V.6.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c. Zastosowania

Transkrypt

1 V.6.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c. Zastosowania 1. Ogólne wyrażenia na aberrację światła. Rozpad cząstki o masie M na dwie cząstki o masach m 1 i m 3. Rozpraszanie fotonów z lasera GaAs na wiązce wysokoenergetycznych elektronów z akceleratora LEP Jan Królikowski Fizyka IBC 1

2 1. Ogólne wyrażenia na aberrację światła Źródło światła O porusza się względem obserwatora O z prędkością V. Wektor prędkości tworzy kąt θ z kierunkiem OO w układzie źródła. W układzie O czteropęd fotonu k µ wynosi: ( ) kʹ kʹ = kʹ 0 0, kʹ c ; kʹ= k= = h c µ ν ʹ c y k O ʹ O θ θʹ V x Wektor k możemy rozłożyć na składowe i prostopadłe do wektora V: kʹ = kʹcosθ ʹ; k = kʹsin θʹ Jan Królikowski Fizyka IBC

3 cd. Obliczymy teraz składowe czterowektora k µ w układzie obserwatora O stosując transformację Lorentza do k µ : V k0 =γv kʹ0 kʹccosθʹ c V k c= γv kʹccosθ+ ʹ k c kc= kc ʹ sin θʹ 0 Prowadzi to do wyrażenia na częstość: V hν = hνʹ γv 1 cosθʹ c ν ν ʹ = γ V 1 cosθʹ V c Transformacja kąta obserwacji w O jako funkcji kąta emisji fotonu w O jest skomplikowana i nie będzie dyskutowana. Jan Królikowski Fizyka IBC 3

4 . Rozpad cząstki o masie M w locie na dwie cząstki o masach m 1 i m Przypuśćmy, że cząstka M ma w pewnym układzie inercjalnym pęd P skierowany wzdłuż osi OZ. Wektor czteropędu tej cząstki wynosi: ( ),0,0, P µ = E= P + M P Cząstka rozpada się dwuciałowo na cząstki o masach m 1 i m. Ile wynoszą energie E 1 i E produktów w układzie spoczynkowym cząstki M? Układ spoczynkowy cząstki M jest układem ŚM produktów jej rozpadu. W tym układzie: m p * p * θ * m 1 Jan Królikowski Fizyka IBC 4

5 cd... Wektory czteropędów w układzie ŚM: ( ) ( ) ( ) µ µ 1 1 P* µ = M,0,0,0 ; p* = m + p,0,0, p* ;p* = m + p,0,0, p* Niezmiennik s: Mamy także związek między energiami: co daje nam: ( µ µ ) s= E* = M = p * + p * = E * + E * + E * E E* = E* + m m 1 1 M E* 1 E* 1 m1 + m = E1* E ( ) M m + m E* = E * E Jan Królikowski Fizyka IBC 5

6 cd... Podnosząc stronami do kwadratu i upraszczając dostajemy symetryczne wyrażenia energie obu produktów : E * E * 1 = = ( M + m ) 1 m M ( M + m ) m1 M Wyrażenie na pęd produktów w układzie spoczynkowym M: p* = ( ) ( ) M m1 + m M m1 m M Jan Królikowski Fizyka IBC 6

7 3. Rozpraszanie fotonów z lasera IR na wiązce wysokoenergetycznych elektronów z akceleratora LEP. r. akad. 005/ 006 Zjawisko Comptona (A. Compton, Phys. Rev., 409, (193)) : rozpraszanie nieelastyczne fotonów rentgenowskich na niemal swobodnych elektronach atomowych. W tym zjawisku zderzenie następuje w układzie LAB elektrony są tarczami niemal w spoczynku. Zmiana długości fali fotonów zależy tylko od kąta rozproszenia w tym układzie: ' h λ = λ λ = ( 1 cos θ ) = λc ( 1 cos θ ) mc i jest maksymalne do tyłu: λ = λ ; λ = nm C C e Jan Królikowski Fizyka IBC 7

8 cd. W doświadczeniu wykonywanym w CERNie czerwone fotony z lasera GaAs o długości fali 700 nm zderzały się z biegnącą im naprzeciw wiązką elektronów z akceleratora LEP o energii E e = 45 GeV. W układzie spoczywających elektronów (odpowiednik układu LAB w zjawisku Comptona) fotony były rentgenowskie (zjawisko Dopplera). Przed zderzeniem: Układ LEP O Układ spoczynkowy elektronu O Jan Królikowski Fizyka IBC 8

9 cd. Po zderzeniu: Układ spoczynkowy elektronu po zderzeniu Układ LEP po zderzeniu Jaka jest energia rozproszonego fotonu w układzie LEP? Znajdziemy odpowiedź posługując się explicite transformacjami Lorentza. Jan Królikowski Fizyka IBC 9

10 Energia fotonów z lasera w układzie LEP r. akad. 005/ 006 hc π π MeV fm E= hν= = = = 1.77eV λ λ 700nm Jan Królikowski Fizyka IBC 10

11 Dwie metody znajdowania energii rozproszonego fotonu r. akad. 005/ 006 Metoda I: Z układu LEP przechodzimy do układu ŚM. Obliczamy energię i pęd fotonu po zderzeniu w ŚM, korzystając z niezmiennika s. Transformujemy z powrotem do LEP. Metoda II: Z układu LEP przechodzimy do układu spoczynkowego elektronu (odpowiednik układu LAB dla zjawiska Comptona). Stosujemy wzór Comptona na rozproszenie pod kątem 180 stopni. Transformujemy z powrotem do układu LEP Jan Królikowski Fizyka IBC 11

12 Metoda I Czteropędy przed zderzeniem, układ LEP: (,0,0, ); p (,0,0, ) µ µ k = E E = e= m + p p p = 45 GeV/c; m= GeV/c 3 Niezmiennik s: µ µ s= k + p = E+ e p E = m + Ee+ pe ( ) ( ) ( ) E ~ m + 4Ee m m + 4Ee= ev e 11 s = eV Układ ŚM czynniki Lorentza: E+ e e E p E p γ= = 5910; β= ~ 1; γβ= γ s s E+ e s Jan Królikowski Fizyka IBC 1

13 Metoda I cd. W ŚM przed zderzeniem: ( ) ( ) µ µ k* = Eʹ,0,0, Eʹ ; p* = eʹ= m + pʹ,0,0, pʹ Po zderzeniu: ( ) ( ) µ µ kʹ* = Eʹ,0,0, Eʹ ; p* = eʹ= m + Eʹ,0,0, Eʹ Jan Królikowski Fizyka IBC 13

14 Metoda I cd. Niezmiennik s obliczany w ŚM po zderzeniu: ( ) ( ) ( ) s= Eʹ+ eʹ = Eʹ + Eʹeʹ+ eʹ = Eʹ + Eʹeʹ+ m + Eʹ s Eʹ + m = Eʹeʹ 4 ʹ s E + m = 4Eʹ eʹ = 4Eʹ + 4Eʹ m s + m sm = 4sEʹ 4 ( ) s m 1 s m Ee = Eʹ = = s= m + Ee = 4s s m + 4Ee Eʹ ; 4 Eʹ = 091. ev Jan Królikowski Fizyka IBC 14

15 Metoda I cd. Wracamy ze ŚM do LEP: e+ E e Eʹʹ =γ ( Eʹ+β Eʹ) = Eʹ γ= Eʹ Eʹ = 4. 73GeV s s Jan Królikowski Fizyka IBC 15

16 Metoda II. czterowektory energii-pędu przed i po zderzeniu Przed, układ LEP: (,0,0, ); p (,0,0, ) µ µ k = E E = e= m + p p p = 45 GeV/c; m= GeV/c Czynniki Lorentza transformacji Istotnie: 3 do układu spoczynkowego elektronu: e 4 p 7 γ= = ; β =+ = 1 O(10 ) m e e ʹ p e p e = m=γ( e β p) = e p = m e m ʹ = 0 =γ p p + p e e Jan Królikowski Fizyka IBC 16

17 Energia fotonu w układzie e: Metoda II cd. Ee Eʹ = Eγ ( 1 +β) ~Eγ = = keV m Obliczenie energii rozproszonego do tyłu fotonu ze wzoru Comptona: c c c ν h λ = λʹʹ λ ʹ = = = 1 cosθ νʹʹ νʹ νʹʹνʹ mc ( ʹʹ ) = ʹʹ ʹ( 1 cosθ) mc E E E E ( ) mc Eʹ Eʹ Eʹʹ = = ( 1 cosθ ) = = = 140.4keV m + Eʹ( 1 cosθ) Eʹ 1 + mc Jan Królikowski Fizyka IBC 17

18 Transformacja do układu LEP: ( ) Metoda II cd. Eʹʹʹ = Eʹʹγ 1 +β = Eʹʹʹγ = 4.73GeV Jan Królikowski Fizyka IBC 18