Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Wyznaczanie macierzy sztywnoci dla elementu czterowzłowego Q4

Transkrypt

1 Metod kompteroe oblczenoe Metoda lementó Skoczonch Wznaczane macerz sztnoc dla element czterozłoego Q lement czterozło Q sł do realzac oblcze szczególnch przpadkach trómaroego stan naprena odkształcena (płask stan naprena, płask stan odkształcena). a przkładze tego element poznam ogóln de zastosoana de MS mechance.. Kad kład rozpatran pod ktem rónoag statczne ms spełna rónana: σ, F które kładze płaskm mona zapsa postac: σ τ F τ σ F Posz kład róna rónczkoch defne zaleno pomdz oddzałanam zentrznm reakcam entrznm rozpatranm kładze.. Z praktcznego pnkt dzena nteres nas eszcze odkształcena przemeszczena, które zaemne s zalenone rónanam (zzk geometrczne): / (,, ) tzn. kładze płaskm: γ UWAGA! γ nale do odkształce konenc nnerske, a nale do konenc tensoroe.

2 . Pozostae eszcze zdefnoa relac pomdz stanem naprena odkształcena (zzk konstttne), któr przmem sobe postac lnoego praa Hooke'a: σ D z macerz sprstoc D płaskm stane odkształcena (PSO) postac: ) )( ( D z macerz sprstoc D płaskm stane naprena (PS) postac: D Mam zatem trz kład zalenoc : F(σ), () σ(), z którch proadzm rónana Metod lementó Skoczonch postac F(). Jel rozpszem: rónana z pkt.. posta macerzo (przenoszc F na pra stron): τ σ σ F F skróce:. [A] {σ} -{f} rónana z pkt. posta macerzo: γ skróce:. {} [A]{} rónana z pkt. posta macerzo :

3 dla PSO: γ τ σ σ ) )( ( dla PS: γ τ σ σ skróce:. {σ} [D]{} to podstaac rónan za {σ} rónane otrzmam: [A] [D]{} -{f} a podstaac dale za{} rónane : [A] [D][A]{} -{f} otrzmem szkan zaleno F(). Ponea elmnoalm z róna zaróno macerz stan naprena, ak stan odkształcena pozostaac ako neadome edne przemeszczena, tak zdefnoane zagadnene naza s sformłoanem przemeszczenom metod. Pełna posta naszego kład róna glda nastpco (PS):. F F zatem est to kład dóch róna rónczkoch czstkoch o neadomch postac składoch stan przemeszczena, które msm rozza ak metod nmerczn, np. metod elementó skoczonch (MS). Rozzane róna rónczkoch polega na ch całkoan, zatem msm podzel obszar, któr opsan est kładem poszch róna na czc element. Jel potraktem poedncz element ako bardzo mał cnek całoc, to bdzem mogl bez ksze szkod dla dokładnoc rozzana zastp (aproksmoa przbl) rzeczst przebeg przemeszcze danm elemence przt (znan) fnkc, któr naza s fnkc kształt, oznaczan przez. Ponea kad element defnoan est przez pnkt

4 (naroa-zł), to zakłada s, e nteresce nas przemeszczena dotcz tlko tch pnktó, a zatem, fnkce kształt danego element defnem tlko złach (póne okae s, e ne tlko ). p., dla element czterozłoego (czorobok) mam czter fnkce kształt: a b a b a b a b b a Zadane : a) Prosz prz ake artoc a b, a nastpne lcz po czter artoc dla kadego z czterech złó. b) Prosz narsoa przebeg fnkc po kradzach element. Jak bd glda przebeg pozostałch fnkc? Zatem przlm, e znam kształt przebeg artoc składoch przemeszczena elemence, bo załolm posta fnkc kształt, zatem neadom {} mona znacz doolnm mesc element z relac (znac przemeszczene samch złó { }): czl: [ ] []{ } [ ] []{ }

5 } []{ Skoro znam przebeg artoc składoch przemeszczena elemence starcz podsta do naszego kład dóch róna rónczkoch zamast {} (reprezentc cgł stan przemeszcze obszarze) - []{ } (reprezentc dskretne przemeszczena znaczane obszarze na podstae znanch fnkc kształt oraz znanch artoc przemeszcze złach) oraz scałkoa po obszarze element: a,,,, b } {f } dd{ gdze {f } to sł złach. Posz kład róna mona zapsa postac: [k m ]{}{f} zatem [k m ]: [k m ] a,,,, b dd gdze [k m ] est macerz sztnoc element. Prosz zaa, e proste form fnkc kształt łato s rónczk zgldem, zatem znaczane macerz sztnoc element czterozłoego est rzecz prost, lecz pracochłonn. Dalsze postpoane przebega g schemató z poprzednch za. W praktce ednak rzadko korzsta s z take form macerz sztnoc. Inna droga proadzena macerz sztnoc opera s na tz. podec energetcznm. Zakłada s, e całkota energa potencalna P analzoanego kład est padko energ skmloane odkształcenach U prac konane przez obcena L:

6 P U - L Regła mnmalzca energ potencaln kład maga, ab araca (zmana) δp bła ak namnesza, nalepe róna zero, t.: δp δu - δl nerga odkształce U zdefnoana est postac: U { σ} { }dd { } { σ} dd lb aracne: δu δ{ } { σ}dd { σ} δ{ } dd Jel podstam do zor na U za {σ} rónane to otrzmam: U { } [D]{ } dd eraz korzstam nasze fnkce kształt. Jel rónane zapszem zgldnac zamast {} dskretne artoc []{ }: {} [A][]{ } zaam, e składnkam macerz [A][] oznaczane przez [B] s pochodne fnkc kształt po zmennch : [B] [A][] (prosz spradz!) t..: {} [B]{ } a nastpne podstam do zor na U za {} posz zaleno to otrzmam: U { } [B] [D][B]{ } dd lb aracne: δu δ{ } [B] [D][B] δ{ } dd atomast praca obce zentrznch L est zdefnoana nastpco:

7 L {} {F} dd lb aracne δl δ{} {F} dd (prosz poróna z defnc energ (prac) oddzała zentrznch z kład z SP dot. hpersprstoc!). Wektor cgłego stan przemeszczena {} e zorze na δl te trzeba zamen na form dskretn []{ }, zatem: δl δ{ } [] {F} dd eraz racam do rónana energ potencalne podstaam zalenoc na δu δl: δp δu - δl δ{ } [B] [D][B] δ{ } dd - δ{ } [] {F} dd łczac δ{ } otrzmem: δp δ{ } ( [B] [D][B]dd δ { }- [] {F} dd ) Borc pod ag fakt, e rozpatrem eden element, całkota zmana energ potencalne bdze sm zman e szstkch elementach: zatem: lb: n δp ( δ{ } ( [B] [D][B]dd δ { }- [] {F} dd ) ) n n n ( [B] [D][B]dd δ { }- [] {F} dd ) ( [B] [D][B]dd δ { }) ( [] {F} dd Posz kład róna mona zapsa postac proszczone: n n [ k ] { } [ f ] m n czl nasz znaom kład: [k m ]{}{f} zsmoan ze szstkch elementó. Oczce znó macerz sztnoc element: [k m ] [B] [D][B] dd )

8 ne est łato znacz, ze zgld na całkoane pochodnch fnkc kształt (tak ak poprzedno). I t poaa s koncepca lokalnego globalnego kład spółrzdnch. Do te por szstko analzoalm ednm globalnm kładze spółrzdnch X-Y, tmczasem mona b rozpatra kad element nezalene kładze lokalnm, takm, ab podóna całka po poerzchn element mała grance poedzm od do, albo od do, tlko trzeba b zadba eszcze o przenesene nkó z lokalnego kład do globalnego. Okaze s, e fnkce transformce kład lokaln globaln mog me tak sam posta, co fnkce kształt, a to znakomce praszcza zagadnene (element, któr ma take same fnkce kształt transformacne naza s elementem zoparametrcznm). Przeledm to na przkładze naszego element czterozłoego. kład lokaln kład globaln a poszm rsnk przedstaono de kład lokalnego globalnego. Kad element MS mona z rzeczstego kształt przetransformoa na kształt reglarn, np. z doolnego czorokta na prostokt, z doolnego trókta na trókt prostoktn td. Jeszcze lepsza błab transformaca z doolnego czorokta na kadrat, tak transformac przedstaa rsnek pone. Czorokt kładze os ξ η stae s kadratem o rodk (przecce przektnch) pnkce P. Pnkt P kładze os ξ η ma spółrzdne (,), natomast erzchołk-zł odpoedno: (-,-), (-,), (,) (,-). Fnkce kształt ma nastpc posta: ¼ ( - ξ) ( - η) ¼ ( - ξ) ( η) ¼ ( ξ) ( η) ¼ ( ξ) ( - η)

9 kład os transformc dooln czorokt do kadrat Przpomn, e fnkce te sł do lczena przemeszcze doolnm pnkce obszar element, el znane s artoc erzchołkach (nterpolaca artoc). Zadane a) Prosz lcz po czter artoc dla kadego z czterech złó. b) Prosz narsoa przebeg fnkc po kradzach element. Jak bd glda przebeg pozostałch fnkc? Dla elementó zoparametrcznch fnkce te s ednoczene fnkcam transformcm artoc spółrzdnch z kład lokalnego do globalnego: []{} []{} gdze, spółrzdne złó kładze globalnm UWAGA! Za ξ η defncach podstaam spółrzdne danego mesca kładze lokalnm, a lczam tego samego mesca tle, e kładze globalnm. Zadane a) Dla danego ne czorokta znacz spółrzdne pnkt A, B C kładze globalnm, znac ch spółrzdne kładze lokalnm (odczta z kres).

10 b) Zaznacz połoene pnktó A, B C kładze globalnm. Układ globaln Układ lokaln.5 A B C Przece z kład globalnego z porotem do lokalnego ne est potrzebne. Wszstke potrzebne całk polczm kładze lokalnm przenesem nk do kład globalnego. Wraca ne ma po co. Przpomnm, e chcem scałkoa pochodne fnkc kształt po zmennch globalnch

11 , ak zatem posł s kładem lokalnm? Otó stosem dobrze znan regł rónczkoana (regła łacchoa): ξ ξ lb ξ ξ Ponea fnkce kształt zale od zmennch lokalnch ξ η, to łato e zrónczkoa zgldem tch zmennch. Zadane Polcz pochodne fnkc kształt po zmennch lokalnch: ξ ξ ξ ξ η η η η Regł łaccho moem zapsa macerzoo: ξ η ξ η ξ [J] η [ J] ξ η ξ η macerz pochodnch spółrzdnch kład globalnego po spółrzdnch kład lokalnego nos naz macerz Jacobego. Prosz zaa, e posza relaca dotcz przeca z kład globalnego do lokalnego (nk dzała po lee strone to pochodne kładze lokalnm). as ednak bardze nterese ce z kład lokalnego (czl nk kładze globalnm), tote odracam relac otrzmem:

12 [J] zatem edn rzecz, ak msm polcz, to element odrócone macerz Jacobego. Co est łate polcz: pochodne spółrzdnch kład lokalnego po globalnch, cz globalnego po lokalnch? Jel przrzm s rónanom transformac: które po podstaen defnc : glda nastpco: ξ η []{} []{} ¼ ( - ξ) ( - η) ¼ ( - ξ) ( η) ¼ ( ξ) ( η) ¼ ( ξ) ( - η) ¼ ( - ξ) ( - η) ¼ ( - ξ) ( η) ¼ ( ξ) ( η) ¼ ( ξ) ( - η) ¼ ( - ξ) ( - η) ¼ ( - ξ) ( η) ¼ ( ξ) ( η) ¼ ( ξ) ( - η) (oczce to stałe znane artoc spółrzdnch złó element kładze globalnm) to zaam, e łate est znacz pochodne spółrzdnch globalnch po lokalnch, czl element macerz Jacobego. Zatem: ¼ ( - ξ) ( - η) ¼ ( - ξ) ( η) ¼ ( ξ) ( η) ¼ ( ξ) ( - η) ¼ ( - η - ξ ξη) ¼ ( η - ξ ξη) ¼ ( η ξ ξη) ¼ ( - η ξ ξη) ξ ¼ ( η) ¼ ( - η) ¼ ( η) ¼ ( - - η) ¼ (- η) ¼ (- - η) ¼ ( η) ¼ ( - η) Zadane 5 Polcz pozostałe trz element macerz Jacobego (mona korzsta czenesze pochodne fnkc kształt).

13 Odrócene macerz Jacobego est prost cznnoc, ze zgld na fakt, est to zasze macerz dla zada PSO PS: [J] det[j] η η ξ ξ det[j] to oczce znacznk z macerz Jacobego, któr naza s akobanem: det[j] ξ η ξ η Zatem moem teraz polcz pochodne fnkc kształt po zmennch globalnch: [J] ξ η Ponea pochodne fnkc kształt po zmennch lokalnch mam znaczone (Zadane ), starcz przemno e macerzoo (dla kade fnkc nezalene) przez odrócon macerz Jacobego mam element, z którch moem ło macerz [B]. Wracam do naszego całkoana, ab znacz reszce macerz sztnoc. [k m ] [B] [D][B] dd Wem, e kładze lokalnm łate s prace (element est kadratem, zł ma spółrzdne ± ±) łate ponno s te całkoa, bo grance to do. Mmo to, całkoane c eszcze est pracochłonne. I t poaa s koncepca kadratr Gassa- Legendre a, która przeaa s MS tz. pnktam całkoana Gassa specalnm pnktam obszarze element, którch spółrzdne mola szbke całkoane g bardzo proste regł: [B] [D][B] dd g det[j] ([B] [D][B ) ] tzn. starcz dla danego element zsmoa loczn : aga * akoban * B * D * B dla kadego pnkt Gassa mam całk polczon (sekret prostot tk łane tch specalnch spółrzdnch adze tch szczególnch pnktó). W przpadk naszego czorokta mam do dspozc, lb 9 pnktó Gassa berzem sobe naczce stosoan kład z czterema pnktam.

14 pnkt Gassa Układ lokaln a poszm rsnk zaznaczono połoene pnktó Gassa. Ma spółrzdne ± ; ± ag róne (szstke). Wem szstko, co est potrzebne do znaczena macerz sztnoc element. Zatem zberzm to cało:. Msm zna parametr materałoe:, (lnoa sprsto Hooke a), eb znacz macerz [D]; dla PSO: [ D] ( )( ). Msm zna spółrzdne czterech złó naszego element kładze globalnm ( ; );. Oblczam pochodne,,,,,,, podstaac za za ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η spółrzdne pnktó Gassa kładze lokalnm, czl ± ; ± ; szstke pochodne msm znacz dla kadego pnkt Gassa nezalene (oczce mam polczone zor na te pochodne, starcz podsta do nch lczb);. Oblczam artoc pochodnch,,, g zoró z zadana 5, podstaac za ξ η ξ η spółrzdne złó kładze globalnm, a za ξ η spółrzdne pnktó Gassa kładze lokalnm (po pochodne dla kadego pnkt Gassa);

15 5. Oblczam akoban; 6. Oblczam element odrócone macerz Jacobego dla kadego pnkt Gassa (znó po element dla kadego pnkt Gassa); 7. mnom macerzoo η ξ [J] otrzmem dla kade fnkc nezalene dla kadego pnkt Gassa te nezalene; 8. Z elementó otrzmanch pnkce 7, t.,,,,,,, bdem macerz [B] dla kadego pnkt Gassa osobno: [B] 9. Dla kadego pnkt Gassa całkem sztno g formł mnoena macerzoego: * det[j] * [B] * [D] * [B] (ednka na pocztk to aga pnkt Gassa). Składam macerz sztnoc smc składnk macerz otrzmanch pkt.9 dla kadego pnkt Gassa (smoane macerzoe);. Uff... konec. A teraz chla tchnena: Zadane 6 Wznacz macerz sztnoc element z zadana dla MPa..