra przemienna, nad cia lem K L(V, A) = Mor algebry przemienne z 1 (S(V ), A). Algebra zewne trzna 3.12 Definiujemy algebre zewne trzna Λ(V ) jako przestrzeń ilorazowa T(V )/. Dzielimy przez podprzestrzeń rozpie ta przez (v 1 v i v i+1 v q ) + (v 1 v i+1 v i v q ) Mnożenie jest przemienne z uwzgle dnieniem gradacji (super-przemienne): tzn dla a Λ i V, b Λ j V mamy a b = ( 1) ij b a Ćw: Sformu lować w lasność uniwersalna definiujaca Λ(V ) Za lóżmy dla uproszczenia, że chark = 0. Tak jak w przypadku algebry symetrycznej istnieje podalgebra w T(V ) rzutuja ca sie izomorficznie na Λ(V ). Tensor T V q jest antysymetryczny jeśli dla każdej permutacji σ σ(t ) = sgn(σ) T. We wspó lrze dnych: T i 1,i 2,...,i q = sgn(σ) T i σ(1),i σ(2),...,i σ(q) Jedynie dla q = 2 mamy V 2 = S 2 (V ) Λ 2 (V ). 6
7 3.17 Operacja antysymetryzacji Mamy A A = A. A : V q Λ q (V ) A(T ) = 1 q! ( 1) sgn(σ) σ(t ). σ Σ q 3.18 Niech e 1, e 2,... e n baza V, wtedy tensory e I = A(e i1 e i2 e iq ) dla I = {i 1 < i 2 <... i q sa baza Λ q (V ). Sta d dim Λ q (V ) = ( ) dim V q Iloczyn zewne trzny: v 1 v 2 v q = A(v 1 v 2 v q ) Λ q (V ) T(V ) Dodatek 3.20 Pote ga zewne trzna przestrzeni sprze żonej Λ p (V ) to p-formy alternuja ce na V. Gdy n = dim(v ) generatorem Λ n (V ) jest wyznacznik (rozumiany jako n-liniowa forma antysymetryczna V n K) Niezdegenerowane przekszta lcenie 2-liniowe, : Λ q (V ) Λ q (V ) K poprzez w lożenie do T q q(v ) i zwe żenie wszystkich indeksów. Na bazie e I, e J = 1 q! δj I, 3.22 Żeby pozbyć sie czynnika 1 q! dla form modyfikujemy definicje ej tak, aby to by la baza sprze żona do e I. Traktuja c e J jako tensor typu (q, 0) mamy (e i 1 e i 2 e iq )(e i1, e i2,..., e iq ) = δ J I (Jednak w literaturze zdarzaja sie teź inne konwencje.) 7
8 4 Algebra zewne trzna (cd) i algebry Clifforda (wyk lad ) 4.1 W lasność uniwersalna: A = A ev A odd algebra przemienna z Z 2 -gradacja, nad cia lem K L(V, A odd ) = Mor algebry super-przemienne (ΛV, A). 4.2 W lasność uniwersalna pote gi zewne trznej: Dla każdego wieloliniowego przekszta lcenia f : V q W, które jest antysymeteryczne istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie liniowe f : Λ q V W takie, że f(v 1, v 2,..., v q ) = f(v 1 v 2 v q ). 4.3 Jeśli n = dim V, to dim Λ n V = 1, niezerowy wektor e 1 e 2 e n. Dla wektorów v 1, v 2,... v n V, v j = a i j e i mamy v 1 v 2 v n = det[a i j ] e 1 e 2 e n. 4.4 Wspó lrze dne wektora v 1 v 2 v k w bazie {e I to maksymalne minory macierzy [v 1, v 2,..., v k ]. 4.5 Ćwiczenie: Wektory v 1, v 2,... v k V sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy v 1 v 2 v k Tw Cauchy-Bineta: jeśli A M q n (K), B M n q (K) to det(ab) = I det(ai ) det(b I ), gdzie A I i B I sa macierzami q q powsta lymi z A i B poprzez wybór kolumn/wierszy o numerkach ze zbioru I {1, 2,..., n. Algebra Clifforda 4.7 Niech φ be dzie forma kwadratowa na V. Algebre Clifforda Cl(Q) wraz z przekszta lceniem ι : V Cl(Q) definiujemy przez wa sność uniwersalnaa : Niech A be dzie algebra z 1, oraz niech f : V A be dzie przekszta lceniem liniowym spe lniaja cym f(v) 2 = Q(v) 1. Wtedy istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie algebr f : Cl(Q) A takie, że f = f ι. 4.8 Konstrukcja algebry Clifforda: Cl(Q) jest ilorazem algebry tensorowej Cl(Q) = T(V )/ v v Q(v) v V, gdzie dla zbioru A T(V ) przez A rozumiemy podprzestrzeń rozpie ta przez elementy T 1 a T 2, a A (tzn idea l dwustronny). 4.9 Algebry zewne trzne sa przyk ladem algebr Clifforda: wystarczy wzia ć Q = Iloczyny e i1 e i2... e iq indeksowane wszystkimi cia gami rosna cymi sa baza algebry Clifforda. Sta d dim Cl(Q) = 2 dim V 4.11 C i H jako algebry Clifforda Niech Cl(k) = Cl(R k, ( forma standardowa)), oraz niech A[n] oznacza algebre macierzy o wspó lczynnikach z A. Mamy Cl(0) = R Cl(1) C Cl(2) H 8
9 Cl(3) H H Cl(4) H[2] Cl(5) C[4] Cl(6) R[8] Cl(7) R[8] R[8] Cl(8 + k) Cl(k)[16] (Periodyczność Botta) 9
GAL, konspekt wyk ladów: Tensory
GAL, konspekt wyk ladów: Tensory 8.6.2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. [Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Iloczyn tensorowy
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoZadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2
Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoGAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne
GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne 4 kwietnia 2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowospis treści 1 Zbiory i zdania... 5
wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoWarunki dzia lań na wektorach - aksjomaty przestrzeni liniowej a) b) daja podobnie do wektorów: strza lki, si la, pre
PRZESTRZENIE LINIOWE V = V, +,,, 0, K Warunki dzia lań na wektorach - aksjomaty przestrzeni liniowej a) b) c) d) e) f) g) h) v V v V u V u V (v + u = u + v) w V v V (v + 0 = v) (v + v V v = 0) (1 v = v)
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoGAL z Konspekt wyk ladów: Formy 2-liniowe [Kos roz.1 4], [Tor VII] 1 zadane wzorem φ # (w) = φ(, w). W bazach:
GAL z 2017 Konspekt wyk ladów: Formy 2-liniowe [Kos roz1 4], [Tor VII] 242017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoGAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne
GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne 5 kwietnia 2018 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja
Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowo10 czerwiec aweber/zadania/gal2017gw/ przestrzeni liniowej. Oznaczenie V/W.
10 czerwiec 018 GAL z, konspekt wyk ladów: Endomorfizmy http://www.mimuw.edu.pl/ aweber/zadania/gal017gw/ Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. Materia l mniej
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowo6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych
konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoSzczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19
Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19 1. Zbiory, zdania i formy zdaniowe. 2. Operacje logiczne i podstawowe prawa rachunku
Bardziej szczegółowoZadania o grupach Zadania zawieraja
Zadania o grupach 18112014 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [BT] A Bojanowska, P Traczyk, Algebra I (skrypt) http://wwwmimuwedupl/%7eaboj/algebra/algfinv1pdf [Br] J Browkin, Teoria cia, BiblMat49,
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoGAL z aweber/zadania/gal2017gw/ Wersja
Przestrzenie rzutowe GAL z 27 http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/ Wersja 2627 Patrz osobny plik http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/przestrzenie rzutowe-zadaniapdf Do zrobienia na ćwiczeniach:
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia 2006 1 Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowo1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowo5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe
22 5 Podgrupy normalne i grupy ilorazowe Niech ϕ : G H be dzie homomorfizmem Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych G/ ker ϕ grupy G wzgle dem podgrupy ker ϕ Latwo zauważyć, że ϕ(x) = ϕ(y) x 1 y ker ϕ x
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowo4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowo