Jak opracować i interpretować wyniki pomiarów.

Transkrypt

1 Jolata Gałązka-Friedma Karol Szlachta Jak opracować i iterpretować wyiki pomiarów. ver..5

2 Spis treści. O czym jest te skrypt...4. O co chodzi z iepewościami pomiarowymi? Jak arysować wykres? Co umieścić a wykresie? Jak dobrać skalę a osiach wykresu? Jakie jeszcze iformacje powiy zaleźć się a wykresie? Histogram Jak poprawie zapisać wyik? Jak oszacować iepewość pomiaru Metoda A Metoda B Jak dodać do siebie iepewości? Niepewości pomiarów bezpośredich Niepewości pomiarów pośredich Jak dopasować teorię (model matematyczy) do daych doświadczalych? Metoda ajmiejszych kwadratów Dopasowaie do dowolego modelu Jeśli ie Gauss to co? Rozkład dwumiaowy Rozkład Poissoa Przykład Jak iterpretować wyiki Test χ Niepewości rozszerzoe/przedziały ufości...4 Stroa z 65

3 0. Jak rozwiązać problem małej liczby pomiarów oraz problem pomiarów o iejedakowej dokładości Mała liczba pomiarów (rozkład t Studeta) Pomiary o iejedakowej dokładości Dodatki Wartość oczekiwaa i wariacja dla rozkładu Gaussa i rozkładu prostokątego Odchyleie stadardowe pojedyczego pomiaru Końcówka Czy zatem kość do gry jest uczciwa? Jeszcze raz pomiary płytki Przykład wykorzystaia metody ajmiejszych kwadratów Pytaia Zadaia Posłowie Literatura:...65 Stroa 3 z 65

4 . O czym jest te skrypt. Skrypt te przezaczoy jest dla studetów początkowych lat studiów, rozpoczyających pracę z pomiarami, w szczególości w Cetralym Laboratorium Fizyki. Jest o kompilacją tekstów apisaych przez jedego z autorów (J. Gałązkę Friedma) do skryptu pt. Metody opracowaia i aalizy wyików pomiarów. oraz owych apisaych przez K. Szlachtę. Decyzję o apisaiu tak skompilowaego tekstu podjęliśmy po wieloletich doświadczeiach z przybliżaiem tej problematyki studetom różych Wydziałów Politechiki Warszawskiej. W skrypcie przyjęto zasady zalecae przez JCGM i opisae w dokumecie Evaluatio of measuremet data Guide to the expressio of ucertaity i measuremet, zwaym powszechie Guidem. Główy Urząd Miar i Wag wydał opracowaie Wyrażaie iepewości pomiaru. Przewodik., które jest, jak sam stwierdza a swojej stroie iteretowej, polskim tłumaczeiem wymieioego wcześiej dokumetu. Stąd też iektórzy używają zamieie azw Guide i Przewodik. Niestety polskie tłumaczeie ie jest dostępe a stroie GUM. Wersję agielską atomiast moża bez kłopotu zaleźć w iterecie i bez ograiczeń czerpać wiedzę u źródła. Opis metod postępowaia zalecaych w tym dokumecie został uzupełioy odpowiedimi modelami matematyczymi. Potrzebę ich zrozumieia ajlepiej uzasadia sam Guide: Although this Guide provides a framework for assessig ucertaity, it caot substitute for critical thikig, itellectual hoesty ad professioal skill. The evaluatio of ucertaity is either a routie task or a purely mathematical oe; it depeds o detailed kowledge of the ature of the measurad ad of the measuremet. The quality ad utility of the ucertaity quoted for the result of a measuremet therefore ultimately deped o the uderstadig, critical aalysis, ad itegrity of those who cotribute to the assigmet of its value. Aby spełić oczekiwaia rozbudzoe tytułem rozdziału pierwszego, omówimy teraz krótko treść dalszych rozdziałów: W rozdziale drugim zostały omówioe błędy oraz iepewości pomiarowe. Problem iepewości pomiarowych został zilustroway przykładem gry w kości. Długoletie doświadczeie związae z prowadzeiem zajęć w Cetralym Laboratorium Fizyczym Wydziału Fizyki PW przekoało as Joied Comitee for Guides i Metrology Chociaż te przewodik zawiera metody ocey iepewości ie może o zastąpić krytyczego myśleia, uczciwości itelektualej oraz wiedzy. Ocea iepewości pomiarowych ie jest ai łatwym ai rutyowym czy też czysto matematyczym zadaiem. Wymaga szczegółowej wiedzy o mierzoej wielkości i samym pomiarze. Wiarygodość iepewości pomiarowej przypisaej do wyiku zależy zatem od zrozumieia, krytyczej aalizy oraz uczciwości osób biorących udział w jego oceie. Stroa 4 z 65

5 iż z pozoru prosty problem wykoaia wykresu astręcza studetom wiele trudości. Rozdział trzeci powiie przeczytać każdy studet przed rozpoczęciem kostruowaia wykresu! W rozdziale czwartym podae są zasady poprawego zapisywaia wyiku końcowego wraz z iepewością pomiarową. Rozdział piąty to zapewe ajważiejszy rozdział tego skryptu. Podaje o metody szacowaia iepewości pomiarowych. Metoda A dotyczy szacowaia iepewości metodami statystyczymi. Metoda B zaś dotyczy tak aprawdę pozostałych przypadków. Obie metody zilustrowae są przykładami. W rozdziale szóstym podae są metody dodawaia do siebie iepewości pomiarów bezpośredich jak rówież dodawaie do siebie iepewości pomiarów pośredich. Oba zagadieia zilustrowao przykładami! W rozdziale siódmym omówioo metodę ajmiejszych kwadratów, która służy do zajdowaia krzywej teoretyczej opisującej pukty doświadczale otrzymaych w eksperymecie. Rozdział ósmy a przykładzie rozpadu promieiotwórczego omawia problemy posługiwaia się iymi rozkładami iż rozkład Gaussa. Zaprezetoway jest tu zarówo rozkład dwumiaowy jak i rozkład Poissoa. Należy zapozać się z im przed przystąpieiem do wykoywaia ćwiczeń jądrowych. W rozdziale dziewiątym omówioy jest zarówo test χ jak i problem iepewości rozszerzoych. W rozdziale Dodatki wyprowadzoe są wzory opisujące wartość oczekiwaą i wariację rozkładu Gaussa i rozkładu prostokątego oraz wzór opisujący odchyleie stadardowe pojedyczego pomiaru. Ze wzorów tych korzystaliśmy już w poprzedich rozdziałach. Wyprowadzeie ich zostało przesuięte do osobego rozdziału, aby ie zaciemiać prostych rozważań dotyczących elemetarych wiadomości z rachuku błędów. W ostatim rozdziale dowiemy się czy kość jest uczciwa i pozamy koleje przykłady zastosowań rachuku błędów. Z założeia skrypt jest opracowaiem uproszczoym, ie wyczerpującym tematu. Ograiczyliśmy się do ajprostszych modeli matematyczych (rozkład Gaussa, rozkład Poissoa, rozkład prostokąty i rozkład dwumiaowy). Staraliśmy się użyć możliwie łatwego języka a rozważaia teoretycze uzupełić praktyczymi wskazówkami. Będziemy wdzięczi za wszelkie uwagi, propozycje uzupełień, etc. Autorzy Stroa 5 z 65

6 . O co chodzi z iepewościami pomiarowymi? Praca w laboratorium polega a obserwacji zjawisk fizyczych, wykoywaiu pomiarów i ich iterpretacji w oparciu o pozae teorie i prawa fizyki. Oprócz poprawego wykoaia pomiarów, bardzo istota jest aaliza końcowych wyików pod względem ich wiarygodości i dokładości oraz przedstawieie uzyskaych rezultatów w sposób umożliwiający ich prawidłową iterpretacje, to jest jaso, przejrzyście i zgodie z ogólie przyjętymi zasadami. Często jedym z zadań stojących przed ami jest wyzaczeie jakiejś wielkości fizyczej, takiej jak p. współczyik załamaia światła, długość fali, eergia kwatów gamma itp. Wyik pomiaru każdej wielkości ie pokrywa się z jej wartością rzeczywistą, azywaą rówież wartością prawdziwą. Przyczyy tego faktu mogą być róże i różie mogą się oe objawiać. Na samym początku warto wyjaśić że dziś pojęcie błąd rozumiae jest a kilka sposobów: w metrologii i Guidzie jako różica pomiędzy wartością rzeczywistą (ie zaą) a wyikiem pomiaru, jako syoim pomyłki (te rodzaj zway jest czasem błędem grubym ) oraz azywa się tak czasem iepewość. Natomiast iepewość jest to liczbowe oszacowaie błędu 3. W dalszej części tego skryptu będą opisae te właśie metody. Czytelików zaiteresowaych pogłębieiem tematu odsyłamy do literatury bardziej zaawasowaej. Jeśli wyiki pomiarów wykazują systematycze przesuięcie w stosuku do wartości rzeczywistej, bądź też odzaczają się iepowtarzalością przekraczającą zaczie omialą dokładość przyrządów, wówczas mówimy, że są oe obarczoe błędami systematyczymi. Sama azwa (błąd) tej wady pomiarów sugeruje możliwość jej usuięcia. Rodzaje błędów pomiarowych omówimy a prostym przykładzie wyzaczeia przyspieszeia ziemskiego za pomocą wahadła matematyczego. Rysuek : Błąd systematyczy, błąd gruby (pomyłka) oraz błędy przypadkowe. 3 Formala defiicja iepewości pomiarowej mówi że jest to parametr który opisuje rozrzut wyików pomiarów które mogą być przypisae do tej wielkości. Stroa 6 z 65

7 Wyobraźmy sobie, że zmierzyliśmy kilkakrotie czas stu wahięć metalowej kulki przywiązaej do końca ici o długości l. Początkowe wychyleie kulki wyosiło 0º. Obliczeie przyspieszeia ziemskiego g, w oparciu o wzór T = l, spowoduje otrzymaie wyików systematyczie g zaiżoych w stosuku do wartości rzeczywistej. Przyczyą jest zastosowaie przybliżoego wzoru a okres wahadła słuszego tylko w przypadku małych wychyleń. O tak otrzymaych wyikach powiemy, że są oe obarczoe systematyczym błędem pomiarowym (rysuek ). Ią przyczyą powstawaia tego typu błędów może być p. użycie stopera, którego wskazówki z chwilą rozpoczęcia pomiarów ie pokrywają się z początkiem skali, powodując systematycze zaiżeie lub zawyżeie wartości okresu wahadła. Przypuśćmy, że w serii 5 pomiarów czasu stu wahięć, jede z pomiarów został zakończoy po 90 wahięciach. Pomiar te da drastyczie różą wartość przyspieszeia ziemskiego. Określimy go jako pomiar obarczoy błędem grubym czyli pomyłką (rysuek ). Opisae powyżej błędy pomiarowe moża wyelimiować poprzez:. Użycie właściwie działających przyrządów pomiarowych.. Poprawe przeprowadzeie pomiarów. 3. Stosowaie poprawek matematyczych do wzorów przybliżoych. 4. Usuięcie z serii pomiarowej wyiku obarczoego błędem grubym. Wyelimiowaie błędów pomiarowych, rozumiaych jako pomyłki, jest zabiegiem koieczym, ale ie prowadzącym do uzyskaia wyików jedozaczie pokrywających się z rzeczywistą wartością wielkości mierzoej. Każdy bowiem pomiar jest obarczoy błędem przypadkowym. Wśród błędów pomiarowych wyróżić moża błędy przypadkowe i błędy systematycze. Często jedak któryś z wymieioych błędów pomiarowych domiuje. Jeśli dokładość pomiaru jest dostateczie duża, wówczas w serii pomiarowej otrzymamy pewie rozrzut wyików. Świadczy to o przewadze błędów przypadkowych ad systematyczymi. Źródłem występowaia błędów przypadkowych może być mierzoa wielkość (mówimy wówczas o błędzie przypadkowym obiektu) lub sam eksperymetator wraz z otoczeiem i przyrządami pomiarowymi (błąd przypadkowy metody). Błąd przypadkowy obiektu, przy pomiarze grubości płytki ołowiaej śrubą mikrometryczą, będzie miał swe źródło w różicach grubości płytki mierzoej w kilku różych puktach. Błąd przypadkowy metody wyikać może atomiast z różic w dociskaiu śruby przy kolejych pomiarach. Na powstaie iepewości przypadkowych akłada się wiele iezależych przyczy, co prowadzi do tego, że wyiki pomiarów, w których domiują błędy przypadkowe, układają się symetryczie Stroa 7 z 65

8 wokół wartości rzeczywistej (rysuek ). Pojęcie iepewości przypadkowej jest często określae jako błąd przypadkowy lub losowy, które to azwy stosowae są w wielu pracach dotyczących aalizy pomiarów. Z tego też powodu w dalszych rozdziałach będziemy stosować rówolegle azewictwo tradycyje. Rysuek : Błędy przypadkowe. Źródłem błędów systematyczych są ograiczoe możliwości pomiarowe związae z kostrukcją użytego przyrządu oraz z możliwością odczytu jego wskazań przez obserwatora. Przewaga błędów systematyczych ad przypadkowymi ujawi się poprzez otrzymaie idetyczych wyików w określoej serii pomiarów. Jak już wspomialiśmy całkowite usuięcie iepewości ie jest możliwe. Moża je co ajwyżej zmiejszyć poprzez stosowaie dokładiejszych przyrządów pomiarowych oraz zwiększeie liczby pomiarów. Dokłademu omówieiu tych problemów poświęcoy jest rozdział 5. Doskoałym przykładem ilustrującym powyższy problem jest gra w kości. Spróbujmy postawić pytaie: czy kość do gry jest uczciwa (Czy możemy ią grać ie arażając się a poważe straty?). Teoretyczie prawdopodobieństwo wyrzuceia dowolej liczby oczek powio być takie samo. W przypadku sześcieej kostki do gry ozacza to, że prawdopodobieństwo otrzymaia oczka wyosi /6, prawdopodobieństwo otrzymaia oczek wyosi /6, itd. Zgodie z defiicją prawdopodobieństwa zatem, przeciętie, w serii 6 rzutów, każda liczba oczek powia wystąpić raz. Iaczej ujmując to samo, możemy powiedzieć że w serii 60 rzutów każda liczba oczek powia wystąpić 0 razy. Powróćmy teraz do postawioego a początku problemu uczciwości kostki. Jak sprawdzić czy kokrety egzemplarz jest uczciwy? Zapewe każdy od razu odpowie: trzeba rzucić wiele razy kostką, policzyć ile razy wypadie każda liczba oczek a potem porówać otrzymae liczby. Załóżmy zatem że wykoaliśmy 600 rzutów kostką. Spodziewamy się więc że każda liczba oczek zostaie wyrzucoa 00 razy. Jeżeli otrzymamy wyik taki jak w tabeli uzamy kość za ieuczciwą? Liczba oczek Liczba wystąpień Tabela : Wyiki 600 rzutów kostką A co jeśli wyiki będą jeszcze bardziej odbiegały od oczekiwaej wartości 00 wystąpień? Bez Stroa 8 z 65

9 pomocy matematyki ie możemy odpowiedzieć a to pytaie w sposób ścisły. Odpowiedź a postawioe powyżej pytaie zajdziesz Drogi Czyteliku a końcu tego skryptu. Opisay powyżej przykład ilustruje problematykę pomiaru dowolej wielkości fizyczej. W przypadku kości do gry chcielibyśmy zmierzyć prawdopodobieństwo. Możemy to zrobić zliczając liczbę wystąpień daej liczby oczek. Otrzymay wyik ie będzie jedak zgody z wartością rzeczywistą (zakładamy że kość jedak jest uczciwa). Ta różica pomiędzy wartością rzeczywistą a otrzymaą odzwierciedla właśie iepewość pomiarową. Co waże, iepewość wyika z atury pomiaru. Moża ją często miimalizować różymi sposobami, ale igdy ie moża się jej pozbyć zupełie. W dalszej części opracowaia będzie przedstawioa teoria rachuku iepewości pomiarowych wraz z kokretymi przykładami. 3. Jak arysować wykres? Jede obraz wart więcej iż tysiąc słów. Chińskie przysłowie Dobrze zrobioy wykres może zawierać bardzo wiele iformacji prezetując je jedocześie w bardzo przejrzysty sposób. Aby jedak tak było, ależy przestrzegać kilku prostych reguł. Do ilustracji tych zasad posłużmy się przykładem. Studet ma za zadaie umieścić a wykresie wyiki 0 wykoaych przez siebie pomiarów spadku apięcia U a oporiku o iezaym oporze elektryczym (ozaczmy go R) przy różych wartościach atężeia prądu I płyącego przez te oporik. Wyiki pomiarów umieścił w Tabeli. Stroa 9 z 65

10 L.p. U [V] I [ma] L.p. U [V] I [ma], ,7 30 4, , , , , 0 9 0, 45 5,4 5 0,8 50 Tabela : Wyiki pomiarów U(I). Warto zwrócić uwagę, że jedostki mierzoych wielkości zostały umieszczoe tylko raz, w agłówku tabeli. Na razie przyjmijmy bez uzasadieia astępujące iepewości pomiarowe: dla pomiarów od do 4: dla atężeia prądu: ma oraz dla spadku apięcia: 0, V oraz dla pozostałych pomiarów ma i 0,3 V. 3.. Co umieścić a wykresie? Na wykresie zwykle umieszczamy dwie rzeczy: pukty pomiarowe i krzywą teoretyczą. Każdy pukt a wykresie reprezetuje wyik pomiaru. W aszym przykładzie: dla każdej wartości atężeia prądu mamy spadek apięcia a badaym oporiku. Pamiętajmy jeszcze o umieszczeiu słupków iepewości pomiarowych a każdym pukcie! Bez tego iformacja byłaby iepeła. Krzywa teoretycza przedstawia matematyczą zależość która wyika z przyjętego modelu fizyczego. Należy podkreślić, że krzywa teoretycza a wykresie to tylko liia bez puktów. Pukty są zarezerwowae dla wyików pomiarów. W aszym przykładzie modelem jest prawo Ohma: U =cost. I Jeżeli zatem wykres będzie przedstawiał zależość spadku apięcia a oporiku od atężeia płyącego przezeń prądu, krzywa teoretycza będzie prostą: U I =R I 0, gdzie: współczyik kierukowy prostej R zway jest oporem elektryczym. Parametry fizyczego modelu opisującego badae zjawisko (w aszym przykładzie opór elektryczy R) Stroa 0 z 65

11 otrzymujemy zwykle jako wyik dopasowaia modelu do daych doświadczalych. Temat te zostaie dokładiej omówioy w jedym z astępych rozdziałów. 3.. Jak dobrać skalę a osiach wykresu? Pierwszym zadaiem Studeta jest dobraie skali a osiach wykresu. Zakres mierzoego apięcia to,3 V do,8 V. Zakres mierzoego atężeia prądu to 5 ma do 50 ma. Wydawałoby się zatem że sesowie byłoby przyjąć dla osi X: 5-50 ma a dla osi Y: -3 V. Moża też przyjąć skalę dla osi X: 0-5 ma a dla osi Y: 0-30 V. Dzięki temu moża będzie pokazać całość słupków iepewości oraz że otrzymaa zależość rzeczywiście jest typu y = ax. (Krzywa teoretycza przejdzie blisko puktu (0,0)). Koleją ważą rzeczą jest odpowiedie dobraie podziałek a osiach. Powiy oe ułatwiać czytaie wykresu. Zwróćmy jeszcze raz uwagę a fakt że skala a wykresie zawsze powia być dobraa do pomiarów. W szczególości ie zawsze ależy zaczyać od zera, jedyie tam gdzie jest to uzasadioe Jakie jeszcze iformacje powiy zaleźć się a wykresie? Zawsze trzeba zatytułować wykres i opisać osie. Opis osi zawiera dwa elemety: wielkość fizyczą oraz jej jedostkę. Zatem oś X będzie opisaa: I [ma] albo I /ma, atomiast oś Y: U [V] albo U /V. Dobrze jest zatytułować wykres, podając wprost zależość którą ilustruje. W aszym przykładzie moża to zrobić p. tak: Zależość U(I) dla oporika R. Legedę możemy umieścić a wykresie lub też stosowe wyjaśieia zamieścić w opisie wykresu. Gotowy wykres może wyglądać p. tak: Stroa z 65

12 Rysuek 3: Zależość U(I) dla oporika R. Wykres przykładowy. Poieważ a wykresie ie ma legedy trzeba jeszcze w podpisie zamieścić iformacje: Kropki przedstawiają pukty pomiarowe, a prosta jest dopasowaą do daych doświadczalych fukcją: U (I )=RI + b. Wykres jest gotowy! Jedak cały wysiłek z rysowaiem wykresu poszedłby a mare gdybyśmy ie podali wyiku: R = 455(5) Ω, b = 0,04(0,4) V. Wartości w awiasach to iepewości pomiarowe. Dopasowywaie fukcji do daych doświadczalych oraz zapisywaie wyików zostaie dokładiej omówioe późiej Histogram Wróćmy a momet do przykładu ze Wstępu. Jak ajlepiej pokazać wyiki rzutów kostką? W tym przykładzie ie jest waża kolejość wyików. Nie jest dla as istote czy wyrzuciliśmy po kolei: 3, 5,, oczka czy też 5,,, 3. Waże jest, że w sumie, w całym eksperymecie, uzyskaliśmy wyiki jak w tabeli. Taki rodzaj wykresu azywa się histogramem. Na rysuku 4 wyiki zaprezetowae są a dwa sposoby. Po prawej skala pioowa przedstawia liczbę wystąpień daej liczby oczek. Po lewej zaś skala pioowa to częstotliwość występowaia daej liczby oczek. Obydwa wykresy są poprawe. Który wybrać? Najlepiej te, który będzie bardziej pasował do mierzoej wielkości czy też filozofii obliczeń. Stroa z 65

13 Rysuek 4: Dwa przykładowe histogramy różiące się skalą pioową. Po lewej zliczeia po prawej częstotliwość. 4. Jak poprawie zapisać wyik? Cała praca wykoaa przy pomiarach i aalizie otrzymaych wyików byłaby iepotrzeba gdybyśmy ie byli w staie podać kokretego wyiku (p. opór elektryczy oporika to 455,439 Ω). Ale musimy pamiętać o iepewości otrzymaego wyiku. Jak zatem zapisać wyik? Po pierwsze musimy pozać przyjętą kowecję zapisu. Wprowadzeie jedolitych ozaczeń bardzo ułatwia czytaie publikacji, orm, specyfikacji i wszystkich iych tekstów tego typu. Jeżeli zatem mierzoą wielkość ozaczyć X to jej iepewość będziemy ozaczać u(x). Litera u pochodzi od agielskiego słowa 'ucertaity' które ozacza właśie iepewość. Na przykład: iepewość długości L ozaczymy u(l) a iepewość apięcia elektryczego U ozaczymy u(u). Po drugie musimy uświadomić sobie, że precyzja wyiku jest całkowicie determiowaa przez iepewość. Pierwszym krokiem jest zatem zaokrągleie iepewości do jedej lub maksymalie dwóch cyfr zaczących, tz. pierwszej albo dwóch pierwszych cyfr różych od zera. Wyika to z faktu że iepewość też jest wyzaczoa z pewą iepewością. Na przykład jeżeli w wyiku obliczeń otrzymaliśmy iepewość Ω to ależy apisać u(r) = 0.5 Ω (albo u(r) = 0.53 Ω). Następie trzeba z taką samą dokładością zapisać wyik. Poieważ iepewość zaokrągliliśmy do części dziesiątych, rówież wyik musimy zapisać z taką samą dokładością. Guide podaje cztery sposoby zapisu iepewości:. R = Ω, uc(r) = 0.5 Ω. R = 455.4(5) Ω 3. R = 455.4(0.5) Ω 4. R = (455.4 ± 0.5) Ω Stroa 3 z 65

14 Którą metodę wybrać? Każda z metod ma swoje wady i zalety oraz oczywiście rzesze zagorzałych zwoleików i przeciwików. ad.. Ta metoda zapisu jest po prostu długa i przez to mało wygoda i mało czytela. ad.. Ta metoda zapisu jest często stosowaa w pracach aukowych. W szczególości jest użytecza w tabelkach ze względu a swoja kompaktową formę. ad. 3. Ta metoda jest bardzo podoba do tej z pkt.. Naszym zdaiem jest jedak czyteliejsza. Zapisaie iepewości jako wartości bezwzględej zaczie przyspiesza jej iterpretację. ad. 4. Zapis z puktu czwartego jest często stosoway w tekście. Nie jest o jedak zalecay przez Guide poieważ może być źle ziterpretoway przez ieuważego Czytelika. W bardzo podoby sposób zapisujemy iepewości rozszerzoe o których będzie mowa dalej. 5. Jak oszacować iepewość pomiaru Guide podzielił metody szacowaia iepewości pomiarowych a dwie grupy azwae Metoda A i Metoda B. Poiżej zamieściliśmy opisy obydwu. 5.. Metoda A Prezetację Metody A zaczijmy od rozważeia przykładu. Wykoao 40 pomiarów grubości płytki ołowiaej za pomocą śruby mikrometryczej. Niepewość systematycza związaa z użytym przyrządem pomiarowym wyosi zatem x=0.0 mm. Wyiki pomiaru przedstawioo w postaci histogramu a rysuku 5 wybierając szerokość przedziału 0.05 mm. Gdybyśmy mieli możliwość wykoaia pomiarów grubości płytki ołowiaej z jeszcze większą dokładością (iepewość systematycza pomiaru x 0 ) i bardzo wiele razy ( ) wówczas wykres przedstawioy a rysuku 5 dążyłby do fukcji ciągłej: Stroa 4 z 65

15 Rysuek 5: Histogram 40 pomiarów grubości płytki ołowiaej. x = lim x 0 Fukcja ta osi prawdopodobieństwa. azwę różiczkowego Zajomość gęstości p x x () rozkładu prawdopodobieństwa prawdopodobieństwa lub pozwala gęstości obliczyć prawdopodobieństwa zalezieia wartości x w przedziale ( x, x +Δ x ) : p ( x)=ϕ( x )Δ x. Na rysuku 5 moża łatwo zaobserwować podstawowe cechy rozkładu pomiarów obarczoych iepewościami przypadkowymi: rozkład ma jedo maksimum, jest symetryczy i szybko maleje w miarę oddalaia się od maksimum. Jeżeli założymy, że iepewość przypadkowa pojedyczego pomiaru składa się z szeregu iepewości elemetarych, których akładaie się a siebie ze zakiem plus lub mius określoe jest idetyczym prawdopodobieństwem p = 0.5, to możemy oczekiwać że rozkład iepewości przypadkowej dużej liczby pomiarów opisay będzie krzywą Gaussa: x = e a x. Stroa 5 z 65 ()

16 Dowód tego twierdzeia zajduje się w książce A. Wróblewskiego i J. Zakrzewskiego pt. Wstęp do fizyki a stroie 54 (wyd I). Fukcja x opisywaa wzorem () osi azwę rozkładu Gaussa lub rozkładu ormalego. Zależy oa od dwu parametrów a i σ oraz spełia waruek ormalizacyjy x dx= (3) Waruek te wyika z faktu, że prawdopodobieństwo zalezieia wyiku pomiaru w przedziale od x do x+ dx jest rówe x dx, a prawdopodobieństwo zalezieia dowolej wartości w przedziale od do + musi być rówe. Parametry a i σ mają łatwą iterpretację aalityczą. Dla wartości x=a fukcja ϕ( x) osiąga maksimum. Parametr σ ma atomiast tę cechę że wartość a i a określają pukty przegięcia krzywej Gaussa. A więc wartość σ zwyczajowo traktuje się jako miarę szerokości rozkładu. Statystyczą iterpretację parametrów a i σ zajdzie czytelik w rozdziale. Wykazao tam, że wartość a przy której fukcja Gaussa przyjmuje maksimum, jest wartością oczekiwaą E(X) rozkładu, parametr σ atomiast jest pierwiastkiem kwadratowym z wariacji D(X). Z puktu widzeia pomiaru atomiast parametr a jest iterpretoway jako wyik pomiaru (dokładie jest to ajlepsze zae am przybliżeie wartości rzeczywistej mierzoej wielkości fizyczej). Parametr σ iterpretoway jest jako iepewość stadardowa pomiaru. W tym miejscu trzeba jeszcze zwrócić uwagę że parametr σ jest wielkością której wartości igdy ie pozamy. Możemy atomiast łatwo wyliczyć jej estymator (czyli przybliżeie) korzystając z wartości otrzymaych w eksperymecie. Estymator te ozacza się przez S. Ozaczeia te często stosuje się zamieie chociaż ie jest to do końca ścisłe. Z przedstawioych a rysuku 6 wykresów fukcji Gaussa dla różych wartości parametru σ widać, że ze wzrostem wartości σ rozkłady stają się coraz bardziej spłaszczoe, co moża iterpretować jako wzrost liczby pomiarów różiących się od wartości rzeczywistej. Stroa 6 z 65

17 Rysuek 6: Wykresy fukcji Gaussa dla różych wartości parametru S i dla x0 = 0. Rozkład Gaussa jest rozkładem ciągłym, dobrze przybliżającym am doświadczaly rozkład pomiarów, w których domiują iepewości przypadkowe. Stoimy teraz przed praktyczym problemem oszacowaia parametrów tego rozkładu a podstawie skończoej liczby pomiarów. Wartość rzeczywistą x0, którą ziterpretowaliśmy jako wartość oczekiwaą rozkładu, ajlepiej przybliży am średia arytmetycza: xi i= x = (4) Parametr σ określający rozrzut wyików wokół wartości rzeczywistej x0 przybliżamy wielkością σx liczoą a podstawie wzoru: σ x= ( x 0 x i) i= (5) Poieważ ie zamy jedak wartości rzeczywistej x0, a jedyie jej oszacowaie przez średią arytmetyczą x, posługujemy się wzorem w postaci Stroa 7 z 65

18 sx= ( x x i) i= (6) Tak zdefiiowaa iepewość pomiarowa osi azwę odchyleia stadardowego pojedyczego pomiaru: stosuje się rówież azwę średiego błędu kwadratowego. Różica pomiędzy wzorami 5 i 6 polega ie tylko a zastąpieiu wartości rzeczywistej x0 przez średią arytmetyczą x, ale rówież a zamiaie miaowika z a. Wyika to z faktu, że w licziku, który jest sumą kwadratów odchyleń pomiaru xi od średiej arytmetyczej x, mamy już tylko iezależych składików: -ty składik moża zawsze wyliczyć z defiicji średiej arytmetyczej. Dokłade wyprowadzeie tej zależości moża zaleźć w rozdziale. Wielkość sx określa iepewość przypadkową pojedyczego pomiaru i jej wartość ie zależy od liczby pomiarów, a tylko od właściwości obiektu mierzoego i waruków, w jakich jest wykoyway pomiar, poieważ tylko te czyiki decydują o szerokości rozkładu prawdopodobieństwa. Dla eksperymetatora wykoującego pomiarów daej wielkości ajistotiejsza jest ocea, o ile i z jakim prawdopodobieństwem wyzaczoa wartość średia x różi się od wartości rzeczywistej x0. Wielkością pozwalającą a taką oceę jest odchyleie stadardowe średiej, oszące rówież azwę średiego błędu kwadratowego średiej, zdefiiowae wzorem: s s x = x = ( x x i) i= (7) ( ) Wzór te wyprowadzimy w astępym rozdziale. Z powyższego wzoru wyika, że odchyleie stadardowe średiej maleje ze wzrostem liczby pomiarów. Fakt, że odchyleie stadardowe średiej s x jest razy miejsze od odchyleia stadardowego pojedyczego pomiaru, moża wytłumaczyć astępująco: wyobraźmy sobie że wykoujemy kilka serii pomiarowych jakiejś wielkości x. Z każdej serii otrzymujemy troszeczkę ią wartość średią, ale rozkład tych wartości będzie zaczie węższy od rozkładu pomiarów bezpośredich, gdyż w wartościach średich otrzymujemy zaczie miejszy rozrzut. Odchyleie stadardowe rozkładu sx średich będzie właśie rówe. Stroa 8 z 65

19 Wartość s x określa wielkość rozrzutu wyiku wokół wartości średiej: x±s x w którym z prawdopodobieństwem 68% moża oczekiwać wartości rzeczywistej. Stadardowo, wyik pomiaru podajemy a poziomie jedego odchyleia stadardowego (iepewość stadardowa) i tylko w iych przypadkach (iepewości rozszerzoej) musimy obok końcowego wyiku podawać dodatkowe iformacje. Co waże, wzory 4 i 7 oraz ich iterpretacja są słusze zawsze, awet jeżeli ie możemy posługiwać się rozkładem Gaussa. Metoda A polega właśie a wyliczeiu z tych wzorów wartości średiej i odchyleia stadardowego dla uzyskaej serii pomiarów. Na zakończeie wróćmy do pomiarów grubości płytki ołowiaej, których wyiki zostały przedstawioe w postaci histogramu a rysuku 5. Średia arytmetycza obliczoa dla 40 pomiarów wyosi x = x i /=.07 mm, a odchyleie stadardowe średiej obliczoe za pomocą wzoru (7) wyosi s x =0.0 mm. Wyik pomiaru grubości tej płytki powiie być zatem przedstawioy w sposób astępujący: x ±s x =.07±0.0 mm., gdyby ie potrzeba oszacowaia iepewości Metodą B. 5.. Metoda B Opis Metody B rozpocziemy rówież od aalizy pewego kokretego przypadku. Wykoując pojedyczy pomiar jakiejś wielkości ie możemy posłużyć się opisaą w poprzedim rozdziale metodą. Na iepewości pomiarowe w takim przypadku składają się dwa przyczyki, jede pochodzący od użytego przyrządu pomiarowego ( x), drugi związay z wykoywaiem czyości pomiarowej przez obserwatora ( xe). Niepewość związaa z użytym przyrządem zależy od klasy dokładości tego przyrządu wskazującej a jego odstępstwa od wzorca. W dobrych przyrządach pomiarowych podziałka skali zgadza się zwykle z klasą daego przyrządu, która ozacza maksymalą iepewość woszoą przez sam przyrząd, p. dla termometru pokojowego iepewość maksymala t=º C, a dla miarki milimetrowej l= mm, itp. Niepewość odczytu ustala sam obserwator, uwzględiając róże czyiki wpływające a wyik pomiaru. Tak więc, jeśli wykoujemy pomiar apięcia woltomierzem aalogowym, jego klasę Stroa 9 z 65

20 odczytujemy z tabliczki zamioowej. Przyrząd klasy, a zakresie 300V, pozwala dokoać pomiaru z iepewością 300 V (zakres) % (klasa przyrządu) = 3V. Dodatkowo kostrukcja skali i sposób odczytu wyiku może staowić koleje źródło iepewości pomiaru. W przypadku odczytu z mierika może to być p. pół działki (w tym przykładzie pomiiemy to źródło iepewości). Tak określoą iepewość pomiarową azywamy często maksymalą, przyjmując że rzeczywista wartość mierzoej przez as wielkości mieści się z prawdopodobieństwem 00% w określoym przez as przedziale. Taką sytuację zwykle opisuje się rozkładem prostokątym patrz Rysuek 7. { 0 p x = x dla x x x ; x x dla x x x ; x x Poieważ zdecydowaliśmy się przedstawiać iepewości pomiarowe a poziomie jedego odchyleia stadardowego to musimy z iepewości maksymalej oszacować iepewość stadardową. Czyli wyliczyć odchyleie średie stadardowe rozkładu prostokątego. Parametr te moża policzyć wprost z defiicji (wprowadzoe ozaczeia a=x x, b=x x ): Rysuek 7: Rozkład prostokąty. b b b x b a b+ a E ( X )= x p(x )dx= x dx= = = b a b a a b a a a b b a a 3 3 ( ) b a b a b a = = 3(b a) [( ) ( ) ] 3 ( ) σ = ( x E ( X ) ) p( x)dx= b+a x ( b+ a dx= x b a 3(b a ) Stroa 0 z 65 3b ) = a

21 Zatem: u ( x )= Δx 3 (8) Czyli iepewość stadardowa pomiaru w przypadku wspomiaego powyżej woltomierza klasy a zakresie 300V będzie: u U = 3V = V, 3 a zatem wyik pomiaru zapiszemy: U = 39() V. Zaim przejdziemy do astępego tematu ależy się słowo wyjaśieia. W zamieszczoym dwie liijki wyżej przeliczeiu iepewości maksymalej apięcia a iepewość stadardową celowo apisaliśmy absurdalie dużo cyfr. Chcieliśmy pokazać że zawsze powia oa być zapisaa z odpowiedią precyzją, pomimo dużej precyzji obliczeń zapewiaej przez współczese komputery czy kalkulatory. Iymi słowy, to a as, świadomych użytkowikach, spoczywa obowiązek iterpretacji otrzymaych liczb. Stroa z 65

22 6. Jak dodać do siebie iepewości? Na iepewość mierzoej wielkości ma wpływ kilka czyików. Na ogół mamy do czyieia z iepewościami przypadkowymi, iepewościami wyikającymi z rozdzielczości przyrządu i iepewościami odczytu wartości przez eksperymetatora. Czasami powiiśmy uwzględiać rówież ie czyiki. Odpowiedź a pytaie jak uwzględić te wszystkie czyiki przedstawioa jest właśie w tym rozdziale. 6.. Niepewości pomiarów bezpośredich Jak już wspomialiśmy, przyjęto kowecję że wszystkie iepewości wyrażae są jako iepewości stadardowe tz. odpowiadające wariacji rozkładu. Jeżeli pomiar obarczoy jest różymi, opisaymi wcześiej iepewościami musimy uwzględić w końcowym wyiku każdą z ich. Poieważ jedak iepewości są wyrażoe jako odchyleia stadardowe do ich sumowaia musimy posłużyć się metodami odpowiedimi dla dodawaia odchyleń stadardowych 4. ( Δ x) (Δ x e ) u c ( x)= u ( x) s (9) Czytelik mógł zauważyć, że a ozaczeie iepewości (podawaej a poziomie jedego odchyleia stadardowego) dotychczas zastosowaliśmy aż cztery symbole: u C, us, sx, σ. Poiżej wyjaśieie zaczeia tych symboli: σ sigma jest to parametr fukcji Gaussa rówy pierwiastkowi z wariacji sx es iks jest estymatorem sigmy us jest to iepewość stadardowa wyzaczoa metodą A uc jest to iepewość (rówież stadardowa) wyzaczoa ze wzoru 9, czyli uwzględiająca róże źródła iepewości. Warto podkreślić że bardzo często wszystkie z powyższych wielkości azywa się po prostu iepewością (lub iepoprawie błędem) pozostawiając Czytelikowi domyśleie się z kotekstu o której kokretie wielkości mowa. 4 Wyika o z faktu że rozkład sumy zmieych losowych jest splotem rozkładów tych zmieych. Formale uzasadieie moża zaleźć w każdym podręcziku do statystyki. Stroa z 65

23 Dobrą ilustracją tego zagadieia będzie kotyuowaie rozważań o iepewości pomiarowej grubości płytki ołowiaej. W rozdziale 5. a podstawie 40 pomiarów grubości płytki przy pomocy śruby mikrometryczej wyzaczoo średią wartość grubości oraz jej iepewość stadardową: x=.07 mm u s x =0.0 mm W tych obliczeiach ie uwzględioo jedak iepewości pochodzących z dokładości przyrządu pomiarowego x oraz iepewości pochodzącej od eksperymetatora x e. Niepewość śruby mikrometryczej określamy z jej rozdzielczości. Niepewość eksperymetatora jest związaa z odczytem wartości z podziałki śruby. Autorzy tego skryptu doszli do wiosku że, rozsądie będzie przyjąć połowę działki skali śruby jako tę iepewość (czyli x e =0.005 mm ). Po wprowadzeiu tych wielkości do wzoru (9) otrzymujemy: Δ x=0.0 mm u c ( x)= (0.0)+ Δ x e =0.005 mm ( 0.0) (0.005) + =, A więc ostateczie wartość grubości płytki ołowiaej wyiesie5: x=.07±0.03 mm W sytuacjach, gdy iepewość przypadkowa pomiaru jest zaczie większa (przyajmiej o rząd wielkości) od iepewości wyikającej z użytego przyrządu i działalości eksperymetatora uwzględiaie tych dwóch ostatich iepewości ie ma wielkiego sesu. 6.. Niepewości pomiarów pośredich Problem dodawaia iepewości pośredich uważay jest przez studetów za dość skomplikoway. I ie moża się temu dziwić. Złożoość problemu polega a tym, że wyik dodawaia dwóch iepewości rówych ie jest wcale 4, lecz 8. Aby te szok pozawczy ieco złagodzić podamy ajpierw chyba ajprostszy z możliwych przykładów. Następie apiszemy wzór a dodawaie iepewości pośredich gdy wyik końcowy zależy tylko od wyików pomiarów dwóch wielkości fizyczych i zilustrujemy te problem prostym przykładem. Na zakończeie wyprowadzimy wzór dla dowolej liczby wielkości mierzoych. 5 Wyik moża rówież zapisać jako: x =.07(3) mm x =.07(0.03) mm x =.07 mm uc(x) = 0.03 mm Stroa 3 z 65

24 6... Chyba ajprostszy przykład Na samym początku rozważmy chyba ajprostszy z możliwych przykładów 6. Powiedzmy, że iteresuje as jakaś wielkość F która jest sumą dwóch iych wielkości X i Y. Wielkości F ie możemy zmierzyć bezpośredio, ale możemy zmierzyć wielkości X i Y. Wyliczeie wartości F ie jest trude bo jest to zwykłe dodawaie. Pytaiem a które musimy dać odpowiedź jest jak zaleźć iepewość wielkości F zając iepewości wielkości X i Y. Wróćmy do przykładu z rozdziału 5. gdzie do wymodelowaia pomiaru posłużyliśmy się rozkładem Gaussa. Upraszczając ieco rozumowaie, ale ie tracą ic z jego ogólości, przyjmijmy, że wartości wielkości X i Y są rówe zero a ich iepewości są odpowiedio u ( x)=σ x u( y)=σ y. Możemy zatem apisać że: P x ~e x x P y ~e y y Iteresujące dla as jest zalezieie rozkładu prawdopodobieństwa wielkości F. Poieważ jest oa sumą X i Y możemy zacząć od zalezieia prawdopodobieństwa zmierzeia pary (x,y), które to jest po prostu iloczyem prawdopodobieństwa uzyskaia wartości x i prawdopodobieństwa uzyskaia wartości y. Czyli: P ( x, y ) e x σx ( e x y + σ x σ y y σy =e ). Przekształćmy ieco wykładik: y x x y x y x y x y = = z x y x y x y x y x y Zatem prawdopodobieństwo P(x, y) moża zapisać jako: P x, y =P x y, z ~e x y x y e z Zauważmy, że zdarzeie polegające a wystąpieiu pary (x, y) zastąpiliśmy parą (f = x+y, z), a to już prawie poszukiwaa gęstość prawdopodobieństwa. Trzeba jeszcze tylko pozbyć się zależości od z. Moża to zrobić dosyć łatwo: trzeba zsumować prawdopodobieństwa wystąpieia x+y dla 6 Przykład zaadoptoway z książki Joha R. Taylora Wstęp do aalizy błędu pomiarowego. Stroa 4 z 65

25 wszystkich wartości z, czyli policzyć całkę ozaczoą7 po całym przedziale zmieości zmieej z. Dochodzimy zatem do wyiku: P f =P x y = P x y, z dz ~e x y x y =e f f Co to ozacza? Że owa zmiea losowa f = x + y rówież ma rozkład Gaussa. Wartość średia jest rówa zero (bo 0 = 0 + 0), atomiast odchyleie średie stadardowe wielkości f rówe jest pierwiastkowi z sumy kwadratów odchyleń stadardowych x i y: σ f = σx + σ y. Rysuek 8: Graficza ilustracja dodawaia zmieych losowych Przykład ieco bardziej złożoy. W tym paragrafie będziemy zajmowali się obliczaiem iepewości wielkości złożoej f(x,y), która zależy tylko od dwóch wielkości x i y mierzoych bezpośredio. To że wielkość została zmierzoa ozacza że zamy ie tylko jej wartość ale rówież iepewość (stadardową), zatem zamy rówież uc(x) i uc(y). Wówczas iepewość stadardowa (a poziomie jedego odchyleia stadardowego) wielkości f(x,y) jest rówa: u ( f (x, y ))= ( ) f x ( ) u ( y). f u ( x)+ y Przypomijmy tu jeszcze raz, że zwykle, jeśli pomiar polega a otrzymaiu serii wyików to wielkości średie x i y iterpretujemy jako wyik pomiaru, atomiast odchyleie średie 7 Warto tu przypomieć że: + e z = π Stroa 5 z 65

26 stadardowe wartości średiej s x uzajemy za iepewość stadardową wyiku pomiaru. Zastosujmy poday powyżej wzór w praktyce. W poprzedim rozdziale wyzaczyliśmy grubość płytki ołowiaej, która wyosi x =.07(0.03) mm. Wyzaczmy objętość tej płytki, jeśli pomiary średicy wykoae za pomocą suwmiarki zostały umieszczoe w tabeli 3. Liczba wyików pomiarów i Wyik pomiaru i [cm] Tabela 3: Wyiki pomiarów średicy płytki. Korzystając ze wzorów (5) i (6) obliczamy średią wartość średicy płytki oraz odchyleie stadardowe średiej Metoda A. Rówież szacujemy iepewości maksymale związae z przyrządem i eksperymetatorem Metoda B. φ =4.894 cm u s (φ )=0.00 cm Δ φ =0.0 cm Δ φ e =0.005 cm Całkowita iepewość stadardowa średicy płytki jest zatem: Δ φ Δ φ e uc (φ )= ( u s ( φ ) ) + + = = = = A więc φ =( 4.894±0.006)cm. Objętość płytki obliczamy ze wzoru: v =v, x = x. Podstawiając odpowiedie wartości liczbowe otrzymujemy (Uwaga! Grubość x płytki wyrażoa jest w mm trzeba zatem przeliczyć ją a cm.): ( ) v = = cm3 Następie obliczamy iepewość objętości płytki posługując się wzorem (6). u c (v )= ( v φ ) u c (φ )+ ( ) v u c (x )= x ( π φ x u (φ )+ π φ u (x ) c c 4 Stroa 6 z 65 ) ( )

27 Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy: ( ) ( ) u c (v )= = = = cm Zwróć Czyteliku uwagę a dwie rzeczy. W wyrażeiu powyżej, pod pierwiastkiem jest suma dwóch składików. Są to dwa przyczyki do iepewości wyzaczeia objętości pochodzące od iepewości wyzaczeia średicy (pierwszy) i iepewości wyzaczeia grubości (drugi). Patrząc a wartości liczbowe widać, że domiuje iepewość związaa z pomiarem średicy. Po drugie zaś, pomimo dużej precyzji obliczeń (która to jest jak ajbardziej pożądaa) wyik został zapisay z odpowiedią dokładością. Najpierw iepewość została zapisaa z dokładością do dwóch cyfr zaczących a astępie wyik z taką samą dokładością co iepewość. Ostateczy wyik zatem zapisujemy w postaci8: v =( 0.7±0.) cm Wyprowadzeie wzoru ogólego. Załóżmy, że wielkość fizycza z jest fukcją dwóch iych wielkości fizyczych x i y, których pomiar możemy wykoać bezpośredio: z = f ( x, y). Próbki pomiarów wielkości x i y mają rozkłady o zaych parametrach x, x i y, y. Jak a podstawie tych iformacji oceić rzeczywistą wartość i odchyleie stadardowe wielkości z? Ustalmy, że wykoaliśmy pomiarów wielkości x i m pomiarów wielkości y. Na podstawie dowolego pomiaru xi i dowolego pomiaru yk możemy otrzymać jakąś wartość wielkości złożoej z ik = f ( xi, y k ). Zauważmy, że liczba możliwych możliwych do otrzymaia wielkości zik rówa jest iloczyowi m. Moża wykazać że średią wartość z, rówą z defiicji: z = m z m i= j= ik (0) dobrze przybliża zależość z = f x, y (). Zatem, aalogiczie jak przy pomiarach bezpośredich wartość średią z przyjmiemy jako 8 Rówie dobre będą otacje: v = 0,7() cm3 czy też v = 0,7(0,) cm3. Stroa 7 z 65

28 ajlepsze przybliżeie jej wartości rzeczywistej. Poiżej wyprowadzimy wzór a odchyleie stadardowe wielkości złożoej z = f ( x, y). Wprowadźmy ozaczeia d i= x i x 0 i=,,..., g k = y k y 0 j=,,..., m w ik =z ik z 0 gdzie: x0, y0, z0 wartości rzeczywiste zmieych x, y, z. Rozwijając fukcję z w szereg Taylora i pomijając wielkości małe drugiego i wyższych rzędów otrzymamy z ik = f ( xi, y k )= f ( x 0+ d i, y 0+ g k )= f ( x0, y 0 )+ d i f x x0, y0 + gk f y () x0, y 0 Poieważ oczywiste jest, że z 0 = f ( x 0, y 0), wzór przyjmuje postać w ik =d i f x x 0, y0 + gk f y x 0, y0 (3) A zatem odchyleie stadardowe sz wielkości złożoej z, które zgodie ze wzorem () jest rówe sz = m wik m i = k= (4) po uwzględieiu zależości (3) moża zapisać w postaci: m [ ]= f f g g d d g d g m [ x x y y ] f = di m i= j= x z 0 x0, y0 m i= j= x0 g g k y,y i i x0, y0 k i x0, y0 Jeżeli wielkości x i y są wyzaczoe iezależie, wówczas: m d i g k 0 i=0 k= oraz, zgodie ze wzorem (5), spełioe są zależości Stroa 8 z 65 x0, y0 k x0, y0

29 d i= m g k =m y x =, k= Po uwzględieiu powyższych zależości wzór (4) upraszcza się do postaci: z = x f x x 0, y0 f y y x0, y0 Przechodząc od wartości rzeczywistych do wartości średich, tz. stosując przybliżeie: f x = x, y f x f y x0, y0 = x, y f y x0, y0 oraz zastępując σ przez ich estymatory s, ostateczie otrzymujemy: sz = ( ) ( ) f x f s + y x y x, y x, sy. Uogóliając to a fukcję wielu zmieych f(x,, xn) mamy: sz = N j = ( f ( x, x, x 3,..., x N ) xj x, x, x..., x 3, N ) sx. (5) j Powyższy wzór osi azwę prawa przeoszeia odchyleń stadardowych. W tym momecie możemy udowodić wzór (5) a odchyleie stadardowe średiej arytmetyczej x. Otóż wartość średią x moża traktować jako wielkość mierzoą pośredio; obliczoą a podstawie wzoru: x = x x x N. Odchyleie stadardowe wartości średiej liczymy w oparciu o wzór (5) przyjmując, że estymatory odchyleń stadardowych pomiarów x, x,, x N są sobie rówe: s x =s x = =s x zatem: Stroa 9 z 65 N

30 f ( x, x, x 3,..., x N ) = xj ( ) N s x = j= sx j a więc: s x = sx. Warto zastaowić się ad statystyczą iterpretacją odchyleia stadardowego wartości średiej. Gdybyśmy zrobili kilka serii pomiarów i w każdej takiej serii policzyli wartość średią, wówczas rozkład wartości średich byłby rówież rozkładem ormalym o odchyleiu stadardowym miejszym iż odchyleie stadardowe dowolej serii. W przedziale x ±s x powio się mieścić 68% wartości średich ze wszystkich serii pomiarowych. Estymator odchyleia stadardowego wartości średiej z otrzymujemy wstawiając do wzoru (5) odchyleia stadardowe średich zamiast odchyleń stadardowych pojedyczych pomiarów: s z = N j = ( f ( x, x, x 3,..., x N ) xj x, x, x..., x 3, N ) sx (6) j Odchyleie stadardowe wielkości mierzoej pośredio ma aalogiczą iterpretację statystyczą jak odchyleie stadardowe wielkości mierzoej bezpośredio. Stroa 30 z 65

31 7. Jak dopasować teorię (model matematyczy) do daych doświadczalych? 7.. Metoda ajmiejszych kwadratów W doświadczeiach często się zdarza, że jeda mierzoa przez as wielkość y jest fukcją drugiej mierzoej wielkości x, przy czym mierzymy jedocześie wartości xi i yi. Na przykład mierzymy wartość oporu w zależości od temperatury, czy też wielkość prądu płyącego przez fotokomórkę, w zależości od długości fali padającego światła. Zmierzoe wartości przedstawiamy astępie a wykresie i próbujemy zaleźć krzywą odpowiadającą fukcji y = f(x), która ajlepiej opisywałaby przebieg puktów doświadczalych. W ogólym przypadku, fukcja ta ma m+ parametrów, co możemy wyrazić jako y = f(x, a0,, am). Parametry te są liczbami, które chcemy wyzaczyć. Ze względu a to, że pomiary xi i yi są obarczoe iepewościami przypadkowymi, rówaia y = f(x, a0,, am) ie są igdy ściśle spełioe, a więc y i f ( x i, a 0,, a m )=d i (7). Za ajbardziej prawdopodobe parametry a0,, am uważamy takie, dla których suma kwadratów odchyleń di będzie ajmiejsza, tz.: [ y i f (x i, a 0,..., a m ) ] =mi (8) i= Zakładamy przy tym, że odchyleia di mają rozkład ormaly. Zastosujemy teraz metodę ajmiejszych kwadratów do obliczeia parametrów fukcji liiowej. Załóżmy, że wykoujemy pomiar wielkości y, podlegającej rozkładowi ormalemu i będącej fukcją liiową wielkości x, której iepewości przypadkowe możemy zaiedbać. Pukty Pi odpowiadające parom wielkości mierzoych xi, yi układają się wokół szukaej prostej y=ax + b (9). Jeśli podstawimy do tego rówaia zmierzoą wartość xi, to otrzymamy wartość y i=axi + b (0) Stroa 3 z 65

32 odbiegającą a ogół od zmierzoej wartości yi. Parametry prostej a i b musimy dobrać w te sposób, aby suma kwadratów różic między wartościami zmierzoymi yi i obliczoymi była ajmiejsza, czyli ( y i ax i b ) =mi (). i= Warukiem koieczym istieia ekstremum tego wyrażeia jest zerowaie się pochodych cząstkowych względem a i b, tj. ( x i )( y i axi b )=0, i= ( ) ( y i axi b )=0. i= Po dokoaiu przekształceń algebraiczych otrzymujemy układ rówań liiowych i= i= i= x i y i a x i b xi =0, i= i=i y i a x i b=0. Rozwiązując te układ rówań względem a i b otrzymujemy parametry prostej ajlepiej pasującej do daych pomiarowych x i y i x i yi a= i= i= i = i= (), x i x i i= x i x i y i y i x i b= i= i= i= i= i= x i x (3) i i = A odchyleie stadardowe sa i sb współczyików a i b oblicza się ze wzorów: Stroa 3 z 65

33 s a= s b= d i i = d i= i ( ) x i i = xi (4) i= x i i= ( ) x i i= i= (5) xi gdzie: d i = y i ( axi + b). Powyższe wzory zostały wyprowadzoe po założeiu, że wszystkie wielkości yi zmierzoe zostały z jedakową dokładością i obarczoe są tylko iepewościami przypadkowymi. Wówczas, gdy wielkości yi zmierzoe zostały z różymi dokładościami, musimy uwzględić wagi poszczególych pomiarów i wzory zaczie się komplikują. W wielu przypadkach, jeżeli zależość między y i x ie jest liiowa, możemy aszą fukcję sprowadzić do postaci liiowej poprzez odpowiedią zamiaę zmieych. Do postaci liiowej łatwo jest sprowadzić fukcję wykładicza typu y=ce ax Po zlogarytmowaiu otrzymujemy l y=l c+ ax. Po podstawieiu z =l y, b=l c otrzymujemy fukcję liiową z =ax+ b. W podoby sposób moża do postaci liiowej sprowadzić fukcję potęgową y=cx a podstawiając z =log y, b=logc,t =log x, otrzymujemy z =at+ b. W przypadku fukcji typu hiperboliczego Stroa 33 z 65

34 a y= + b x postać liiową otrzymujemy przez podstawieie t =. x 7.. Dopasowaie do dowolego modelu Zdarza się, że fukcje z którymi mamy do czyieia są skomplikowae i ie dadzą się przekształcić do prostej. Mogą mieć zbyt wiele parametrów czy też ich postać matematycza może być bardziej złożoa. W takiej sytuacji metoda ajmiejszych kwadratów z rozdziału 7. ie daje się zastosować. Najprościej zastosować wtedy którąś z umeryczych metod optymalizacji fukcji. Metodą która łączy w sobie większość zalet zaych sposobów jest algorytm Leveberga Marquardta. Jest o zaimplemetoway w zakomitej większości programów do aalizy daych. Zatem, wcześiej czy późiej, będziesz zmuszoy jej użyć. Chcielibyśmy zatem przedstawić jej krótki opis, ajważiejsze cechy, zalety i oczywiście wady. Celem każdej optymalizacji jest miimalizacja (albo maksymalizacja) jakiejś fukcji zwaej fukcją celu. W przypadku dopasowaia modelu matematyczego do daych doświadczalych jest to zwykle odstępstwo puktów doświadczalych od krzywej teoretyczej mierzoe zmieą χ. Zajdowaie miimum przebiega w trzech krokach. Pamiętaj że zmieymi dla fukcji celu są parametry modelu! (Na pierwszy rzut oka może to być trochę skomplikowae.). po pierwsze, poprzez policzeie pochodych, sprawdzamy jaki jest wpływ poszczególych parametrów a fukcję celu. astępie zwykle zakładamy, że fukcja celu jest wielowymiarową parabolą (paraboloidą) i wyliczamy gdzie zajduje się jej miimum przy zadaej wielkości kroku 3. otrzymae miimum staje się owym puktem startowym jeżeli tylko jest lepsze tz. fukcja celu jest miejsza w owym miimum, jeżeli tak ie jest to wracamy do puktu i zmieiamy wielkość kroku 4. postępujemy tak do czasu aż uzyskiwae zmiay fukcji celu będą miejsze od zadaego progu. Opisaa powyżej metoda jest bardzo szybka. Zwykle miej iż 0 kroków pozwala osiągąć poszukiwae dopasowaie. Dzisiejszym komputerom zajmuje to miej iż sekudę! Nie ma też Stroa 34 z 65

35 żadych ograiczeń w używaych modelach matematyczych. Metoda ta dobrze działa jeśli zajdujemy się blisko miimum (tz. musimy dobrze zgadąć początkowe wartości wszystkich parametrów) i dobrze odgadiemy wartość kroku. Poieważ rezultat opiera się a doświadczeiu eksperymetatora (czyli zgadywaiu podbudowaym wiedzą i umiejętością) zawsze musimy być bardzo krytyczi w stosuku do otrzymaych rezultatów. Stosując zaś metodę ajmiejszych kwadratów otrzymamy poprawy wyik o ile ie pomyliliśmy się przy wprowadzaiu daych lub postulując model matematyczy. Stroa 35 z 65

36 8. Jeśli ie Gauss to co? Rozpad promieiotwórczy ma charakter statystyczy. Wyiki rozpadów promieiotwórczych opisywae są rozkładem Poissoa. W iiejszym rozdziale omówioy zostaie rozkład dwumiaowy, rozkład Poissoa oraz będzie poday przykład opracowaia wyików pomiarów promieiotwórczych. 8.. Rozkład dwumiaowy Wyprowadzeia rozkładu dwumiaowego ie będziemy przytaczać (kiedyś to wyprowadzeie staowiło materiał szkoły średiej). Przypomijmy tylko, że zmieą losową X o rozkładzie dwumiaowym otrzymujemy w astępującym schemacie doświadczeń, zwaym schematem Beroulliego. Dokoujemy doświadczeń losowych. W rezultacie każdego doświadczeia może zajść zdarzeie A z prawdopodobieństwem p i zdarzeie przeciwe do A z prawdopodobieństwem q = - p. Przyporządkujmy zdarzeiu A liczbę i zdarzeiu przeciwemu liczbę 0. W rezultacie doświadczeń losowych zdarzeie A może astąpić 0,,,..., razy. Wobec tego zmiea losowa X może przybierać wartości k = 0,,,...,, przy czym rówość X = k ozacza, że w doświadczeiach zdarzeie A zaszło dokładie k razy. Fukcja prawdopodobieństwa tej zmieej daa jest wzorem: () k k P ( X =k )= p ( p) (6) k i osi azwę rozkładu dwumiaowego. Nazwa ta wyika z faktu, że współczyiki (k) w powyższym wzorze pokrywają się ze współczyikami przy zk w rozwiięciu a szereg dwumiau ( + z). 8.. Rozkład Poissoa Rozkład Poissoa otrzymujemy jako przybliżeie rozkładu dwumiaowego przy przejściu do graicy z liczbą prób i założeiu, że prawdopodobieństwo pojedyczego zdarzeia p jest małe (co implikuje waruek k<<). Zastaówmy się, co dzieje się wówczas ze współczyikiem przy iloczyie prawdopodobieństw w Stroa 36 z 65

37 rozkładzie dwumiaowym () k ( k )!( k + )...( ) = ( k )! k! k k! (7) k Przekształćmy teraz iloczy prawdopodobieństw, wprowadzając ozaczeie y = ( - p) k. Logarytmując to wyrażeie otrzymamy l y = ( - k) l ( - p). Korzystając z przybliżeia ( k) oraz l ( - p) p dostajemy l y = - p, a więc: y=( p) k e p (8) Podstawiając te dwa przybliżeia, (7) i (8), do wzoru (6) otrzymujemy rozkład Poissoa: P ( k )= k k p p e k! (9) Ozaczmy iloczy p literą m i połóżmy k = x, wówczas rozkład Poissoa przyjmie postać (30). P m ( x)= m x m e x! (30) Wyrażeie (30) określa prawdopodobieństwo zarejestrowaia x rozpadów promieiotwórczych w obraym odciku czasu przy ustaloej wartości m. Zastaówmy się ad doświadczalą iterpretacją iloczyu p = m. Prawo wielkich liczb Beroulliego mówi am, że jeśli wykoujemy doświadczeń i prawdopodobieństwo. że astąpi zdarzeie A wyosi p, to przy dużej liczbie prób możemy określić oczekiwaą liczbę pozytywych zdarzeń jako p = m. Ilość pozytywych zdarzeń osi azwę wartości oczekiwaej w schemacie prób Beroulliego. Przypomijmy, że wartość oczekiwaa rówa jest z defiicji: Stroa 37 z 65