Modelowanie anizotropowych płyt periodycznie niejednorodnych metodą parametrów mikrolokalnych

Transkrypt

1 Modeownie nizotropowyc płyt periodycznie niejednorodnyc metodą prmetrów mikrooknyc WIESŁW NGÓRKO Płyty sprężyste Rozwżć będziemy nizotropowe płyty sprężyste Przez płytę rozmiemy tkie trójwymirowe ciło mterine którego mode jest modeem dwwymirowym o pewnyc crkterystycznyc cecc Przyjmiemy że mode dwwymirowy (powierzcniowy to tki mode w którym przemieszczeni odksztłceni i nprężeni opisją fnkcje zeżne tyko od dw zmiennyc i są okreśone n pewnej powierzcni w tym ciee tzw powierzcni środkowej gdy zś zeżą od trzec zmiennyc to mmy do czynieni z modeem trójwymirowym Terminy mode teori są równowżne ttj z pojęciem strktr recyjn Definicj strktry recyjnej Okreśimy sę zbiorów w nstępjący sposób X (X ciło iczbowe (n ogół iczb rzeczywistyc zwne przestrzenią bzową jeżei X X X k k kn n n N to X X X n i gdzie X k i i n są ioczynmi krtezjńskimi k i krotnymi X i N zbiorem iczb ntrnyc 3 s jest njmniejszą są spełnijącą wrnki Niec dny będzie ciąg podzbiorów R X R X Rn X n gdzie X i i n Ukłd obiektów M < X R Rn > nzwiemy strktrą recyjną R i recjmi i n Próby opisni trójwymirowego stn odksztłceni i nprężeni płyty fnkcjmi okreśonymi n powierzcni środkowej (obszrze n płszczyźnie sięgją pierwszej połowy XIX wiek i znjdją się w prcc cyego i S Poisson Sprowdzenie trójwymirowego mode płyty do mode dwwymirowego zproponowł tkże G Kircoff przyjmjąc dw złożeni prszczjące Pierwsze z nic mówi że włókn prostoiniowe płyty normne do jej płszczyzny środkowej pozostją po odksztłceni proste i normne do odksztłconej powierzcni środkowej nie zmienijąc przy tym swej dłgości drgie dotyczy pomijności nprężeń normnyc dziłjącyc n powierzcnie równoegłe do powierzcni środkowej płyty jko niewiekic w porównni z pozostłymi nprężenimi Uogónienie tej teorii zproponowne przez H ron i Loe wykorzystje złożeni Kircoff orz wprowdz dw dodtkowe w któryc wymg się by grbość powłoki był niewiek w porównni z njmniejszym promieniem krzywizny powierzcni środkowej powłoki orz by odksztłceni i przemieszczeni były młe tzn tkie by możn było pominąć w równnic konstyttywnyc wiekości młe wyższego rzęd niż pierwszy Teori t nzwn jest teorią Kircoff-Loe b teorią pierwszego rzęd

2 JEMIELIT G 99 Mendry teorii płyt Wyd Poitecniki Wrszwskiej Wrszw LEWIŃSKI T TELEG J Ptes Lmintes nd Ses symptotic nysis nd omogeniztion Word Scientific Series on dnces in Mtemtics for ppied Sciences 5 Singpore New Jersey London Hong Kong Mecnik sprężystyc płyt i powłok WOŹNIK z [red] Mecnik Tecniczn t 7 PWN Wrszw Jk npisno wyżej płyty to tkie cił (rzeczywiste więc trójwymirowe które bdmy w rmc teorii dwwymirowyc Pojwi się więc t pytnie jką wybrć d rozwżnyc cił metodę konstrkcji teorii dwwymirowej? Odpowiedź n to pytnie nie jest łtw Między innymi dtego że wybór metody powinien być zeżniony od tego czy skonstrowny mode dwwymirowy dobrze proksymje mode trójwymirowy Ocen metody formłowni teorii dwwymirowej b inczej ocen dokłdności rozwiązń otrzymnyc w rmc teorii dwwymirowej więc rozwiązń przybiżonyc w stosnk do rozwiązń trójwymirowyc jest probemem trdnym i nie m dobrego rozwiązni Niejednorodne płyty sprężyste Niec rozptrywn płyt m konfigrcję odniesieni Ω w przestrzeni fizycznej z prostokątnym kłdem współrzędnyc krtezjńskic O 3 orz Ω Π / / ( 3 Ω Niec n rozptrywną płytę dziłją n części Ω brzeg siły powierzcniowe p [ pk ( ] k 3 Ω orz w Ω siły msowe b [ bk ( ] Ω W wynik tyc oddziływń płyt odksztłc się pnkty mterine przemieszczją się Oznczmy wektor przemieszczeni przez [ k ( ] Ω Związki geometryczne okreśjące odksztłceni przyjmijmy w postci iniowej ( ( k ( k ( k 3 ( Związki konstyttywne (fizyczne łączące odksztłceni z nprężenimi przyjmiemy w postci σ ( mn ( mn ( ( gdzie ( mn mn są fnkcjmi mteriłowymi spełnijącymi znne wrnki Płytę opisną recjmi ( nzyw się sprężystą płytą nizotropową i niejednorodną W przypdk izotropowym fnkcje mteriłowe λ μ ( fnkcji Lmé go fnkcji mteriłowyc ( mn ( λ ( δ δ μ( ( δ δ δ δ mn km n mn przyjmą postć zeżną od dw (3 gdzie δ jest detą Kronecker W tym przypdk związki fizyczne ( przeksztłcją się do postci σ ( μ ( ( λ( δ e( (4 kn m

3 gdzie e 33 D płyt jednorodnyc w związkc (4 zmist fnkcji λ ( ( stłe mteriłowe Lmé go λ( λ i μ( μ μ neży przyjąć dwie Wprowdzone obciążeni zewnętrzne przemieszczeni odksztłceni i nprężeni powiązne są ze sobą recjmi ( ( orz recją cłkową k mn m n k k k d pkkd (5 Ω Ω ( ( V ( b w której k są dowonymi przemieszczenimi wirtnymi z przestrzeni V D tk opisnej płyty sprężystej probem sttyki możn sformłowć w nstępjącej postci D dnyc sił msowyc b obciążeń zewnętrznyc p zneźć przemieszczeni spełnijące wrnek (5 W przypdk izotropowym i jednorodnym recj (5 przyjmie postć ( ( k V μ( k k gdzie ( ( k k d pkkd Ω ( k λδ m m k bkk Ω W przypdk oknym równni równowgi przyjmją postć d płyt niejednorodnyc i jednorodnyc izotropowyc odpowiednio ( mnm n bk ( μ λ b μ (6 k k k Równni równowgi d nprężeń mją postć σ b (7 k W przypdk oknym (6 b (7 formłjemy wrnki brzegowe postci d Ω σ n pk i n są skłdowymi wersor zewnętrznie normnego do Ω d Ω k fk Definijąc w znny sposób siły przekrojowe N / αα σ αα d3 / M / / / N σ d3 Qα σ α3 d3 / / αα σ αα 3 d3 / / M σ / z równń równowgi (7 możn wyprowdzić (Z Kączkowski nstępjące równni N αβ r β α 3 d 3

4 Q r α α 3 M Q m gdzie r σ ( σ ( / m σ ( / / σ ( / k k 3 / k 3 α / α3 α3 Powyższe recje opisją płyty jko trójwymirowe cił sprężyste αβ β α α Płyty niejednorodne periodycznie Wżną są cił mterinyc nie tyko z powodów poznwczyc e i tyitrnyc są cił o strktrze periodycznej W przypdk cił periodycznyc fnkcje opisjące włsności mteriłowe cił (niekoniecznie wszystkie są fnkcjmi periodycznymi W wie zgdnienic fnkcje te mogą być periodyczne w jednym dw b trzec niezeżnyc c 3 kiernkc wyznczonyc wektormi d z przestrzeni trójwymirowej R gdzie c b c b c 3 (w przypdk kik tkic kłdów wybiermy ten kłd wektorów d którego c jest njwiększe i sm dłgości wektorów kłd jest njmniejsz Niec g ( c będzie fnkcją okreśoną w przestrzeni R orz c i k c d będą dowoną prą rgmentów tej fnkcji gdzie k c są iczbmi cłkowitymi Fnkcj g ( jest periodyczn jeżei d kżdej tkiej pry rgmentów zcodzi g ( c g ( k d c c 3 Wektory d definiją w 3 R d c ( c c przy czym gdy c zbiór ten jest odcinkiem gdy c równoegłobokiem zś w przypdk c 3 równoegłościnem Zbiory te nzywne są eementmi reprezenttywnymi bo komórkmi periodyczności W dszym ciąg dowony e stony eement reprezenttywny będziemy oznczć przez fnkcje g( nzywć fnkcjmi -periodycznymi R zbiory postci { } Niejednorodność cił w ski mikro modeown jest w ski mkro przez zstosownie jednej z tecnik omogenizcyjnyc Po omogenizcji opis cił jest jż zwye jednorodny Oczekjemy tkże by w tkim mode był wzgędniony wpływ mikro niejednorodności n rozwiązni Zstosjemy metodę omogenizcji sprężystyc płyt nizotropowyc i niejednorodnyc periodycznie nzwną omogenizcją mikrookną b z prmetrmi mikrooknymi Metodę omogenizcji mikrooknej sformłowł z Woźnik w 987 rok w prcc Microoc prmeters in modeing of composites wit intern constrins Po c Tecn nonstndrd metod of modeing of termoestic periodic composites Int J Engng Sci Scemt złożeń tej teorii i kłd recji modejącyc jest inny niż w metodzie omogenizcji symptotycznej i nie prowdzi do rozwiązni probem d eement reprezenttywnego (komórki podstwowej

5 Powróćmy do płyty periodycznej 3 Konfigrcj cił Ω Ξ R iło jest periodyczne wzgędem współrzędnyc ( m Ω gdzie m 3 Komórk periodyczności (m m m3 λ λ λ λ m m ρ ( ( m - - periodyczne fnkcje w R Wektor przemieszczeni Lgrngin gdzie ( ξ t w w K ρ U w L K U (8 ( w ( ξ t w( ξ t ( ξ t ( w( ξ t Rozkłd mikro-mkro N w ( ξ t ( ξ t ( ( ξ t gdzie ( ( δ ξ t ξ t SV ( Ω H ( Ω zmiennymi orz ( spełni wrnek ρ( z ( z 9 d kżdego ξ Ξ i t (są fnkcjmi wono dz Δ Niec ( ] Oznczmy orz ρ ( ρ ( ( λ λ λ λ m m wtedy d kżdego ( ] Niec pondto d ( SV ( Ω SV δ ( Ω jest δ Wprowdźmy rodzinę Lgrnginów L (] ( z ( z ρ dz d przemieszczeń w w ( ξ t Δ

6 U K L ( ρ w w K w w U Dekompozycję przemieszczeni przyjmiemy w postci ( ( ( ( t t t w ξ ξ ξ ( D mmy ( Fnkcje ( nd ( w (3 nie zeżą od Podstwijąc (3 do ( i pmiętjąc że otrzymjemy ( K ρ ( ( ( ( U [ ( ] ( Zwżmy że K U nie jest Lgrnginem Niec ( dz z f f Δ Δ Jeżei mmy ρ ρ w ( m oc R Lα (cfyeko et 993 p 5 Stąd Osttecznie d mmy K K i U U gdzie K ρ Po średnieni ( U (3 Równni Eer-Lgrnge d L mj postć ( ρ (4

7 Równni (6 mj sens fizyczny tyko gdy ( ξt ( ξt zmiennymi d kżdego ξ Ξ i t ( ξ t ( ξ t SV ( δ Ω są fnkcjmi wono W przypdk płyty Złożymy że niejednorodność płyty jest periodyczn zś komórk periodyczności skłd się z n skłdników sprężystyc i jednorodnyc Wyznczmy n powierzcni Π proste o równnic n nb ± ± n b ± ± n dzieące Π n 4n n prostokątów o dłgościc boków Podziemy komórkę periodyczności n prostokąty o bokc równoegłyc do osi współrzędnyc któryc dłgości są odpowiednio i j i n j m tk że n i i prostokąt prostokącie m Prostokąt o po j i oznczymy przez Δ ij Złóżmy że kżdy ij i i Δ jest tworzony z mterił jednorodnego i nizotropowego tzn d ( Δ ij fnkcje są stłe; ( ij w Δ Δ Δ Δ ij Wprowdźmy oznczeni i i i j ji ij αβ Δij ( y αβ d ijb αβ Δij ( y b d Równni Eer-Lgrnge ij ij ij αβij ij ijb αβ ij ij b p

8 Jko szczegóny przypdek rozptrzmy komórkę podstwową złożoną z czterec eementów (rys wyżej Wymiry eementów zznczono n rysnk Kżdy z eementów Δ Δ Δ Δ może być zbdowny z innego mterił Związek (9 przyjmiemy w postci ( ( ( q ( ( q ( gdzie ( ϕ ϕ ( Związki opisjące sttykę płyty periodycznie niejednorodnej której komórk periodyczności skłd się z czterec eementów ( ( ( ( ( q ( ( ( q p

9 ( ( ( 4 4 q q ( 4 ( ( ( 4 ( q 4 4 q (5 Niec terz niejednorodność płyty jest tyko w kiernk Ozncz to że (rys b c Równni (5 mją postć ( ( q p ( q q ( ( gdzie orz Jeżei ( wtedy z równni (6 3 otrzymjemy q Jeżei ( wtedy z równni (6 możn wyznczyć prmetr q ( ( q i równnie to przyjmie postć (( αβ αβ ( ( ( ( ( p

10 Jeżei wtedy równnie powyższe przyjmie postć sycznego równni płyt Wpływ prmetr mikrooknego q opisje człon αβ αβ ( ( ( ( Ustmy α β γ δ αβ złon ten jest różny od zer gdy αβ i Wtedy możn go zpisć w postci gdzie b αβ αβ ( ( αβ αβ ( ( b Niec b α α Wyrżenie to możn wtedy przedstwić jko fnkcję ; F( Łtwo sprwdzić że F ( posid w przedzie okreśoności mksimm w pnkcie F ( ( α zś im F ( im Jeżei α tzn modł F osiąg mksimm przesw się do smo mksimm zś dąży do zer Ozncz to że im mniej jest w dwskłdnikowej komórce periodyczności skłdnik o mode sztywności i im sztywniejszy jest drgi skłdnik tym wpływ fnkcji F ( n zcownie się płyty jest mniejszy Jeżei zś α tzn modł jest corz mniejszy wtedy pnkt w którym F ( osiąg mksimm przesw się do zś smo mksimm dąży do Ozncz to że im mniej sztywny w stosnk do skłdnik jest skłdnik orz im go jest mniej to wpływ fnkcji F ( n zcownie się płyty jest większy nie większy jednk niż (rys 4 jest corz większy wtedy pnkt w którym ( F( α ' α Rys 4 Wykres fnkcji F ( W nogiczny sposób możn rozptrywć przypdek niejednorodności w kiernkc modły sztywności będą spełnić w tym przypdk związki Postępjąc podobnie otrzymmy równni

11 gd ( ( ( q ( q p q q ] 4 ( q ( 4 ( 4 ( q 4 q gdzie Jeżei niejednorodność płyty jest tk że modły sztywności płyty spełniją wrnki (rys c to równni płyty przyjmą postć ( ( [( q ( q ] p q q ( 4 ] ( 4 q q ( 4 ] ( 4 Jeżei złożymy że skłdniki komórki podstwowej są z tego smego mterił wtedy z kłd równń n prmetry mikrookne q q otrzymmy wrnki q q orz syczne równnie płyty Ukłd recji opisjącyc gięcie płyty zeży w ogóności od dodtkowyc dw niewidomyc fnkcji opisjącyc zcownie się płyty w komórce periodyczności tzw prmetrów mikrooknyc Fnkcje ksztłt jkie zstosowno ttj są wieominmi drgiego stopni Otrzymny kłd recji d płyt periodycznie niejednorodnyc nie wymg rozwiązni zgdnieni n komórce podstwowej W szczegónyc przypdkc prowdzi on do sycznego zgdnieni jednorodnego orz do recji występjącyc w teorii modłów efektywnyc