CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013) ZADANIA

Transkrypt

1 CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013) ZADANIA

2 Nierelatywistyczne Relatywistyczne Masa M = m 1 + m 2 M = m 1 + m 2 Zachowana? zawsze tylko w zderzeniach sprężystych Transformacja Pęd Zachowany? zawsze zawsze Transformacja Energia Zachowana? Transformacja M = M M = M P = m 1 u 1 + m 2 u 2 P = P - M v E = 1 2 m 2 1 u m 2 tylko przy zderzeniach sprężystych E = E - P v + M v 2 2 P = ( u 1 )m 1 u1 + ( u 2 )m 2 u2 zawsze P = ( v) P - E v u 2 2 E = ( u 1 ) m 1 + ( u 2 ) m 2 E = ( v) ( E - P v ) Porównanie własności masy, pędu i energii

3 E = m 1- u 2 = m + E kin p = m u u 2 1 = m 1 u 2 u = E u E 2 = p 2 + m 2 c 4 E = c p 2 + m 2 u c mc2 = 1 E 2 = 1 m m + E kin 2 1 == 1 1+ E kin / m 2 E kin mc = 1 2 u 2 1 1

4 Zderzenie fotonu ze spoczywającą cząstką o masie m u f ω, p m M E i = + m E f 2 = p f 2 + M 2 c 4 E i = E f p i = p f p i = p = c p f = E f u f M 2 c 4 = E f 2 p f 2 = + m ( ) 2 c ( 2 = m 2 c 4 + 2m M = m 1+ 2 m u f = p f E f u f c = 1 1+ mc2

5 Zderzenie kul sprężystych (w CM) Tu nie ma nic ciekawego, w układzie środka masy kule rozejdą się z szybkościami takimi jakie miały przed zderzeniem, oddzielnie zachowana będzie masa jak i energia kinetyczna. Jak zwykle pęd jest zachowany. Sytuacja będzie ciekawsza w układzie LAB

6 Ciekawsza jest sytuacja zderzenia cząstek o tej samej masie m w układzie LAB: 1 u m m m m Na wykładzie przeanalizowaliśmy tą sytuację w fizyce klasycznej korzystając z zasady względności. Dla dużych prędkości nie jest to takie proste. Na początku: E i = m +E i kin + m = 2m +E i kin p i = E 1 u = (mc2 +E kin i )u Po zderzeniu: p f = E u E u 2 2 = (mc2 + E kin f1 )u 1 + (mc2 + E kin f2 )u 2 E f = m + E kin f1 + m kin + E f2 = m(u 1 + u 2 ) + E f1 kin u 1 + E kin u f2 2 E i = E f p i = p f

7 2m +E kin i = m + E kin f1 + m kin + E f2 E kin = E kin kin i f1 + E f2 mu + E kin u i = m(u 1 + u 2 ) + E f1 kin u 1 + E kin u f2 2 mu + (E kin + E kin f1 f2 )u = m(u 1 + u 2 ) + E f1 kin u 1 + E kin u f2 2 u = u 1 + u 2 (E f1 kin + E kin f2 )u = E kin f1 u 1 + E f2 kin u 2 Czyli: (E kin f1 + E kin f2 )(u 1 + u 2 ) = E kin f1 u 1 + E kin f2 u 2 E kin f1 u 2 + E kin f2 u 1 = 0 u 1 = 0 E kin f1 = 0 u = u E kin kin = E 2 f2 i

8 Zderzenie kul niesprężystych ( w CM) m m M Przed zderzeniem: E i = 2m kin + 2E i p i = (mc2 + E kin 1 )u (mc2 + E kin 1 )u = 0 Po zderzeniu: E f = M p f = 0 E i = E f p i = p f M = 2m + 2E i kin

9 Znowu ciekawsza jest sytuacja zderzenia cząstek niesprężystych o tej samej masie m w układzie LAB: u v m, u m M,v p i = p i1 = (u)mu E i = (u)m + m = === === p f = (v)mv E f = (v)m = 2m + E kin i = m + E i1 E 2 f - p 2 f = M 2 c 4 E 2 i1 - p 2 i1 = m 2 c 4 M 2 c 4 = (m + E i1 ) 2 p 2 i1 = m2 c 4 + 2m E i1 + E 2 i1 - p 2 i1 = 2m 2 c 4 + 2m E i1 M 2 = 2m 2 + 2m E i1 = 2m m + E i1 = 4m2 1+ E kin 1 2m

10 M = 2m 1 + E 1 kin 2m p i = mu 1 u2 = p f = Mv 1 v2 E i = m ( u2 ) = Mc2 1 v2 = E f v u = m M 1 v2 1 u2 m M = 1 1 (1+ 1 u2 ) 1 v2 v u = 1 1 (1+ 1 u2 ) 1 v2 1 v2 1 u2 v u = 1 ( 1 u2 c +1) 2

11 Hm, coś tu nie tak Otrzymaliśmy dwa różne wyrażenia na masę: W układzie CM: M CM = 2m + 2E kin i W układzie LAB: M LAB = 2m 1 + E 1 kin 2m A mówiliśmy, że masa ciała jest niezależna od układy obserwacji. Gdzie jest błąd? E i kin E 1 kin

12 Energia i pęd po przejściu do innego układu transformują się w sposób: E = ( v) ( E - p v ) p = ( v) p - E v Wiemy, że: E 2 p 2 = m 2 c 4 Obliczmy więc: E 2 p 2 = m 2 c 4 E 2 p 2 = = 1 1 v2 1 1 v2 E 2 2Epv + p 2 v 2 p 2 + 2Epv E2 v 2 = E 2 (1 v2 c ) 2 c2 p 2 (1 v2 c ) 2 = E2 p 2 = m 2 c 4

13 x = (x v c (ct)) y = y z = z ct = (ct ( v c )x) p = (v) p - ( v c )( E c ) c = (v) E c - p( v c ) E x p ct E c (X 2 X 1 ) 2 = (t 2 t 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 = (ct 2 ct 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 (P 2 P 1 ) 2 = ( E 2 c E 1 c )2 (p 2 p 1 ) 2

14 (X 2 X 1 ) 2 = (X 2 X 1 ) 2 Odległość czasoprzestrzenna pomiędzy zdarzeniami jest identyczna w każdym układzie odniesienia (P 2 P 1 ) 2 = (P 2 P 1 ) 2 P 1 0 P 2 P ( E c )2 (p) 2 = ( E c )2 (p ) 2

15 Trzeci przykład Sprężyste zderzenie kuli bardzo małej i bardzo dużej

16 Układ Środka Masy Przed: v V Po: m v V M p m CM mv = MV p M CM 1- v2 1- V2 mv 2 1- V2 = MV2 1- v2

17 m2 v 2 - m 2 v 2 V 2 = M 2 V 2 - M 2 V 2 v 2 v 2 (m 2 - m 2 V 2 + M 2 V 2 ) = M 2 V 2 v 2 = v = M 2 V 2 m 2 - m 2 V 2 + M 2 V 2 c 1 m2 M 2 + m2 M 2 V 2

18 Układ Laboratoryjny p m L p M L = 0 p m L p M L p M L = (V ) p CM M - ( V c )( E CM M c ) = 0 E L M = (V)( E CM M - p CM M V) = M V = c2 p M CM E M CM

19 Układ Laboratoryjny p m L = (V ) p CM m + ( V c )( E CM m c ) c = (V) E m c E m L CM + p CM m ( V c ) p m L = (V ) p CM m - ( V c )( E CM m c ) p M L = (V ) p CM M + ( V c )( E CM M c ) c = (V) E m c E m L CM - p CM m ( V c ) c = (V) E M c E M L CM + p CM M ( V c )