Piotr Fiszeder Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Juliusz Preś Politechnika Szczecińska

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolske Semnarum Naukowe, 4 6 wrześna 2007 w Torunu Kaedra Ekonomer Saysyk, Unwersye Mkołaa Kopernka w Torunu Por Fszeder Unwersye Mkołaa Kopernka w Torunu Julusz Preś Polechnka Szczecńska Wycena opc pogodowych dla masa Berln kwoowanych na gełdze Chcago Mercanle Exchange *. Wprowadzene Śwaowy rynek nsrumenów pochodnych konsruowanych na podsawe ndeksów pogody rozwa sę obecne bardzo dynamczne. Tylko w roku rozlczenowym 2006/2007 warość wszyskch zawarych konraków na ym rynku osągnęła pozom ponad 9 mld dolarów. W zwązku z ogromną dynamką coraz częśce porusza sę problem wyceny opc pogodowych. Z uwag na unkalne cechy ndeksów pogodowych do dzś ne udało sę opracować komplene unwersalne meody wyceny ych nsrumenów. Welu obserwaorów uczesnków ego rynku zauważyło eż, że ne es możlwa adapaca popularne formuły Blacka-Scholesa, gdyż ne są spełnone podsawowe założena ego podeśca. Wyceny uzyskane ą meodą są obcążone dużym błędem. Z ego względu zaproponowano nne meody wyceny, wśród kórych naważnesze o analza hsoryczna, saysyczne modelowane rozkładu ndeksu oraz modelowane szeregów czasowych waloru bazowego. Nawększy poencał w sworzenu edne precyzyne formuły wyceny ych derywaów posada meoda modelowana szeregów czasowych o zarówno pod względem dokładnośc szacunków ak uwzględnena specyfk ndeksów pogodowych. Z ego względu ponższy arykuł es pośwęcony osane meodze wykorzysuące w wycene nsrumenów pochodnych modele procesów sochasycznych. W pracy mo- * W przypadku Pora Fszedera praca naukowa fnansowa ze środków na naukę w laach , proek badawczy -H02B Parz Brx, Jewson Zehmann (2005).

2 230 Por Fszeder, Julusz Preś delowany es ne ylko dzenny szereg czasowy waloru bazowego, ale równeż mesęczne szereg czasowe ndeksów pogodowych. Głównym celem pracy es prezenaca meody wyceny nsrumenów pogodowych z zasosowanem modelu ARFIMA FIGARCH 2. Pokazano, ż badany model ne uwzględna sezonowo zmenne auokorelac, co skukue sonym odchylenam w szacunkach warośc konraków. Układ arykułu es nasępuący. Część druga zawera omówene sosowanych w pracy model procesów sochasycznych. W pracy zaproponowano nowe posace model, będące rozszerzenem model ARFIMA FIGARCH ak, aby mogły dodakowo opsać wahana sezonowe średne waranc procesu. W kolene częśc omówono własnośc badanych szeregów oraz zaprezenowano wynk weryfkac saysyczne wybranych model. W osane częśc arykułu zosały zaprezenowane wynk aplkac opsanych model szeregów czasowych do wyceny przykładowych konraków opcynych noowanych na gełdze w Chcago (CME). 2. Modele procesów sochasycznych W procese emperaury powerza możemy zazwycza wyróżnć sosunkowo regularne wahana sezonowe o okrese rocznym, rend zwązany z efekem ceplarnanym urbanzacą, długą pamęć (ypową dla procesów klmaycznoprzyrodnczych, parz Hurs, 95, Kwakowsk Osewalsk, 2002) oraz wahana przypadkowe. Charakerysyczne dla ego procesu są równeż wahana sezonowe zmennośc. Zmenność emperaury es wększa w mesącach zmowych, mnesza w mesącach lench. Modelowane emperaury pownno uwzględnać powyższe cechy. W pracy zaproponowano modele, kóre można zasosować do opsu prognozowana emperaury. Są one rozszerzenem model ARFIMA FIGARCH, ak aby mogły dodakowo opsać wahana sezonowe średne waranc procesu. Model ARFIMA sanowący uogólnene modelu ARIMA w skueczny sposób łączy możlwość opsu zawsk zarówno z długą króką pamęcą. Model FIGARCH będący uogólnenem modelu GARCH modelue zarówno długookresowe ak krókookresowe zależnośc w procese zmennośc. Rozszerzony model ARFIMA ( P, d, Q) - FIGARCH ( p, d2, q) można przedsawć w nasępuące forme: d r m / 2 = 0 = ϕ ( L)( L) ( y μ ) = ϑ( L) ε, ε ψ ~ D (0, h ) () μ γ + ( θ cosω + λ sn ω ), (2) = 2 Model en es sosowany przez prakyków rynku fnansowego, wysępue na przykład w powszechne na rynku aplkac SWS 6.0 frmy Speedwell Weaher Dervaves Ld.

3 Wycena opc pogodowych dla masa Berln 23 d 2 m / 2 φ ( L)( L) 2 ε = α + ( κ cosω + τ sn ω ) + [ β ( L)] ν, (3) 0 = gdze L oznacza operaor przesunęca ( L ε = ε ), ϕ( ) = ϕ, Q L ) = + = ϑ( ϑ L q, φ( ) = φ, β ( ) = β, ν ε h, wszyske L = L perwask welomanów ϕ ( L) = 0 φ ( L) = 0 leżą poza kołem ednoskowym, s p L = L s = 2 P L = 2π < d < 0.5, 0 < d2 <, ω =, m = 365. m Aby zapewnć dodaność waranc h, bez nakładana resrykc na paramery w równanu dla waranc, można przyąć logarymczną posać waranc, czyl ν = ε 2 ln h. Składnk sezonowy w równanu (2) można zapsać w posac, kóra ne uwzględna srukury harmonczne: gdze μ = r 2 γ + ck = 0 k= m k, (4) m o zmenne zeroedynkowe oznaczaące kolene mesące (np. k dla syczna oraz m = 0 dla pozosałych mesęcy). Podobne zamas równana (3) można przyąć model, kóry ne uwzględna srukury harmonczne zmennośc: d 2 2 L m = φ ( L)( L) 2 ε = α + δ m + [ β ( L)] ν. (5) 0 k= k k 3. Modelowane szeregów emperaury powerza ndeksów na ne oparych Dane empryczne wykorzysane w badanu uzyskano od agenc meeorologczne Nemec. Dane doyczą średne emperaury powerza w meśce Berln w okrese od syczna 948 do 3 grudna 2004 (20808 obserwac). Rozkłady dzennych warośc emperaury w poszczególnych mesącach (porach) roku różną sę od sebe. Przeprowadzone badane wykazało, że asymera es różna w poszczególnych porach roku (w okrese zmowym lewosronna a w okrese lenm prawosronna). Hpoeza o normalnośc rozkładów zosała odrzucona zarówno dla poszczególnych mesęcy, ak całego roku. Wynk przeprowadzonych esów saysycznych 3 wskazuą na wysępowane nasępuących własnośc przecęne dzenne emperaury powerza: lnowy rend wzrosowy, sezo- 3 Wynk esów oraz szacunk model zosały pomnęe z uwag na ogranczony rozmar publkac.

4 232 Por Fszeder, Julusz Preś nowość zarówno w średne ak w waranc, auokorelaca (slnesza w mesącach zmowych), długa pamęć w średne oraz efek ARCH. Poza emperaurą badano równeż mesęczne ndeksy pogodowe HDD CAT oblczane według ponższych formuł: HDD = CAT = m = m = max(0, 8 C y y ), (6), (7) gdze y - przecęna emperaura dna, m - lczba dn w danym okrese. Hpoeza o normalnośc rozkładu zosała odrzucona ylko dla ndeksu HDD dla mesęcy marzec oraz grudzeń. W doychczasowych badanach doyczących pogodowych nsrumenów pochodnych modelue sę edyne rozkład ndeksów pogodowych. W nneszym arykule rakuemy szereg czasowe ndeksów ako realzace procesów sochasycznych badamy równeż ch własnośc. Przeprowadzone esy wskazuą na wysępowane nasępuących właścwośc mesęcznych ndeksów HDD oraz CAT: rend lnowy, sezonowość w średne w waranc, długa pamęć (słabsza nż w przypadku emperaury powerza). Dla średne dzenne emperaury wybrano model opsany równanam (- 3). Długa pamęć emperaury zosała opsana za pomocą modelu ARFIMA (d =0.269 (0.0283)). Krókookresowe zależnośc mędzy blskm obserwacam emperaury zosały nalepe opsane przez część auoregresyną średną ruchomą o opóźnenach równych dwa ( P = 2 Q = 2 ). W równanu dla waranc warunkowe nesony okazał sę paramer d 2, zaem proces zmennośc emperaury ne posada długe pamęc. Model GARCH(,) z wahanam perodycznym o okrese roku oraz warunkowym rozkładem normalnym okazał sę wysarczaący do opsu zmennośc emperaury. Dla mesęcznych warośc ndeksów HDD oraz CAT rozważano dwa modele różnące sę ylko opsem wahań sezonowych. Jeżel uwzględnono srukurę harmonczną sezonowośc rend lnowy, o część saconarną ndeksu HDD nalepe opsywał model AR(). Jeżel zasosowano model ze zmennym zeroedynkowym rendem lnowym (równane (4)), o część saconarną nalepe opsywał model ARFIMA(0,,0). Dla ndeksu CAT nezależne od rodzau modelu sezonowośc wysępował rend lnowy oraz długa pamęć. W obu przypadkach nalepszy okazał sę proces ARFIMA(0,,0). We wszyskch modelach doyczących ndeksów wysępowała zmenna waranca bezwarunkowa składnka losowego brak było efeku ARCH. Wyboru różnych specyfkac modelu (warośc P, Q, p, q, r, lczby składnków welomanów rygonomerycznych) dokonywano zawsze na podsawe bayesowskego kryerum Schwarza, uwzględnaąc wynk badana sonośc odpowednch paramerów oraz wynk odpowednch esów dagnosycznych. Weryfkac wybranych model dokonano na podsawe symulac Mone Carlo

5 Wycena opc pogodowych dla masa Berln 233 ze względu na warość średną oraz warancę generowanego procesu 4. Wynk przedsawa abela. Tabela. Wynk weryfkac dla warośc średne waranc na podsawe symulac Rodza modelu Paramery Model (dzenny) Model 2 (mesęczny) Model 3 (mesęczny) Syczeń HDD Czerwec CAT Syczeń HDD Czerwec CAT Syczeń HDD Czerwec CAT Średna Waranca Δ dla średne * Δ dla waranc * Model 2 uwzględna srukurę harmonczną sezonowośc, model 3 es ze zmennym zeroedynkowym. Gwazdką oznaczono oceny saysyk, w przypadku kórych hpoeza zerowa o równośc warośc oczekwane (waranc) ndeksu przy założenu prawdzwośc badanego modelu z waroścą oczekwaną (warancą) dla populac zosała odrzucona na pozome sonośc Saysyk Δ dla średne (waranc) były oblczane ako warośc bezwzględne z różnc mędzy średnm arymeycznym (warancam) oszacowanym na podsawe symulac próby. Źródło: oblczena własne. Średne warance dla ndeksu HDD dla syczna wynosły odpowedno naomas dla ndeksu CAT dla czerwca oraz Porównana model dokonano równeż na podsawe nnych kryerów, manowce warośc eoreycznych średne waranc ndeksu, skorygowanego współczynnka deermnac oraz błędu RMSE (abela 2). Tabela 2. Ocena akośc model Model Syczeń - HDD Czerwec - CAT RMSE Skoryg. R² RMSE Skoryg. R² Model (dzenny) Model 2 (mesęczny harmonczny) Model 3 (mesęczny zeroedynkowy) Źródło: oblczena własne. Uzyskane wynk wskazuą, że pommo przeszacowana waranc w mesącach lench model konsruowany na podsawe dzennych obserwac emperaury nalepe odzwercedla kszałowane sę ndeksu HDD oraz CAT. Efek przeszacowana waranc wynka z neuwzględnena w modelu sezonowo zmenne auokorelac badanego procesu (wykres ). 4 Na podsawe badanego procesu generowano szeregów czasowych emperaury o długośc 30 lub 3 obserwac a nasępne oblczano ndeksy. W przypadku model ndeksów generowane są bezpośredno realzace ndeksów. Procedura weryfkac zosała opsana szczegółowo w Caballero, Jewson Brx, (2002).

6 234 Por Fszeder, Julusz Preś Wykres. Funkca auokorelac dla przecęne dzenne emperaury powerza dla różnych okresów roku. Źródło: opracowane własne. 4. Wycena opc pogodowych Zaprezenowane powyże modele zasosowano w procese wyceny dwóch odrębnych mesęcznych konraków opcynych call z lmem wypłay 5, rozlczanych na podsawe ndeksów HDD dla syczna 2004 oraz CAT dla czerwca Paramery ych konraków przedsawa ponższa abela. Tabela 3. Specyfkaca wycenanych konraków opcynych Nazwa parameru Konrak nr Konrak nr 2 Typ opc call call Indeks HDD Berln CAT Berln Okres wykonana konraku syczeń 2004 czerwec 2004 Cena wykonana 600 HDD 550 HDD Warość punku GBP GBP Lm wypłay z opc (cap) GBP GBP Źródło: oblczena własne. W celach porównawczych konraky, zosały wycenone przy zasosowanu rzech meod: analzy hsoryczne (HBA), saysycznego modelowana rozkładu ndeksu (IM) oraz modelowana szeregu czasowego emperaury (DM) mesęcznych ndeksów (MM). W osane meodze wykorzysano omówone wcześne modele. Warośc wyceny przedsawono w abel 4. W przypadku konraków sycznowych wyraźne nższą warość orzymano sosuąc model z sezonowoścą w posac funkc harmoncznych (MM model 2), dla kórego średna z symulac okazała sę nższa od pozosałych o 4 pk HDD. Na podsawe pozosałych meod orzymano zblżone szacunk konraku sycznowego. 5 Konraky opcyne z lmem uzyskue sę poprzez kupno opc call oraz sprzedaż opc call na en sam okres wykonana, ale z różnym cenam wykonana.

7 Wycena opc pogodowych dla masa Berln 235 Tabela 4. Wyceny konraków opcynych przy zasosowana różnych meod Meoda wyceny Warość konraku nr Warość konraku nr 2 Warość wzgl. konraku nr [% lmu] Warość wzgl. konraku nr 2 [% lmu] HBA IM DM model MM model MM model Źródło: oblczena własne. Rozbeżne wynk uzyskano naomas wycenaąc czerwcowy konrak CAT. Sosuąc perwsze dwe meody orzymano warośc ponże 0% usalonego lmu wypłay. Meody bazuące na modelowanu szeregów czasowych wycenły en konrak w przedzale 3-27%. Wycena uzyskana na podsawe dzennego modelu (DM) es slne zawyżona z powodu wyraźne przeszacowane waranc w okrese czerwca (abela ). Drug model wyraźne przeszacował warość średną ndeksu, co sone zawyżyło warość wyceny (26.72%). Nabardze warygodna wydae sę wycena uzyskana osanm modelem (3.43%). W ym przypadku ednakże błąd wyceny wynkaący z gorszego dopasowana modelu, będze znaczne wększy. Ponado model dla danych mesęcznych ne uwzględna zmenne lczby dn w mesącu oraz ne nadae sę bezpośredno do szacowana warośc konraku o dowolnym okrese rwana. Modelowane dzennych obserwac nsrumenu bazowego pozwala na pełnesze wykorzysane danych saysycznych. Przykładowo chcąc określć warość mesęcznego konraku meodą hsoryczną lub meodą analzy rozkładu szacunk operaą sę na danych z okresu wykonana konraku. Zaem posadaąc dane hsoryczne za 0 la, warość konraku będze usalona na podsawe ylko 0 warośc hsorycznych. Wycena na podsawe modelu dla nsrumenu bazowego poencalne zwększa precyzę szacunków, poneważ model ak es konsruowany na podsawe wększe lczby obserwac. Poencalne, gdyż dokładnesze szacunk uzyskamy ylko przy założenu, że zasosowany do wyceny model es poprawne zbudowany w pełn odzwercedla charaker badanego procesu. Zaem w oblczenach należy uwzględnć dodakowo ryzyko modelu Wnosk Modele konsruowane na podsawe mesęcznych obserwac ndeksów ne wyaśnaą zmennośc ndeksów w sposób zadawalaący (parz abela 2). Na podsawe rozważanych kryerów oceny można swerdzć, że modelem, kóry nalepe odzwercedla kszałowane sę ndeksów HDD CAT es model skonsruowany na podsawe dzennych obserwac emperaury. Model en op- 6 Parz Jauga (200).

8 236 Por Fszeder, Julusz Preś sue wszyske ważnesze właścwośc. Pommo zasosowana ak zaawansowanego modelu, ne oddae on w pełn charakeru rzeczywsego procesu emperaury, manowce ne uwzględna sezonowo zmenne auokorelac, przez co szacunk waranc wyznaczone na podsawe ego modelu są w pewnych okresach roku zawyżone. Caballero Jewson (2003) proponuą ako alernaywę sosowane modelu SAROMA. Jes o model uwzględnaący sezonowo zmenaącą sę funkcę auokorelac. Nesey, model en posada dużo paramerów, co urudna proces esymac. Ponado model SAROMA wymaga duże lczby obserwac, aby unknąć zarzuu pozornego wyaśnena danych. Dodakowo, model en ne uwzględna długe pamęc. Innym rozwązanem może być uwzględnene w modelu ARFIMA-FIGARCH zmenaącego sę w czase parameru długe pamęc w średne, a może w waranc. Nesey specyfkaca akego modelu będze eszcze bardze złożona nż przedsawona w nnesze pracy. Leraura Brx, A., Jewson, S., Zehmann, Ch. (2005), Weaher Dervave Valuaon, Cambrdge Unversy Press. Caballero, R., Jewson, S., Brx, A. (2002), Long Memory n Surface Ar Temperaure: Deecon, Modellng and Applcaon o Weaher Dervave Valuaon, Clmae Research, 2, Caballero, R., Jewson, S. (2003), Seasonaly n he Sascs of Surface Ar Temperaure and he Prcng of Weaher Dervaves, Meeorologcal Applcaons, vol. 0, 4, Hurs, H.E. (95), Long Term Sorage Capacy of Reservors, Transacons of Amercan Socey of Cvl Engneers, 6, s Jauga, K. (200), Podsawy analzy warośc eksremalnych na rynkach fnansowych, Rynek Termnowy, 4, Kwakowsk, J., Osewalsk, J. (2002), Modele ARFIMA: podsawowe własnośc analza bayesowska, Przegląd Saysyczny, 50, 2,